全角度考法探究&加练一 一次函数-【一战成名新中考·乾坤卷】2024辽宁中考原创压轴卷（全学科）

乾卷加练答案及解析·辽宁数学 数 学 数学加练 ★全角度考法探究 乾卷第１０题 【拓展１】Ｃ　【解析】过点Ｅ作ＥＦ⊥ＣＤ于点 Ｆ，如解图，当点Ｐ 在线段ＢＣ上移动时，ＥＰ的长度 ｙ随时间 ｘ的增大而增大，到 达Ｃ点时可取得最大值；当点 Ｐ在线段 ＣＦ上移动时，ＥＰ的长 度ｙ随时间 ｘ的增大而减小，当点 Ｐ在线段 ＤＦ上移动时，ＥＰ 的长度ｙ随时间ｘ的增大而增大，到达点 Ｄ时可取得最大值， 故选项Ｂ、Ｃ、Ｄ满足要求；由于线段 ＤＦ与 ＣＦ关于直线 ＥＦ对 称，所以点Ｐ在线段ＣＦ上移动时对应的图象与点Ｐ在线段ＤＦ 上移动时对应的图象必关于某条垂直于 ｘ轴的直线对称，选项 Ｂ与Ｄ中第二段下降趋势的图象与第三段上升趋势的图象明 显不对称，故选Ｃ． 拓展１题解图 【拓展２】Ａ　【解析】当点Ｆ在ＰＤ上运动时，△ＡＥＦ的面积为ｙ ＝１２ＡＥ·ＡＤ＝２ｘ（０≤ｘ≤２），当点 Ｆ在 ＤＱ上运动时，△ＡＥＦ 的面积为ｙ＝１２ＡＥ·ＡＦ＝ １ ２ｘ（６－ｘ）＝－ １ ２ｘ ２＋３ｘ（２＜ｘ≤ ４），故选Ａ． 乾卷第１５题 【拓展１】槡２９　【解析】如解图，过点Ｅ作ＥＨ⊥ＢＣ于点Ｈ， 拓展１题解图 ∴∠ＣＨＥ＝９０°，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∵ＡＢ＝ＢＣ＝６，∴ＡＣ 槡＝６２，∵ 点Ｄ是ＢＣ的中点，∴ＣＤ＝１２ＢＣ＝３，∵ＡＥ 槡＝２，∴ＣＥ＝ＡＣ－ ＡＥ 槡＝５２，∵∠Ｃ＝４５°，∴△ＣＨＥ是等腰直角三角形，∴ＣＨ＝ ＥＨ＝５，∴ＨＤ＝ＣＨ－ＣＤ＝２，∴ 在 Ｒｔ△ＤＨＥ中，ＤＥ＝ ＥＨ２＋ＤＨ槡 ２ 槡＝ ２９． 【拓展２】证明：如解图，过点 Ｅ作 ＥＭ∥ＢＦ交 ＡＢ于点 Ｍ，过点 Ｄ作ＤＮ⊥ＢＣ交ＡＣ于点Ｎ， 拓展２题解图 ∴△ＣＤＮ为等腰直角三角形，∴ＣＤ＝ＮＤ， ∵ＢＤ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝ＤＮ， ∵∠５＋∠ＢＤＥ＝∠６＋∠ＢＤＥ＝９０°，∴∠５＝∠６， 在△ＢＦＤ和△ＮＥＤ中， ＢＤ＝ＮＤ， ∠５＝∠６， ＤＦ＝ＤＥ { ， ∴△ＢＦＤ≌△ＮＥＤ，∴ＢＦ＝ＥＮ，∠３＝∠４， ∵ＥＭ∥ＢＦ，∴∠１＝∠２， ∵点Ｇ是ＥＦ的中点，∴ＧＥ＝ＧＦ， 在△ＥＭＧ和△ＦＢＧ中， ∠１＝∠２， ＧＥ＝ＧＦ， ∠ＭＧＥ＝∠ＢＧＦ { ， ∴△ＥＭＧ≌△ＦＢＧ，∴ＭＥ＝ＢＦ＝ＥＮ， ∵∠２＋∠３＝４５°，∴∠１＋∠４＝４５°， ∴∠ＭＥＮ＝∠１＋∠４＋∠ＦＥＤ＝９０°， ∴∠ＡＥＭ＝９０°，∴△ＡＥＭ是等腰直角三角形， ∴ＡＥ＝ＭＥ＝ＢＦ＝ＥＮ，∴ＢＦ＝１２ＡＮ， ∵ＤＮ⊥ＢＣ，点Ｄ是ＢＣ的中点，∴ＣＮ＝ＡＮ，∴ＢＦ＝１２ＣＮ， 又∵在等腰直角△ＣＤＮ中，ＣＤ＝槡２２ＣＮ，∴ＣＤ 槡＝２ＢＦ； 【拓展３】解：如解图１，取 ＡＣ的中点 Ｔ，连接 ＤＴ，ＢＴ，则△ＢＤＴ 是等腰直角三角形． 拓展３题解图１ ∵∠ＥＤＦ＝∠ＴＤＢ＝９０°，∴∠ＢＤＦ＝∠ＴＤＥ， 在△ＢＤＦ和△ＴＤＥ中， ＤＢ＝ＤＴ， ∠ＢＤＦ＝∠ＴＤＥ， ＤＦ＝ＤＥ { ， ∴△ＢＤＦ≌△ＴＤＥ（ＳＡＳ），∴∠ＤＢＦ＝∠ＤＴＥ＝１３５°， ∴∠ＤＢＦ＋∠ＤＢＴ＝１８０°，∴Ｆ，Ｂ，Ｔ三点共线， ∴点Ｆ在直线ＢＴ上， 如解图２，取ＡＴ的中点Ｑ，连接ＢＱ，作ＦＨ⊥ＢＱ于点Ｈ，ＣＪ⊥ＢＱ 于点Ｊ，交ＢＴ于点Ｒ． 拓展３题解图２ ∵ｔａｎ∠ＦＢＨ＝ＦＨＢＨ＝ ＱＴ ＢＴ＝ １ ２， ∴ＦＨ＝槡５５ＢＦ， ∴ＣＦ＋槡５５ＢＦ＝ＣＦ＋ＦＨ≥ＣＪ， ∴当点Ｆ与点Ｒ重合时，ＣＦ＋槡５５ＢＦ的值最小                                                                   ， ５ 乾卷加练答案及解析·辽宁数学 数 学 在△ＢＴＱ和△ＣＴＲ中， ∠ＢＴＱ＝∠ＣＴＲ， ＢＴ＝ＣＴ， ∠ＱＢＴ＝∠ＲＣＴ { ， ∴△ＢＴＱ≌△ＣＴＲ，∴ＴＲ＝ＱＴ， ∵ＡＢ＝ＢＣ 槡＝４２，∠ＡＢＣ＝９０°， ∴ＡＣ 槡＝２ＡＢ＝８， ∴ＡＴ＝ＣＴ＝ＢＴ＝４， ∴ＱＴ＝ＲＴ＝２， ∴ＢＦ＝ＴＥ＝２， ∴ＣＥ＝２， ∴Ｓ△ＣＥＦ＝ １ ２ＣＥ·ＦＴ＝ １ ２×２×２＝２． 加练一　一次函数 １．      Ｂ 【全角度考法探究１】四 【全角度考法探究２】＞，＜ ２．Ｂ　【解析】∵ｋ＝－５＜０，∴ｙ随 ｘ的增大而减小，又∵点 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）都在一次函数 ｙ＝－５ｘ＋ｍ（ｍ是常数） 的图象上，且ｘ１＞ｘ２，∴ｙ１＜ｙ２．故选Ｂ． ３．Ｄ　【解析】如解图，在图象上分别取横坐标为ｍ（ｍ＜０）的两 个点Ａ和Ｂ，则Ａ（ｍ，ｍｋ２），Ｂ（ｍ，ｍｋ１），∵ｋ１ｍ＜ｋ２ｍ，∴ｋ１＞ ｋ２，当取横坐标 ｍ为正数时，同理可得 ｋ１＞ｋ２，综上所述， ｋ２＜ｋ１＜０，故选Ｄ． 第３题解图 ４．Ｃ　【解析】∵ｙ＝－２ｘ＋４，ｋ＝－２＜０，ｂ＝４＞０，∴图象经过 第一、二、四象限，ｙ随ｘ的增大而减小，故 Ａ，Ｂ不符合题意； 当ｙ＝０时，－２ｘ＋４＝０，解得 ｘ＝２，∴图象与 ｘ轴交于 （２，０），故Ｃ符合题意；当ｘ＝０时，ｙ＝４，∴图象与 ｙ轴交于 （０，４），故Ｄ不符合题意；故选Ｃ． ５．      Ａ 【全角度考法探究１】ｙ＝１５ｘ＋１０ 【全角度考法探究２】Ｃ ６．解：（１）设Ａ种树苗每捆ｘ元，则Ｂ种树苗每捆（ｘ＋６）元， 根据题意，得５ｘ＝４（ｘ＋６），解得ｘ＝２４． ∴ｘ＋６＝３０． 答：Ａ种树苗每捆２４元，Ｂ种树苗每捆３０元； （２）设Ａ种树苗购进 ａ捆，则 Ｂ种树苗购进（１００－ａ）捆，购 进树苗所需费用为ｗ元． 根据题意，得ｗ＝２４ａ＋３０（１００－ａ）＝－６ａ＋３０００． ∵购进Ｂ种树苗的捆数不少于Ａ种树苗捆数的三分之一，两 种树苗总费用不超过２７００元． ∴ １００－ａ≥ １３ａ， －６ａ＋３０００≤２７００{ ，解得５０≤ａ≤７５． ∵－６＜０，∴ｗ随ａ的增大而减小． ∴当ａ＝７５时，ｗ最小，最小值为２５５０． ∴１００－ａ＝２５． 答：Ａ种树苗购进７５捆，Ｂ种树苗购进２５捆，公司所需费用 最少，最少费用是２５５０元． ７．解：（１）由题意得：ｍ＝０，ｙ＝０， ∵ｍ０＝１０，Ｍ＝５０， ∴１０ｌ＝５０ａ， ∴ｌ＝５ａ； （２）由题意得：ｍ＝１０００，ｙ＝５０， ∴（１０＋１０００）ｌ＝５０（ａ＋５０）， ∴１０１ｌ－５ａ＝２５０； （３）由（１）（２）可得 ｌ＝５ａ， １０１ｌ－５ａ＝２５０{ ，解得 ａ＝１２， ｌ＝５２ { ； （４）由（３）可知：ｌ＝５２，ａ＝ １ ２， ∴ ５２（１０＋ｍ）＝５０（ １ ２＋ｙ），∴ｙ＝ １ ２０ｍ． ８．解：（１）一次函数ｙ＝－ｘ＋４， 令ｘ＝０，则ｙ＝４；令ｙ＝０，则ｘ＝４， ∴Ａ（０，４），Ｂ（４，０）； ∵点Ｄ是ＡＢ的中点，∴Ｄ（２，２）， 设直线ＣＤ的函数关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），代入点 Ｄ，点 Ｅ 坐标，则 ６ｋ＋ｂ＝４， ２ｋ＋ｂ＝２{ ，解得 ｋ＝ １ ２， ｂ＝１{ ， ∴直线ＣＤ的函数关系式为ｙ＝１２ｘ＋１； （２）由（１）知直线 ＣＤ的函数关系式为 ｙ＝１２ｘ＋１，令 ｙ＝０， 则ｘ＝－２，∴Ｃ（－２，０），∴ＢＣ＝２＋４＝６， ∴Ｓ△ＤＢＥ＝Ｓ△ＢＣＥ－Ｓ△ＢＣＤ＝ １ ２×６×（４－２）＝６； （３）点 Ｆ的坐标为（２，２）或（－４，２）或（－４，－２）或 （２，－２）．【解法提示】如解图所示，当点 Ｆ在第一象限时，点 Ｆ与点Ｄ重合，即点Ｆ的坐标为（２，２）； 当点Ｆ在第二象限时，点Ｆ的坐标为（－４，２）； 当点Ｆ在第三象限时，点Ｆ的坐标为（－４，－２）； 当点Ｆ在第四象限时，点Ｆ的坐标为（２，－２）． 第８题解图 加练二　反比例函数 １．３（答案不唯一）． ２．＞　【解析】∵ｋ＝３＞０，∴反比例函数ｙ＝３ｘ的图象在第一、 三象限，且在每一个象限内ｙ随ｘ的增大而减小，∵ｘ１＜ｘ２＜ ０，∴ｙ１＞ｙ２． ３．Ｃ ４．１　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴ＡＣ⊥ＢＤ，∵ＢＤ∥ｘ轴， ∴四边形 ＢＯＣＥ是矩形，∵菱形 ＡＢＣＤ面积为２，∴Ｓ△ＢＣＥ＝ １ ２，∴Ｓ四边形ＢＯＣＥ＝２Ｓ△ＢＣＥ＝１，∵点 Ｅ在反比例函数 ｙ＝ ｋ ｘ                                                                       的 ６ 乾卷加练·辽宁数学 数 学 　　 　 数学加练 　　　　　★全角度考法探究 乾卷第１０题 已知正方形ＡＢＣＤ，ＡＢ＝４． 【拓展１】如图，点Ｅ是ＡＢ的中点，动点Ｐ从点 Ｂ开始，沿着边 ＢＣ，ＣＤ匀速运动到点 Ｄ处，设 点Ｐ运动的时间为ｘ，ＥＰ＝ｙ，那么能表示ｙ与ｘ 的函数关系的图象大致是 （　　） 拓展１题图 　　　　 拓展２题图 【拓展２】如图，点 Ｐ，Ｑ分别是 ＣＤ，ＡＤ的中点， 动点Ｅ从点 Ａ向点 Ｂ运动，到点 Ｂ时停止运 动；同时，动点 Ｆ从点 Ｐ出发，沿 Ｐ→Ｄ→Ｑ运 动，点 Ｅ，Ｆ的运动速度相同．设点 Ｅ的运动路 程为ｘ，△ＡＥＦ的面积为 ｙ，能大致刻画 ｙ与 ｘ 的函数关系的图象是 （　　） 乾卷第１５题 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ，点 Ｄ是 ＢＣ的中点，Ｅ 为ＡＣ边上任意一点，连接ＤＥ，将线段ＤＥ绕点 Ｄ逆时针旋转９０°得到线段ＤＦ，连接ＥＦ，交ＡＢ 于点Ｇ． 【拓展１】如图，若 ＡＢ＝６，ＡＥ 槡＝２，则 ＥＤ的长 为　　　　； 拓展１题图 【拓展２】如图，若点Ｇ恰好是ＥＦ的中点，连接 ＢＦ，求证：ＣＤ 槡＝２ＢＦ； 拓展２题图 【拓展３】如图，若ＡＢ 槡＝４２，连接ＢＦ，ＣＦ，当ＣＦ ＋槡５５ＢＦ取得最小值时，求Ｓ△ＣＥＦ的值． 拓展３题图                                                                 １２ 乾卷加练·辽宁数学 数 学 加练一　一次函数 ◆一次函数的图象与性质 １．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象如图所示，则一次 函数ｙ＝－ｂｘ＋ｋ的图象大致是 （　　） 第１题图                           【全角度考法探究１】已知一次函数ｙ＝ｋｘ＋ ｂ（ｋ≠０）的图象如题图所示，则ｙ＝ｂｘ－ｋ的 图象一定不经过第　　　　象限； 【全角度考法探究２】若一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ （ｋ≠０）的图象经过第一、三、四象限，则 ｋ　　　　０，ｂ　　　　０（填“＞”“＜”或 “＝”）． ２．在平面直角坐标系中，一次函数ｙ＝－５ｘ＋ｍ （ｍ是常数）的图象上有两点 Ａ（ｘ１，ｙ１）， Ｂ（ｘ２，ｙ２），若ｘ１＞ｘ２，则 ｙ１与 ｙ２的大小关系 是 （　　） Ａ．ｙ１＞ｙ２　　　　　　Ｂ．ｙ１＜ｙ２ Ｃ．ｙ１＝ｙ２ Ｄ．ｙ１≥ｙ２ ３．（跨学科）如图表示光从空气进入水中前、后 的光路图，若按如图所示建立平面直角坐标 系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达 式分别为ｙ１＝ｋ１ｘ，ｙ２＝ｋ２ｘ，则关于ｋ１与ｋ２的关 第３题图 系，正确的是 （　　） Ａ．ｋ２＜０＜ｋ１ Ｂ．ｋ１＜０＜ｋ２ Ｃ．ｋ１＜ｋ２＜０ Ｄ．ｋ２＜ｋ１＜０ ４．关于一次函数ｙ＝－２ｘ＋４，下列说法不正确 的是 （　　） Ａ．图象不经过第三象限 Ｂ．ｙ随着ｘ的增大而减小 Ｃ．图象与ｘ轴交于（－２，０） Ｄ．图象与ｙ轴交于（０，４） ◆一次函数的实际应用 ５．有一个装有水的容器，如图所示，注水之前容 器内有少量水，现向容器内注水，并同时开始 计时，在注水过程中，水面高度匀速增加，则 容器注满水之前，将容器内的水面高度 ｙ（ｃｍ）与时间ｘ（秒）记录如表，则★的值是 （　　） ｘ／秒 ５ １０ ２５ ３０ ｙ／ｃｍ １１ １２ １５ ★ 第５题图 Ａ．１６　　　Ｂ．１７　　　Ｃ．１８　　　Ｄ．                １９ 【全角度考法探究１】已知容器内的水面高 度ｙ（ｃｍ）与时间 ｘ（秒）满足一次函数关系 式，则根据表格中的数据，可推出 ｙ与 ｘ之 间的函数关系式为　　　　                                                                   ． ２２ 乾卷加练·辽宁数学 数 学                                                             【全角度考法探究２】如图是两圆柱形连通 容器的截面图，向甲容器匀速注水，下面可 以近似地刻画甲容器的水面高度ｈ（ｃｍ）随 时间ｔ（ｍｉｎ）的变化情况的图形是 （　　） 题图 ６．某苗圃基地新培育Ａ，Ｂ两种树苗，其中Ａ种 树苗每捆的价格比Ｂ种树苗每捆的价格便宜 ６元；售出 Ａ种树苗５捆和 Ｂ种树苗４捆的 销售额相同． （１）求Ａ，Ｂ两种树苗每捆的价格； （２）某公司准备购进两种树苗共１００捆，用于 绿化单位环境．要求购进 Ｂ种树苗的捆 数不少于 Ａ种树苗捆数的三分之一，两 种树苗总费用不超过２７００元．问如何设 定购进方案，公司所需费用最少？最少 费用是多少？ ７．【综合与实践】 常言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起 天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆 原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动 手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方 案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使 杆秤平衡，根据杠杆原理推导得： （ｍ０＋ｍ）·ｌ＝Ｍ·（ａ＋ｙ）．其中秤盘质量 ｍ０克，重物质量ｍ克，秤砣质量Ｍ克，秤纽与 秤盘的水平距离为 ｌ厘米，秤纽与零刻线的 水平距离为 ａ厘米，秤砣与零刻线的水平距 离为ｙ厘米． 【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定ｍ０＝１０，Ｍ＝５０，最 大可称重物质量为１０００克，零刻线与末刻线 的距离定为５０厘米． 任务一：确定ｌ和ａ的值． （１）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤 平衡，请列出关于ｌ，ａ的方程； （２）当秤盘放入质量为１０００克的重物，秤砣 从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列 出关于ｌ，ａ的方程； （３）根据（１）和（２）所列方程，求出 ｌ和 ａ 的值． 任务二：确定刻线的位置． （４）根据任务一，求ｙ关于ｍ的函数解析式． 第７题图                                                                       ３２ 乾卷加练·辽宁数学 数 学 ◆几何动态下的函数图象分析与判断 ８．如图，一次函数 ｙ＝－ｘ＋４的图象与 ｙ轴交 于点Ａ，与 ｘ轴交于点 Ｂ，过 ＡＢ中点 Ｄ的直 线ＣＤ交 ｘ轴于点 Ｃ，且经过第一象限的点 Ｅ（６，４）． （１）求Ａ，Ｂ两点的坐标及直线ＣＤ的函数关 系式； （２）连接ＢＥ，求△ＤＢＥ的面积； （３）连接ＤＯ，在坐标平面内找一点Ｆ，使得以 点Ｃ，Ｏ，Ｆ为顶点的三角形与△ＣＯＤ全 等，请直接写出点Ｆ的坐标． 第８题图 　 备用图                                                                       ４２