2024年辽宁省初中毕业生水平考试坤卷·数学-【一战成名新中考·乾坤卷】2024辽宁中考原创压轴卷（全学科）

坤卷参考答案及重难题解析·辽宁数学 数 学 数学 快速对答案 一、选择题（本题共１０小题，每小题３分，共３０分） １．Ｄ　２．Ｃ　３．Ｂ　４．Ｂ　５．Ｄ　６．Ｃ　７．Ｂ　８．Ａ　９．Ｄ　１０．Ｃ 二、填空题（本题共５小题，每小题３分，共１５分） １１．－１　１２．（３，７）　１３．１６　１４． 槡１２３ ５ 　１５．ｙ＝２ｘ－ ７９ ８ 三、解答题（本题共８小题，共７５分） １６．（１）原式＝１３４；（２）原式＝－１ １７．（１）松树树苗的单价是１５元，槐树树苗的单价是１０元；（２）最少购进３８棵槐树树苗 １８．（１）本次调查所选取的人数为２００，作图略；（２）ａ的值为２５，“Ｂ”所对应扇形的圆心角度数为１０８°；（３）结论略（任写一条即 可） １９．（１）活动一：ｙ＝７０ｘ；活动二：ｙ＝２０ｘ＋５００； （２）①点Ｐ的坐标为（１０，７００）； ②当游泳次数０＜ｘ＜１０时，活动一最划算； 当游泳次数ｘ＞１０时，活动二最划算； 当游泳次数ｘ＝１０时，两种活动消费一样． ２０．（１）证明略；（２）ＣＥ 槡＝３２ ２１．（１）ＢＣ＝１．８ｍ，每节台阶的高度约为０．２ｍ；（２）安装该楼梯扶手需要材料的长度约为１０．２ｍ ２２．（１）１３５°；（２）平行四边形；（３）ＢＰ的长为 槡４２或 槡８－４２ ２３．（１）抛物线：ｙ＝１２ｘ ２－３２ｘ－２，直线ｌ：ｙ＝ １ ２ｘ－２；（２）点Ｐ的坐标为（ 槡３＋ １７ ２ ，－１）；（３）点Ｑ的坐标为（２，－３），此时的最 大面积为９ 详解详析 １．Ｄ　２．Ｃ　３．Ｂ　４．Ｂ　５．Ｄ ６． 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 Ｃ 方 法 指 导 一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０根的情况与判别式的 关系 （１）ｂ２－４ａｃ＞０方程有两个不相等的实数根； （２）ｂ２－４ａｃ＝０方程有两个相等的实数根（ｘ１＝ｘ２＝ －ｂ２ａ）； （３）ｂ２－４ａｃ＜０方程没有实数根． 由（１）、（２）知ｂ２－４ａｃ≥０方程有两个实数根． 注：由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的 取值范围时，若一元二次方程的二次项系数含有字母， 应注意二次项系数不为０这个隐含条件． ７．Ｂ　８．Ａ　９．Ｄ １０．Ｃ　【解析】如解图，作点Ｎ关于直线 ＢＤ的对称点 Ｎ′，连接 ＰＮ′，ＭＮ′，则点Ｎ′为ＢＣ的中点，根据轴对称性质可知ＰＮ＝ ＰＮ′，∴ＰＭ＋ＰＮ＝ＰＭ＋ＰＮ′，当点Ｐ落在线段ＭＮ′上时，ＰＭ ＋ＰＮ＝ＰＭ＋ＰＮ′最小，即ＭＮ′就是ＰＭ＋ＰＮ的最小值，连接 ＮＮ′，由ＢＮ′＝ＢＮ，∠ＡＢＣ＝６０°可知△ＢＮＮ′为等边三角形， ∴ＮＮ′＝ＢＮ＝１２ＡＢ，∴△ＡＢＮ′为直角三角形，∴∠ＡＮ′Ｂ＝ ９０°，∴ＡＮ′＝ＡＢ·ｓｉｎ６０° 槡＝２ ３，∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＡＮ′Ｂ＝ ∠ＤＡＮ′＝９０°，∴△ＡＭＮ′是直角三角形，∵ＡＭ＝４－１＝３， ＡＮ′ 槡＝２３，∴ＭＮ′＝ ３ ２＋（槡２３）槡 ２ 槡＝ ２１，即 ＰＭ＋ＰＮ的 最小值为槡２１． 第１０题解图 １１．－１　１２．（３，７）　１３．１６ １４． 槡１２３５ 　【解析】如解图，设ＢＰ交ＡＤ于点Ｔ，过点Ａ作ＡＨ⊥ ＢＰ于点Ｈ． 第１４题解图 ∵∠ＡＨＢ＝９０°，ＡＢ＝４，∠ＡＢＨ＝１２∠ＡＢＣ＝３０°，∴ＢＨ＝ ＡＢ·ｃｏｓ３０° 槡＝２３，∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＤ∥ ＢＣ，∴ ∠ＡＴＢ＝∠ＴＢＣ，∵ ∠ＡＢＴ＝∠ＴＢＣ，∴ ∠ＡＢＴ＝ ∠ＡＴＢ，∴ＡＴ＝ＡＢ＝４，∵ＡＨ⊥ＢＰ，∴ＴＨ＝ＢＨ 槡＝２３，∴ＢＴ                                 ＝ ６ 坤卷参考答案及重难题解析·辽宁数学 数 学 槡４ ３，∵ＡＴ∥ＢＣ，∴△ＡＯＴ∽△ＣＯＢ，∴ ＴＯ ＯＢ＝ ＡＴ ＢＣ＝ ２ ３，∴ＯＢ ＝３５ＢＴ＝ 槡１２３ ５ ． １５．ｙ＝２ｘ－７９８　【解析】∵当ｘ＝０时，ｙ＝－２，∴点Ｂ的坐标为 （０，－２），设直线ＡＢ的解析式为ｙ＝ｋｘ－２，代入点Ａ（１，０）， 可得ｋ＝２，∴直线ＡＢ的解析式为 ｙ＝２ｘ－２，∵直线 ＣＤ是 由直线ＡＢ平移得到的，且ｘＡ－ｘＢ＝１，ｙＡ－ｙＢ＝２，∴ｘＤ－ｘＣ＝ １，ｙＤ－ｙＣ＝２，由题意知，点Ｃ在抛物线ｙ＝ １ ２ｘ ２－２ｘ－２上， ∴设点Ｃ的坐标为（ｔ，１２ｔ ２－２ｔ－２），则点 Ｄ的坐标为（ｔ＋ １，１２ｔ ２－２ｔ－２＋２），即Ｄ（ｔ＋１，１２ｔ ２－２ｔ），∵点Ｄ在抛物线 ｙ＝１２ｘ ２－２ｘ－２上，∴ １２ｔ ２－２ｔ＝１２（ｔ＋１） ２－２（ｔ＋１）－２， 解得ｔ＝７２，∴点Ｃ（ ７ ２，－ ２３ ８），根据直线ＡＢ的解析式设直 线ＣＤ的解析式为ｙ＝２ｘ＋ｂ，将点 Ｃ（７２，－ ２３ ８）代入 ｙ＝２ｘ ＋ｂ中得２×７２＋ｂ＝－ ２３ ８，解得 ｂ＝－ ７９ ８，∴直线 ＣＤ的解 析式为ｙ＝２ｘ－７９８． 第１５题解图 １６．解：（１）原式＝１４＋（－１）－（－２）×２ ＝１４－１＋４ ＝１３４； ５分!!!!!!!!!!!!!!! （２）原式＝ａ（ａ＋１）－（ａ－１） ａ２－１ · ２－（ａ２＋１） ａ２＋１ ＝ａ ２＋ａ－ａ＋１ ａ２－１ · ２－ａ２－１ ａ２＋１ ＝ａ ２＋１ ａ２－１ · －（ａ２－１） ａ２＋１ ＝－１． １０分 !!!!!!!!!!!!!!! １７．解：（１）设槐树树苗的单价是 ｘ元，则松树树苗的单价是 １．５ｘ元． 依题意得 １２００ １．５ｘ＝ ９００ ｘ－１０， 解得ｘ＝１０， 经检验，ｘ＝１０是原方程的解，且符合题意， ∴１．５ｘ＝１．５×１０＝１５， 答：松树树苗的单价是１５元，槐树树苗的单价是１０元； ４分 ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）设购进槐树树苗ｍ棵，则购进松树树苗（１００－ｍ）棵， 依题意得１０ｍ＋１５（１００－ｍ）≤１３１４， 解得ｍ≥３７．２， 又∵ｍ为整数， ∴ｍ的最小值为３８， 答：最少购进３８棵槐树树苗． ８分 !!!!!!!!!! １８．解：（１）６０÷３０％＝２００（人），补全图形如解图； ３分 !!! （２）议题Ｃ的人数为２００×１５％＝３０（人）， ∴议题Ａ的人数为２００－６０－３０－２０－４０＝５０（人）， ∵５０２００×１００％＝２５％，∴ａ＝２５， ３６０°×３０％＝１０８°； ６分 !!!!!!!!!!!!!! （３）根据以上信息可得出民众关注度最高的议题是高质量 就业，由此可知大家最关注的还是与民众紧密相关的信息． （任写一条即可） ８分 !!!!!!!!!!!!!!! １９．解：（１）活动一：ｙ＝７０ｘ， 活动二：ｙ＝２０ｘ＋５００； ３分 !!!!!!!!!!!!! （２）两种活动消费相等时， 联立 ｙ＝７０ｘ， ｙ＝２０ｘ＋５００{ ，解得 ｘ＝１０，ｙ＝７００{ ， ∴点Ｐ的坐标为（１０，７００）； ６分 !!!!!!!!!!! （３）当游泳次数０＜ｘ＜１０时，活动一最划算； 当游泳次数ｘ＞１０时，活动二最划算； 当游泳次数ｘ＝１０时，两种活动消费一样． ８分 !!!!! ２０．（１ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） 思 维 点 拨 １．由ＡＣ＝ＡＤ得到∠ＡＣＤ与∠ＡＤＣ之间的关系， 思考两者与∠ＣＡＢ的关系；２．思考∠ＡＣＤ，∠ＡＤＣ 与∠ＢＣＤ的关系 证明：∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠ＡＣＤ＝９０°－∠ＢＣＤ， ∵ＡＣ＝ＡＤ， ∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＣ， ∵∠ＣＡＢ＋∠ＡＣＤ＋∠ＡＤＣ＝１８０°， ∴∠ＣＡＢ＋９０°－∠ＢＣＤ＋９０°－∠ＢＣＤ＝１８０°， ∴∠ＣＡＢ＝２∠ＢＣＤ； ４分!!!!!!!!!!!!!! （２ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） 思 维 点 拨 １．由∠ＢＣＥ可以得到∠ＢＯＥ，∠ＣＡＢ的大小，进 而可得到∠ＢＯＣ的大小；２．可判断 ＣＥ为等腰直 角三角形ＣＯＥ的斜边，进而根据ＣＥ 槡＝２ＯＣ求解 解：连接ＯＣ，ＯＥ，如解图， 由（１）得∠ＣＡＢ＝２∠ＢＣＥ＝２×１５°＝３０°， ∴∠ＣＯＢ＝２∠ＣＡＢ＝６０°                                                                       ， ７ 坤卷参考答案及重难题解析·辽宁数学 数 学 ∵∠ＢＯＥ＝２∠ＢＣＥ＝２×１５°＝３０°， ∴∠ＣＯＥ＝∠ＣＯＢ＋∠ＢＯＥ＝６０°＋３０°＝９０°， 又∵ＯＣ＝ＯＥ＝１２ＡＢ＝ １ ２×６＝３， ∴ＣＥ＝ ＯＣ２＋ＯＥ槡 ２＝ ３２＋３槡 ２ 槡＝３２． ８分!!!!!! 第２０题解图 ２１．解：（１）在直角三角形ＡＢＣ中，ＡＣ＝２．４ｍ，∠ＢＡＣ＝３７°， ∴ＢＣ＝ＡＣ·ｔａｎ∠ＢＡＣ≈２．４×０．７５＝１．８（ｍ）， 由图可知楼梯只有８节台阶， ∴每节台阶的高度约为１．８÷８≈０．２（ｍ）； ４分!!!!! （２）如解图，设Ｍ２Ｎ１和ＡＢ相交于点 Ｄ，Ｍ３Ｎ２和 ＡＢ相交于 点Ｅ， 由条件可知，点Ｎ１，Ｎ２是水平台阶的中点， ∴ＤＮ１＝ＥＮ２≈ １ ２×０．２＝０．１（ｍ）， ∵ＡＢ＝ ＡＣｃｏｓ∠ＢＡＣ≈ ２．４ ０．８０＝３（ｍ）， ∴安装该楼梯扶手需要材料的长度约为３×２＋１×４＋０．１ ×２＝１０．２（ｍ）． ８分 !!!!!!!!!!!!!!!! 第２１题解图 ２２．解：（１）１３５°； ２分 !!!!!!!!!!!!!!!!! 【解法提示】∵∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝９０°， ∴点Ｃ，Ｄ在以ＡＢ为直径的圆上， ∴四边形ＡＢＤＣ为圆内接四边形， ∴∠ＣＤＢ＋∠ＢＡＣ＝１８０°， ∵∠ＡＢＣ＝４５°，∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠ＢＡＣ＝４５°，∴∠ＣＤＢ＝１３５°． （２）平行四边形， ３分 !!!!!!!!!!!!!!! 理由如下： ∵∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ＝９０°， ∴点Ｃ，Ｄ在以ＡＢ为直径的圆上， ∴Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点共圆， ∴∠ＡＤＣ＋∠ＡＢＣ＝１８０°， ∵∠ＡＤＣ＋∠ＰＤＣ＝１８０°， ∴∠ＰＤＣ＝∠ＡＢＣ＝４５°， ∵ＢＤ⊥ＤＰ，∴∠ＢＤＥ＝４５°， ∵∠ＤＥＢ＝９０°，∴△ＢＤＥ为等腰直角三角形， ５分!!! ∴ＤＥ＝ＢＥ， ∵ＡＣ⊥ＢＣ，ＤＦ∥ＡＣ，∴ＤＦ⊥ＢＣ， ∵∠ＤＣＰ＝∠ＢＣＥ， ∴∠ＦＤＥ＝∠ＣＢＥ， 在△ＤＥＦ和△ＢＥＣ中， ∠ＦＥＤ＝∠ＣＥＢ， ＤＥ＝ＢＥ， ∠ＦＤＥ＝∠ＣＢＥ { ， ∴△ＤＥＦ≌△ＢＥＣ（ＡＳＡ）， ∴ＣＥ＝ＥＦ， ∵ＤＥ⊥ＢＦ， ∴△ＣＥＦ为等腰直角三角形，∴∠ＦＣＥ＝４５°， ∴∠ＦＣＥ＝∠ＰＤＥ，∴ＣＦ∥ＡＰ， 又∵ＤＦ∥ＡＣ， ∴四边形ＡＤＦＣ为平行四边形； ８分 !!!!!!!!! （３）槡４２或 槡８－４２． １２分!!!!!!!!!!!!!! 【解法提示】由题图２得当点Ｐ在点Ｃ的左侧时， ∵在Ｒｔ△ＡＣＰ中，ＣＤ＝１２ＡＰ，∴点Ｄ为ＡＰ的中点， 则易知△ＡＢＰ为等腰三角形，∴ＢＰ＝ＡＢ 槡＝４２； 当点Ｐ在点Ｃ的右侧时， 如解图，在Ｒｔ△ＡＣＰ中，取ＡＰ的中点Ｍ，连接ＣＭ， 则ＡＭ＝ＭＣ＝１２ＡＰ＝ＣＤ， ∴∠ＣＭＤ＝∠ＡＤＣ＝４５°， 又∵ＡＭ＝ＭＣ，∴∠ＣＡＰ＝２２．５°， 在Ｒｔ△ＡＣＢ中，∠ＡＢＣ＝４５°，ＡＢ 槡＝４２，∴ＡＣ＝ＢＣ＝４， 过点Ｍ作ＭＯ⊥ＡＰ交ＡＣ于点Ｏ，连接ＰＯ， ∴ＡＯ＝ＯＰ，∴∠ＯＡＰ＝∠ＯＰＡ＝２２．５°，∴∠ＣＯＰ＝４５°， 则△ＣＯＰ为等腰直角三角形，∴ＣＰ＝ＣＯ， 设ＣＰ＝ＣＯ＝ａ，则ＡＯ＝ＯＰ 槡＝２ａ， ∵ＡＣ＝４，即ａ 槡＋２ａ＝４， ∴ａ 槡＝４２－４，即ＣＰ 槡＝４２－４， ∴ＢＰ＝ＣＢ－ＣＰ 槡＝８－４２． 综上所述，ＢＰ的长为 槡４２或 槡８－４２． 第２２题解图 ２３．解：（１）∵抛物线交ｘ轴于点Ｂ（４，０），对称轴为直线ｘ＝３２， ∴ １６ａ＋４ｂ－２＝０， －ｂ２ａ＝ ３ ２{ ， 解得 ａ＝１２， ｂ＝－３２ { ， ∴抛物线的解析式为ｙ＝１２ｘ ２－３２ｘ－２； 令ｘ＝０，ｙ＝－２，∴Ｃ（０，－２）， ∵直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｍ经过Ｂ、Ｃ两点， ∴ ４ｋ＋ｍ＝０， ｍ＝－２{ ， 解得 ｋ＝ １ ２， ｍ＝－２{                                                                       ， ８ 坤卷参考答案及重难题解析·辽宁数学 数 学 ∴直线ｌ的解析式为ｙ＝１２ｘ－２； ３分!!!!!!!! （２ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） 解 题 关 键 要得到△ＰＯＣ是以ＯＣ为底边的等腰三角形，则 点Ｐ一定在 ＯＣ的垂直平分线上，根据 ＯＣ＝２ 知，点Ｐ的纵坐标为－１，可求出点Ｐ的坐标 ∵△ＰＯＣ是以ＯＣ为底边的等腰三角形，∴点Ｐ在 ＯＣ的垂 直平分线上， ∵点Ｃ的坐标为（０，－２），且点Ｐ在直线ＢＣ下方， ∴点Ｐ在第四象限内， ∴点Ｐ的纵坐标为－１， 将ｙ＝－１代入ｙ＝１２ｘ ２－３２ｘ－２中得 １ ２ｘ ２－３２ｘ－２＝－１， 解得ｘ＝ 槡３＋ １７２ （负值已舍去）， ∴满足条件的Ｐ点坐标为（ 槡３＋ １７２ ，－１）； ８分!!!! （３ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） 解 题 关 键 要使 Ａ，Ｃ，Ｑ，Ｂ为顶点的四边形面积最大，已知 △ＡＢＣ的面积是定值，所以当△ＢＣＱ的面积最大 时，四边形 ＡＣＱＢ的面积才能最大，设出点 Ｑ的 坐标，将点Ｑ和点Ｄ的竖直高度ＤＱ用关系式表 示出来，Ｓ△ＣＢＱ＝ １ ２×ＢＯ（点 Ｂ和点 Ｃ之间的水 平宽度）×ＤＱ（点Ｑ和点 Ｄ的竖直高度），ＢＯ是 定值，当ＤＱ最大时，四边形 ＡＣＱＢ的面积最大， 从而求解 如解图，连接 ＣＱ，ＢＱ，过点 Ｑ作 ＱＥ⊥ＡＢ于点 Ｅ，交 ＢＣ于 点Ｄ． 第２３题解图 ∵直线ＢＣ的解析式为 ｙ＝１２ｘ－２，抛物线的解析式为 ｙ＝ １ ２ｘ ２－３２ｘ－２， ∴点Ａ的坐标为（－１，０）， 设点Ｑ（ｔ，１２ｔ ２－３２ｔ－２），则点Ｄ（ｔ， １ ２ｔ－２）． ∴ＱＤ＝ＱＥ－ＤＥ＝ｙＤ－ｙＱ＝ １ ２ｔ－２－ １ ２ｔ ２＋３２ｔ＋２＝－ １ ２ｔ ２＋ ２ｔ＝－１２（ｔ－２） ２＋２（０＜ｔ＜４）， ８分 !!!!!!!!! ∴当ｔ＝２时，ＱＤ有最大值，最大值为２． ∵Ｓ四边形ＡＣＱＢ＝Ｓ△ＡＣＢ＋Ｓ△ＣＢＱ＝ １ ２ＡＢ·ＯＣ＋ １ ２ＯＢ·ＤＱ＝ １ ２×５ ×２＋１２×４×ＤＱ＝５＋２ＱＤ， ∴当ＱＤ最大时，四边形ＡＣＱＢ的面积最大， ∴当点Ｑ的坐标为（２，－３）时，四边形 ＡＣＱＢ的面积最大， 最大值为５＋２×２＝９． １３分                                         !!!!!!!!!!!! ９ 　　　　　　　　　坤卷·数学答题卡　第１页（共６页） 坤卷·数学答题卡　第２页（共６页） 坤卷·数学答题卡　第３页（共６页） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ２０２４年辽宁省初中学业水平考试 坤卷·数学答题卡 姓　　名 　　　　　　　　　　　　　 准考证号 　　　　　　　　　　　　　 考生 禁填 缺考考生，由监考员贴条形码，并 用２Ｂ铅笔填涂右面的缺考标记。 贴条形码区 正确填涂 　　 错误填涂 ［√］［］［—］［●］ 注 意 事 项 １．答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号填写在规定的 位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本人相符并完全正确及 考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。 ２．选择题必须使用２Ｂ铅笔填涂，非选择题必须使用０．５ｍｍ黑色 签字笔作答，字体工整、笔迹清楚。 ３．考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域 范围书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。 ４．保持答题卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 第一部分　选择题（共３０分） 一、选择题（本题共１０小题，每小题３分，共３０分） １　［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ２ ［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ３ ［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ４ ［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ 　　 　　 ５　［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ６ ［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ７ ［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ 　　 　　 ８　［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ９ ［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ １０ ［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ 第二部分　非选择题（共９０分） 二、填空题（本题共５小题，每小题３分，共１５分） １１． 　 １２． １３． １４． １５． 三、解答题（本题共８小题，共７５分．解答应写出文字说明、演算步骤或推 理过程） １６．（１） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （２） １７． １８． 　　 第１８题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第１９题图 １９． 第２０题图 ２０． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 　　　　　　　　　坤卷·数学答题卡　第４页（共６页） 坤卷·数学答题卡　第５页（共６页） 坤卷·数学答题卡　第６页（共６页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第２１题图 ２１． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ２２． 图１ 　　　 图２ 第２２题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第２３题图 ２３． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 坤卷·辽宁数学　第１页（共８页） 坤卷·辽宁数学　第２页（共８页） ２０２４年辽宁省初中学业水平考试 坤卷·数学 （本试卷共２３道题　满分１２０分　考试时间１２０分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分　选择题（共３０分） 一、选择题（本题共１０小题，每小题３分，共３０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） １．３的倒数是 （　　） Ａ．±３　　　　　　　　Ｂ．－３　　　　　　　　Ｃ．３　　　　　　　　Ｄ．１３ ２．２０２４年辽宁经济增长势头强劲，第一季度ＧＤＰ达到了６９１０亿，将６９１０亿用科学记数法表示为 （　　） Ａ．６．９１×１０８ Ｂ．６．９１×１０１０ Ｃ．６．９１×１０１１ Ｄ．０．６９１×１０１２ ３．学校的颁奖台示意图如图所示，它的主视图是 （　　） 第３题图 　　 ４．下列计算结果错误的是 （　　） Ａ．２ａ２＋ａ２＝３ａ２ Ｂ．２ａ２·ａ２＝３ａ４ Ｃ．（２ａ２）３＝８ａ６ Ｄ．６ａ３÷２ａ２＝３ａ ５．如图，已知直线ＡＢ∥ＣＤ，ＥＧ平分∠ＢＥＦ，∠１＝４０°，则∠２的度数是 （　　） 第５题图 Ａ．５４° Ｂ．３６° Ｃ．７２° Ｄ．７０° ６．方程２ｘ２－５ｘ＋４＝０的根的情况是 （　　） Ａ．有两个不相等的实数根 Ｂ．有两个相等的实数根 Ｃ．没有实数根 Ｄ．无法判断 ７．对于反比例函数ｙ＝－３ｘ，下列说法正确的是 （　　） Ａ．图象经过点（１，３） Ｂ．图象关于原点成中心对称 Ｃ．图象位于第一、三象限 Ｄ．当ｘ＞０时，ｙ随ｘ的增大而减小 ８．我国明代《算法统宗》一书中有如下问题：“一支竿子一条索，索比竿子长两托，对折索子来量 竿，却比竿子短一托（一托按照５尺计算）．”大意是现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量 竿，绳索比竿长１０尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短５尺．设竿长ｘ尺，绳索长ｙ尺，根 据题意可列方程组为 （　　） Ａ． ｘ＋１０＝ｙ， ｘ－５＝ｙ{ ２ Ｂ．ｘ＋１０＝ｙ，ｘ－５＝２{ ｙ Ｃ． ｘ＝ｙ＋１０， ｘ－５＝ｙ{ ２ Ｄ．ｘ＋１０＝ｙ，２ｘ－５＝{ ｙ ９．图１是在实验室中常用到一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛放液体物质，可以轻度受热，图２是 该烧瓶的截面图，可近似看作是由⊙Ｏ去掉两个弓形后与矩形ＡＢＣＤ组合成的图形，其中ＢＣ∥ ＭＮ，若⊙Ｏ的半径为２５，ＡＢ＝３６，ＢＣ＝１４，ＭＮ＝３０，则该平底烧瓶的高度为 （　　） Ａ．２０ Ｂ．４０ Ｃ．６０ Ｄ．８０ 图１ 　　 图２ 第９题图 　　　 第１０题图 １０．如图，菱形ＡＢＣＤ的边长为４，∠Ａ＝１２０°，点Ｐ在对角线ＢＤ上，点Ｍ在边ＡＤ上，ＤＭ＝１，点Ｎ 为ＡＢ中点，则ＰＭ＋ＰＮ的最小值为 （　　） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．槡２１ Ｄ．槡５ 第二部分　非选择题（共９０分） 二、填空题（本题共５小题，每小题３分，共１５分） １１．槡 槡９－ １６＝　　　　． 坤卷·辽宁数学　第３页（共８页） 坤卷·辽宁数学　第４页（共８页） １２．如图，在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ的顶点坐标分别是Ａ（１，４），Ｂ（１，２），Ｃ（４，２），现将△ＡＢＣ绕点Ａ 逆时针旋转后，点Ｂ的对应点Ｂ′的坐标为（３，４），则点Ｃ的对应点Ｃ′的坐标为　　　　． 第１２题图 　　　　 第１４题图 １３．某同学将分别印有“我”“爱”“辽”“宁”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中一次 性随机抽取两张，则抽取的两张卡片刚好组成“辽宁”的概率是　　　　． １４．如图，在ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝６，∠ＡＢＣ＝６０°．按以下步骤作图： ①以点Ｂ为圆心，ＡＢ的长为半径作弧，交ＢＣ于点Ｅ； ②分别以点Ａ，Ｅ为圆心，大于１２ＡＥ的长为半径作弧，两弧交于点Ｐ，作射线ＢＰ； ③连接ＡＣ交ＢＰ于点Ｏ． ＯＢ的长为　　　　． １５．抛物线ｙ＝１２ｘ ２－２ｘ－２与ｙ轴交于点Ｂ，已知点Ａ的坐标为（１，０），平移线段ＡＢ得到线段ＤＣ （Ａ平移到Ｄ，Ｂ平移到Ｃ），当点Ｄ，Ｃ都在抛物线上时，直线ＣＤ的解析式为　　　　． 三、解答题（本题共８小题，共７５分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） １６．计算（每题５分，共１０分） （１）２－２＋（３－４）－（－２）÷１２； （２）（ ａａ－１－ １ ａ＋１）（ ２ ａ２＋１ －１）． １７．（本小题８分） 生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．某小区为抓好“园区绿化”，购买了松 树、槐树两种树苗，购买松树树苗花费１２００元，购买槐树树苗花费９００元，松树树苗的单价是 槐树树苗单价的１．５倍，购买松树树苗的数量比购买槐树树苗的数量少１０棵． （１）松树、槐树两种树苗的单价分别是多少元？ （２）为扩大园区绿化面积，该小区准备再购进松树、槐树两种树苗共１００棵，若花费的总金额不 超过１３１４元，则最少购进多少棵槐树树苗？ １８．（本小题８分） ２０２４年全国两会顺利召开，在会议召开期间，有许多热点议题引起民众广泛关注，为了解民众 对“两会信息”的了解情况，对某小区居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点议题的关 键词，分别为Ａ．放心消费；Ｂ．高质量就业；Ｃ．人工智能＋；Ｄ．新兴科技；Ｅ．未来产业．每人只能 从中选一个最关注的议题，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （１）求本次调查所选取的人数，并补全条形统计图； （２）求出扇形统计图中ａ的值及“Ｂ”所对应扇形的圆心角度数； （３）请根据以上信息写出你得到了哪些结论（任写一条即可）． 　　 第１８题图 坤卷·辽宁数学　第５页（共８页） 坤卷·辽宁数学　第６页（共８页） １９．（本小题８分） 某游泳馆为了促销，推出两种优惠活动．活动一：每次游泳费用为７０元，没有其他费用；活动 二：充值５００元，每次游泳费用只需２０元．设游泳ｘ次，花费ｙ元． （１）分别求出两种活动下ｙ与ｘ的函数关系式； （２）如图是两种活动下的ｙ与ｘ的函数图象． ①求点Ｐ的坐标； ②观察函数图象，直接写出哪种消费方式更划算． 　第１９题图 ２０．（本小题８分） 如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｄ为ＡＢ上一点，Ｃ为⊙Ｏ上一点，且ＡＤ＝ＡＣ，延长ＣＤ交⊙Ｏ于点Ｅ， 连接ＣＢ． （１）求证：∠ＣＡＢ＝２∠ＢＣＤ； （２）若∠ＢＣＥ＝１５°，ＡＢ＝６，求ＣＥ的长． 　第２０题图 ２１．（本小题８分） 某小区装修需要安装楼梯扶手，如图所示，这是楼梯横截面示意图，台阶高度均相等，扶手由两 条长度相等的斜杆（Ｍ１Ｍ４和ＡＢ）和四条竖杆（Ｍ１Ａ，Ｍ２Ｎ１，Ｍ３Ｎ２，Ｍ４Ｂ）组成，点Ｎ１和Ｎ２是水平 台阶的中点，△ＡＢＣ为直角三角形，∠ＢＡＣ＝３７°，ＡＢ∥Ｍ１Ｍ４，ＡＣ＝２．４ｍ． （参考数据ｓｉｎ３７°≈０．６０，ｃｏｓ３７°≈０．８０，ｔａｎ３７°≈０．７５） （１）求ＢＣ的长和每节台阶的高度；（结果精确到０．１ｍ） （２）若竖杆ＡＭ１的高度为１ｍ，求安装该楼梯扶手需要材料的长度．（结果精确到０．１ｍ） 　第２１题图 坤卷·辽宁数学　第７页（共８页） 坤卷·辽宁数学　第８页（共８页） ２２．（本小题１２分） 【问题背景】 已知在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝４５°，ＡＢ 槡＝４２，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｐ为射线 ＢＣ上一点，连接 ＡＰ，过点 Ｂ 作ＢＤ⊥ＡＰ交ＡＰ的延长线于点Ｄ，连接ＣＤ． 【操作探究】 （１）如图１，当点Ｐ在线段ＢＣ上（点Ｐ不与点Ｂ，Ｃ重合）时，∠ＣＤＢ的度数是　　　　； （２）如图２，当点Ｐ在点Ｃ的左侧时，过点Ｂ作ＢＥ⊥ＤＣ交ＤＣ的延长线于点Ｅ，过点Ｄ作ＤＦ∥ ＡＣ交直线ＢＥ于点Ｆ，连接ＣＦ．请判断四边形ＡＤＦＣ的形状，并说明理由； 【拓展运用】 （３）在【操作探究】的基础上，当ＣＤ＝１２ＡＰ时，请直接写出ＢＰ的长． 图１ 　　　 图２ 第２２题图 ２３．（本小题１３分） 如图，已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－２与ｘ轴相交于Ａ，Ｂ（４，０）两点，与ｙ轴相交于点Ｃ，对称轴为 直线ｘ＝３２，直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｍ经过Ｂ，Ｃ两点，连接ＡＣ． （１）求抛物线和直线ｌ的解析式； （２）在直线ＢＣ下方的抛物线上存在一点Ｐ，使得△ＰＯＣ是以ＯＣ为底边的等腰三角形，求点Ｐ 的坐标； （３）在直线ＢＣ下方的抛物线上存在一点Ｑ，使得以Ａ，Ｃ，Ｑ，Ｂ为顶点的四边形面积最大，求点 Ｑ的坐标以及此时的最大面积． 第２３题图