高二数学期末模拟卷（沪教版2020，测试范围：选择性必修第1-8章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学下学期期末模拟卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 年龄不超过 40 岁 年龄超过 40 岁 合计 是微短剧消费者 30 45 不是微短剧消费者 合计 100 200 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18 分） 21．（18 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修,第1-8章。 5．难度系数：0.78。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．与的等差中项为 . 2．已知空间向量，则 在 上的投影向量的坐标是 3．焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为 . 4．在研究线性回归模型时， 样本数据（，，，，）所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则 . 5．已知圆的周长为，则实数的值为 . 6．函数的驻点为 . 7．若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时， . 8．甲，乙两位同学去四个不同的场馆参加志愿者活动，每人选2个场馆去服务，在他们的所有选法中，恰有一个场馆相同的概率为 ． 9．若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 10．已知随机变量的分布列为：，若，且，则 . 11．栱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为 ． 12．若数列满足，则称数列为“k阶相消数列”.已知“2阶相消数列”的通项公式为，记，，，则当 时，取得最小值 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知直线，直线，则是直线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 14．的展开式中常数项为（    ） A． B． C．5 D．10 15．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）． A．函数在点处的切线斜率小于零 B．函数在区间上严格增 C．函数在处取得极大值 D．函数在区间内至多有两个零点 16．已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（    ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点． (1)求证: 平面平面； (2)当为中点时， 求二面角的正弦值． 18．已知等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)若等比数列的公比为，且满足，求数列的前项和． 19．随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径．某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 45 不是微短剧消费者 合计 100 200 (1)补全列联表，并根据显著性水平的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？ (2)记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模（单位：亿元）与的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m 根据上表数据求得关于的经验回归方程为，求表中m的值，并求相关系数，判断该经验回归方程是否有价值． 参考公式：，其中，． 回归方程，其中，相关系数．若，则认为经验回归方程有价值． 20．在平面直角坐标系中，椭圆方程为．已知椭圆的长轴长为，离心率为，，分别是椭圆左、右焦点，直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆方程； (2)若直线是圆的任意一条切线，求的值； (3)若直线不经过左焦点，设焦点到直线的距离为，如果直线，，的斜率依次成等差数列，求的取值范围. 21．已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，证明：线段上的所有点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修,第1-8章。 5．难度系数：0.78。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．与的等差中项为 . 【答案】 【分析】设与的等差中项为，根据等差中项的定义得到方程，解得即可. 【解析】设与的等差中项为， 则，解得， 所以与的等差中项为. 故答案为： 2．已知空间向量，则 在 上的投影向量的坐标是 【答案】 【分析】根据投影向量的定义即可求解. 【解析】 在 上的投影向量为， 故答案为： 3．焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】由题意确定可得，进而求得标准方程. 【解析】由焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 由焦距为可得，解得； 又椭圆经过点，故，所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 4．在研究线性回归模型时， 样本数据（，，，，）所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则 . 【答案】 【分析】根据线性相关系数的定义直接得解. 【解析】由已知样本数据（，，，，）所对应的点均在直线上， 则， 又， 所以满足负相关， 即， 故答案为：. 5．已知圆的周长为，则实数的值为 . 【答案】-3 【分析】由周长求出圆的半径，从而根据半径得到方程，求出实数的值. 【解析】设圆的半径为r，则由题意，故， 将圆一般式化为标准式得， 则. 故答案为：-3 6．函数的驻点为 . 【答案】1 【分析】求出导函数，由解确定结果． 【解析】 由得， 时，，时，，因此是函数的驻点． 故答案为：1． 7．若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时， . 【答案】/ 【分析】根据题意，由条件可得，再结合基本不等式即可得到当取最小值的条件，即可得到结果. 【解析】因为直线经过点，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为， 此时，则. 故答案为：. 8．甲，乙两位同学去四个不同的场馆参加志愿者活动，每人选2个场馆去服务，在他们的所有选法中，恰有一个场馆相同的概率为 ． 【答案】 【分析】根据排列组合及古典概型的有关知识即可求解. 【解析】甲，乙两位同学去四个不同的场馆参加志愿者活动，每人选2个场馆去服务，共有种情况， 恰有一个场馆相同共有种情况， 所以在他们的所有选法中，恰有一个场馆相同的概率为. 故答案为：. 9．若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求得双曲线的渐近线方程，由双曲线与直线有公共点，应有渐近线的斜率，再由离心率，可得的范围． 【解析】双曲线的渐近线方程为， 由双曲线与直线有交点，则有， 所以， 则双曲线的离心率的取值范围为． 故答案为：． 10．已知随机变量的分布列为：，若，且，则 . 【答案】5 【分析】先由概率之和为，求出，根据离散型随机变量的期望公式求出，再由方差的公式求出，最后根据方差的性质，即可求出结果. 【解析】由随机变量分布列的性质，得，解得， ，， ， ，. 故答案为：5 11．栱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为 ． 【答案】 【分析】先建立平面直角坐标系，再设直线方程并联立，得到点坐标关系，结合三角形面积公式，将面积之比转化为高之比，最后求解直线斜率可得结论 【解析】分别以直线为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线方程为，则焦点， 设直线，，， 联立，可得， 则，． 因为，所以． 则，， 则， 即，解得， 结合图象可得，则， 因为直线与直线的夹角与直线的倾斜角互余，且， 所以直线与直线的夹角的正切值为． 故答案为： 12．若数列满足，则称数列为“k阶相消数列”.已知“2阶相消数列”的通项公式为，记，，，则当 时，取得最小值 【答案】2020 【分析】由可求出周期， 对变形可求得，从而求得，得到的前三项，分析的正负情况，可得时为负值，对此时的的求表达式可得，最大时有最小值. 【解析】由已知得 故 故，的周期为3 设，其中，故的周期为3 由题意有 由和差化积公式有 故 因此 若，不存在这样的对任意恒成立，故舍 则 ，， 由三倍角公式有 故，当时，； 当时，； 当时，. 时， ，故，此时最小，此时 故答案为：2020 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知直线，直线，则是直线的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】充分性与必要性分析即可. 【解析】充分性：若，则，则直线，充分性满足； 必要性：若直线，则， 当时，不成立，则必要性不满足, 所以是直线的充分不必要条件. 故选：A 14．的展开式中常数项为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】A 【分析】求出展开式的通项，再结合积中的指数情况列式计算得解. 【解析】展开式的通项， 显然，则当，即时，， 所以的展开式中常数项为. 故选：A 15．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）． A．函数在点处的切线斜率小于零 B．函数在区间上严格增 C．函数在处取得极大值 D．函数在区间内至多有两个零点 【答案】D 【分析】根据导函数的图象，结合函数的切线斜率、单调性、极值、零点与导数的关系逐项判断即可得结论. 【解析】选项A:曲线在点处的切线斜率等于零，故A错误； 选项B:函数在区间上单调递减，故B错误； 选项C:函数在左右两侧都单调递减，函数在此处不取得极大值，故C错误； 选项D:函数在区间先单调递增，再单调递减，故在区间内内至多有两个零点，故D正确． 故选：D． 16．已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（    ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】对于①，注意到， 则可想到当时满足题意；对于②，设， 则，后由可得，利用三角函数知识可得，据此可判断命题正误. 【解析】 ，则当时，，， ， 即当时，恒成立，则①是真命题； 设， 则， 又， 则. 因， 则， 则，令， 则， 即， 则 ，其中， ，则， 因，则 ， 则， 则，故②是真命题. 故选：A. 【点睛】关键点睛：对于命题①，关键为注意到； 对于命题②，难点在于确定的范围，为此首先将看作整体，随后将从相关等式中分离出来，最后利用三角函数的值域确定范围. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点． (1)求证: 平面平面； (2)当为中点时， 求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正方形的性质得到，又由线面垂直的性质得到，即可得到平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得. 【解析】（1）底面是正方形，， 平面，平面， ，又，，平面， 平面，又平面， 平面平面． （2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 设平面的法向量为，则，取， 设二面角为，由图可知二面角为锐二面角， 所以， 所以，即二面角的正弦值为. 18．已知等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)若等比数列的公比为，且满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列前项和公式计算，结合，可求得公差，继而可求得通项公式；（2）根据等差等比数列的通项公式及前项和公式进行计算即可. 【解析】（1）设等差数列的公差为， 又因为，且， 所以，故． 所以． （2）由（1）可知，，又，所以． 因为，可得， 所以， ． 19．随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径．某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 45 不是微短剧消费者 合计 100 200 (1)补全列联表，并根据显著性水平的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？ (2)记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模（单位：亿元）与的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m 根据上表数据求得关于的经验回归方程为，求表中m的值，并求相关系数，判断该经验回归方程是否有价值． 参考公式：，其中，． 回归方程，其中，相关系数．若，则认为经验回归方程有价值． 【答案】(1)列联表见解析，有关联； (2)，，有价值； 【分析】（1）先补全列联表，再计算卡方，根据独立性检验原则即可判断； （2）根据回归直线过样本点中心可求得，再根据相关系数公式求得，从而可判断. 【解析】（1）补全列联表如下： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 15 45 不是微短剧消费者 70 85 155 合计 100 100 200 假设“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”无关联， 因为， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05． （2）由x的取值依次为1，2，3，4，5，可得， 因为经验回归方程为，可得， 则，求得， 所以， 所以，， 所以， 因为，所以该经验回归方程有价值． 20．在平面直角坐标系中，椭圆方程为．已知椭圆的长轴长为，离心率为，，分别是椭圆左、右焦点，直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆方程； (2)若直线是圆的任意一条切线，求的值； (3)若直线不经过左焦点，设焦点到直线的距离为，如果直线，，的斜率依次成等差数列，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，即可求椭圆方程； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，根据直线与椭圆相交，以及直线与圆相切的条件，求的值； （3）首先利用坐标表示直线和的斜率，根据斜率成等差数列，列式得到，整理后代入韦达定理得到，根据条件得，，结合韦达定理了，以及点到直线的距离公式，即可求解. 【解析】（1）由题意可得，椭圆的长轴长为，即有，即，又，解得，即有椭圆的标准方程为； （2）圆，设，则. 直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论： ①当直线的斜率不存在时，直线. 若，由，解得，此时. 若，同理得：. ②当直线的斜率存在时，设.    由，得，① ，又直线是圆的切线， 故，可得，恒成立， 又，而， ，即. 综上，恒有. （3）分别是椭圆的左、右焦点，可得， 则，②， 由直线的斜率依次成等差数列， 可得， 所以有， 化简井整理得: 假设，则直线的方程为:，即直线经过点，不符合条件， 则，    由方程（1）及韦达定理可知:，则，③ 由②③可知，，化简得:，这等价于:， 反正，当满足③及时，直线必不经过（否则将导致，与③矛盾）， 而此时满足②，从而直线1与椭圆有两个不同的交点 同时也保证了的斜率存在（否则中的某一个为-1， 结合可知，与方程①有两个不同的实根矛盾） 记点到直线的距离为，则 ，注意到， 令，则，从而④式可改写为:， 考虑到函数在上单调递减，则. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标，结合韦达定理表示条件中的几何关系，尤其是第三问，利用，表示的不等式关系. 21．已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，证明：线段上的所有点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 【答案】(1)点具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，然后写出经过的切线方程，将代入求解，即可判断； （2）设，然后写出经过的切线方程，按是否在分类讨论，代入切线方程，得到关于的方程，证明其有解即可； （3）设，然后写出经过的切线方程，然后按照充分必要性的推出关系，分别证明即可. 【解析】（1）点具有性质，理由如下： 设，因为， 所以曲线在点Q处的切线方程为：， 将点坐标代入，得：，所以或2 即函数的图像上存在与P不同的一点， 使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，故点具有性质； （2）证明： 设 函数的图像在Q处的切线方程为：① 当时，点P在函数的图像上， 将代入①式，得：② 令，则 所以关于q的方程②必有实数解，且 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质； 当时，点P不在函数的图像上， 将代入①式，得：③ 令，则 所以当时，关于q的方程③必有解， 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质， 综上所述，线段上的所有点均具有性质； （3）证明：设， 函数的图像在Q处的切线方程为： 必要性：若点具有性质，则点应满足方程 令，则由，得：， 当时，，当时，， 故函数在时取得最小值 因为P与Q是不相同的点，所以点P的横坐标，因此， 即. 充分性：当时，令 对于函数，当q趋向时，趋向， 又，故关于q的方程必然有解， 即存在点使得直线PQ是函数的图像的切线， 所以点具有性质 综上所述，“点具有性质”的充要条件是“”. 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 ． ____________________ 2 ． ____________________ 3． ____________________ 4 ． ____________________ 5． ___ _________________ 6 ． ____________________ 7． ____________________ 8 ． ____________________ 9． ____________________ 10 ． ____________________ 11． ____________________ 12 ． ____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第1 3-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（14分） 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 45 不是微短剧消费者 合计 100 200 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修,第1-8章。 5．难度系数：0.78。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．与的等差中项为 . 2．已知空间向量，则 在 上的投影向量的坐标是 3．焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为 . 4．在研究线性回归模型时， 样本数据（，，，，）所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则 . 5．已知圆的周长为，则实数的值为 . 6．函数的驻点为 . 7．若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时， . 8．甲，乙两位同学去四个不同的场馆参加志愿者活动，每人选2个场馆去服务，在他们的所有选法中，恰有一个场馆相同的概率为 ． 9．若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 10．已知随机变量的分布列为：，若，且，则 . 11．栱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为 ． 12．若数列满足，则称数列为“k阶相消数列”.已知“2阶相消数列”的通项公式为，记，，，则当 时，取得最小值 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知直线，直线，则是直线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 14．的展开式中常数项为（    ） A． B． C．5 D．10 15．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）． A．函数在点处的切线斜率小于零 B．函数在区间上严格增 C．函数在处取得极大值 D．函数在区间内至多有两个零点 16．已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（    ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点． (1)求证: 平面平面； (2)当为中点时， 求二面角的正弦值． 18．已知等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)若等比数列的公比为，且满足，求数列的前项和． 19．随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径．某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 45 不是微短剧消费者 合计 100 200 (1)补全列联表，并根据显著性水平的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？ (2)记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模（单位：亿元）与的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m 根据上表数据求得关于的经验回归方程为，求表中m的值，并求相关系数，判断该经验回归方程是否有价值． 参考公式：，其中，． 回归方程，其中，相关系数．若，则认为经验回归方程有价值． 20．在平面直角坐标系中，椭圆方程为．已知椭圆的长轴长为，离心率为，，分别是椭圆左、右焦点，直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆方程； (2)若直线是圆的任意一条切线，求的值； (3)若直线不经过左焦点，设焦点到直线的距离为，如果直线，，的斜率依次成等差数列，求的取值范围. 21．已知函数，P为坐标平面上一点．若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数在点Q处的切线，则称点P具有性质． (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，证明：线段上的所有点均具有性质； (3)若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3． 4． 5．-3 6．1 7． 8． 9． 10．5 11． 12．2020 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 A A D A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）底面是正方形，， 平面，平面， ，又，，平面， （2分） 平面， （4分） 又平面， 平面平面． （6分） （2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，，， （8分） 设平面的法向量为，则，取， 设平面的法向量为，则，取， （10分） 设二面角为，由图可知二面角为锐二面角， 所以， 所以，即二面角的正弦值为. （14分） 18．（1）设等差数列的公差为， 又因为，且， （2分） 所以，故． （4分） 所以． （6分） （2）由（1）可知，，又，所以． 因为，可得， （8分） 所以， ． （14分） 19．（1）补全列联表如下： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 15 45 不是微短剧消费者 70 85 155 合计 100 100 200 （2.5分） 假设“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”无关联， 因为， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05． （6分） （2）由x的取值依次为1，2，3，4，5，可得， （7分） 因为经验回归方程为，可得， （8分） 则，求得， （9分） 所以， 所以，， 所以， 因为，所以该经验回归方程有价值． （14分） 20．（1）由题意可得，椭圆的长轴长为，即有，即，又，解得，即有椭圆的标准方程为； （4分） （2）圆，设，则. 直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论： ①当直线的斜率不存在时，直线. 若，由，解得，此时. 若，同理得：. ②当直线的斜率存在时，设.    由，得，① ，又直线是圆的切线， 故，可得，恒成立， 又，而， ，即. 综上，恒有. （10分） （3）分别是椭圆的左、右焦点，可得， 则，②， 由直线的斜率依次成等差数列， 可得， 所以有， 化简井整理得: 假设，则直线的方程为:，即直线经过点，不符合条件， 则，    由方程（1）及韦达定理可知:，则，③ 由②③可知，，化简得:，这等价于:， 反正，当满足③及时，直线必不经过（否则将导致，与③矛盾）， 而此时满足②，从而直线1与椭圆有两个不同的交点 同时也保证了的斜率存在（否则中的某一个为-1， 结合可知，与方程①有两个不同的实根矛盾） 记点到直线的距离为，则 ，注意到， 令，则，从而④式可改写为:， 考虑到函数在上单调递减，则. （18分） 21．（1）点具有性质，理由如下： 设，因为， 所以曲线在点Q处的切线方程为：， 将点坐标代入，得：，所以或2 即函数的图像上存在与P不同的一点， 使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，故点具有性质； （4分） （2）证明： 设 函数的图像在Q处的切线方程为：① 当时，点P在函数的图像上， 将代入①式，得：② 令，则 所以关于q的方程②必有实数解，且 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质； 当时，点P不在函数的图像上， 将代入①式，得：③ 令，则 所以当时，关于q的方程③必有解， 故函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数图像在点Q处的切线，即点具有性质， 综上所述，线段上的所有点均具有性质； （10分） （3）证明：设， 函数的图像在Q处的切线方程为： 必要性：若点具有性质，则点应满足方程 令，则由，得：， 当时，，当时，， 故函数在时取得最小值 因为P与Q是不相同的点，所以点P的横坐标，因此， 即. 充分性：当时，令 对于函数，当q趋向时，趋向， 又，故关于q的方程必然有解， 即存在点使得直线PQ是函数的图像的切线， 所以点具有性质 综上所述，“点具有性质”的充要条件是“”. （18分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$