高二数学期末模拟卷（上海专用，测试范围：沪教版2020选择性必修第1-6章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修,第1-6章。 5．难度系数：0.76。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．直线的倾斜角的大小为 ． 2．圆的圆心坐标是 ． 3．已知直线与直线，则它们之间的距离为 4．在的展开式中，的系数为 ． 5．设等差数列的前项和为，若，则 . 6．函数在点处的切线方程为 ． 7．双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为 ． 8．将5名篮球新秀分配给4支篮球队，要求每支篮球队至少分配到1名新秀，那么不同的分配方法有 种（用数字作答） 9．已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 . 10．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，且容器底面的长边比短边长0.5m（不计损耗）．若要使该容器的容积最大，则容器的高为 m． 11．已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为 ．（用反三角表示） 12．对于数列，记，，，则称是的“下界数列”，令，是的下界数列，则 ； （参考公式：） 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．“”是“”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．非充分非必要 14．若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，有下列两个命题： 命题：和之间存在唯一的“隔离直线”； 命题：和之间存在“隔离直线”，且b的最小值是－1．（    ） A．命题、命题都是真命题 B．命题为真命题，命题是假命题 C．命题为假命题，命题是真命题 D．命题、命题都是假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)若底面为梯形，，异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值． 18．已知函数. (1)若在处的切线与直线垂直，求实数m的值； (2)若，求函数的极值. 19．某人在工作一段时间后制定了如下理财计划：将自己第一年末的总资产均分成两半，一半进行再投资，获取资金增值，另一半留在身边作为备用金，并支付生活费开支，第二年末将当年固定收入，投资的本金和收益与身边备用金的余额合并，并按加上理财计划进行再分配，以此类推，已知投资部分每年获得4%的收益，生活费开支需要每年万元. (1)若此人每一年末总资产为万元，每年有固定收入万元，到第年末，此人的总资产为，试证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)若此人岁退休时有总资产万元，此后每年固定收入为元，按照他的理财计划，那么在他第几岁那一年内，将会遇到个人财政赤字（即当年的备用金低于当年的生活费开支） 20．已知双曲线的离心率为． (1)若，且双曲线经过点，求双曲线的方程； (2)若，双曲线的左、右焦点分别为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，点在第一象限且在双曲线上，若=8，求的值； (3)设圆，． 若动直线与圆相切，且与双曲线 交于时，总有，求双曲线离心率的取值范围． 21．对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数，与“具有性质”，求的取值范围； (3)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修,第1-6章。 5．难度系数：0.76。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．直线的倾斜角的大小为 ． 2．圆的圆心坐标是 ． 3．已知直线与直线，则它们之间的距离为 4．在的展开式中，的系数为 ． 5．设等差数列的前项和为，若，则 . 6．函数在点处的切线方程为 ． 7．双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为 ． 8．将5名篮球新秀分配给4支篮球队，要求每支篮球队至少分配到1名新秀，那么不同的分配方法有 种（用数字作答） 9．已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 . 10．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，且容器底面的长边比短边长0.5m（不计损耗）．若要使该容器的容积最大，则容器的高为 m． 11．已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为 ．（用反三角表示） 12．对于数列，记，，，则称是的“下界数列”，令，是的下界数列，则 ； （参考公式：） 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．“”是“”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．非充分非必要 14．若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，有下列两个命题： 命题：和之间存在唯一的“隔离直线”； 命题：和之间存在“隔离直线”，且b的最小值是－1．（    ） A．命题、命题都是真命题 B．命题为真命题，命题是假命题 C．命题为假命题，命题是真命题 D．命题、命题都是假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)若底面为梯形，，异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值． 18．已知函数. (1)若在处的切线与直线垂直，求实数m的值； (2)若，求函数的极值. 19．某人在工作一段时间后制定了如下理财计划：将自己第一年末的总资产均分成两半，一半进行再投资，获取资金增值，另一半留在身边作为备用金，并支付生活费开支，第二年末将当年固定收入，投资的本金和收益与身边备用金的余额合并，并按加上理财计划进行再分配，以此类推，已知投资部分每年获得4%的收益，生活费开支需要每年万元. (1)若此人每一年末总资产为万元，每年有固定收入万元，到第年末，此人的总资产为，试证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)若此人岁退休时有总资产万元，此后每年固定收入为元，按照他的理财计划，那么在他第几岁那一年内，将会遇到个人财政赤字（即当年的备用金低于当年的生活费开支） 20．已知双曲线的离心率为． (1)若，且双曲线经过点，求双曲线的方程； (2)若，双曲线的左、右焦点分别为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，点在第一象限且在双曲线上，若=8，求的值； (3)设圆，． 若动直线与圆相切，且与双曲线 交于时，总有，求双曲线离心率的取值范围． 21．对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数，与“具有性质”，求的取值范围； (3)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证. 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3．/ 4． 5．26 6． 7．/ 8．240 9．/ 10． 11． 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 B C A B 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）连接交于点，连接，， 在四棱柱中，四边形，为平行四边形，所以为的中点， 又、分别是、的中点， 所以且，且， (2分) 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以， (4分) 又平面，平面，所以平面； (6分) （2）因为异面直线与所成角为，又， 所以即为异面直线与所成角，即，即， 又平面， 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， (8分) 设平面的法向量为，则，取， (10分) 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. (14分) 18．（1）解：由函数，可得， (2分) 可得，即在处的切线的斜率为， (4分) 因为在处的切线与直线垂直， 可得，解得. (6分) （2）解：若，可得，所以，其中， 可得， 令，可得， (8分) 当时，，单调递减； (10分) 当时，，单调递增， (12分) 所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值. (14分) 19．（1）由题意可知， ，且 (2分) 所以数列是以为首项，为公比的等比数列 ， (4分) 故. 所以，的通项公式为 (6分) （2）由（1）知 令，则， (8分) 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即 (12分) 由题知当年的备用金低于当年的生活费开支时会遇到个人财政赤字， ，解得， 即84岁时将会遇到个人财政赤字. (14分) 20．（1）由，得， 又得， 因为双曲线经过点，有，所以， 所以，双曲线方程为． (4分) （2）由已知得，渐近线方程为，焦点坐标为 因为焦点到双曲线的渐近线的距离为， 所以，所以，， 由双曲线定义知，， ． (10分)    （3）因为直线与圆相切，圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离为，化简得， 又 设，则，即， 则，（*） 联立得， 则， 代入（*）， 得 整理得， 将代入， 化简得，则， 又，，得， 则，所以，离心率的取值范围． (18分)    21．（1）由，且， 得，即， 则， 即 ， 即 ， 则函数与“具有性质”. (4分) （2）由函数与“具有性质”， 得，，且， 即， 整理得， 则对恒成立， 又，， 则，，即， 则，即所求的的取值范围为. (10分) （3）由函数在有两个零点，得， 又函数与“具有性质”， 则， 即，                           即， 令，即， 记，即， 因为， 当时，；当时，， 所以函数在区间是减函数，在上是增函数. 要证，即证， 不妨设，即证， 只需证， 即证， 设，即， 因为， 所以函数在是减函数，且， 又，则， 即，则得证， 故 . (18分) 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学下学期期末模拟卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18 分） 21．（18 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修,第1-6章。 5．难度系数：0.76。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．直线的倾斜角的大小为 ． 【答案】 【分析】由方程确定直线的斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【解析】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 所以， 所以. 故答案为：. 2．圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出圆心坐标. 【解析】圆的标准方程为，故该圆的圆心坐标为. 故答案为：. 3．已知直线与直线，则它们之间的距离为 【答案】/ 【分析】利用平行线间的距离公式求解. 【解析】因为， 所以两直线之间的距离. 故答案为： 4．在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【解析】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 5．设等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】26 【分析】根据已知结合等差数列的性质可得，进而即可得出. 【解析】由已知，所以. 则. 故答案为：. 6．函数在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由导数的几何意义代入计算，结合直线的点斜式方程，即可得到结果. 【解析】因为，所以切点坐标为， 又，则切线的斜率， 由直线的点斜式方程可得，即， 所以切线方程为. 故答案为： 7．双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】求解双曲线的渐近线方程，然后求解夹角即可． 【解析】双曲线的两条渐近线为，直线的倾斜角为，，， 所以两条渐近线的夹角的余弦值为． 故答案为：． 8．将5名篮球新秀分配给4支篮球队，要求每支篮球队至少分配到1名新秀，那么不同的分配方法有 种（用数字作答） 【答案】240 【分析】先将5名篮球新秀分为4组，再利用排列知识进行求解 【解析】将5名篮球新秀分为4组，再和4支篮球队进行全排列， 故有种分配方法. 故答案为：240 9．已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 . 【答案】/ 【分析】首先得到右焦点坐标，即可得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，再由两点间的距离公式计算可得. 【解析】椭圆的右焦点， 因为直线的倾斜角为且过点， 所以直线，设，， 联立，消去得， 所以，， 所以，， 所以，， 所以. 故答案为： 10．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，且容器底面的长边比短边长0.5m（不计损耗）．若要使该容器的容积最大，则容器的高为 m． 【答案】 【分析】设底面短边长为，求出容器的容积的表达式，再利用导数求出最大值即可. 【解析】设底面短边长为， 则长边长为，高为， 则，解得， 则容器的容积，， 则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以要使该容器的容积最大，则容器的高为. 故答案为：. 11．已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为 ．（用反三角表示） 【答案】 【分析】由题意可设设，，结合，，求得和，再结合向量夹角得坐标表示即可求解. 【解析】可设，设， 则， 所以， 两式相减可得：，再代入第一个式子， 可得： 设向量与向量夹角为， 则， 易知对于当即取得最大值， 此时取得最大值， 即的最大值为，时取得， 再由余弦函数的单调性可知的最小值为， 故答案为： 12．对于数列，记，，，则称是的“下界数列”，令，是的下界数列，则 ； （参考公式：） 【答案】 【分析】首先分析的单调性，结合所给“下界数列”的定义求出的通项公式，再分和两种情况讨论，利用分组求和法计算可得. 【解析】因为，所以， 所以当时单调递增，当时单调递减，且， 又，所以当时， 当时， 当时， 即，所以， 所以当时 ， 当时 ， 所以. 故答案为： 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．“”是“”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．非充分非必要 【答案】B 【分析】根据组合数公式的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解析】若，则或，解得或， 所以由能够得到，故充分性成立， 由得不到，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 14．若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据成等比数列，设其公比为( )，利用等比数列的定义即可结合所给式子进行判断. 【解析】成等比数列，设公比为 ，则均不为0，且， ，故成等比数列，且公比为， 因此成等比数列，且公比为， ，当时，成等比数列，且公比为，但当时，不是等比数列， 故选：C 15．已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得圆心C为抛物线的焦点，求出弦AB长，设出直线AB方程并与抛物线方程联立，结合韦达定理求解作答. 【解析】如图，圆的圆心为，半径， 且为抛物线的焦点，抛物线的准线方程为． 设，则． 因为，则，可得． 设直线的方程为，显然，且直线与抛物线必相交， 由得，易知， 所以，解得． 故选：A. 16．若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，有下列两个命题： 命题：和之间存在唯一的“隔离直线”； 命题：和之间存在“隔离直线”，且b的最小值是－1．（    ） A．命题、命题都是真命题 B．命题为真命题，命题是假命题 C．命题为假命题，命题是真命题 D．命题、命题都是假命题 【答案】B 【分析】对命题：和有公共点，故隔离直线过该公共点， 设为，结合二次函数性质对参数分类讨论研究恒成立得，则直线为，再用导数法证恒成立即可； 对命题：设隔离直线为，则有对任意恒成立，结合二次函数性质对参数分类讨论即可. 【解析】（1）对命题： 设，的隔离直线为， 则对任意恒成立，即对任意恒成立， 若，记，，则二次函数有两个不同零点， 记为，由，不妨设，解不等式可知，，即与对任意恒成立矛盾，故， 若，则符合题意，若，由对任意x都成立， 注意到的对称轴为，从而，即， 所以，又的对称轴为，∴， 即，∴，故，同理可得，， 即，的最小值为，故命题为假命题； （2）对命题： 注意到函数和均经过， 若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点， 设隔离直线的斜率k，则隔离直线方程，即， 由恒成立，即， 整理得：对于均成立. 若，则上述不等式转化成，显然对于恒成立； 若，记， 则该二次函数有两个不同零点且至少一个正零点：， 此时是开口向上的二次函数，必有轴以下的部分， 即对于无法成立.故，此时直线， 下面证明. 令，则，于是当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增， 故当时，函数取得极小值，也是最小值，所以，故，所以和存在唯一的隔离直线，故命题为真命题. 故选：B 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)若底面为梯形，，异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，，根据棱柱的性质及中位线的性质得到且，则四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）由，可得即为异面直线与所成角，则，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【解析】（1）连接交于点，连接，， 在四棱柱中，四边形，为平行四边形，所以为的中点， 又、分别是、的中点， 所以且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面； （2）因为异面直线与所成角为，又， 所以即为异面直线与所成角，即，即， 又平面， 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．已知函数. (1)若在处的切线与直线垂直，求实数m的值； (2)若，求函数的极值. 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值. 【分析】（1）求得，得到，根据题意，列出方程，即可求解； （2）由，得到，求得，得出函数的单调区间，结合极值点与极值的定义，即可求解. 【解析】（1）解：由函数，可得， 可得，即在处的切线的斜率为， 因为在处的切线与直线垂直， 可得，解得. （2）解：若，可得，所以，其中， 可得，令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值. 19．某人在工作一段时间后制定了如下理财计划：将自己第一年末的总资产均分成两半，一半进行再投资，获取资金增值，另一半留在身边作为备用金，并支付生活费开支，第二年末将当年固定收入，投资的本金和收益与身边备用金的余额合并，并按加上理财计划进行再分配，以此类推，已知投资部分每年获得4%的收益，生活费开支需要每年万元. (1)若此人每一年末总资产为万元，每年有固定收入万元，到第年末，此人的总资产为，试证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)若此人岁退休时有总资产万元，此后每年固定收入为元，按照他的理财计划，那么在他第几岁那一年内，将会遇到个人财政赤字（即当年的备用金低于当年的生活费开支） 【答案】(1)证明见解析，； (2)84岁. 【分析】（1）根据题意可列出下一年的总资产与当年总共资产之间的关系式，即可证明结论并求出通项公式；（2）由题意先求出退休以后每年的总资产与上一年的关系式，求出通项公式，当总资产的一般少于8时即会遇到财政赤字便可解得的值求出结果. 【解析】（1）由题意可知， ，且 所以数列是以为首项，为公比的等比数列 ， 故. 所以，的通项公式为 （2）由（1）知 令，则， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即 由题知当年的备用金低于当年的生活费开支时会遇到个人财政赤字， ，解得， 即84岁时将会遇到个人财政赤字. 20．已知双曲线的离心率为． (1)若，且双曲线经过点，求双曲线的方程； (2)若，双曲线的左、右焦点分别为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，点在第一象限且在双曲线上，若=8，求的值； (3)设圆，． 若动直线与圆相切，且与双曲线 交于时，总有，求双曲线离心率的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据离心率和双曲线过点列方程组求解可得； （2）利用点到直线的距离公式求出b，然后由双曲线定义和余弦定理可得； （3）根据直线与圆相切可得m，k的关系，联立直线和双曲线方程消元，利用韦达定理代入整理即可得关于a，b，c的齐次式，然后可得离心率范围. 【解析】（1）由，得， 又得， 因为双曲线经过点，有，所以， 所以，双曲线方程为． （2）由已知得，渐近线方程为，焦点坐标为 因为焦点到双曲线的渐近线的距离为， 所以，所以，， 由双曲线定义知，， ．    （3）因为直线与圆相切，圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离为，化简得， 又 设，则，即， 则，（*） 联立得， 则， 代入（*）， 得 整理得， 将代入， 化简得，则， 又，，得， 则，所以，离心率的取值范围．    【点睛】直线与圆锥曲线综合问题，主要采取设而不求的方法，联立直线和曲线方程消元，利用韦达定理将条件或所求化简整理即可求解. 21．对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数，与“具有性质”，求的取值范围； (3)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件，结合性质的定义判断即可； （2）根据，，与 “具有性质”，可得对，,恒成立，再求出的范围即可； （3）根据条件，得到，再构造函数，结合条件证明不等式即可． 【解析】（1）由，且， 得，即， 则， 即 ， 即 ， 则函数与“具有性质”. （2）由函数与“具有性质”， 得，，且， 即， 整理得， 则对恒成立， 又，， 则，，即， 则，即所求的的取值范围为. （3）由函数在有两个零点，得， 又函数与“具有性质”， 则， 即，                           即， 令，即， 记，即， 因为， 当时，；当时，， 所以函数在区间是减函数，在上是增函数. 要证，即证， 不妨设，即证， 只需证， 即证， 设，即， 因为， 所以函数在是减函数，且， 又，则， 即，则得证， 故 . 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用不等式恒成立求出参数的取值范围，关键是利用极值点偏移构造函数证明不等式． 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 ． ____________________ 2 ． ____________________ 3． ____________________ 4 ． ____________________ 5． ___ _________________ 6 ． ____________________ 7． ____________________ 8 ． ____________________ 9． ____________________ 10 ． ____________________ 11． ____________________ 12 ． ____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第1 3-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$