高一数学期末模拟卷（上海专用，测试范围：沪教版2020必修第二册）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册。 5．难度系数：0.70。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．是第 象限的角． 2．已知为虚数单位，复数满足，则= ． 3．函数的最小正周期是 . 4．已知，若，则在方向上的数量投影为 . 5．若，则 . 6．已知，且，则 ． 7．函数在区间上的零点是 . 8．若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是 ． 9．在三角形ABC中，已知，则三角形面积 ． 10．设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数 . 11．如图，2024年元宵节在浙江桐乡凤凰湖举行“放孔明灯”活动.为了测量孔明灯的高度，在地上测量了一根长为200米的基线，在点处测量这个孔明灯的仰角为，在处测量这个孔明灯的仰角为，在基线上靠近的四等分点处有一点，在处测量这个孔明灯的仰角为，则这个孔明灯的高度 . 12．已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知，则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知的三边分别为，，，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 15．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．已知，，，，满足，，，有以下个结论： ①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数； ②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数. 下列说法正确的是（    ） A．结论①、②都成立 B．结论①不成立、②成立 C．结论①成立、②不成立 D．结论①、②都不成立 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知向量，. (1)求； (2)已知，且，求向量与向量的夹角. 18．在中，、、分别是内角、、的对边，，，. (1)求的值； (2)求的值. 19．坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 20．如图，点分别是矩形的边上的两点，，. (1)若、分别为、的中点，求； (2)若，求的范围； (3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 21．新定义：若函数（为非零整数），则称为的“b级飘带函数”. (1)试判断：是否为某个函数的“级飘带函数”，并说明理由； (2)已知为的“b级飘带函数”.小张同学研究的性质中得出以下两个命题： 命题①：的奇偶性与相同； 命题②：的周期性与相同. 请你判断命题是否正确，若正确，请证明；若错误，请修改成真命题. (3)已知为的“b级飘带函数”，若，求：的最小值 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学下学期期末模拟卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18 分） 21．（18 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．一 2． 3． 4． 5． 6． 7．或 8． 9． 10．13 11．/ 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 A A D B 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）由题知，，， 所以， (2分) 所以. (6分) （2）由题知，，， 设向量与向量的夹角为， 所以，即， 解得， (10分) 因为，所以 所以向量与向量的夹角为. (14分) 18．（1）由余弦定理知，即， (1分) 整理得， (2分) 解得或（舍负）， (4分) 故. (6分) （2）∵，且，∴， (8分) 由正弦定理知，即，得， (10分) ∴. (14分) 19．（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， (2分) 又因为， 所以且，所以， (4分) 所以； (6分) （2）因为， 令，则， 又因为，则，所以， (10分) 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. (14分) 20．（1）解法1：因为，， 所以 ， ， ， . 解法2：以点为坐标原点，、所在的直线为轴､轴建立直角坐标系 则，，，， 所以，，， . (4分) （2）由，， 故，则， 所以 ， 由，故； (10分) （3）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，即， 假设存在点，使得最大，由，即有最大， 设，当时，角度为，此时不可能最大，故，所以， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即存在，且. (18分) 21．（1）是，当时，是的“1级飘带函数”. (4分) （2）命题①正确，命题②错误.命题①的证明如下： 若是偶函数，即，则 即也是偶函数； 若是奇函数，即，则 .即：也是奇函数 综上，与奇偶性相同 对命题②： 当，时，首先函数是以为周期的周期函数. 再者：. 是周期为的周期函数. 所以的周期性与相同，这一说法错误. 命题②可订正为：存在，，使得的周期与的周期不同. (10分) （3）可求得值域为. 当时，令，由定义法可证明为严格增函数，则当时，取得最小值. 当时，结合耐克函数的性质可得，在上单调递减，在上单调递增. 所以：当，即，又因为为非零整数，所以该情况不成立； 当，即（即或时），由基本不等式易得取得最小值（2或）. 当，即时，由耐克函数图象性质易得当时，取得最小值. 综上可知：当且时，的最小值为； 当时，的最小值为2； 当且时，的最小值为. （18分) 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册。 5．难度系数：0.70。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．是第 象限的角． 2．已知为虚数单位，复数满足，则= ． 3．函数的最小正周期是 . 4．已知，若，则在方向上的数量投影为 . 5．若，则 . 6．已知，且，则 ． 7．函数在区间上的零点是 . 8．若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是 ． 9．在三角形ABC中，已知，则三角形面积 ． 10．设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数 . 11．如图，2024年元宵节在浙江桐乡凤凰湖举行“放孔明灯”活动.为了测量孔明灯的高度，在地上测量了一根长为200米的基线，在点处测量这个孔明灯的仰角为，在处测量这个孔明灯的仰角为，在基线上靠近的四等分点处有一点，在处测量这个孔明灯的仰角为，则这个孔明灯的高度 . 12．已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知，则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知的三边分别为，，，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 15．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．已知，，，，满足，，，有以下个结论： ①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数； ②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数. 下列说法正确的是（    ） A．结论①、②都成立 B．结论①不成立、②成立 C．结论①成立、②不成立 D．结论①、②都不成立 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知向量，. (1)求； (2)已知，且，求向量与向量的夹角. 18．在中，、、分别是内角、、的对边，，，. (1)求的值； (2)求的值. 19．坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 20．如图，点分别是矩形的边上的两点，，. (1)若、分别为、的中点，求； (2)若，求的范围； (3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 21．新定义：若函数（为非零整数），则称为的“b级飘带函数”. (1)试判断：是否为某个函数的“级飘带函数”，并说明理由； (2)已知为的“b级飘带函数”.小张同学研究的性质中得出以下两个命题： 命题①：的奇偶性与相同； 命题②：的周期性与相同. 请你判断命题是否正确，若正确，请证明；若错误，请修改成真命题. (3)已知为的“b级飘带函数”，若，求：的最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册。 5．难度系数：0.70。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．是第 象限的角． 【答案】一 【分析】由确定终边相同的最小正角所在象限，即可得. 【解析】由，即与的终边相同，故为第一象限角. 故答案为：一 2．已知为虚数单位，复数满足，则= ． 【答案】 【分析】根据相等复数，结合模长公式，可得答案. 【解析】设，由， 则，即，所以. 故答案为：. 3．函数的最小正周期是 . 【答案】 【分析】由余弦函数的最小正周期公式即可得出答案. 【解析】函数的最小正周期是:. 故答案为：. 4．已知，若，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】由数量投影定义计算即可. 【解析】已知，， 则， 则在方向上的数量投影为. 故答案为：. 5．若，则 . 【答案】 【分析】分子、分母同除以解方程即可. 【解析】因为， 所以. 故答案为：. 6．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】根据，得到，求出，利用凑角法，结合余弦的和角公式求出答案. 【解析】，故， 因为，所以， 所以， 故 . 故答案为：. 7．函数在区间上的零点是 . 【答案】或 【分析】利用倍角公式把转化成，利用换元法求出值，继而可以求出零点. 【解析】解：，， 令，即，解得（舍去）， ，. 故答案为：或 8．若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合正切函数的单调区间，即可求解. 【解析】因为函数的单调递增区间为，， 且函数在上为严格减函数， 所以，解得，即 . 故答案为：. 9．在三角形ABC中，已知，则三角形面积 ． 【答案】 【分析】先利用正弦定理求出，在利用求出，最后通过三角形的面积公式求解即可. 【解析】由正弦定理得， ， ， . 故答案为：. 10．设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数 . 【答案】13 【分析】设，则，结合韦达定理可得，根据题意可知，结合向量的坐标运算求解. 【解析】设，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得， 由根与系数的关系可得， 整理得， 设、、在复平面上对应的点分别为、、， 则， 可知A，B关于x轴对称， 若复平面上、、对应点构成直角三角形，则， 即，解得， 所以. 故答案为：13. 11．如图，2024年元宵节在浙江桐乡凤凰湖举行“放孔明灯”活动.为了测量孔明灯的高度，在地上测量了一根长为200米的基线，在点处测量这个孔明灯的仰角为，在处测量这个孔明灯的仰角为，在基线上靠近的四等分点处有一点，在处测量这个孔明灯的仰角为，则这个孔明灯的高度 . 【答案】/ 【分析】通过三个仰角解三个直角三角形可得三边与高的关系，再利用余弦定理建立一个方程，就可以解得高. 【解析】 设孔明灯的高度，通过解直角三角形得： 在点处测量这个孔明灯的仰角为，则， 在点处测量这个孔明灯的仰角为，则， 在点处测量这个孔明灯的仰角为，则， 由基线上靠近的四等分点处有一点，且，则， 由余弦定理得： ， ， 又因为，所以， 即，可得， 所以由，得， 故答案为：. 12．已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据，可得，利用平面直角坐标系取则，设，结合已知条件可得，，利用平面向量的坐标运算可得，故可得的取值范围. 【解析】解：因为，所以， 则，所以，于是有， 因为，所以 则如图所示，在平面直角坐标系中， 则，设， 因为，所以，则，即， 因为，所以 则，即，解得， 则 因为 所以在上单调递减，在上单调递增 所以，当时，，当时，，所以 故的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知，则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的定义及复数的相关概念可确定选项. 【解析】当为纯虚数时，设，则， ∴. 当时，可取，则为纯虚数不成立. 综上得，“为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 14．已知的三边分别为，，，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】A 【分析】由已知条件得到三角形三边的关系，结合余弦定理判断最大角的范围即可. 【解析】设的内角A，B，C所对的边分别为，，，由可知，且,角C为最大角 ， 由，所以有，即，得， 中,由余弦定理得，所以最大角是锐角，故是锐角三角形. 故选：A. 15．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【解析】因为， 因为，所以， 因为，所以， 不妨令，即，则，所以， 所以，， 所以的取值范围是. 故选：D 16．已知，，，，满足，，，有以下个结论： ①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数； ②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数. 下列说法正确的是（    ） A．结论①、②都成立 B．结论①不成立、②成立 C．结论①成立、②不成立 D．结论①、②都不成立 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将和用，表示即可. 【解析】对于结论①， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴当为常数，时，不是一个常数，故结论①不成立； 对于结论②， 方法一： ∵ 又∵ ∴ 化简得， ∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立. 方法二：（特值法） 当时，， ∴，∴. ∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立. 故选：B. 【点睛】本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特值法可以有效验证其正确性，减少运算量. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知向量，. (1)求； (2)已知，且，求向量与向量的夹角. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用向量减法的坐标表示求出，再借助坐标计算向量的模； （2）利用向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再结合已知向量的模求出夹角. 【解析】（1）由题知，，， 所以， 所以. （2）由题知，，， 设向量与向量的夹角为， 所以，即， 解得，因为，所以 所以向量与向量的夹角为. 18．在中，、、分别是内角、、的对边，，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意和余弦定理计算即可求解； （2）根据同角的三角函数关系求出，由正弦定理求出，结合二倍角的余弦公式计算即可求解. 【解析】（1）由余弦定理知，即， 整理得，解得或（舍负），故. （2）∵，且，∴， 由正弦定理知，即，得， ∴. 19．坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； 【解析】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为， 所以且，所以， 所以； （2）因为， 令，则， 又因为，则，所以， 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. 20．如图，点分别是矩形的边上的两点，，. (1)若、分别为、的中点，求； (2)若，求的范围； (3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）解法一，以、作为一组基底表示出，，再根据数量积的运算律求出，，，最后由夹角公式计算可得；解法2，建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得； （2）根据数量积的运算律得到，结合的范围计算可得； （3）建立平面直角坐标系，求出点坐标，设，则，利用两角差的正切公式、锐角三角函数及基本不等式计算可得. 【解析】（1）解法1：因为，， 所以 ， ， ， . 解法2：以点为坐标原点，、所在的直线为轴､轴建立直角坐标系 则，，，， 所以，，， . （2）由，， 故，则， 所以 ， 由，故； （3）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，即， 假设存在点，使得最大，由，即有最大， 设，当时，角度为，此时不可能最大，故，所以， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即存在，且. 21．新定义：若函数（为非零整数），则称为的“b级飘带函数”. (1)试判断：是否为某个函数的“级飘带函数”，并说明理由； (2)已知为的“b级飘带函数”.小张同学研究的性质中得出以下两个命题： 命题①：的奇偶性与相同； 命题②：的周期性与相同. 请你判断命题是否正确，若正确，请证明；若错误，请修改成真命题. (3)已知为的“b级飘带函数”，若，求：的最小值 【答案】(1)是，理由见解析 (2)命题①正确，证明见解析；命题②错误，答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据正切函数、余切函数的关系，结合“级飘带函数”的定义进行判断. （2）根据函数奇偶性的判断方法证明命题①；结合函数的周期性改写命题②并证明. （3）结合“耐克函数”的图象分情况求函数的最小值. 【解析】（1）是，当时，是的“1级飘带函数”. （2）命题①正确，命题②错误.命题①的证明如下： 若是偶函数，即，则 即也是偶函数； 若是奇函数，即，则 .即：也是奇函数 综上，与奇偶性相同 对命题②： 当，时，首先函数是以为周期的周期函数. 再者：. 是周期为的周期函数. 所以的周期性与相同，这一说法错误. 命题②可订正为：存在，，使得的周期与的周期不同. （3）可求得值域为. 当时，令，由定义法可证明为严格增函数，则当时，取得最小值. 当时，结合耐克函数的性质可得，在上单调递减，在上单调递增. 所以：当，即，又因为为非零整数，所以该情况不成立； 当，即（即或时），由基本不等式易得取得最小值（2或）. 当，即时，由耐克函数图象性质易得当时，取得最小值. 综上可知：当且时，的最小值为； 当时，的最小值为2； 当且时，的最小值为. 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 ． ____________________ 2 ． ____________________ 3． ____________________ 4 ． ____________________ 5． ___ _________________ 6 ． ____________________ 7． ____________________ 8 ． ____________________ 9． ____________________ 10 ． ____________________ 11． ____________________ 12 ． ____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第1 3-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$