22.1.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 第2课时　课件　2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数的的图像和性质 第2课时　二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质 1.会用描点法画二次函数的图象,并掌握它的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及函数的增减性等.（重点） 2.理解抛物线与之间的位置关系,掌握二次函数的图象的平移规律,探索抛物线的图象和性质.（难点） 3.在探索二次函数的图象和性质的过程中,会用数形结合的思想与方法解决问题.（难点） 学习目标 情境引入 猎豹图书 如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于轴对称．轴，，最低点C在轴上，高，你能确定左右轮廓表达式吗？ 获取新知 解：先列表： 例1 在如图所示的坐标系中，画出二次函数与的图象． ··· −3 −2 −1 0 1 2 3 ··· ··· 2 0 2 ··· ··· 8 2 0 ··· 描点、连线，画出这两个函数的图象. x y −4 −3 −2 −1 O 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 向上 轴 直线2 (0，0) (2，0) 探究 画出二次函数的图象. 解：先分别列表： x … -2 -1 0 1 2 3 4 … … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … 描点连线： -8 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 思考1：两抛物线的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 猎豹图书 开口方向 对称轴 顶点坐标 下 下 x=-1 x=1 （-1,0） （1,0） 相同点： 不同点： 开口方向相同、形状相同。 对称轴、顶点坐标发生了改变。 二次函数y = a(x-h)2 的图象和性质 -8 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 x=﹣1 x=1 思考2：抛物线与抛物线有什么关系？ 所以， 的图象还可以由抛物线 平移 个单位得到. 观察图象可发现： 把抛物线 平移 个单位就得到抛物线 ;把抛物线 平移 个单位就得到抛物线 . 向左 1 向右 1 2 -8 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 思考3：抛物线y = a(x-h)2 与抛物线y=ax2 有什么关系 y O x y = a(x-h)2 (h>0) y = a(x-h)2 (h<0) y = ax2 h h 结论： 抛物线y=a(x-h)2的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （h＞0）或 （h＜0）平移 个单位. 向右 向左 |h| 二次函数的图象和性质: a的符号 a>0 a<0 图象 h>0 h<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小. 当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大. 向上 向下 直线x=h 直线x=h （h,0） x=h时，y最小值=0 x=h时，y最大值=0 （h,0） 归纳： 课堂小结 复习y=ax2+k 探索y=a(x-h)2的图象及性质 图象的画法 图象的特征 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 直线x=h （h,0） a>0,开口向上 a<0,开口向下 y=ax2 描点法 平移法 课堂练习 1.二次函数y＝3(x＋4)2的图象的顶点坐标为(　 　) A.(0，4) B.(0，－4) C.(4，0) D.(－4，0) D 2.对于函数y＝－2(x－m)2，下列说法不正确的是(　 　) A.图象开口向下 B.图象的对称轴为x＝m C.最大值为0 D.图象与y轴不相交 D 3.(易错)抛物线y＝a(x＋m)2(a≠0，m≠0)与坐标轴交点的个数 为(　 　) A.1 B.2 C.3 D.1或2 B 4.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象大致为(　 　) A B C D B 5.将抛物线y＝－x2向左平移2个单位长度后得到的抛物线的函数解析式是__________________. y＝－(x＋2)2 6.(1)在函数①y＝－(x－1)2，②y＝(x－1)2，③y＝(x＋1)2，④y＝(x－2)2中，满足以下所有特征的是__________.(填序号) a.函数图象的顶点在x轴上； b.函数图象的形状与函数y＝x2的图象相同； c.当x＜1时，y随x的增大而减小. (2)抛物线y＝4(x－2)2的顶点坐标是____________，与y轴的交点坐标是________________，当－1≤x≤4时，y的取值范围是____________. ②④ (2，0) (0，16) 0≤y≤36 7.已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小，则m的值为_______. [变式1] 已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大，则m应满足__________. [变式2] 若二次函数y＝－2(x＋3)2(m≤x≤m＋2)的图象上任意两点的连线都不与x轴平行，则m的取值范围是_______________. 3 m≤3 m≤－5或m≥－3 8.抛物线y＝(x－2)2关于x轴对称的图象的函数解析式为____________，关于y轴对称的图象的函数解析式为_________. y＝－(x－2)2 y＝(x＋2)2 9.抛物线y＝a(x－h)2的对称轴是x＝－2，且经过点(1，－3). (1)求抛物线的函数解析式. 解：∵抛物线y＝a(x－h)2的对称轴是x＝－2， ∴h＝－2， ∴y＝a(x＋2)2. ∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(1，－3)， ∴－3＝9a，解得a＝－， ∴抛物线的函数解析式为y＝－(x＋2)2. 9.抛物线y＝a(x－h)2的对称轴是x＝－2，且经过点(1，－3). (2)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？当x取何值时，函数有最大(或最小)值？ 解：∵a＝－，∴抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∴当x＞－2时，y随x的增大而减小. ∵抛物线的顶点坐标为(－2，0)， ∴当x＝－2时，函数有最大值，最大值为0. 9.抛物线y＝a(x－h)2的对称轴是x＝－2，且经过点(1，－3). (3)若该抛物线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，求△AOB的面积. 解：在y＝－(x＋2)2中，当y＝0时，x＝－2；当x＝0时，y＝－. ∴A(－2，0)，B(0，－)， ∴S△AOB＝×｜－2｜×＝. 10.设函数y1＝－(x－m)2，y2＝－(x－n)2，直线x＝1与函数y1，y2的图象分别交于点A(1，a1)，B(1，a2)，则下列说法正确的 是(　 　) A.若1＜m＜n，则a1＜a2 B.若m＜1＜n，则a1＜a2 C.若m＜n＜1，则a1＜a2 D.若m＜n＜1，则a2＜a1 C 11.【分类讨论】已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为__________. 1或6 12.已知将抛物线y＝2x2水平移动后，与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△AOB的面积为8. (1)求平移后抛物线的函数解析式. 解：设平移后抛物线的解析式为y＝2(x＋h)2，则点A的坐标为(－h，0)，点B的坐标为(0，2h2). ∵△AOB的面积为8， ∴｜h｜·2h2＝8，解得h＝±2， ∴平移后抛物线的解析式为y＝2(x＋2)2或y＝2(x－2)2. 12.已知将抛物线y＝2x2水平移动后，与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△AOB的面积为8. (2)在平移后的抛物线上是否存在一点P，使得△AOP的面积与△AOB的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在. 当平移后抛物线的解析式为y＝2(x＋2)2时，点B的坐标为(0，8). ∵△AOP的面积与△AOB的面积相等， ∴点P与点B的纵坐标相等， ∴点P与点B关于直线x＝－2对称， ∴点P的坐标为(－4，8). 当平移后抛物线的解析式为y＝2(x－2)2时，点B的坐标为(0，8)，同理可得，点P的坐标为(4，8). 综上所述，点P的坐标为(－4，8)或(4，8). 13.如图，已知抛物线y＝(x－2)2的顶点为C，直线y＝2x＋4与抛物线交于A，B两点. (1)求S△ABC. 解：由题意，得抛物线y＝(x－2)2的顶点C的坐标为(2，0). 联立方程组，得 解得 所以A(6，16)，B(0，4). 如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D， 则S△ABC＝S梯形ABOD－S△BOC－S△ACD＝(OB＋AD)·OD－ OC·OB－CD·AD＝×(4＋16)×6－×2×4－×4×16＝24. 13.如图，已知抛物线y＝(x－2)2的顶点为C， 直线y＝2x＋4与抛物线交于A，B两点. (2)M为抛物线上一动点，N为抛物线对称轴上 一动点，是否存在以点O，A，M，N为顶点的 四边形为平行四边形？若存在，请求出点N的 坐标；若不存在，请说明理由. 解：y＝(x－2)2＝x2－4x＋4，故设M(m，m2－4m＋4)，N(2，n). 分以下三种情况： ①若以OA为对角线， 则有 解得∴N(2，12)； ②若以OM为对角线， 则有 解得∴N(2，20)； ③若以ON为对角线， 则有 解得∴点N(2，52). 综上所述，点N的坐标为(2，12)或 (2，20)或(2，52). $$