期末真题必刷易错117题（44个考点专练）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北京版2024）

期末真题必刷易错84题（44个考点专练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 不等式的相关概念 · 题型二 不等式的基本性质 · 题型三 一元一次不等式相关概念 · 题型四 一元一次不等式的解集 · 题型五 求一元一次不等式的整数解 · 题型六 列一元一次不等式 · 题型七 用一元一次不等式解决实际问题 · 题型八 一元一次不等式组相关概念 · 题型九 一元一次不等式组的解集 · 题型十 一元一次不等式组的含参问题 · 题型十一 不等式组和方程组结合 · 题型十二 不等式组的实际应用 · 题型十三 二元一次方程相关概念 · 题型十四 二元一次方程组相关概念 · 题型十五 二元一次方程组解法 · 题型十六 已知二元一次方程组的解求参数 · 题型十七 三元一次方程组的相关概念 · 题型十八 二元一次方程组的实际应用 · 题型十九 二元一次方程组的新定义问题 · 题型二十 整式的加减 · 题型二十一 同底数幂乘法 · 题型二十二 积的乘方 · 题型二十三 幂的乘方 · 题型二十四 单项式乘法 · 题型二十五 多项式乘法 · 题型二十六 多项式乘多项式与图形面积 · 题型二十七 多项式乘法的化简求值 · 题型二十八 多项式乘法中的规律性计算 · 题型二十九 乘法公式 · 题型三十 乘法公式与几何图形 · 题型三十一 乘法公式的变形求值 · 题型三十二 同底数幂的除法 · 题型三十三 零指数幂与负整数指数幂 · 题型三十四 整式混合运算 · 题型三十五 概念与抽象 · 题型三十六 命题与猜想 · 题型三十七 演绎与证明 · 题型三十八 因式分解相关概念 · 题型三十九 公式法因式分解 · 题型四十 十字相乘法 · 题型四十一 分组分解法 · 题型四十二 因式分解的应用 · 题型四十三 数据的收集、整理与描述 · 题型四十四 平均数、众数和中位数 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组 1．（24-25七年级下·北京·期中）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键：①不等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐个选项进行判断，即可解答． 【详解】解：A、若，根据不等式的性质①得，，原变形不成立，故本选项不符合题意； B、若，根据不等式的性质②得，，原变形不成立，故本选项不符合题意； C、若，根据不等式的性质③得，，原变形成立，故本选项符合题意； D、若，令，，得，原变形不成立，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，天平右盘中每个砝码的质量都是，则物体A的质量的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用数轴表示不等式的取值范围，根据天平的图片得到的取值范围，在数轴上表示的取值，问题得解． 【详解】解：由图可知，， ∴的取值范围在数轴上表示如图： 故选：A． 3．（24-25七年级下·北京·期中）关于x的不等式组恰好有5个整数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键． 分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有5个，即可得到的范围． 【详解】解：， 由①解得：， 由②解得：， 故不等式组的解集为， 由不等式组的整数解有5个，得到整数解为2，3，4，5，6， ∴， 则的范围为．， 故选：A． 4．（24-25七年级下·北京·期中）根据不等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质．利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：若，则，则选项A不符合题意， 若，则，则选项B不符合题意， 若，则，则选项C不符合题意， 若，则，则选项D符合题意， 故选：D． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共个，购买资金不超过元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球元，每个排球元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一元一次不等式组的实际应用，解题关键是理解不超过为小于等于，不少于为大于等于． 设购买篮球个，则购买排球个，再结合题意列出不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买排球个， 由购买资金不超过元，可得， 由购买篮球的数量不少于排球数量的一半，可得， 则可列不等式组为． 故选：． 6．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）小毓准备用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i组有首，； ②每组诗词背诵三遍，具体背诵时间安排如下表： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 第3组 第4组 ③每天最少背诵3首，最多背诵13首． 7天后，小毓背诵的诗词最多为（   ） A．20首 B．21首 C．22首 D．23首 【答案】B 【分析】根据表格及题意可得第2天、第3天、第4天、第5天的背诵最多的诗词，然后根据不等式的关系可进行求解．本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握不等式的性质与求法是解题的关键． 【详解】解：由表格及题可得： ∵每天最少背诵3首，最多背诵13首， ∴由第2天、第3天、第4天、第5天可得： ①，②，③，④， 得：， ∴， ∴， ∴7天后，小毓背诵的诗词最多为21首； 故选B． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）一批火龙果的进价是每千克10元，在销售中估计有的正常损耗，商家要想获得至少的利润，那么这批火龙果的售价至少为每千克（    ） A．15元 B．14元 C．13元 D．12元 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设这批火龙果的售价为每千克元，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：设这批火龙果的售价为每千克元， 由题意可得：， 解得：， ∴这批火龙果的售价至少为每千克15元， 故选：A． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元一次不等式组的整数解．先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，求出实数a的取值范围． 【详解】解：解不等式， 得：， 解不等式， 得：， ∵不等式组恰有三个整数解， ∴这三个整数解为0、1、2， ∴， 解得， 故选：B． 9．（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）当时，对于每一个x的值，关于x的不等式总成立，则n的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，先解有关的不等式，再根据恒成立求有关的不等式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∵当时，对于每一个x的值，关于x的不等式总成立， ∴， 解得， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·四川成都·期末）如果关于的不等式组有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出的取值范围．先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有个整数解可以是，，，，，即可得到，解得，可以求得满足条件的整数的值，然后求出其和即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有个整数解， 这个整数解是，，，，， ， 解得：， 满足条件的整数的值为，，， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·北京·期中）若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，先求出，则，再结合关于x的不等式组有且只有2个整数解，故，即可作答． 【详解】解：解不等式，得 ∴关于x的不等式组的解集是， ∵关于x的不等式组有且只有2个整数解， ∴． 故答案为： 13．（24-25九年级下·北京·阶段练习）某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示． 尺寸 数量（个） 款式 大 中 小 A 8 15 25 B 0 10 20 烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品，某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品． （1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用 次； （2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为 元． 【答案】 2 135 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据需要生产10个大尺寸陶艺品，A款电热窑每次烧制8个大尺寸陶艺品，B款电热窑每次烧制0个大尺寸陶艺品即可得到答案； （2）要使成本最低，则在保证能够完成烧制任务的前提下，A款电热窑的使用次数要保证使用次数最少，且B款电热窑的使用次数也要最少，据此求解即可． 【详解】解：（1）设烧制这批陶艺品，A款电热窑使用了x次， 根据题意，得， 则， ∵x为正整数，x的最小值为2， ∴烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用2次， 故答案为：2； 解：（2）∵A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元， ∴要使成本最低，则在保证能够完成烧制任务的前提下，A款电热窑的使用次数要保证使用次数最少，且B款电热窑的使用次数也要最少； 当A款电热窑的使用次数为2次时，则可以烧制10个大尺寸陶艺品，个中尺寸陶艺品，个小尺寸陶艺品， ∴在此种情形下，只需要B款电热窑的使用次数1次即可完成任务， ∴烧制这批陶艺品成本最低为， 故答案为：135． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据得变形为，得到解集为，根据不等式的解集为，得到，解答即可． 本题考查了解不等式，根据不等式的解集求参数，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴变形为， 解得， 不等式的解集为， ∴， 解得． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如，，，则满足的x最大整数值为 ． 【答案】55 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据新定义列出不等式是解题的关键． 先根据表示不大于x的最大整数，列出不等式组，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵表示不大于x的最大整数，， ∴， 解得：， ∴x的最大整数值为55． 故答案为：55． 16．（24-25七年级下·全国·随堂练习）某水果店以每千克元的价格购进千克橙子，且购进的橙子有的损耗，如果销售完这批橙子后该水果店获得了不少于元的利润，那么橙子每千克的售价至少为 元． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，利用不等式的性质解答． 由“”根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得售价的最小值． 【详解】解：设橙子每千克的售价至少为元， 依题意得： 解得： 即橙子每千克的售价至少为元． 故答案为：． 17．（23-24七年级下·四川资阳·阶段练习）已知整数x满足不等式和，且满足方程，代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后确定出整数x的值，代入方程求出a的值，然后代入代数式进行计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵x为整数， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 18．（24-25七年级下·北京·期中）解不等式（组） (1)解不等式； (2)解不等式组 ，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1)原不等式的解集为： (2)原不等式组的解集为，解集表示在数轴上见详解 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上，掌握不等式的性质，解集表示在数轴上的方法是关键． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，结合不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质分别得到一元一次不等式的解集，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴原不等式的解集为：； （2）解： ， 解①得，， 解②得，， ∴原不等式组的解集为， 解集表示在数轴上如图所示， 19．（2025九年级下·北京·专题练习）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 20．（24-25七年级下·北京·期中）解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的正整数解是1，2． 【分析】本题考查解不等式组与不等式组的正整数解，掌握解不等式组的一般步骤是解题的关键． 先解每个一元一次不等式，再取公共部分得不等式组的解集，最后根据不等式组的解集写出所有正整数解． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是， 则不等式组的正整数解是1，2． 21．（24-25七年级下·北京·期中）（1）解不等式，并写出它的所有负整数解； （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），不等式的负整数解为、；（2），见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式与一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）∵， ∴， 移项得：， 整理得：， 解得：， 则不等式的负整数解为、； （2）由，得：， 由，得：， 则不等式组的解集为． 将解集表示在数轴上如下： ． 22．（24-25七年级下·北京·期中）为丰富学生的课余生活，某校初中部开展了篮球比赛，共个球队参加．比赛为单循环制，即任意两个球队之间恰好进行一场比赛．计分规则为：每场比赛胜队计3分，负队计0分，平局各计1分．所有比赛结束后，已知平局总场数不超过比赛总场数的一半． (1)若，则平局总场数最多为_______场； (2)若这个球队的得分总和为分，则平局总场数为（   ） A．    B．    C．    D． 【答案】(1)7 (2)B 【分析】本题考查涉及单循环赛的场次计算及得分分析，解题的关键是结合组合数公式与代数方程求解． （1）若，直接计算总场数，根据题目条件，平局场数不超过总场数的一半，取其一半的整数部分即可； （2）设总场数为，平局场数为，根据计分规则，分胜负的场次每场产生3分，平局场次每场产生2分，通过总得分为分建立方程，得，由平局总场数大于零场且不超过比赛总场数的一半，得，利用总场数为，确定球队数的值，即可求解． 【详解】（1）解：若，则单循环赛总场数为：， 平局总场数不超过比赛总场数的一半，， 平局总场数最多为场， 故答案为：7； （2）设总场数为，平局场数为， 每场比赛胜队计3分，负队计0分，平局各计1分， 分胜负的场次每场产生3分，平局场次每场产生2分， 若这个球队的得分总和为分， ， ， 由题意得：， ， ， 总场数为， 当时，；当时，；当时，； ，满足， 此时平局总场数， 故选：B． 23．（24-25七年级下·北京海淀·期中）当时，若关于的不等式组的解集为，则称为该不等式组的“解集长度”，如不等式组的解集为，则其“解集长度”为． (1)不等式组的“解集长度”是_______； (2)已知关于的不等式组的“解集长度”为0，求应该满足的条件，以及此时不等式组的解集； (3)已知关于的不等式组的解集长度小于9，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据“解集长度”的定义求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据“解集长度”为0得到关于m的方程，解方程即可得到答案； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据“解集长度”为小于9得到关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的“解集长度”是； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵关于的不等式组的“解集长度”为0， ∴， 解得， ∴原不等式组的解集为，即原不等式组的解集为； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵关于的不等式组的解集长度小于9， ∴， 解得． 24．（24-25七年级下·北京·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是______；（写出一个即可） (2)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，直接写出的取值范围． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解关联方程的定义是解题的关键． （1）解不等式组求得其整数解，根据关联方程的定义写出一个解为1的方程即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】（1）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， ∴其整数解为1， 则该不等式组的关联方程为． 故答案为：（答案不唯一）； （2）解方程得， 解方程得， 解关于x的不等式组得， ∵方程，都是关于x的不等式组的关联方程， ∴． 25．（2025·北京朝阳·一模）小明假期外出短途旅游，搭乘飞机产生的碳排放量约为，为了抵消这些碳排放量，他决定在开学后从家长开私家车接送改为只乘坐公交或骑自行车上下学，通过查阅资料得知几种交通方式的碳排放量如下表： 交通方式 碳排放量 开私家车 乘坐公交 骑自行车 0 小明每天上下学往返共约，往返需选择同一种交通工具，若他计划在上下学的100天内抵消这些碳排放量，则在这100天中，最多有几天可以乘坐公交？ 【答案】小明在这100天中，最多有2天可以乘坐公交 【分析】该题考查了一元一次不等式的应用，设小明在这100天中，有x天乘坐公交，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：设小明在这100天中，有x天乘坐公交． 由题意可知，． 解得：． 答：小明在这100天中，最多有2天可以乘坐公交． 第五章 二元一次方程组 26．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于 x、y的方程组，给出下列说法： ①当时，x、y的值都相等；    ②当时，x、y的值互为相反数； ③无论a为何值，y的值都不变；    ④若，则． 其中说法正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，不等式的性质，将每个命题代入方程组中，对各选项进行判断，结合不等式的性质，求a的取值范围即可． 【详解】解：①当时，方程组为， 解得：， x，y的值相等，故①正确； ②当时，方程组为， 解得：， x，y的值互为相反数，故②正确； ③解方程组，得， 无论a为何值，y的值不变，故③正确； ④若，则，，即，故④正确， 综上所述，其中说法正确的有①②③④共4个． 故选：D． 27．（24-25七年级下·北京·期中）《九章算术》中记载了一道古代数学名题：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之．意思是：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人（两人每步长相等）？为解决此问题，设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了步，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系正确的列出方程是解题的关键． 设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了步，根据题意列方程组即可． 【详解】解：设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了步， 根据题意得：， 故选：A． 28．（24-25七年级下·北京海淀·期中）已知关于，的方程组，其中，下列命题正确的个数为（   ） ①当时，、的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式组等知识点，能求出方程组的解是解此题的关键． ①先求出方程组的解，把代入求出、即可；②把代入，求出的值，再根据判断即可；③求出方程组的解，再代入方程，看看方程左右两边是否相等即可；④根据和求出，再求出的范围即可． 【详解】解：解方程组得：， ①当时，，， 所以、互为相反数，故①正确； ②把代入得：， 解得：， ， 此时符合，故②正确； ③当时， ，， 方程组的解是， 把，代入方程得：左边右边， 即当时，方程组的解也是方程的解，故③正确； ④∵， ， 即， ∵， ∴， ， ， ，故④正确； 故选：D． 29．（24-25七年级下·北京·期中）已知方程是关于，的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．1或 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此进行求解即可． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴且， ∴， 故选：A． 30．（24-25七年级下·北京·期中）下列方程组：①②，③，其中是二元一次方程组的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的定义逐项分析判断即可，二元一次方程组：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【详解】解：①是三元一次方程组，故不符合题意， ②中的第一个方程不是整式方程，故不符合题意， ③是二元一次方程组，故符合题意， 故选：D． 31．（24-25七年级下·北京·期中）若将关于的方程组的解记作，则代数式的值是（   ） A． B．2 C．8 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值．把代入关于的方程组得到关于a、b的方程组，然后直接相减即可得出，再将要求的代数式变形为，代入求值即可． 【详解】解：把代入关于的方程组， 得， ，得， ∴， 故选：D． 32．（23-24七年级下·北京西城·期末）解方程组的思路可用如图的框图表示，圈中应填写的对方程①②所做的变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】消去未知数，变形思路是①②，再得出选项即可．本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：依题意，， ①，得③， ②，得④， ③④，得， 即变形的思路是． 故选：C． 33．（24-25七年级下·北京通州·期中）8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形，如图1．还可以拼成如图2的正方形，拼成的正方形中间有一个小洞，恰好是边长为的正方形，那么每个小长方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每个小长方形的长为，宽为，观察图形，根据各边之间的关系，列出二元一次方程组，解方程组得出小长方形的长和宽，即可解决问题． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， ∴每个小长方形的长为，宽为， ∴每个小长方形的面积为． 故答案为：． 34．（24-25七年级下·北京·期中）甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地需植900棵，B地需植1250棵．甲每天植24棵且仅在A地工作，乙每天植32棵且仅在B地工作，丙每天植30棵且每天可选择在A地或B地植树． （1）若甲和丙一起在A地植树2天，之后A地剩余的植树任务由甲单独完成，甲还需要 天完成； （2）若两地从同一天开始植树，且恰好在同一天完成，则丙在A地植树的天数比在B地少 天． 【答案】 33 5 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和方程组． （1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解，再计算丙在A地植树的天数与在B地植树天数之差即可． 【详解】解：（1）设甲还需要x天完成， 由题意可得：， 解得， 即甲还需要33天， 故答案为：33； （2）设丙在A地植树a天，在B地植树b天， ， 解得， ， 即丙在A地植树的天数比在B地少5天， 故答案为：5． 35．（24-25七年级下·北京·期中）已知二元一次方程组，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，运用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ，得：1， 故答案为：1． 36．（24-25七年级下·北京·期中）把方程改写成用表示的式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，先把含x的项移动到方程的右边，再把y的系数化为1即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 37．（24-25七年级下·北京·期中）某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共25个，搭配成三种盲盒各一个，其中盲盒中有3个蓝牙耳机，5个多接口优盘，1个迷你音箱；盲盒中蓝牙耳机数量与迷你音箱数量之和等于多接口优盘数量，并且蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比是3：2，盲盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．若一个迷你音箱的成本是35元，盲盒成本是210元，盲盒成本是155元，则盲盒成本是 元，一个蓝牙耳机与一个多接口优盘的成本之和是 元．（每种盲盒的成本是盒中所有蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和） 【答案】 245 45 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是根据题目信息求出B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的数量，并根据题意列方程组． 根据题意B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的数量个．B盒中多接口优盘数量个，蓝牙耳机的数量个，迷你音响数量个．然后设蓝牙耳机、多接口优盘的成本价分别为x，y元，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共25个，盲盒中有3个蓝牙耳机，5个多接口优盘，1个迷你音箱，盲盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱． ∴B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的数量（个）． ∵B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量， ∴B盒中多接口优盘数量(个)， 蓝牙耳机的数量(个)， 迷你音响数量(个)， 设蓝牙耳机、多接口优盘的成本价分别为x，y元， 由题得：， 解得： ∴盲盒成本为：元． 一个蓝牙耳机与一个多接口优盘的成本之和是元， 故答案为：245；45． 38．（24-25七年级下·北京·期中）如果关于，的二元一次方程组的解互为相反数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是用参数分别表示出未知数．根据方程组的解互为相反数得出，利用代入消元法分别用表示出，的值，再代入另一个方程求解即可． 【详解】解：∵的解互为相反数， ∴③， 将③代入①得， 将代入③得， 将，代入②中得， ∴． 39．（24-25七年级下·北京·期中）已知方程组的解满足条件，则的值为 ． 【答案】11 【分析】将原方程组的两个方程相加，得即，把代入解答即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握整体法解方程组是解题的关键． 【详解】解：将原方程组的两个方程相加，得即， 把代入，得． 解得， 故答案为：11． 40．（24-25七年级下·北京·期中）是关于的二元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程等知识，把代入，得到关于m的方程，然后求解即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的解， ∴， 解得， 故答案为：． 41．（24-25七年级下·北京·期中）算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次可代表十进位值制的个位、十位、百位……，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，且个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，则小华要表示的这个三位数是 ． 【答案】615 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设个位数字为，十位数字为，根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为， 由题意，得：， 解得：， ∴这个三位数为． 故答案为：． 42．（24-25七年级上·北京·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是 ，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 根据题意得，得到；因为，得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ； 根据题意得， ， 故答案为：． 43．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如果关于的方程组的解满足，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将方程组的两个方程相减得到，结合得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：， 得，， 又， ， 解得：． 故答案为：． 44．（23-24七年级下·北京·期末）已知关于x，y，z的方程组满足，若，则S的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式．先把z看作常数，解x和y的方程组，再根据x和y的取值范围得出z的取值范围，然后用z表示S，根据z的取值范围可得S的取值范围．熟记并理解不等式的性质是解决此题的关键． 【详解】解：， 得，即， 将代入①可得，可得， ∴， 又∵， ∴，解得， ∴，． 即． 故答案为：． 45．（23-24七年级下·北京石景山·期末）八达岭长城是北京市著名的旅游景点，史称天下九塞之一，是万里长城的精华．五一假期期间，某校七年级历史兴趣小组游览八达岭长城，乘坐缆车的费用如下表所示： 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用（单位：元/人） 往返 140 单程 100 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有18人乘坐缆车，返程时有20人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是3320元，则该小组共有 人． 【答案】30 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．可设该小组共有x人，往返的有y人，根据等量关系：①去程时的人数+返程时的人数﹣往返的人数=该小组一共的人数；②乘坐缆车的总费用是3320元；列出方程组求解即可． 【详解】解：设该小组共有x人，往返的有y人，依题意有 ， 解得， 故该小组共有30人． 故答案为：30． 46．（24-25七年级下·北京通州·期中）解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）直接利用加减消元法解方程组即可； （2）直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得：， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 47．（24-25七年级下·北京西城·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，灵活选用解二元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）方程组运用代入法进行计算即可； （2）方程组整理后运用代入法求解即可． 【详解】（1）解：， 由①得，，③ 把代入②得，， 解得，， 把代入③得，， 所以，方程组的解为； （2）解：方程组整理为 把②代入①得，， 拟，方程组的解为． 48．（24-25七年级下·北京西城·期中）为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买型和型两种公交车（两种都需购买）其中每台的价格，年载客量如表： 型 型 价格（万元/台） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求的值； (2)如果该公司购买型和型公交车的总费用为1200万元，请你利用方程设计一个年载客最多的方案，并说明理由． 【答案】(1)的值为100，的值为150 (2)购买型公交车辆，型公交车辆时，年载客量最多，理由见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用、二元一次方程的解，准确理解题意列出所需的方程组和方程是解答本题的关键． （1）根据题意列出关于的二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设购买型公交车辆，购买型公交车辆，由题意可列方程，根据，都为正整数，化简分析即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴的值为100，的值为150． （2）解：设购买型公交车辆，购买型公交车辆， 由题意可列方程， 化简得，进一步变形为 ， ∵，都为正整数， ∴只能取、、 ， 当时，，此时年载客量为（万人/年）， 当时，，此时年载客量为（万人/年）， 当时，，此时年载客量为（万人/年）， ∵， ∴购买型公交车辆，型公交车辆时，年载客量最多． 49．（24-25七年级下·北京顺义·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 50．（24-25七年级下·北京·期中）填空并完成下面的解答过程． 探究：用含药和-的两种消毒药水，配置含药的消毒药水18千克，两种药水各需要多少？ 解： (1)设需要含药的消毒药水千克，含药的消毒药水千克，根据药水中含药量和需要配置的药水量，找出相等关系，可以列出方程组 (2)将（1）中所列方程组整理并化简，得， (3)解（2）中方程组，得 (4)答：需要含药30%的消毒药水___________千克，需要含药75%的消毒药水___________千克． 【答案】(1) (2) (3) (4)需要含药的消毒药水10千克，需要含药的消毒药水8千克 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系找出关于x、y的二元一次方程是解题关键． （1）根据等量关系可得出关于x、y的二元一次方程组； （2）将方程组化简即可； （3）运用加减消元法解方程组即可； （4）根据结果作答即可． 【详解】（1）解：由题意得：． （2）整理得： （3）， 得：， 将代入①得， ∴； （4）答：需要含药的消毒药水10千克，需要含药的消毒药水8千克． 51．（24-25七年级下·北京·期中）列方程（组）不等式（组）解应用题： 某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元． (1)求购买一台电脑和一台电子白板各需多少万元？ (2)根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不高于30万元，但电脑的数量低于17台，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低？ 【答案】(1)每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元 (2)有两种方案，方案2：购进电脑16台，购进电子白板14台，的费用最低 【分析】本题主要查了二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，根据题意得到数量关系是解题的关键． （1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购买m台电脑，则购买电子白板个 ，根据题意，列出不等式，再结合，且m为整数，即可求解． 【详解】（1）解： 设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：   ，解得：， 答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元． （2）解： 设购买m台电脑，则购买电子白板个 ，根据题意得： ， 解得：， 由题意得：，且m为整数， 所以m只能取15，16 有两种方案： 方案1：购进电脑15台，购进电子白板15台，所需费用30万元 方案2：购进电脑16台，购进电子白板14台，所需费用29万元 答：方案2：购进电脑16台，购进电子白板14台，的费用最低． 52．（24-25七年级下·北京·期中）列二元一次方程组解决下列实际问题： 每年的5月8日是国际红十字日，这一日某校组织献爱心捐款，其中初一（1）有36名同学参加，共捐得1200元，捐款情况如下表： 捐款（元） 100 50 20 10 人数 2 4 表格中捐款50元和20元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你根据表格提供的信息计算分别有多少同学捐50元和20元． 【答案】捐50元有12人，捐20元有18人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用．设捐50元有人，捐20元有人，根据总人数为36人，总捐款为1200元，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设捐50元有人，捐20元有人， 由题意得：， 解得， 答：捐50元有12人，捐20元有18人． 53．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于的方程组满足，求的取值范围． 【答案】． 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次不等式组；由得到，结合，解不等式组即可． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 54．（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）小云和小华进行解二元一次方程组的比赛，先由两个人各说一个关于x，y的二元一次方程，组成方程组，再看谁解得快．有一局，小云说了方程，小华说了方程，两个同学在解的时候都发现不能像之前那样得到一组公共解，这个问题激发了两位同学的兴趣，并分别进行了研究，两个人的研究过程如下： 小云的研究：由①得，， 把③代入②得，， 化简得 通过研究，他发现无论y取何值，这个等式都不成立，故而原方程组无解． 小华的研究：由②得，，不可能同时等于2和2.5，故这个方程和①不可能同时成立，也就是这两个方程没有公共解，故而原方程组无解． 经过交流，他们理解了对方的方法，并经过进一步思考，提出了一个新问题： 在关于x，y的二元一次方程组中，a，b为何值时，这个方程组无解，a，b为何值时，这个方程组有无数组解． 请同学们回答他们提出的问题，并说明理由． 解：当a________，b________时，这个方程组无解；当a________，b________时，这个方程组有无数组解 理由如下： 【答案】，，，，理由见详解 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先整理得，再结合题干条件，则当时，则这个方程组无解；当时，则这个方程组有无数组解．即可作答． 【详解】解：依题意，， 得， 当的时，则这个方程组无解； 当的时，则这个方程组有无数组解． 故答案为：，，，． 55．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）北京时间年月日，嫦娥六号返回器准确着陆，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进，两种航天飞船模型进行销售，据了解，件种航天飞船模型和件种航天飞船模型的进价共计元；件种航天飞船模型和件种航天飞船模型的进价共计元． (1)求，两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划用元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 【答案】(1)，两种航天模型飞机的进价分别为元，元． (2)一共有种方案：种模型买个，种模型买个或种模型买个，种模型买个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用、二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程或方程组是解题关键． （1）设，两种航天模型飞机的进价分别为，，根据题意可得、的二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买，两种航天模型飞机分别为个，个，根据总价=单价×数量，得到关于、的二元一次方程，结合、是正整数即可得所有购买方案． 【详解】（1）解：设，两种航天模型飞机的进价分别为，， 由题意可知：， 解得： 答：，两种航天模型飞机的进价分别为元，元． （2）解：设购买，两种航天模型飞机分别为个，个， 由题意可知：，则， 当时，；当时，， 所以一共有2种方案： 种模型买个，种模型买个或种模型买个，种模型买个． 第六章 整式的运算 56．（2025·北京海淀·一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要查了同底数幂相乘．用乘以，即可求解． 【详解】解：元， 即今年的义务教育财政预算支出约为元． 故选：C 57．（24-25七年级上·北京·期中）学校某间教室的建筑平面图如图所示（图中长度单位：m），分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，这个教室的面积用一个多项式表示，这个多项式是_____，次数是_____．（　　） A．，2 B．，3 C．，2 D．，2 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式，解题关键是理解题意，列出代数式． 先根据这间教室的建筑面积＝I，II，III，IV四个区域的面积和，列出代数式，合并同类项，最后判断即可． 【详解】解：由题意得这间教室的建筑面积为： ∴这个多项式的次数为2， 故选：D． 58．（24-25七年级上·北京·期中）规定：，．例如，． 下列结论中：①若，则；②若，则；③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是7．其中正确的所有结论是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题以新规定为载体，主要考查了绝对值的意义和化简、整式的加减以及一元一次方程的求解等知识．根据题中的规定逐项判断出各选项的结论正确与否即可． 【详解】解：①若，即， 解得：，，则，故①正确； ②若，则，故②正确； ③若，则，即（无解）或，解得：，即能使已知等式成立的的值存在，故③错误； ④式子，此式子表示数轴上一个点到3和的距离之和，当这个点所表示的数在与3之间时，的最小值是7，故④正确． 综上，正确的所有结论是：①②④． 故选：D． 59．（23-24八年级上·北京东城·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式运算，根据同底数幂的乘除法、积的乘方与积的乘方运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故原运算错误，不符合题意； B、，故原运算正确，符合题意； C、，故原运算错误，不符合题意； D、，故原运算错误，不符合题意． 故选：B． 60．（24-25八年级上·北京·期末）如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式．根据放置冰块部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，即可求解． 【详解】解：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 放置冰块部分的面积为 故选：D． 61．（2025·北京·一模）某次测验共四道试题，均为选择题，每题四个选项中只有一个是正确的．每道题答对得10分，答错得0分．乙同学答对了一半以上的题目，他们的解答及得分如下表： 第1题 第2题 第3题 第4题 总分 甲同学 A C B C 20 乙同学 D D B A 丙同学 B C B D m 丁同学 D B C A n 问：第二题的正确答案为 ， ． 【答案】 C 40 【分析】本题考查了代数式的运用，理解题意，找出甲、乙同学的得分是关键． 根据甲、乙同学的情况得到，由此得到各题的答案，由此即可求解． 【详解】解：每道题答对得10分，答错得0分， 甲得20分， ∴甲答对了2题， ∵乙同学答对了一半以上的题目， ∴或， ∴第3题的答案为B， 当时，即乙同学答对了四个题，则甲同学只答对一题，不符合题意； ∴，即乙同学答对了三个题， ∴丙同学也答对了两个题， ∴第2题正确答案为C， ∴乙同学第1题、第3题、第4题正确，得30分， ∴丁同学第1题，第4题答对，得20分， ∴， ∴， 故答案为：①C；② 40． 62．（24-25七年级下·北京通州·期中）如果，那么m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法计算，根据幂的乘方的逆运算法则可得，则由同底数幂乘法计算法则得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 63．（24-25七年级上·北京·期中）当 时，多项式中不含有项． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的加减，熟知不含某项，说明整理后的这项的系数之和为0是解答的关键．据此求解即可． 【详解】解： ， ∵该多项式不含项， ∴，解得， 故答案为：． 64．（24-25七年级上·北京·期中）定义新运算“*”，对于任意有理数a，b，都有．例如，那么当m为有理数时， ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，新定义，根据新定义运算，先算出，再运算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 65．（24-25八年级上·北京·期中）如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值和整式的乘法，熟练掌握整式乘法运算是解题的关键． 先化简再代入求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 66．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据，结合条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 解得：， 故答案为： 67．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且，那么阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了整式的乘法与几何图形的面积．利用大正方形的面积减去小正方形的面积以及两个三角形的面积，即可求解． 【详解】解：阴影部分的面积为 ， ∵， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：5． 68．（24-25七年级上·北京·期末）在一次数学课上，李老师对大家说：“我们一起来玩猜数游戏，你们先任意想三个小于的正整数，然后按下列步骤操作，只要你们告诉我最后的计算结果，我就能知道你们最初所想的三个正整数．”操作步骤如下： 第一步：把第一个数乘以，再减去； 第二步：把第一步的结果乘以，再加上第二个数； 第三步：把第二步的结果乘以，再加上第三个数． 阳阳最初所想的三个数依次为，，，则他最后的计算结果是 ； 若小光最后的计算结果是，则他最初所想的三个数依次为 ． 【答案】 ，， 【分析】本题考查有理数的混合运算列代数式，理解题意是解决问题的关键 (1)根据题意用题干所给运算顺序计算即可； (2) 设这三个数为、、，由题干所给运算顺序得，根据，可求得，再根据 ，，进而求得， 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：； 设这三个数为、、， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴他最初所想的三个数依次为，，， 故答案为：，，． 69．（2024·四川资阳·中考真题）计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为 ． 【答案】73 【分析】本题考查了用数字表示数及有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键．根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 【详解】解：由二进制和十进制的互换规则得： ． 故答案为：73． 70．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时经过认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了单项式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键， 根据单项式的乘除法计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴等号右边的数字依次为等号左边代数式中x，y，z的次数 ∵ ∴他输入的密码是2024． 故答案为：2024． 71．（2024·北京朝阳·二模）甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为 ；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，理解数量关系，掌握整式的运用方法是解题的关键． 根据题意可得，，结合均为正整数，可确定的取值范围，再根据每次游戏可能得结果进行推测即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，且为正整数， 当时，，不符合题意； 当时，， ∵是正整数， ∴为正整数， ∴当时，， ∵丙共获得颗糖果，且丙的卡片上写的是正数， ∴丙在前两次获得的糖果为颗， ∵甲共获得颗，乙共获得颗， ∴前两次中，甲共获得颗，乙获得颗， ∴前两次丙比乙多获得的糖果数为（颗）， ∵丙第一次获得糖果数至少为， ∴第一次乙获得糖果数至少为（颗），即， ∵乙三次共获得颗， ∴乙第一次获得糖果数至少为，即， ∴乙第一次获得糖果数为， 故答案为：． 72．（24-25七年级下·北京通州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式和积的乘方等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先计算积的乘方和多项式乘以多项式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 73．（24-25七年级下·北京顺义·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的运算，掌握相关运算法则和乘法公文是解题的关键． （1）根据积的乘方运算法则，幂的乘方，同底数幂的乘法镜像计算即可； （2）根据多项式乘以多项式进行计算即可； （3）根据完全平方公式和单项式乘以多项式进行计算即可； （4）根据多项式除以单项式进行计算即可． 【详解】（1）原式； （2） （3）原式   （4）原式． 74．（24-25七年级上·北京·期中）如图，小张同学用两个长方形纸片垂直摆放制作了一个“中”字． (1)那么该“中”字的面积是什么，写出过程（用含a的代数式表示）． (2)当时，该“中”字的面积是多少？ 【答案】(1) (2)33 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，代数式求值，正确表示出“中”字的面积是解题的关键． （1）用两个互相垂直的长方形的面积之和减去重叠部分长方形的面积即可求解； （2）根据（1）所求，代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时，， ∴当时，该“中”字的面积是33． 75．（24-25七年级上·北京丰台·期末）由若干个边长为的正方形组成的网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么称这种多边形叫做格点多边形．将格点多边形的面积记为，边上的格点个数记为内部的格点个数记为．例如，图1中的格点多边形边上的格点个数，部的格点个数．奥地利数学家皮克证明了三者之间有确定的数量关系这一结论被称为“皮克定理”． (1)由图2得到如下表格： 格点多边形 多边形的面积 边上的格点个数 内部的格点个数 ① 2 4 1 ② 4 6 2 ③ 4 4 3 ④ 7 6 5 ⑤ 11.5 3 11 根据表格中的数据，直接写出“皮克定理”中的三者之间的数量关系； (2)利用“皮克定理”，直接写出图3中格点多边形的面积； (3)在图4网格中画出一个同时满足以下两个条件的格点多边形： ①格点多边形的面积为； ②格点多边形内部的格点个数为． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了规律探究，代数式求值，解一元一次方程： （1）根据表格数据得到规律，即可求解； （2）根据“皮克定理”进行计算即可求解； （3）根据“皮克定理”得出为，为，则，据此画出图形，即可求解 【详解】（1） 三者之间的关系为 （2）图中格点多边形的中， 图中格点多边形的面积为： （3） 则： 76．（24-25八年级上·北京·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了平方差公式、多项式乘以多项式与几何图形的面积关系； 【详解】（1）解：根据图1可得， 故答案为：． （2）解：根据图形可得， 故答案为：． （3）解：如图所示， 77．（24-25七年级下·北京顺义·期中）学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1： 小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图，如下： 说明：   当时， (1)根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填______； (2)多项式除以多项式，所得的商式为______； (3)已知能被整除，则______； (4)如图2，有1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当余式的次数低于除式的次数 (2) (3)3 (4)能，另一边长为 【分析】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式除式商式余式． （1）结合列竖式计算整数的除法即可得到结论； （2）列竖式进行计算即可得到答案； （3）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案； （4）根据题意，得到18张卡片的总面积为，列竖式计算，根据能被整除，即可得到答案． 【详解】（1）解：余式的次数满足：当余式的次数低于除式的次数， 故答案为：当余式的次数低于除式的次数； （2）解：列竖式如下： 多项式除以多项式，所得的商式为， 故答案为：； （3）解：列竖式如下： 能被整除， ， 解得：， 故答案为：； （4）解：能，理由如下： 根据题意，卡片的面积是，卡片的面积是，卡片的面积是， 张卡片，9张卡片，8张卡片的总面积为， 列竖式如下： 余式为， 能被整除，商式为， 可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为． 78．（24-25七年级下·北京通州·期中）在学习整式的乘法运算时我们常常利用平面图形中面积的等量关系验证某些数学法则、公式．下面图1，图2，图3，图4是揭示多项式与多项式相乘的法则，以及相应的乘法公式之间的联系．观察下面图形，解答下列问题．（n、m、a、b都是正整数） (1)如图1验证的是多项式乘以多项式的法则，当把法则中的字母特殊化，使得时，如图2，得到公式__________；当，时，如图3，可以验证的公式是：____________________（用图中的字母表示公式）； (2)观察图4，写出、、之间的等量关系____________________；并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，多项式乘法在几何图形中的应用，正确理解图形面积之间的关系是解题的关键． （1）把等式中的m替换成n即可得到答案；图3中大正方形的边长为，据此可得其面积，而大正方形的面积又等于两个边长分别为n、a的正方形面积之和加上两个长为n，宽为a的长方形面积，据此可得答案； （2）中间的小正方形边长为，其面积为，中间的小正方形的面积等于边长为a的正方形面积减去四个长为a，宽为b的长方形面积，据此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，； 图3中有，即； （2）解：，证明如下： 中间的小正方形边长为，其面积为， 中间的小正方形的面积等于边长为a的正方形面积减去四个长为a，宽为b的长方形面积，即面积为， ∴． 79．（24-25七年级下·北京顺义·期中）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“聪明数”，比如，，，则说明4，12，20都是“聪明数” (1)24是“聪明数”吗？36是“聪明数”吗？为什么？ (2)试说明所有的“聪明数”都不可能是8的倍数． (3)是否存在两个连续的奇数，它们的平方差是“聪明数”？为什么？ 【答案】(1)24不是“聪明数”；是“聪明数” (2)见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了平方差公式的运算，有理数的混合运算； （1）根据定义，进行判断，即可求解； （2）设两个连续偶数为，，根据平方差公式进行计算即可求解； （3）设两个连续奇数为 和，计算它们的平方差得出结果为，根据（2）即可说明不存在的理由． 【详解】（1）解：∵， ∴24不是“聪明数” ∵ ∴是“聪明数” （2）设两个连续偶数为，，则， ∵是奇数， ∴不是8的倍数．即所有的“聪明数”都不是8的倍数． （3）解：设两个连续奇数为 和， 其平方差为： 由（2）可得，所有的“聪明数”都不是8的倍数． ∴不存在两个连续的奇数，它们的平方差是“聪明数”． 80．（23-24七年级上·北京东城·期末）给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数为“相伴有理数对”记为．如：，所以数对，都是“相伴有理数对”． (1)数对中，是“相伴有理数对”的是 ． (2)若是“相伴有理数对”，请求出x的值． (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法与加减法、整式加减中的化简求值、一元一次方程的应用，正确理解“相伴有理数对”的定义是解题关键． （1）根据“相伴有理数对”的定义求解即可； （2）根据“相伴有理数对”的定义建立方程，解方程即可得； （3）根据“相伴有理数对”的定义可得，从而可得，再化简代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴数对不是“相伴有理数对”， ∵，， ∴是“相伴有理数对”， 故答案为：． （2）解：∵是“相伴有理数对”， ， 解得． （3）解：是“相伴有理数对”， ， ， ． 第七章 概念、命题与证明 81．（24-25七年级下·北京大兴·期中）如图，四边形中，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，与交于点，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质与判定．先运用角平分线的定义和平行线的判定推导出，再运用平行线的性质推导出．再由， ，可推导出，继而可求证． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， 故选项A正确． ∴， ∴． 故选项B正确． ∵， ， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项C正确． 而从已知条件无法判定． 故选D． 82．（24-25七年级下·北京西城·期中）下列命题是真命题的是（　　） A．同位角相等； B．两点之间，直线最短； C．同旁内角互补； D．邻补角互补． 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据邻补角的定义、两点之间，线段最短、同位角、同旁内角的定义判断即可． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、两点之间，线段最短，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、邻补角互补，是真命题，符合题意； 故选：D． 83．（24-25七年级下·北京·期中）下列语句正确的是（   ） A．一条直线的平行线有且只有一条 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．相等的角叫对顶角 D．过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，对顶角的性质，相交线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用平行线的性质，垂线的性质，对顶角的性质，相交线的性质逐项进行判定即可． 【详解】解：A. 一条直线的平行线有无数条，该选项说法错误，不符合题意； B. 该选项说法正确，符合题意； C. 相等的角不一定是对顶角，该选项说法错误，不符合题意； D. 过直线上一点能作无数条直线和这条直线相交，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 84．（24-25七年级下·北京·期中）如图，下列四个条件：①；②；③；④，其中能判定的是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵，∴，故①不符合题意； ∵，∴，故②符合题意； ∵，∴，故③符合题意； ∵，∴，∴，故④不符合题意； 故选：B． 85．（24-25七年级下·北京·期中）如图，点，，在同一条直线上，，且，，则 （用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线的性质，列代数式，垂线，延长到，先根据垂直定义可得，利用角的和差可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答．准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：如图，延长到， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 86．（24-25七年级下·北京·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点A滚向桌边，碰着上的点后便反弹而滚向桌边，碰着上的点便反弹而滚向点．已知，，，，都是直线，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，则 ． 【答案】/58度 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的性质及垂直的性质．解题关键是熟练掌握它们的性质． 利用角平分线性质求出度数，依据平行线和垂直关系推出，得到， 再由角平分线性质确定度数．最后根据，用减去得出度数． 【详解】解：的平分线垂直于，的平分线垂直于， ∴，，， ， ， ， ∵平分， ∴， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 87．（24-25七年级下·北京·期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质、垂线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：过C作可得，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出的度数． 【详解】解：如图：过C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 88．（2025·北京海淀·模拟预测）某校组织学生出行游玩，有四名学生想通过一条河．河边仅有一条小船可供使用，四人的单人划船过河时间如下表所示： 学生 A 所需时间／分钟 3 5 8 10 当多人同时乘船时，由于重量发生变化，此时过河时间与单人划船过河所需的最长时间相同． （1）若该船的最大载客人数为4人，则A、、、四人过河所需的最短时间为 分钟； （2）若该船的最大载客人数为2人，则A、、、四人过河所需的最短时间为 分钟． 【答案】 10 【分析】本题主要考查了统计表的应用、统筹安排等知识点，理解题意成为解题的关键． （1）直接根据“多人同时乘船时，由于重量发生变化，此时过河时间与单人划船过河所需的最长时间相同”即可解答； （2）由只有一条船且最大载客人数为2人，则该船将驶向对岸，然后船需要返回；要使所需时间最短，A学生必须多次将船送回，据此制定方案计算即可． 【详解】解：（1）A、B、C、D四人一起乘船，由题意可得：所需时间为单人划船过河所需的最长时间相同，即10分钟． 故答案为：10． （2）先A和B一起驶向对岸，用时5分钟，A再返回用时3分钟；然后C和D一起驶向对岸，用时10分钟，之后B再返回用时5分钟；然后A和B一起驶向对岸，用时5分钟，之后A再返回用时3分钟；所以共用时：分钟． 故答案为：． 89．（24-25七年级下·北京·期中）如图，点，分别在直线，上．已知，垂足为，，垂足为，，平分，平分． (1)证明：； (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）根据已知条件得到，由平行线的性质得到，等量代换得到，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）设，根据平分，平分，得到，于是得到，根据平行线的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 设， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 90．（24-25七年级下·北京大兴·期中）如图，直线，点，分别在，上，点为两平行线内部一点，和的角平分线交于点． (1)直接写出与的数量关系； (2)点是射线上的一个点（不与点重合），连接，平分交射线于点，作交直线于点． ①补全图形； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，过点作，由平行线及角平分线得到设，由，得到，同理可得，即可得； （2）①依据题意即可补全图形；②由角平分线设，平行得到，，而，则，即，即，即可求证． 【详解】（1）解：过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴设， ∵， ∴， 即，同理可得， ∴， 即在题干图中：； （2）解：①补全图： ②，理由如下： 证明：平分， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即 ∴， ∴． 91．（24-25七年级下·北京·期中）如图，点，分别在，上，点，都在上，交于点，平分，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据同位角相等得出，进而根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出．等量代换得出，可得，即可得证； （2）根据已知得出，证明，进而根据平行线的性质得出． 【详解】（1）证明：， ． ． 平分， ． ． ， ，即． ． （2）解：，， ， ， ， ， ，， ， ，     ． 92．（24-25七年级下·北京·期中）直线，分别交、于点、，平分． (1)如图1，若平分，则．请你把下面的解答过程补充完整： 解：∵（已知） ∴（________） ∵平分，平分（已知） ∴，（________） ∴________ ∴（________） (2)如图2，若平分，则与有怎样的位置关系？请说明理由． (3)如图3，若平分，则与有怎样的位置关系？请在横线上写出你猜想的结论：________． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；；同位角相等，两直线平行 (2)互相平行，见解析 (3) 【分析】本题考查平行线性质和判定，角平分线定义，角的和差，掌握平行线性质和判定，角平分线定义，角的和差是解题关键． （1）根据，得出，根据角平分线定义，得出，可证，根据平行线的判定得出答案即可； （2）根据，可得，根据平分，平分，可得，得出即可； （3）根据，得出，根据角平分线定义得出，，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵平分，平分（已知）， ∴，（角平分线的定义）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）解：结论为：． ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 93．（24-25七年级下·北京·期中）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】 （1）如图1所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点．当时，发现．请说明理由． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中三角板的直角顶点放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点和，得到和，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展运用】 （3）同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点，如图3所示，请直接写出的度数． （4）若在内部作射线，过点B作射线交直线于点M，得到，请在图4中补充完整相应图形，并直接写出，与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质． （1）根据题意得到，即可判定，再由平行公理即可得证； （2）小刚的方法：过点B作直线，根据平行线的判定与性质求解即可； 小红的方法：连接，由，得到，根据对顶角相等和三角形的内角和定理得到，，，代入即可解答； （3）过点O作，则，先证明，结合角平分线的定义可证，进而可求出； （4）由（2）知，，从而，再证明，由得，可得，从而，进而可得． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴ ∵， ∴； （2），理由如下： 过点B作直线，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3），理由如下：    如图3，过点O作，则， ∴， ∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴，即． （4）如图， ，理由如下： 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 94．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，台球比赛中，一个球从桌面上的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹滚向桌边，碰到上的点后再反弹滚向点．已知，、分别平分、，且在球碰到桌边时始终有，． (1)如果球反弹一次就“落入球网”，即球滚向桌边上的点处，直接反弹到处的球洞中，若，则与所夹锐角度数为______； (2)判断图1中球经过两次反弹后的路径与原来的路径的位置关系，并证明； (3)如图2，为增加比赛难度，在桌面的转角处放置一个可以转动的小木条，从桌边上的点沿方向击中球后落在小木条上的点处，再反弹到桌边上的点处． 已知，，，当（且与不重合）时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的性质与判定和角平分线的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）点与点重合，根据邻补角互补，先求得，再求得，然后根据平行线的性质即可求解； （2）根据可得，然后证得，再根据角平分线的性质，即可得，然后根据平行线的判定即可求解； （3作，，垂足为，然后可得，，再根据“入射角反射角”原理，可得，然后求得，再根据的取值范围即可求解； 【详解】（1）解：由题可得：点与点重合，如图：且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴； （3）解：作，，垂足为，由题意可得为法线，如图： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵“入射角反射角”原理， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴； 95．（24-25七年级下·北京·期中）已知，、是上的点，、是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点． ①请你依据题意，补全图形； ②试猜想的度数，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义： （1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出； （2）①依据题意，补全图形即可； ②过点作，则，由平行线的性质得到，， 设，，由角平分线的定义得到，，再由平行线的性质得到；证明得到，则，可得，则． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）解；①补全图形如图， ②，理由如下， 过点作， ∵， ， ，， 设，， 、分别平分、， ，， 又， ， 又，， ∴ ， ， ， ． 96．（24-25七年级下·北京·期中）已知如图，，射线与交于点，点在直线上，点在射线上，连接，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定和角平分线的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）通过等量代换得到，根据平行线的性质可得，然后根据平行线的判定即可求解，然后根据角平分线的性质和邻补角互补即可求解； （2）先求得， 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 97．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，，点、分别在直线、上，点在线段上，交于点． (1)补全图形，可得______°． (2)在（1）的前提下，的平分线与的平分线所在直线交于点（点与点不重合），若，求的大小． (3)如图2，，若，，并且，则______．（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； （1）过点作，根据平行公理的推论可得，进而得到，，从而求解； （2）过点作，进而证明，根据（1）可得，从而得到的度数，进而求解； （3）根据题意，作，，，得到，进而得到，从而求解； 【详解】（1）解：过点作， ， ， 则，， ， ， 故； 故答案为： （2）解：根据题意，作图如下： 过点作， ， ， 根据（1）可得； ， ； （3）解：根据题意，作，， ，，，， ， ， ， ， 则； ， ， ， ， ， ， ； ， ； 故答案为： 98．（24-25七年级下·北京·阶段练习）【探究】（1）如图①，若，点在，外部，则满足的数量关系是______； 【应用】（2）如图②为北斗七星的位置图，如图③，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G．其中B，C，D三点在一条直线上，，则满足的数量关系是______； （3）如图④，在（1）问的条件下，延长到点，延长到点，过点和点分别作射线和交于点，使得平分,平分，若，求出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质以及角度关系的计算，熟练掌握平行线的性质和角平分线的性质是解题的关键， （1）利用平行线的性质得，再利用角度间的关系计算即可得到答案； （2）过点作，根据平行线的性质得到，再由，通过计算即可得到； （3）过点作，由于平分，根据角平分线的性质可得，设，由于平分，则，在（1）的条件下：，从而推出，再次利用平行线的性质和角度间关系的计算即可得到答案． 【详解】解：过点作，如图①所示： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【应用】（2）过点作，如图3所示： ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （3），理由如下： 过点作，如图④所示： 平分， ， 平分， 设，则， 在（1）的条件下： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 99．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持． (1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）． (2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说理． (3)当时，若设，，直接写出与之间的数量关系（用等式表示）． 【答案】(1)否 (2)图见解析，，理由见解析 (3)与之间的数量关系为或或． 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，整式加减的应用． （1）根据角的定义即可解答； （2）根据平行线的性质求得，计算得到，利用平行线的判定定理即可证明； （3）分四种情况讨论，画出图形，利用平行线的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点P位于点Q的左侧， ∴点P与点Q不共点， ∴和没有公共顶点， ∴和不可能为对顶角， 故答案为：否； （2）解：补全图形，如图， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点A在点B左侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B左侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 综上，与之间的数量关系为或或． 100．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角（）始终为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成，由光的反射定律可知，，与的垂线所形成的夹角始终相等，即． (1)的度数为 ； (2)如图2，点B固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，求的度数； ②若反射光线恰好与平行，画出相应图形，并求出此时的度数． 【答案】(1) (2)①  ②画图见解析； 【分析】本题主要考查了平行线的性质，反射的性质，垂直定义的理解，平行公理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，作出辅助线，画出相应的图形，数形结合． （1）根据，，得出，根据，得出，求出，根据，得出即可； （2）①过点G作，根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据三角形内角和定理求出；②根据平行线的性质得出，根据反射的性质得出，根据，求出，根据平行线的性质得出． 【详解】（1）解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①过点G作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，若反射光线恰好与平行， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第八章 因式分解 101．（24-25八年级上·北京·期中）下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式”，熟记因式分解的定义是解题关键．根据因式分解的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意； B、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意； C、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意； D、等式的右边是几个整式积的形式，且左、右两边相等，则此项是因式分解，符合题意； 故选：D． 102．（24-25八年级上·北京·期中）已知，则的值是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】先根据平方差公式将分解成，然后将整体代入，再化简得结果为，再利用提公因式法分解因式得结果为，然后再次将整体代入即可得解． 本题主要考查了分解因式和整体代入法求代数式的值，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：D． 103．（24-25九年级下·北京·开学考试）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练运用提公因式法和公式法分解因式是解答本题的关键．先提出公因式，再根据完全平方公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 104．（24-25七年级下·北京顺义·期中）下列多项式：①；②；③．分解因式后结果含有相同因式的是 ． 【答案】①③/③① 【分析】此题考查了公式法分解因式，熟练应用公式法分解因式是解题关键． ①利用平方差公式进行分解即可；②直接利用完全平方公式分解因式即可；③首先提取“”，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：① ； ② ； ③ ∴结果含有相同因式的是①③ 故答案为：①③． 105．（24-25九年级下·山东日照·阶段练习）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第12个智慧优数是 ． 【答案】35 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…依次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：，均为正整数， ，，，，…， ，，，，…， ， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…， 把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 第12个智慧优数是， 故答案为：． 106．（2024·北京西城·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 107．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 108．（23-24八年级上·北京·期中）分解因式 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）原式变形为，然后提取公因式，在根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 109．（24-25八年级上·北京西城·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用公式是解题关键． （1）先提取公因数3，进而利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 110．（24-25八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________． 【答案】(1)或 (2) (3)，， 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，因式分解的应用； (1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； (2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； (3）根据题意，由“-系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：或； （2）根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， 多项式的另一个零点是； （3）， 的两个零点分别是或， 根据“系多项式”的定义，有， ∴ 把代入， 得 ， ， 故答案为：，，． 111．（24-25八年级上·北京·期中）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号）． A．提取公因式    B．平方差公式 C． 两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式 (2)该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？______（填“是”或“否”），如果否，直接写出最后的结果______． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)否； (3) 【分析】本题考查了利用换元法和完全平方公式进行因式分解； （1）根据两数和的完全平方公式即可得； （2）根据两数差的完全平方公式即可得． （3）仿照例题，进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C； （2）否，最后结果求解如下： 原式， ， ， 故答案为：否，． （3）解：设 原式 ． 112．（23-24七年级上·北京·阶段练习）对于一个图形，我们可以通过两种不同的方法计算它的面积（大图形面积等于各小图形面积之和），可 以得到一个数学等式，例如如图可以得到， 请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式． (2)利用（1）中的结论，解决下面问题：已知，求 的值． (3)小明同学用 3 张边长为 a 的正方形，4 张边长为 b 的正方形，7 张边长分别为 a、b 的长方形纸片拼出 了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？ 【答案】(1) (2)45 (3) 【分析】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键． （1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积各矩形的面积之和求解即可； （2）将，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可； （3）先列出长方形的面积的代数式，然后分解代数式，可得到矩形的两边长． 【详解】（1）正方形的面积可表示为； 正方形的面积各个矩形的面积之和， 所以； （2）由（1）可知：； （3）长方形的面积． 所以长方形的边长为和， 所以较长的一边长为． 113．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）材料阅读：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以是“完美数”；再如：因为（，是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： (1)请直接写出一个小于的“完美数”，这个“完美数”是 ． (2)试判断（，是整数）是否为“完美数”，并说明理由． (3)已知M＝（，是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)是完美数，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据新定义，判断，并写出一个小于的“完美数”即可求解； （2）根据新定义根据多项式乘以单项式进行计算，然后因式分解成两个平方和的形式即可求解； （3）先运用完全平方公式将M进行化简，再根据“完美数”的定义计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴是“完美数” 故答案为：（答案不唯一）． （2）解： 是“完美数”. （3）解： 为“完美数” ， ，   【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 114．（24-25九年级下·北京·阶段练习）高速公路某收费站出城方向有编号为的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下： 收费出口编号 通过小客车数量（辆） 260 330 300 360 240 (1)在五个收费出口中，判断每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口． (2)节假日期间，高速公路收费站出城方向的车流量整体增加．假设各收费出口每20分钟通过的小客车数量同比增长相同的百分比．此时同时开放出口和分钟内通过的车辆数为300辆．求增长率的值（精确到）． 【答案】(1)B出口 (2) 【分析】本题主要考查统计表和不等式的基本性质，一元一次方程的实际应用，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据表中数据两两相比较即可得到结论； （2）由原来的通过客车数量乘以即为现在通过的车辆数，可建立方程求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 由和得 由和得 ∴每分钟通过小客车数量最多的一个收费出□的编号是， （2）解：由题意得，， 解得：， 答：增长率为． 第九章 数据的收集与描述 115．（23-24七年级下·北京朝阳·期末）为了解我国居民生活用水情况，某班数学活动小组对全国省级行政区中的31个进行了调查．通过查阅统计资料，收集了它们2024年和2024年居民人均生活用水量（单位：L/d），并对相关数据进行整理、描述、下面给出了部分信息． a．2024年和2024年居民人均生活用水量频数分布表： b．2024年居民人均生活用水量在这一组的是： 120  121  126  127  130  139； 2024年居民人均生活用水量在这一组的是： 123  132  132  135． c．2024年和2024年居民人均生活用水量统计图： （说明：有两个省级行政区2024年居民人均生活用水量相同，2024年居民人均生活用水量也相同，都在的范围） 根据以上信息，回答下面问题： (1)m＝______； (2)在图中，用“○”圈出了代表北京市的点，则北京市2024年居民人均生活用水量为______L/d，北京市2024年居民人均生活用水量为______L/d； (3)下列推断合理的是______． ①2024年居民人均生活用水量在范围的省级行政区的数量比2024年少； ②2024年居民人均生活用水量在范围的这个省级行政区2024年居民人均生活用水量在0范围． 【答案】(1)5 (2)139，135 (3)①② 【分析】（1）根据调查总数减去其他组的频数即可求解； （2）根据2024年和2024年居民人均生活用水量统计图以及题目的点信息找到对应点解答即可； （3）根据题意，结合图形分析解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：5； （2）由年和2024年居民人均生活用水量统计图以及信息得： 北京市2024年居民人均生活用水量为，北京市2024年居民人均生活用水量为， 故答案为：139，135； （3）根据题意得， ①2024年居民人均生活用水量在范围的省级行政区有3个，2024年居民人均生活用水量在范围的省级行政区有4个， 年居民人均生活用水量在范围的省级行政区的数量比2024年少， 推断①合理； ②由年和2024年居民人均生活用水量统计图得： 2024年居民人均生活用水量在范围的这个省级行政区2024年居民人均生活用水量在范围． 推断②合理； 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查了统计图的识别与应用，关键是正确识别统计图． 116．（23-24七年级下·北京通州·期末）本学期我们学习了一元一次不等式（组），二元一次方程组，整式的运算，观察、猜想与证明，因式分解，数据的收集与表示六章内容．在一次数学测试中，试卷满分为100分，小穆同学想用扇形图统计每一章分值所占百分比情况，于是将测试内容及所占分值的分布情况整理计算后列出下列表格．请你完成下列任务． (1)将表格中的内容补充完整． 测试内容 所占分值 百分比 圆心角度数 一元一次不等式（组） 15分 二元一次方程（组） 20分 整式的运算 观察、猜想与证明 20分 因式分解 10分 数据的收集与表示 10分 (2)补全扇形统计图．    【答案】(1)25分；； (2)见解析 【分析】本题考查统计表，扇形统计图．注意数形结合． （1）用总分减去其它章的分值，再用这个分值除以100分，乘以计算百分比，然后用360度乘以这个百分比，即可求得扇形统计图中圆心角度数． （2）根据二元一次方程（组）和整式的运算在扇形统计图中圆心角度数，补全扇形统计图即可． 【详解】（1）解：所占分值为：（分）， 百分比为：， 圆心角度数为：． 故填表如下： 测试内容 所占分值 百分比 圆心角度数 一元一次不等式（组） 15分 二元一次方程（组） 20分 整式的运算 25分 观察、猜想与证明 20分 因式分解 10分 数据的收集与表示 10分 （2）解：补全扇形统计图为：      117．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为： a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H； b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p； c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3． 在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为： 难度系数 裁判 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7# 3.5 打分 7.5 8.5 4.0 9.0 8.0 8.5 7.0 (1)甲运动员这次试跳的完成分P甲＝ ， 得分A甲＝ ； （直接写出答案） (2)若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P甲'，那么与（1）中所得的P甲比较，判断P甲' P甲 （填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由； (3)在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P乙至少要达到多少分． 【答案】(1)8.0，84； (2)<； (3)9.0分 【分析】（1）根据公式求出P甲、A甲即可； （2）根据平均数的公式求出P甲'，比较得出答案； （3）列方程求解即可． 【详解】（1）解：7名裁判得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分为7.5，8.0，8.5， 平均数=， ∴完成分P甲＝8.0； 得分A甲＝， 故答案为：8.0，84； （2）P甲'=， ∵7.5<8.0， ∴P甲'<P甲， 故答案为<； （3）由题意得， 解得， ∴这一跳乙的完成分P乙至少要达到9.0分． 【点睛】此题考查了平均数的计算公式，列一元一次方程解决问题，正确理解题意，掌握平均数的计算公式是解题的关键． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末真题必刷易错84题（44个考点专练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 不等式的相关概念 · 题型二 不等式的基本性质 · 题型三 一元一次不等式相关概念 · 题型四 一元一次不等式的解集 · 题型五 求一元一次不等式的整数解 · 题型六 列一元一次不等式 · 题型七 用一元一次不等式解决实际问题 · 题型八 一元一次不等式组相关概念 · 题型九 一元一次不等式组的解集 · 题型十 一元一次不等式组的含参问题 · 题型十一 不等式组和方程组结合 · 题型十二 不等式组的实际应用 · 题型十三 二元一次方程相关概念 · 题型十四 二元一次方程组相关概念 · 题型十五 二元一次方程组解法 · 题型十六 已知二元一次方程组的解求参数 · 题型十七 三元一次方程组的相关概念 · 题型十八 二元一次方程组的实际应用 · 题型十九 二元一次方程组的新定义问题 · 题型二十 整式的加减 · 题型二十一 同底数幂乘法 · 题型二十二 积的乘方 · 题型二十三 幂的乘方 · 题型二十四 单项式乘法 · 题型二十五 多项式乘法 · 题型二十六 多项式乘多项式与图形面积 · 题型二十七 多项式乘法的化简求值 · 题型二十八 多项式乘法中的规律性计算 · 题型二十九 乘法公式 · 题型三十 乘法公式与几何图形 · 题型三十一 乘法公式的变形求值 · 题型三十二 同底数幂的除法 · 题型三十三 零指数幂与负整数指数幂 · 题型三十四 整式混合运算 · 题型三十五 概念与抽象 · 题型三十六 命题与猜想 · 题型三十七 演绎与证明 · 题型三十八 因式分解相关概念 · 题型三十九 公式法因式分解 · 题型四十 十字相乘法 · 题型四十一 分组分解法 · 题型四十二 因式分解的应用 · 题型四十三 数据的收集、整理与描述 · 题型四十四 平均数、众数和中位数 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组 1．（24-25七年级下·北京·期中）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，天平右盘中每个砝码的质量都是，则物体A的质量的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京·期中）关于x的不等式组恰好有5个整数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·北京·期中）根据不等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共个，购买资金不超过元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球元，每个排球元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）小毓准备用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i组有首，； ②每组诗词背诵三遍，具体背诵时间安排如下表： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 第3组 第4组 ③每天最少背诵3首，最多背诵13首． 7天后，小毓背诵的诗词最多为（   ） A．20首 B．21首 C．22首 D．23首 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）一批火龙果的进价是每千克10元，在销售中估计有的正常损耗，商家要想获得至少的利润，那么这批火龙果的售价至少为每千克（    ） A．15元 B．14元 C．13元 D．12元 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是 ． 10．（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）当时，对于每一个x的值，关于x的不等式总成立，则n的取值范围是 ． 11．（24-25八年级上·四川成都·期末）如果关于的不等式组有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 12．（23-24七年级下·北京·期中）若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则m的取值范围是 ． 13．（24-25九年级下·北京·阶段练习）某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示． 尺寸 数量（个） 款式 大 中 小 A 8 15 25 B 0 10 20 烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品，某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品． （1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用 次； （2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为 元． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是 ． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如，，，则满足的x最大整数值为 ． 16．（24-25七年级下·全国·随堂练习）某水果店以每千克元的价格购进千克橙子，且购进的橙子有的损耗，如果销售完这批橙子后该水果店获得了不少于元的利润，那么橙子每千克的售价至少为 元． 17．（23-24七年级下·四川资阳·阶段练习）已知整数x满足不等式和，且满足方程，代数式的值为 ． 18．（24-25七年级下·北京·期中）解不等式（组） (1)解不等式； (2)解不等式组 ，并把解集表示在数轴上． 19．（2025九年级下·北京·专题练习）解不等式组： 20．（24-25七年级下·北京·期中）解不等式组，并写出它的所有正整数解． 21．（24-25七年级下·北京·期中）（1）解不等式，并写出它的所有负整数解； （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 22．（24-25七年级下·北京·期中）为丰富学生的课余生活，某校初中部开展了篮球比赛，共个球队参加．比赛为单循环制，即任意两个球队之间恰好进行一场比赛．计分规则为：每场比赛胜队计3分，负队计0分，平局各计1分．所有比赛结束后，已知平局总场数不超过比赛总场数的一半． (1)若，则平局总场数最多为_______场； (2)若这个球队的得分总和为分，则平局总场数为（   ） A．    B．    C．    D． 23．（24-25七年级下·北京海淀·期中）当时，若关于的不等式组的解集为，则称为该不等式组的“解集长度”，如不等式组的解集为，则其“解集长度”为． (1)不等式组的“解集长度”是_______； (2)已知关于的不等式组的“解集长度”为0，求应该满足的条件，以及此时不等式组的解集； (3)已知关于的不等式组的解集长度小于9，求的取值范围． 24．（24-25七年级下·北京·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是______；（写出一个即可） (2)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，直接写出的取值范围． 25．（2025·北京朝阳·一模）小明假期外出短途旅游，搭乘飞机产生的碳排放量约为，为了抵消这些碳排放量，他决定在开学后从家长开私家车接送改为只乘坐公交或骑自行车上下学，通过查阅资料得知几种交通方式的碳排放量如下表： 交通方式 碳排放量 开私家车 乘坐公交 骑自行车 0 小明每天上下学往返共约，往返需选择同一种交通工具，若他计划在上下学的100天内抵消这些碳排放量，则在这100天中，最多有几天可以乘坐公交？ 第五章 二元一次方程组 26．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于 x、y的方程组，给出下列说法： ①当时，x、y的值都相等；    ②当时，x、y的值互为相反数； ③无论a为何值，y的值都不变；    ④若，则． 其中说法正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 27．（24-25七年级下·北京·期中）《九章算术》中记载了一道古代数学名题：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之．意思是：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人（两人每步长相等）？为解决此问题，设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了步，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级下·北京海淀·期中）已知关于，的方程组，其中，下列命题正确的个数为（   ） ①当时，、的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（24-25七年级下·北京·期中）已知方程是关于，的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．1或 30．（24-25七年级下·北京·期中）下列方程组：①②，③，其中是二元一次方程组的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 31．（24-25七年级下·北京·期中）若将关于的方程组的解记作，则代数式的值是（   ） A． B．2 C．8 D．11 32．（23-24七年级下·北京西城·期末）解方程组的思路可用如图的框图表示，圈中应填写的对方程①②所做的变形为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25七年级下·北京通州·期中）8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形，如图1．还可以拼成如图2的正方形，拼成的正方形中间有一个小洞，恰好是边长为的正方形，那么每个小长方形的面积是 ． 34．（24-25七年级下·北京·期中）甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地需植900棵，B地需植1250棵．甲每天植24棵且仅在A地工作，乙每天植32棵且仅在B地工作，丙每天植30棵且每天可选择在A地或B地植树． （1）若甲和丙一起在A地植树2天，之后A地剩余的植树任务由甲单独完成，甲还需要 天完成； （2）若两地从同一天开始植树，且恰好在同一天完成，则丙在A地植树的天数比在B地少 天． 35．（24-25七年级下·北京·期中）已知二元一次方程组，则 ． 36．（24-25七年级下·北京·期中）把方程改写成用表示的式子是 ． 37．（24-25七年级下·北京·期中）某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共25个，搭配成三种盲盒各一个，其中盲盒中有3个蓝牙耳机，5个多接口优盘，1个迷你音箱；盲盒中蓝牙耳机数量与迷你音箱数量之和等于多接口优盘数量，并且蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比是3：2，盲盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．若一个迷你音箱的成本是35元，盲盒成本是210元，盲盒成本是155元，则盲盒成本是 元，一个蓝牙耳机与一个多接口优盘的成本之和是 元．（每种盲盒的成本是盒中所有蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和） 38．（24-25七年级下·北京·期中）如果关于，的二元一次方程组的解互为相反数，那么 ． 39．（24-25七年级下·北京·期中）已知方程组的解满足条件，则的值为 ． 40．（24-25七年级下·北京·期中）是关于的二元一次方程的解，则的值为 ． 41．（24-25七年级下·北京·期中）算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次可代表十进位值制的个位、十位、百位……，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，且个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，则小华要表示的这个三位数是 ． 42．（24-25七年级上·北京·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是 ，的值是 ． 43．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如果关于的方程组的解满足，则的值 ． 44．（23-24七年级下·北京·期末）已知关于x，y，z的方程组满足，若，则S的取值范围是 ． 45．（23-24七年级下·北京石景山·期末）八达岭长城是北京市著名的旅游景点，史称天下九塞之一，是万里长城的精华．五一假期期间，某校七年级历史兴趣小组游览八达岭长城，乘坐缆车的费用如下表所示： 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用（单位：元/人） 往返 140 单程 100 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有18人乘坐缆车，返程时有20人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是3320元，则该小组共有 人． 46．（24-25七年级下·北京通州·期中）解下列方程组 (1) (2) 47．（24-25七年级下·北京西城·期中）解方程组 (1) (2) 48．（24-25七年级下·北京西城·期中）为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买型和型两种公交车（两种都需购买）其中每台的价格，年载客量如表： 型 型 价格（万元/台） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求的值； (2)如果该公司购买型和型公交车的总费用为1200万元，请你利用方程设计一个年载客最多的方案，并说明理由． 49．（24-25七年级下·北京顺义·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 50．（24-25七年级下·北京·期中）填空并完成下面的解答过程． 探究：用含药和-的两种消毒药水，配置含药的消毒药水18千克，两种药水各需要多少？ 解： (1)设需要含药的消毒药水千克，含药的消毒药水千克，根据药水中含药量和需要配置的药水量，找出相等关系，可以列出方程组 (2)将（1）中所列方程组整理并化简，得， (3)解（2）中方程组，得 (4)答：需要含药30%的消毒药水___________千克，需要含药75%的消毒药水___________千克． 51．（24-25七年级下·北京·期中）列方程（组）不等式（组）解应用题： 某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元． (1)求购买一台电脑和一台电子白板各需多少万元？ (2)根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不高于30万元，但电脑的数量低于17台，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低？ 52．（24-25七年级下·北京·期中）列二元一次方程组解决下列实际问题： 每年的5月8日是国际红十字日，这一日某校组织献爱心捐款，其中初一（1）有36名同学参加，共捐得1200元，捐款情况如下表： 捐款（元） 100 50 20 10 人数 2 4 表格中捐款50元和20元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你根据表格提供的信息计算分别有多少同学捐50元和20元． 53．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于的方程组满足，求的取值范围． 54．（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）小云和小华进行解二元一次方程组的比赛，先由两个人各说一个关于x，y的二元一次方程，组成方程组，再看谁解得快．有一局，小云说了方程，小华说了方程，两个同学在解的时候都发现不能像之前那样得到一组公共解，这个问题激发了两位同学的兴趣，并分别进行了研究，两个人的研究过程如下： 小云的研究：由①得，， 把③代入②得，， 化简得 通过研究，他发现无论y取何值，这个等式都不成立，故而原方程组无解． 小华的研究：由②得，，不可能同时等于2和2.5，故这个方程和①不可能同时成立，也就是这两个方程没有公共解，故而原方程组无解． 经过交流，他们理解了对方的方法，并经过进一步思考，提出了一个新问题： 在关于x，y的二元一次方程组中，a，b为何值时，这个方程组无解，a，b为何值时，这个方程组有无数组解． 请同学们回答他们提出的问题，并说明理由． 解：当a________，b________时，这个方程组无解；当a________，b________时，这个方程组有无数组解 理由如下： 55．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）北京时间年月日，嫦娥六号返回器准确着陆，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进，两种航天飞船模型进行销售，据了解，件种航天飞船模型和件种航天飞船模型的进价共计元；件种航天飞船模型和件种航天飞船模型的进价共计元． (1)求，两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划用元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 第六章 整式的运算 56．（2025·北京海淀·一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 57．（24-25七年级上·北京·期中）学校某间教室的建筑平面图如图所示（图中长度单位：m），分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，这个教室的面积用一个多项式表示，这个多项式是_____，次数是_____．（　　） A．，2 B．，3 C．，2 D．，2 58．（24-25七年级上·北京·期中）规定：，．例如，． 下列结论中：①若，则；②若，则；③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是7．其中正确的所有结论是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 59．（23-24八年级上·北京东城·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 60．（24-25八年级上·北京·期末）如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（   ） A． B． C． D． 61．（2025·北京·一模）某次测验共四道试题，均为选择题，每题四个选项中只有一个是正确的．每道题答对得10分，答错得0分．乙同学答对了一半以上的题目，他们的解答及得分如下表： 第1题 第2题 第3题 第4题 总分 甲同学 A C B C 20 乙同学 D D B A 丙同学 B C B D m 丁同学 D B C A n 问：第二题的正确答案为 ， ． 62．（24-25七年级下·北京通州·期中）如果，那么m的值是 ． 63．（24-25七年级上·北京·期中）当 时，多项式中不含有项． 64．（24-25七年级上·北京·期中）定义新运算“*”，对于任意有理数a，b，都有．例如，那么当m为有理数时， ． 65．（24-25八年级上·北京·期中）如果，那么的值为 ． 66．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）若，则的值是 ． 67．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且，那么阴影部分的面积为 ． 68．（24-25七年级上·北京·期末）在一次数学课上，李老师对大家说：“我们一起来玩猜数游戏，你们先任意想三个小于的正整数，然后按下列步骤操作，只要你们告诉我最后的计算结果，我就能知道你们最初所想的三个正整数．”操作步骤如下： 第一步：把第一个数乘以，再减去； 第二步：把第一步的结果乘以，再加上第二个数； 第三步：把第二步的结果乘以，再加上第三个数． 阳阳最初所想的三个数依次为，，，则他最后的计算结果是 ； 若小光最后的计算结果是，则他最初所想的三个数依次为 ． 69．（2024·四川资阳·中考真题）计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为 ． 70．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时经过认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ． 71．（2024·北京朝阳·二模）甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为 ；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是 ．（填“”，“”或“”） 72．（24-25七年级下·北京通州·期中）计算： (1) (2) 73．（24-25七年级下·北京顺义·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 74．（24-25七年级上·北京·期中）如图，小张同学用两个长方形纸片垂直摆放制作了一个“中”字． (1)那么该“中”字的面积是什么，写出过程（用含a的代数式表示）． (2)当时，该“中”字的面积是多少？ 75．（24-25七年级上·北京丰台·期末）由若干个边长为的正方形组成的网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么称这种多边形叫做格点多边形．将格点多边形的面积记为，边上的格点个数记为内部的格点个数记为．例如，图1中的格点多边形边上的格点个数，部的格点个数．奥地利数学家皮克证明了三者之间有确定的数量关系这一结论被称为“皮克定理”． (1)由图2得到如下表格： 格点多边形 多边形的面积 边上的格点个数 内部的格点个数 ① 2 4 1 ② 4 6 2 ③ 4 4 3 ④ 7 6 5 ⑤ 11.5 3 11 根据表格中的数据，直接写出“皮克定理”中的三者之间的数量关系； (2)利用“皮克定理”，直接写出图3中格点多边形的面积； (3)在图4网格中画出一个同时满足以下两个条件的格点多边形： ①格点多边形的面积为； ②格点多边形内部的格点个数为． 76．（24-25八年级上·北京·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 77．（24-25七年级下·北京顺义·期中）学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1： 小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图，如下： 说明：   当时， (1)根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填______； (2)多项式除以多项式，所得的商式为______； (3)已知能被整除，则______； (4)如图2，有1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 78．（24-25七年级下·北京通州·期中）在学习整式的乘法运算时我们常常利用平面图形中面积的等量关系验证某些数学法则、公式．下面图1，图2，图3，图4是揭示多项式与多项式相乘的法则，以及相应的乘法公式之间的联系．观察下面图形，解答下列问题．（n、m、a、b都是正整数） (1)如图1验证的是多项式乘以多项式的法则，当把法则中的字母特殊化，使得时，如图2，得到公式__________；当，时，如图3，可以验证的公式是：____________________（用图中的字母表示公式）； (2)观察图4，写出、、之间的等量关系____________________；并证明你的结论． 79．（24-25七年级下·北京顺义·期中）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“聪明数”，比如，，，则说明4，12，20都是“聪明数” (1)24是“聪明数”吗？36是“聪明数”吗？为什么？ (2)试说明所有的“聪明数”都不可能是8的倍数． (3)是否存在两个连续的奇数，它们的平方差是“聪明数”？为什么？ 80．（23-24七年级上·北京东城·期末）给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数为“相伴有理数对”记为．如：，所以数对，都是“相伴有理数对”． (1)数对中，是“相伴有理数对”的是 ． (2)若是“相伴有理数对”，请求出x的值． (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 第七章 概念、命题与证明 81．（24-25七年级下·北京大兴·期中）如图，四边形中，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，与交于点，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 82．（24-25七年级下·北京西城·期中）下列命题是真命题的是（　　） A．同位角相等； B．两点之间，直线最短； C．同旁内角互补； D．邻补角互补． 83．（24-25七年级下·北京·期中）下列语句正确的是（   ） A．一条直线的平行线有且只有一条 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．相等的角叫对顶角 D．过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交 84．（24-25七年级下·北京·期中）如图，下列四个条件：①；②；③；④，其中能判定的是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 85．（24-25七年级下·北京·期中）如图，点，，在同一条直线上，，且，，则 （用含的代数式表示）． 86．（24-25七年级下·北京·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点A滚向桌边，碰着上的点后便反弹而滚向桌边，碰着上的点便反弹而滚向点．已知，，，，都是直线，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，则 ． 87．（24-25七年级下·北京·期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为 ． 88．（2025·北京海淀·模拟预测）某校组织学生出行游玩，有四名学生想通过一条河．河边仅有一条小船可供使用，四人的单人划船过河时间如下表所示： 学生 A 所需时间／分钟 3 5 8 10 当多人同时乘船时，由于重量发生变化，此时过河时间与单人划船过河所需的最长时间相同． （1）若该船的最大载客人数为4人，则A、、、四人过河所需的最短时间为 分钟； （2）若该船的最大载客人数为2人，则A、、、四人过河所需的最短时间为 分钟． 89．（24-25七年级下·北京·期中）如图，点，分别在直线，上．已知，垂足为，，垂足为，，平分，平分． (1)证明：； (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 90．（24-25七年级下·北京大兴·期中）如图，直线，点，分别在，上，点为两平行线内部一点，和的角平分线交于点． (1)直接写出与的数量关系； (2)点是射线上的一个点（不与点重合），连接，平分交射线于点，作交直线于点． ①补全图形； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 91．（24-25七年级下·北京·期中）如图，点，分别在，上，点，都在上，交于点，平分，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 92．（24-25七年级下·北京·期中）直线，分别交、于点、，平分． (1)如图1，若平分，则．请你把下面的解答过程补充完整： 解：∵（已知） ∴（________） ∵平分，平分（已知） ∴，（________） ∴________ ∴（________） (2)如图2，若平分，则与有怎样的位置关系？请说明理由． (3)如图3，若平分，则与有怎样的位置关系？请在横线上写出你猜想的结论：________． 93．（24-25七年级下·北京·期中）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】 （1）如图1所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点．当时，发现．请说明理由． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中三角板的直角顶点放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点和，得到和，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展运用】 （3）同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点，如图3所示，请直接写出的度数． （4）若在内部作射线，过点B作射线交直线于点M，得到，请在图4中补充完整相应图形，并直接写出，与的数量关系． 94．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，台球比赛中，一个球从桌面上的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹滚向桌边，碰到上的点后再反弹滚向点．已知，、分别平分、，且在球碰到桌边时始终有，． (1)如果球反弹一次就“落入球网”，即球滚向桌边上的点处，直接反弹到处的球洞中，若，则与所夹锐角度数为______； (2)判断图1中球经过两次反弹后的路径与原来的路径的位置关系，并证明； (3)如图2，为增加比赛难度，在桌面的转角处放置一个可以转动的小木条，从桌边上的点沿方向击中球后落在小木条上的点处，再反弹到桌边上的点处． 已知，，，当（且与不重合）时，直接写出的取值范围． 95．（24-25七年级下·北京·期中）已知，、是上的点，、是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点． ①请你依据题意，补全图形； ②试猜想的度数，并证明你的结论． 96．（24-25七年级下·北京·期中）已知如图，，射线与交于点，点在直线上，点在射线上，连接，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 97．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，，点、分别在直线、上，点在线段上，交于点． (1)补全图形，可得______°． (2)在（1）的前提下，的平分线与的平分线所在直线交于点（点与点不重合），若，求的大小． (3)如图2，，若，，并且，则______．（用含的代数式表示）． 98．（24-25七年级下·北京·阶段练习）【探究】（1）如图①，若，点在，外部，则满足的数量关系是______； 【应用】（2）如图②为北斗七星的位置图，如图③，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G．其中B，C，D三点在一条直线上，，则满足的数量关系是______； （3）如图④，在（1）问的条件下，延长到点，延长到点，过点和点分别作射线和交于点，使得平分,平分，若，求出的度数． 99．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持． (1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）． (2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说理． (3)当时，若设，，直接写出与之间的数量关系（用等式表示）． 100．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角（）始终为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成，由光的反射定律可知，，与的垂线所形成的夹角始终相等，即． (1)的度数为 ； (2)如图2，点B固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，求的度数； ②若反射光线恰好与平行，画出相应图形，并求出此时的度数． 第八章 因式分解 101．（24-25八年级上·北京·期中）下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 102．（24-25八年级上·北京·期中）已知，则的值是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 103．（24-25九年级下·北京·开学考试）分解因式： ． 104．（24-25七年级下·北京顺义·期中）下列多项式：①；②；③．分解因式后结果含有相同因式的是 ． 105．（24-25九年级下·山东日照·阶段练习）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第12个智慧优数是 ． 106．（2024·北京西城·一模）分解因式： ． 107．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）分解因式： ． 108．（23-24八年级上·北京·期中）分解因式 (1) (2)． 109．（24-25八年级上·北京西城·期末）分解因式： (1) (2) 110．（24-25八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________． 111．（24-25八年级上·北京·期中）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号）． A．提取公因式    B．平方差公式 C． 两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式 (2)该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？______（填“是”或“否”），如果否，直接写出最后的结果______． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 112．（23-24七年级上·北京·阶段练习）对于一个图形，我们可以通过两种不同的方法计算它的面积（大图形面积等于各小图形面积之和），可 以得到一个数学等式，例如如图可以得到， 请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式． (2)利用（1）中的结论，解决下面问题：已知，求 的值． (3)小明同学用 3 张边长为 a 的正方形，4 张边长为 b 的正方形，7 张边长分别为 a、b 的长方形纸片拼出 了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？ 113．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）材料阅读：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以是“完美数”；再如：因为（，是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： (1)请直接写出一个小于的“完美数”，这个“完美数”是 ． (2)试判断（，是整数）是否为“完美数”，并说明理由． (3)已知M＝（，是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由． 114．（24-25九年级下·北京·阶段练习）高速公路某收费站出城方向有编号为的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下： 收费出口编号 通过小客车数量（辆） 260 330 300 360 240 (1)在五个收费出口中，判断每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口． (2)节假日期间，高速公路收费站出城方向的车流量整体增加．假设各收费出口每20分钟通过的小客车数量同比增长相同的百分比．此时同时开放出口和分钟内通过的车辆数为300辆．求增长率的值（精确到）． 第九章 数据的收集与描述 115．（23-24七年级下·北京朝阳·期末）为了解我国居民生活用水情况，某班数学活动小组对全国省级行政区中的31个进行了调查．通过查阅统计资料，收集了它们2024年和2024年居民人均生活用水量（单位：L/d），并对相关数据进行整理、描述、下面给出了部分信息． a．2024年和2024年居民人均生活用水量频数分布表： b．2024年居民人均生活用水量在这一组的是： 120  121  126  127  130  139； 2024年居民人均生活用水量在这一组的是： 123  132  132  135． c．2024年和2024年居民人均生活用水量统计图： （说明：有两个省级行政区2024年居民人均生活用水量相同，2024年居民人均生活用水量也相同，都在的范围） 根据以上信息，回答下面问题： (1)m＝______； (2)在图中，用“○”圈出了代表北京市的点，则北京市2024年居民人均生活用水量为______L/d，北京市2024年居民人均生活用水量为______L/d； (3)下列推断合理的是______． ①2024年居民人均生活用水量在范围的省级行政区的数量比2024年少； ②2024年居民人均生活用水量在范围的这个省级行政区2024年居民人均生活用水量在0范围． 116．（23-24七年级下·北京通州·期末）本学期我们学习了一元一次不等式（组），二元一次方程组，整式的运算，观察、猜想与证明，因式分解，数据的收集与表示六章内容．在一次数学测试中，试卷满分为100分，小穆同学想用扇形图统计每一章分值所占百分比情况，于是将测试内容及所占分值的分布情况整理计算后列出下列表格．请你完成下列任务． (1)将表格中的内容补充完整． 测试内容 所占分值 百分比 圆心角度数 一元一次不等式（组） 15分 二元一次方程（组） 20分 整式的运算 观察、猜想与证明 20分 因式分解 10分 数据的收集与表示 10分 (2)补全扇形统计图．    117．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为： a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H； b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p； c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3． 在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为： 难度系数 裁判 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7# 3.5 打分 7.5 8.5 4.0 9.0 8.0 8.5 7.0 (1)甲运动员这次试跳的完成分P甲＝ ， 得分A甲＝ ； （直接写出答案） (2)若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P甲'，那么与（1）中所得的P甲比较，判断P甲' P甲 （填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由； (3)在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P乙至少要达到多少分． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$