期末真题必刷压轴86题（19个考点专练）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北京版2024）

期末真题必刷压轴80题（19个考点专练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 一元一次不等式压轴问题 · 题型二 一元一次不等式组的含参压轴 · 题型三 不等式与方程组相结合压轴 · 题型四 不等式组的新定义问题 · 题型五 不等式组的实际应用 · 题型六 二元一次方程组的含参压轴 · 题型七 二元一次方程组的实际应用 · 题型八 二元一次方程组的新定义问题 · 题型九 整式的加减压轴 · 题型十 幂的运算压轴 · 题型十一 整式的乘法压轴 · 题型十二 乘法公式压轴 · 题型十三 整式的除法压轴 · 题型十四 概念、命题与证明压轴 · 题型十五 因式分解压轴 · 题型十六 十字相乘法 · 题型十七 分组分解法 · 题型十八 因式分解的应用 · 题型十九 数据的收集与描述大题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组 1．（2023·北京东城·一模）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 的取值范围是， 故选：B． 2．（24-25七年级下·北京·期中）若关于x的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．解第一个不等式得出其解集，再根据“大大小小无解了”可得答案． 【详解】解：由题意可得：， 不等式组无解， 故选：D． 3．（2024·福建龙岩·一模）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是(   ) A．或 B． 或 C．或 D． 或 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次不等式，注意分情况讨论是解题的关键．分当，即时，当，即时，两种情况，根据题目所给的新定义建立关于x的不等式进行求解即可． 【详解】解：当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或， 故选C． 4．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如，给出下列关于的结论：①；②；③；④若，则实数的取值范围是；⑤满足的非负数只有两个．正确结论的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用和理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值．对于①可直接判断，②、③可用举反例法判断，④、⑤可以根据题意所述利用不等式判断即可． 【详解】解：①，故①正确； ②例如当时，，，，故②错误； ③例如，时，，，，故③错误 ④若，则，解得：，故④错误； ⑤若，则，解得， ∴非负数x可取0和1，即满足的非负数只有两个，故⑤正确， 综上可得①⑤正确，共2个． 故选：A． 5．（2025·广东广州·一模）关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了由一元一次不等式组解集的情况求参数的取值范围，先求出不等式组的解集，进而根据解集的情况解答即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组解集中每一个值均不在的范围中， ∴或， 解得或， 故选：． 6．（24-25七年级下·北京海淀·期中）已知a，b，c为三个实数，其中a、b均为负数，且满足，令，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据，求出，根据a、b均为负数，求出，解不等式组，得出，再根据，求出t的取值范围即可． 【详解】解：， 两个方程可得得， 又， ∴， 解得：， ， ∴， ． 故选：B． 7．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）若关于的不等式组的所有整数解之和等于20，则所有满足条件的整数的值之和为（　　） A．15 B．21 C． D．24 【答案】A 【分析】本题考查根据不等式组的解的情况求参数．求出不等式的解集，利用不等式组的所有整数解之和等于20，求出a的取值即可，进一步可求出满足条件的整数a的值之和． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组的所有整数解之和等于20， 即整数解有6，5，4，3，2，或6，5，4，3，2，1，0，， ∴，或， 解得：，或， ∴a的整数值可以是6、7、8，或，，， ∴所有满足条件的整数为， 故选：A． 8．（24-25七年级下·北京白云·期中）已知关于的不等式组下列四个结论： ①若，则是该不等式组的一个解； ②若该不等式组无解，则； ③若该不等式组的解集为，则； ④若该不等式组只有三个整数解，则． 其中正确的结论个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，理解一元一次不等式组的解集的概念是解题的关键． 根据不等式组的解集对各小题的结论分析即可． 【详解】解：∵关于的不等式组， ∴当时，， ∴是该不等式组的一个解，故①正确； ∵不等式组无解， ∴，故②错误； ∵关于的不等式组的解集为， ∴，故③正确； ∵不等式组只有三个整数解， ∴，故④错误； ∴正确的序号为①③， 故选B． 9．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于的一元一次方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，先解一元一次方程得到，则由题意可得是正整数，据此可求出或或，再分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据不等式组有解求出a的取值范围，进而确定a的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程有正整数解， ∴，即，且是正整数， ∴或或， ∴或或， 解不等式得， 解不等式得， ∵关于的一元一次不等式组有解， ∴， 解得， ∴或， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集、整数解．解不等式组得出解集，根据整数解的和为，可以确定整数解必含，，这三个数，再根据解集确定a的取值范围． 【详解】解：解不等式组， 解不等式得， 解不等式得， ∵关于的不等式组有解， ∴， ∵所有整数解的和是，， ∴不等式组的整数解为①，，；②，，，0， ∴或， ∴或，即， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于x的不等式组有解且只有3个偶数解．同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】7 【分析】根据不等式组有解且只有3个偶数解，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，再根据关于y的一元一次方程解为非负整数，确定a的值，求和即可．本题考查解一元一次方程，根据一元一次不等式组解集的情况求参数，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组有解且只有3个偶数解． ∴该不等式组的三个整数解为8，6，4， ∴， 解得， 则 即， ∵a为整数 ∴ ∵， ∴ 则 ∴， ∵关于y的一元一次方程解为非负整数， ∴当时，则，符合题意； ∴当时，则，符合题意； ∴当时，则，不是整数，不符合题意； ∴当时，则，符合题意； ∴ ∴所有满足条件的整数a的值之和为， 故答案为：． 12．（2025·湖南郴州·二模）小明去食堂排队取餐，看到甲、乙两窗口排队的人数均为，选择在甲窗口排队取餐．观察发现：甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟，且乙窗口每分钟新增4人排队取餐（假定后续同学按此速度取餐）．2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队取到餐所需时间为 （用含m的式子表示）．若小明在乙窗口取到餐所需时间，比不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间少，不考虑其他因素，则排队人数m的最小值为 ． 【答案】 17 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用，正确列出代数式与一元一次不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】解：由题意得，小明在乙窗口排队取到餐所需时间为：， 不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间为：， 由题意得， 解得， 所以排队人数m的最小值为17， 故答案为：；17． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：已知解集（整数解）求字母的取值．解题思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解不等式即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组有4个整数解， ∴不等式组的解集为，且4个整数解为：2，1，0，， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·重庆万州·期中）若关于 x 的不等式组 有且只有 2 个整数解，且关于 y 的方程的解是负整数， 则符合条件的所有整数 a 的和是    ． 【答案】22 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 首先解不等式组，根据不等式组有且只有2个整数解得出关于a的不等式组，求出a的取值范围，再解方程，根据方程的解是负整数求出所有的a可能的值，进而得到符合条件的所有整数a，求和即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ， 关于 x 的不等式组 有且只有 2 个整数解， 这两个整数解是3，4， ， ， 解方程得， 关于 y 的方程的解是负整数， 或或或或或， 或4或5或6或8或14， 符合条件的所有整数为和， ， 符合条件的所有整数 a 的和是， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）若关于的方程有非负整数解，且关于的不等式组至多有三个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，先解一元一次不等式组，根据不等式组至多有3个整数解，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至多有3个整数解， ∴， ∴， ， ， 解得， ∵方程有非负整数解， ∴（x为非负整数）， ∴，且为整数， ∴， ∴， ∵， ∴符合条件的所有整数a的值为：0，3，8， ∴符合条件的所有整数a的和是：． 故答案为：11． 16．（24-25七年级下·北京·期中）关于不等式组，下列说法正确的是 ．（填所有正确说法的序号） ①如果，则不等式组一定有实数解； ②如果，则不等式组一定有整数解； ③如果不等式组有两个整数解，则； ④如果，且不等式组有三个非负整数解，则的范围是． 【答案】/ 【分析】本题考查了不等式组的解集及参数取值范围，不等式的性质等知识，根据“大小小大中间找”即可判断①，观察数轴上距离为两数之间即可判断②，设这两个整数为和，则，，得出的取值范围即可判断③，根据非负整数为，即可判断④，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵不等式组， ∴， 当时，不等式组才有实数解，故①不符合题意； 如果，则，和之间必然存在整数， ∴不等式组一定有整数解，故②符合题意； ∵不等式组有两个整数解， ∴设这两个整数为和， ∴，， ∴ ∴， ∴，故③不符合题意； ∵，且不等式组有三个非负整数解， ∴这三个非负整数解为：， ∴，故④符合题意， 综上，符合题意的有， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知关于x的不等式组，给出下面四个结论： 当时，不等式组的解集是； 若不等式组的解集是，则； 若不等式组恰有个整数解，则； 若不等式组无解，则； 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集的情况，求参数，根据各项中的条件，逐一计算后，判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当时，不等式组的解集是，原说法正确，符合题意； 若不等式组的解集是，则，原说法正确，符合题意； 若不等式组恰有个整数解，则，原说法正确，符合题意； 若不等式组无解，则，原说法掌握，不符合题意， ∴正确结论为； 故答案为：． 18．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 【答案】(1)每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元； (2)一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立方程和不等式组求解是解题的关键． （1）设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，根据购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元建立方程求解即可； （2）设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个，根据种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元建立不等式组求出y的取值范围，进而求出y的正整数解，再算出对应方案下的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元； （2）解：设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个． 根据题意，得， 解得， ∵y为正整数， ∴y的值可以为48或49或50， 当时，，此时费用为元， 当时，，此时费用为元， 当时，，此时费用为元， ∵， ∴一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱． 19．（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）定义：我们把不等式组解集中的整数叫做这个不等式组的“核”，把解集中整数的个数称为该不等式组的“核数”．例如，不等式组的解集中存在0，1，2，3这4个“核”，这个不等式组的“核数”为4． (1)下列不等式组中，“核数”为2的有________（只填序号） ①    ②    ③ (2)不等式组的“核数”为a，不等式组的“核数”为b． ①若，求整数k的值． ②若关于m，y，z的三元一次方程组的解是正数，直接写出整数k的值． 【答案】(1)① (2)①整数的值为；②整数的值为2 【分析】本题考查了新定义，一元一次不等式组的应用，理解题意，得到正确的不等式组是解题的关键． （1）根据“核数”的定义即可解答； （2）①得到不等式组的“核数”为，再根据即可解答； ②解三元一次方程组得到，，再根据三元一次方程组的解是正数，即可解答． 【详解】（1）解：的解集中存在0，1这2个“核”，这个不等式组的“核数”为2； 的解集中存在无数个“核”，这个不等式组的“核数”为无限； 的解集中存在2这1个“核”，这个不等式组的“核数”为1； 故答案为：①； （2）解：①， 不等式组的解集中有3个“核”，这个不等式组的“核数”为3； 故， ， 不等式组的“核数”为3，即不等式组的整数解有3个， ， 解得， 则整数的值为； ②根据题意可得， ①+③得，， 解得， 把代入③得，， 得， 把，代入②可得，即， 由，得， 关于m，y，z的三元一次方程组的解是正数， 则， ， ， 即， 是不等式组的“核数”，为整数， ， 不等式组的整数解有6个， ， 解得， 则整数的值为2． 20．（24-25九年级下·北京·开学考试）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种， 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减70元． （如：所购商品原价为300元，可减70元，需付款230元；所购商品原价为700元，可减140元，需付款560元） （1）若购买一件原价为400元的健身器材，更合算的选择方式为活动 ； （2）若购买一件原价为元的健身器材，选择活动二比选择活动一更合算，则的取值范围是 ． 【答案】 一 或 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用． （1）根据该专卖店推出两种优惠活动，求分别求出选择活动一及选择活动二需付款金额，比较后即可得出结论； （2）分，及三种情况考虑，分别列不等式解不等式可得答案． 【详解】解：（1）选择活动一需付款（元）， 选择活动二，可减70元，需付款（元）， ∵， ∴更合算的选择方式为活动一， 故答案为：一； （2）当时，选择活动二无优惠，舍去； 当时，选择活动二可减70元，需付款元， 若， 解得：， ∴当时，选择活动二比选择活动一更合算； 当时，选择活动二可减140元，需付款元， 若， 解得， ∴当时，选择活动二比选择活动一更合算． 综上所述，a的取值范围是或，选择活动二比选择活动一更合算． 故答案为：或． 21．（23-24七年级下·北京·期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于x，y的二元一次方程组中，，求a的取值范围． 分析：在关于x，y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得，又因为，所以解得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知，且，求的取值范围； ②已知，在关于x，y的二元一次方程组中，，请直接写出的取值范围 （结果用含m的式子表示）． 【答案】（1）；（2）①② 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的综合应用： （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． （2）①设，构成方程组，求出的范围，代入即可； ②解方程组得到关于a的不等式组解出，利用，套入a的范围即可求出的取值范围． 【详解】解：（1）解：， 由①，得：， 由②，得：， ∴； 故答案为：； （2）①设， 构成方程组，解得：， ∵， ∴，解得：； ∴． ②解，得：， ∵， ∴，解不等式组得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 第五章 二元一次方程组 22．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）在《算法统宗》里记载了一道趣题： 原文：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑! 意思是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问甜、苦果各买几个？ 下列是四位同学的解答： 小明：设苦果买个，甜果买个，根据题意可列方程组为； 小刚：设苦果买个，甜果买个，根据题意可列方程组为； 小勇：设苦果买个，甜果买个，根据题意可列方程为； 小强：设苦果买个，甜果买个，根据题意可列方程为； 其中，以上解答一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程和二元一次方程组，找准等量关系，正确列出方程或方程组是解题的关键． 【详解】解：设苦果买个，甜果买个，根据题意可列方程组为或设苦果买个，甜果买个，根据题意可列方程为， 则正确， 故选：． 23．（23-24七年级下·北京门头沟·期末）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，；②当时，x与y互为相反数；③无论a取何值时，都有；④当时，．其中正确结论的序号是（　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式，将代入方程组第二个方程可判断①；将代入方程组第一个方程可判断②；将方程组二个方程相加可判断③；将代入方程组第二个方程可判断④ 【详解】解：①当时，， ∴， 故①正确； ②当时，， ∴， 故②正确； ③方程组中的两个方程相加得， ， ∴， 故③正确； ④当时，， ∴， 故④不正确， 综上，正确的结论是①②③， 故选：C 24．（23-24七年级下·北京西城·期中）关于x，y的方程组的解中x与y的差等于2，则m的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查已知二元一次方程组的解的情况，求参数的值，两个方程相加后，再根据解的情况，得到的一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：， ，得： ∵x与y的差等于2， ∴， ∴， ∴； 故选C． 25．（24-25七年级下·北京·期中）关于，的二元一次方程，且当时，． （1）的值是 ； （2）当时，对于每一个的值，关于的不等式总成立，则的取值范围是 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，二元一次方程的解、已知字母的值，求代数式的值，正确求解是解题的关键． （1）将的值代入进去即可求得结果； （2）解有关的不等式，再根据恒成立求有关的不等式． 【详解】解：（1）∵当时，， ∴， 解得：， 故答案为：2； （2）由（1）可得， ∴， 解得：， ∵当时，对于每一个的值，关于的不等式总成立， ∴， 解得：， 故答案为：． 26．（24-25七年级下·北京·期中）已知三个数，，，用表示这三个数中最大的数，如果，那么： （1）当，，时，的值是 ； （2）当，，，且时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组，三元一次方程组及定义新运算的综合． （1）根据题意建立一元不等式组，求解即可； （2）根据题意建立关于的三元一次方程组，求出，再根据定义求出，即可求出，再求出的值，即可解答． 【详解】解：（1）根据题意：， 则， 解得：， 故答案为：； （2）∵，，， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵， 当时，，则， ∵， ∴，即， 同理，当时，， 同理，当时，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（24-25七年级下·北京·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解方程组，用表示，把代入中得到关于的方程是解题的关键．解方程组用表示，把代入中得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：， 得：， 把③代入②得：， ， ， ， 故答案为：2． 28．（24-25七年级下·北京·期中）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为“友好二元一次方程”，其中；由这两个方程组成的方程组叫做“友好方程组”． （1）若关于、的方程组为“友好方程组”，则 ， ； （2）若关于、的“友好方程组”的解为整数，则整数的值为 ． 【答案】 2 1 0或或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解的情况求参数，正确理解友好方程组”的定义是解题的关键。 （1）根据题意可得方程组，解方程组即可得到答案； （2）先解原方程组得到，再根据原方程组的解为整数求解即可． 【详解】解：（1）∵关于、的方程组为“友好方程组”， ∴， 解得， 故答案为：2；1； （2）解方程组得， ∵关于、的“友好方程组”的解为整数， ∴是整数， ∴或， 解得或或或（舍去）， ∴整数的值为0或或， 故答案为：0或或． 29．（24-25九年级下·北京·阶段练习）一个旅游团去游览某个水上景点，游客可以沿岸边徒步游览，也可以乘坐游船游览，都是原路去，原路返回，如果乘坐游船，方式和费用为：单程每人100元，往返每人150元．若该旅游团队每个人都至少乘坐一次游船，去程时有9人乘坐游船，返程时有13人乘坐游船，他们乘坐游船的总费用是1800元，则该旅游团队只乘坐一次游船的有 人． 【答案】 【分析】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程．设此旅行团单程搭乘游船，单程步行的有x人，其中去程及回程均搭乘游船的有y人，根据题意列出二元一次方程，求解即可． 【详解】解：设此旅行团单程搭乘游船，单程步行的有x人，去程及回程均搭乘游船的有y人， 根据题意得， 解得， ∴该旅游团队只乘坐一次游船的有人； 故答案为：6． 30．（23-24七年级下·北京朝阳·期末）某校为提高校园足球质量和水平，让学生在参与校园足球运动中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，实现德智体美劳全面发展，举办了校园足球联赛．根据赛事安排，每队均需参赛19场，记分办法如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分． （1）在这次足球联赛中，若某队得13分，则该队可能负 场；（写出一种情况即可） （2）在这次足球联赛中，若甲、乙两队都得33分，甲队所有比赛都没有踢平，甲、乙两队负场数不同，则乙队最多胜 场． 【答案】 10（答案不唯一） 10 【分析】本题考查二元一次方程和一元一次不等式的应用． （1）设该队胜了x场，平了y场，负了z场，根据“每队需参赛19场，某队得13分”，即可列出方程，求解即可； （2）根据甲队的比赛情况可知甲队共胜了11场，负了8场．设乙队胜了a场，平了b场，负了c场，根据“参赛19场，某队得33分”即可列出方程，结合a，b，c均为非负整数，且，即可得到a的最大值，从而解答． 【详解】解：（1）设该队胜了x场，平了y场，负了z场，根据题意，得 ， ∵x，y，z均为非负整数 ∴或，，， ∴该队可能负8场或10场，12场，14场． 故答案为：10（答案不唯一） （2）∵甲队所有比赛都没有踢平，且得33分， ∴甲队共胜了（场） 负了（场）， 设乙队胜了a场，平了b场，负了c场，根据题意，得 ， ∵a，b，c均为非负整数，且， ∴a最大值为 即乙队最多胜了10场． 故答案为：10 31．（2024·北京大兴·模拟预测）小明是某蛋糕店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打八五折．周末他去蛋糕店，发现店内正在举办特惠活动：任选两件商品，第二件打七折，如果两件商品不同价，则按照低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小明打算在该店购买两个面包，他计算后发现，使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差0.9元，则 花费较少（直接填写序号：①使用会员卡；②参加特惠活动）；两个面包的定价相差 元． 【答案】 ① 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，可设面包贵的定价为元，面包便宜的定价为y元，根据使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差元，列出方程即可求解． 【详解】解：设面包贵的定价为x元，面包便宜的定价为y元，则，依题意有： ， 则使用会员卡花费少 ； 由， 解得． 故参加特惠活动花费较少，两个面包的定价相差元． 故答案为：①，． 32．（2024·北京门头沟·二模）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”知农爱农，珍惜粮食，传承美德，从校园做起．为响应此号召学校举办“减少舌尖上的浪费”宣传活动，参加活动的共60人，其中有校领导，教师代表，七年级学生代表，八年级学生代表和九年级学生代表．已知校领导和教师代表的总人数是七年级学生代表和八年级学生代表总人数的四分之一，校领导和七年级学生代表的总人数是教师代表和八年级学生代表总人数的七倍，则参加这次活动的九年级学生代表有 人． 【答案】20 【分析】设参加这次活动的校领导有x人，教师代表有y人，七年级学生代表有z人，则参加这次活动的八年级学生代表有人，九年级学生代表有人，根据校领导和七年级学生代表的总人数是教师代表和八年级学生代表总人数的七倍，可列出关于x，y，z的三元一次方程，变形后，可得出，结合x，y，z均为正整数且27和8互质，可得出是8的倍数，结合九年级学生代表人数为正，可确定，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设参加这次活动的校领导有x人，教师代表有y人，七年级学生代表有z人，则参加这次活动的八年级学生代表有人，九年级学生代表有人， 根据题意得：， 整理得：， ∴． ∵x，y，z均为正整数，且27和8互质， ∴是8的倍数， 又∵， ∴， ∴， ∴（人）， ∴参加这次活动的九年级学生代表有20人． 故答案为：20． 33．（2024·北京大兴·一模）某公园门票价格如下表：某学校组织摄影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数分别为和．若两社团分别以各自社团为单位购票，共需1560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需1170元，那么这两个社团的人数为 ， ． 购票人数 80以上 门票价格 20元人 16元人 13元人 【答案】 60 30 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由两次门票费用，列出方程组，可求解． 【详解】解：∵1170不能整除16， ∴两个部门的人数， 又1560不能整除16， ∴每个部门的人数不可能同时在之间， 由于，所以，当，则有： 解得， 故答案为：60，30． 34．（2025·北京海淀·模拟预测）临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个．设购进的小枣粽袋，豆沙粽袋． (1)购进的肉粽的个数为________个（用含，的代数式表示）； (2)为了促销，超市计划将所购200袋粽子组合包装，使得其恰好全部制成，两种套装销售，套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个． ①用等式表示，的数量关系为________； ②若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进多少袋？ 【答案】(1) (2)①；②豆沙粽最多购进40袋 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是正确的表示各种粽子的袋数，个数，根据肉粽的进货数量的要求列出不等式求解验证． （1）用200减去小枣粽和豆沙粽的袋数得到肉粽的袋数，再乘以2即可得到答案； （2）根据题意可得购进的小枣粽的个数为个，豆沙粽的个数为个，从而得到套装为套，套装为套，再由套装每袋小枣粽4个，B套装每袋小枣粽2个，可得；②根据题意可得购进的肉粽袋数为袋，然后根据肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，购进的肉粽的个数为； （2）解：①由题意得， ∴； ②由题意可知，， 由①可知，即， ∴， 解得 答：豆沙粽最多购进40袋． 35．（24-25七年级下·北京·期中）用方程组和不等式解决问题 学校计划建设一间活动教室，需要为教室采购五人桌和两人桌两种类型的活动课桌．已知购买2张五人桌和5张两人桌需花费1700元；购买5张五人桌和2张两人桌需花费2150元． (1)求每张五人桌和两人桌的价格． (2)学校根据教室布局，计划采购14张活动课桌，要求预算不超过3800元，求至少采购几张两人桌？ (3)在（2）的条件下，活动教室至少要容纳43名学生，求所有满足条件的采购方案． 【答案】(1)每张五人桌的单价为350元，两人桌的单价为200元 (2)至少采购8张两人桌； (3)共有两种采购方案：采购两人桌8张，则采购五人桌为6个；采购两人桌9张，则采购五人桌为5张 【分析】题目主要考查二元一次方程组及不等式的应用，理解题意，列出方程组和不等式是解题关键． （1）根据题意设每张五人桌的单价为元，两人桌的单价为元，列出方程组求解即可； （2）设采购两人桌张，则采购五人桌为张，根据题意列出不等式求解即可； （3）结合（2）列出不等式求解即可确定方案． 【详解】（1）解：设每张五人桌的单价为元，两人桌的单价为元． 由题意可得： 解得 答：每张五人桌的单价为350元，两人桌的单价为200元； （2）解：设采购两人桌张，则采购五人桌为张， 计划采购14张活动课桌，要求预算不超过3800元， 解得， ∴至少采购8张两人桌； （3）根据题意得：， 解得：， ∴， 当时，， 当时，， ∴共有两种采购方案：采购两人桌8张，则采购五人桌为6个；采购两人桌9张，则采购五人桌为5张． 36．（24-25七年级下·北京通州·期中）已知关于x、y的二元一次方程的解如下表 x … 0 1 2 … … 2 5 … (1)求k、b的值； (2)求当时x的值． (3)直接写出的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程的解得问题，解一元一次不等式，解题的关键是方程的解满足方程代入左右两边相等． （1）将方程的解代入方程组解方程组即可得到答案； （2）根据（1）将代入即可得到答案； （3）由（1）知k、b的值，建立一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：当时， ，当时， ， 则， 解得：； （2）解：由（1）知二元一次方程原式为， 令， 解得：； （3）解：由（1）知， 则， 解得：． 37．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论． （1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于的一元一次不等式，再求解即可； （3）先解不等式组得，由新定义得到，解得：，设5个整数解为，则，求出的范围，再根据有解，得到关于k的不等式组，求出k的取值范围，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：解方程得， ①不成立，故不符合题意； ②成立，故符合题意； ③成立，符合题意， ∴方程是下列不等式（组）中②③的“偏解方程”， 故答案为：②③； （2）解：解方程组得：， ∵方程组是不等式的“偏解方程组”， ∴， 解得：； （3）解：解不等式组得， ∵关于的方程是它的“偏解方程”， ∴， 解得：， ∴设5个整数解为， 则由题意得：， ∴， 解得：， ∵有解， ∴， 解得：， ∴的整数解为或， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴， ∴由①②得：， 又∵， ∴． 38．（23-24七年级下·北京延庆·期末）我们把关于x，y的二元一次方程，叫作数对的“伴随方程”；若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则称数对是数对的“伴随数对”． (1)已知数对，在数对中，是数对的“伴随数对”的是 ； (2)若数对是数对和数对的“伴随数对”，求数对的“伴随方程”； (3)若是n个不同的数对，满足前一个数对是后面所有数对的“伴随数对”，且n的最大值是t，如果关于x的不等式组恰好有2024个整数解，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，方程的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确理解新定义是解题的关键． （1）由题意得“伴随方程”为：，将分别代入验证即可； （2）由题意得，，解得：，故数对的“伴随方程”为：； （3）由题意得，解不等式组得，确定这2024个整数解为， 故，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：“伴随方程”为： 将点代入得， 将点代入得， 将点代入得， 将点代入得， ∴点，是数对的“伴随数对”， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 解得：， ∴数对的“伴随方程”为：； （3）解：∵两个二元一次方程可得唯一解， ∴当，确定时，即可确定， ∴， ∴不等式组为， ∴解得 ∵关于x的不等式组恰好有2024个整数解， ∴这2024个整数解为， ∴， 解得：． 39．（23-24七年级下·北京·期末）已知二元一次方程组的解为，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，若在线段上存在个整数，则称二元一次方程组为系方程组． (1)二元一次方程组是______系方程组． (2)关于，的二元一次方程组是3系方程组，直接写出的取值范围． (3)关于，的二元一次方程是2系方程组，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1 (2)或 (3)或 【分析】（1）代入消元法解方程组得，则在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在1个整数，然后作答即可； （2）加减消元法解方程组得，由题意知，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在3个整数，为，或，当整数为时，则，计算求解即可；当整数为时，则，计算求解即可； （3）代入消元法解方程组得，由题意知，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在2个整数，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：， ②代入①得，， 解得，， ∴， ∴在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在1个整数， ∴二元一次方程组是1系方程组， 故答案为：1； （2）解；， 得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， ∴， ∴在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在3个整数，为，或， 当整数为时，则， 解得，； 当整数为时，则， 解得，； 综上所述，或； （3）解：， 将②代入①得，， 解得，， ∴， 由题意知，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在2个整数， ∴，即， 当时，解得，； 当时，解得，； 综上所述，或 ． 【点睛】本题考查了加减消元法、代入消元法解二元一次方程组，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，一元一次不等式组的应用等知识．熟练掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，一元一次不等式组的应用是解题的关键． 第六章 整式的运算 40．（23-24七年级上·北京西城·期中）如图所示是婷婷家所在区的一条公路路线图，粗线是大路，细线是小路，七个公司，，，，，，分布在大路两侧，有一些小路与大路相连，现要在大路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（　　）    A．路口C B．路口D C．路口E D．路口F 【答案】B 【分析】本题主要考查了实际问题中的大小比较，列代数式，整式的加减，根据给定图形，用表示个公司沿小公路到大公路的最近距离之和，，再求出到路口，，，的距离总和，比较大小作答． 【详解】解∶观察图形知，七个公司要到中转站，先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点， 令到、到、到、到、到、到、到的小公路距离总和为，，，，， 路口为中转站时，距离总和． 路口为中转站时，距离总和． 路口为中转站时，距离总和． 路口为中转站时，距离总和， ∴， ∴这个中转站最好设在路口． 故选∶ B． 41．（23-24七年级上·北京西城·期中）规定：，．例如，．下列结论中：①若，则；②若，则；③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是7．其中正确的所有结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据题中的规定逐项判断出各选项的结论正确与否即可． 【详解】解：①若，即， 解得：， 则，故①正确； ②若，则，故②正确； ③若，则，即（无解）或， 解得：，即能使已知等式成立的x的值存在，故③错误； ④式子，此式子表示数轴上一个点到和的距离之和，当这个点所表示的数在与3之间时，的最小值是7，故④正确． 综上，正确的所有结论是：①②④． 故选：B． 【点睛】本题以新规定为载体，主要考查了绝对值的意义和化简、整式的加减以及一元一次方程的求解等知识，正确理解新运算法则是解题的关键． 42．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（    ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意． 【详解】解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为，说法①符合题意； ∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为 ， 当时，，说法④符合题意， 综上所述，正确的说法有①③④，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 43．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，在矩形中，，，点和点分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 设，，根据，得，根据完全平方公式求解的值，进而求解； 【详解】解：设，， ，， ，． 根据，得， ， ， 又， ， 即阴影部分的面积为． 故选：B 44．（2025七年级下·全国·专题练习）观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的推广，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律：先计算，然后再计算所给式子即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴原式． 故选：B． 45．（24-25七年级下·北京·期中）数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为，，且，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏．某小组按照此方式玩了5次游戏，他们将部分数据记录如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 32 乙 22 丙 16 由此推断的值为 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了推理的能力，解方程组，解题的关键是表示出表格中数据．根据题意得出，根据表格中甲5次的和与乙5次的和不相同，得出数据，结合表格列出等式求解即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， ∵甲的总和乙的总和， ∴甲5次的和与乙5次的和不相同， 又， 即可得出甲、乙、丙三位同学玩了5次游戏的数据如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 b c a 32 乙 b b b 22 丙 c c b 16 ∴，即， ， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴ 故答案为：4． 46．（24-25七年级上·北京·期中）1．已知，有理数在数轴上的位置如图所示， （1）化简： ； （2）若两数的倒数是他们自身，当的范围是 时，有最小值，最小值为 ． （3）在（2）的条件下，若未知数满足，则代数式的最大值是 ． 【答案】 2 7 【分析】本题考查化简绝对值，两点间的距离，整式的加减运算，根据数轴判断数的大小，式子的符号，掌握绝对值的意义，是解题的关键． 【详解】解：（1）由图可知：，， ∴， ∴原式； 故答案为：； （2）∵两数的倒数是他们自身， ∴， ∵表示数轴上表示的数到表示和的数的距离和， ∴当时，有最小值为：； 故答案为：；2； （3）由（2）知：当时，有最小值为， 当时，有最小值为， ∵， ∴，， ∴的最大值为3，的最大值为， ∴的最大值为：； 故答案为：7． 47．（24-25七年级上·北京·期中）定义计算“”，对于两个有理数，，有，例如：，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查新定义下的有理数的四则混合运算、整式的加减运算，理解新定义运算法则是解答的关键．根据新定义法则，结合有理数和整式的相关运算法则求解即可． 【详解】解：， ∵ ， ∴ ． 故答案为：，． 48．（24-25八年级上·北京·期中）先阅读下面材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”． 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”，完成下列各小题： （1）若，则代数式的值为 ； （2）若，则代数式的值为 ； （3）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 3 10 【分析】本题主要考查多项式乘多项式、整式的化简求值等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）先由得出，再运用多项式乘多项式法则计算，然后将代入计算即可． （2）先由得出，然后运用整式的四则混合运算法则计算，然后将代入计算即可； （3）由可得、、 ，然后代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ． 故答案为：3． （2）∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）∵， ∴，， ， ∴ ． 故答案为10． 49．（24-25七年级上·北京·期中）填空（直接写出答案） （1） ； （2） ； （3） ；（n为正整数） （4）若a、b都是非零的有理数，那么的值是 ； （5）若a、b都是有理数，，化简 ． 【答案】 / 3或 / 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义的运用，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）第1个数与第2数之和为，第3个数与第4个数的和为，以此类推，得到50个相加，得到结果； （2）把原式看作一个整体，表示出它的2倍，再两式相减，得到结果； （3）根据最后一项可化简为分母是连续奇数，分子为1的两个数之差的形式，从而对原式变形，通过每一个式子相消的办法，得到结果； （4）分四种情况讨论a、b的正负，分别去掉绝对值符号，化简可得到结果； （5）根据新定义，对原式进行化简，即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2）令① 则，② ，得：， 即：； 故答案为：； （3）∵， ∴ 故答案为：； （4）若a、b都是非零的有理数， ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，； 综上所述，原式的值为3或； 故答案为：3或； （5）∵a、b都是有理数，则， ∴ 故答案为：． 50．（24-25八年级上·北京·期中）图1是由边长分别为a，b的两个正方形拼成的图形，其面积为；图2是长、宽分别为a，b的长方形，其面积为， （1）图3是由图1中的图形补成的大正方形，其面积为，请你用等式表示的数量关系 ； （2）在图1边长为a的正方形中放入两个边长为b的小正方形，得到图4所示的图形．若，则图4中阴影部分的面积是 ． 【答案】 12 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算是解决本题的关键． （1）因为整体图形的面积等于各部分面积之和，所以，故． （2）因为，所．由，，可得． 【详解】解：（1）如图3， 由题意知：，． ， ． 故答案为：； （2），，， ，． ． 又， ， 故答案为：12． 51．（24-25七年级下·北京·期中）对实数定义一种新运算，规定：，这里等式右边是通常的四则运算，例如：．设为实数，且满足． (1)当时，求的取值范围； (2)若，请你计算当，时，的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查整式加减，求不等式的解集，理解题意并列得正确的算式及不等式是解题的关键． （1）根据定义的新运算可得，则，根据列得关于m的不等式，解不等式即可； （2）由（1）得，则，，再根据定义的新运算可得，分别将，代入计算后利用不等式的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：根据定义的新运算可得， 则， ∵， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得， 则，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 52．（24-25七年级上·北京东城·期中）如果把一个正整数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的正整数叫做“完美数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一中数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“完美数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“完美数”． (1)若由a、b(a、b均为1-9的正整数)组成的两位数、，与的和一定能被一个常数n整除(n为大于1的正整数)，则常数______； (2)现有一个四位数，若它是“完美数”，这个“完美数”一定能被一个常数m整除(m为大于1的正整数)，则常数______；请说明理由． 【答案】(1)11 (2)11，理由见解析 【分析】本题考查的是新定义运算，数的整除，有理数的乘法分配律的逆应用，整式的加减运算的应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． （1）先分别表示，，再求和，结合乘法的分配律变形可得答案； （2）由题意可得这个四位的完美数为，其中a，b为一位正整数，再表示这个完美数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a、b（a、b均为1～9的正整数）组成的两位数，， ∴，， ∴， ∴与的和一定能被11整除， ∴， 故答案为：11； （2）解：． 理由：∵一个四位数，它是“完美数”， ∴这个四位数为，其中a，b为一位正整数， ∴这个四位数为：， ∴这个“完美数”一定能被11整除， ∴． 53．（24-25七年级上·北京·期中）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按照图2的方式拼成一个大正方形． (1)图2中，中间空白正方形的边长等于______； (2)试写出，， 这三个代数式之间的等量关系：______； (3)若，，请利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据拼图可直接得出答案； （2）由图形中各个部分面积之间的关系即可得出答案； （3）利用代入计算即可． 【详解】（1）解：由拼图可知，图2中，中间空白正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：图2中，中间空白正方形的边长为，因此面积为，整体大正方形的边长为，因此面积为，4个阴影长方形的面积为， 所以有， 故答案为：； （3）解：，， 根据， 可得， ． 54．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：，． (1)根据以上变形填空： 已知，，则______； (2)若，，求的值； (3)如图，正方形、的边长分别为、，若，，求图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键． （1）根据即可求解； （2）根据求出，即可求解； （3）根据题意可得：，， ，得到，根据，求出，进而得到，可求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， 故答案为： 3 ； （2）解：，， ， ； （3）解：正方形、的边长分别为、， ，， ， ， ，， ， ， （负值已舍去）， ． 55．（24-25七年级上·北京西城·期末）学校机器人社团计划开展自制机器人比赛，场地是长为，宽为的长方形，现需要设计赛道和比赛方案．如图1，小明在场地长为的一条边上截取线段，以为一边在场地内部画了一个小长方形，设计了一个宽都为的“U”形赛道（阴影部分），并制定了比赛方案．他将小长方形在场地内部的三条线段的和叫作赛道的内圈长．例如，图1中赛道的内圈长为线段，，的和． (1)用含x的式子表示：图1中，的长为_______，赛道的内圈长为______； (2)小明想到可以调整“U”形赛道的开口方向，如图2，他在场地长为的边上截取线段，且．他以为一边在场地内部画了一个小长方形，设计了一个宽都为的“U”形赛道． ①请在图2中补全小明设计的赛道图形； ②对于图2的这种设计，在图2和图1两种赛道的内圈长相同的前提下，如果这两种赛道宽度的差在范围内，那么可以直接使用之前制定的比赛方案，否则需要对比赛方案作出调整．判断使用图2的设计时，是否需要调整小明之前制定的比赛方案，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①见解析；②需要调整比赛方案，理由见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计． （1）根据线段的和差求解； （2）①根据图1作图； ②先计算新图中的赛道长，再求出两个赛道的宽度差，再求解． 【详解】（1）解：图1中：的长为， 赛道的内圈长为：， 故答案为：，； （2）解：①小明设计的赛道图形如下图所示： ②需要调整小明之前制定的比赛方案； 理由：赛到长为：， 由题意得：， ∴， ∵50不在范围内， ∴需要调整小明之前制定的比赛方案． 56．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 【答案】(1)当时，代数式的最小值为 (2) (3)5米，25 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据阅读材料即可求出答案； （2），根据阅读材料和已知条件即可求出答案； （3）由题意得到长方形的面积，根据阅读材料和已知条件即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴． ∴当时，代数式的最小值为4； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为， ∵多项式的最小值是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵米， ∴（米）， ∴长方形的面积， ∵， ∴长方形的面积， ∴当时，长方形的面积的最大值为25， 即米时，该花坛的面积最大，最大面积是25平方米． 故答案为：5米，25． 57．（23-24八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3：当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)判断：多项式是否关于对称？（答题卡填“是”、“否”） (2)多项式关于_____对称； (3)若关于的多项式关于对称，则_____； (4)多项式关于_____对称． 【答案】(1)是 (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，能够对多项式进行变形，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）利用完全平方式对多项式进行变形，根据新定义判断即可； （2）利用完全平方式对多项式进行变形，根据新定义判断即可； （3）利用完全平方式对多项式进行变形，得到，根据新定义得到，计算即可求解； （4）利用完全平方式对多项式进行变形，根据新定义判定即可． 【详解】（1）解：， 则多项式关于对称． 故答案为：是； （2）解：， 则多项式关于对称． 故答案为：2； （3）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； 故答案为：； （4）解： ， ∴多项式关于对称． 故答案为：． 58．（24-25八年级上·北京大兴·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数和形之间有着十分密切的联系，可见在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 如：在对乘法公式的探究学习中，我们根据图中图形的面积说明了完全平方公式：． (1)如图2，已知正方形和正方形，请用两种不同的方式表示正方形的面积． 方式一：________； 方式二：________； 由正方形的面积的两种不同表示方式可写出一个等式是________． (2)连接，，，，用含，的代数式表示四边形的面积是________． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景，能从整体和部分两个角度求出图形的面积是解题的关键． （1）图分别看成一个小正方形的面积和正方形的面积减去个长为宽为的长方形的面积，进而列出等式即可求得答案； （2）用四边形的面积为正方形的面积减去个底为高为的三角形形的面积，即可得解． 【详解】（1）解：图中正方形的边长为，面积为； 还可以表示为：正方形的面积减去个长为宽为的长方形的面积，即， ∴由正方形的面积的两种不同表示方式可写出一个等式是 故答案为：，，； （2）解：如图， 四边形的面积为正方形的面积减去个底为高为的三角形形的面积， ∴四边形的面积为， 故答案为． 59．（23-24七年级上·天津河西·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如下所示是该市自来水收费价格见价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 4元 超出的部分 8元 注：水费按月结算． (1)填空：若该户居民2月份用水，则应收水费________元； (2)若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示并化简） (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水，求该户居民4，5月份共交水费多少元？（用含的整式表示并化简） 【答案】(1)8 (2)元 (3)见详解 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据表格中的收费标准，求出水费即可； （2）根据a的范围，求出水费即可； （3）根据5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于，分4月份的用水量少于时，5月份用水量超过；4月份用水量不低于，但不超过时，5月份用水量不少于，但不超过；4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过但少于三种情况分别求出水费即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）； （2）解：根据题意得：元． 答：应收水费元； （3）解：由5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于， 当4月份用水量少于时，5月份用水量超过，则4，5月份共交水费为元； 当4月份用水量不低于，但不超过时，5月份用水量不少于，但不超过，则4，5月份交的水费为元； 当4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过但少于，则4，5月份交的水费为（元）． 60．（24-25七年级上·北京·期中）有这样一个问题：将一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新数，那么这个新数与原数的和能被整除吗？ 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)举例：例①；例②，； 例③____________． (2)说理：设一个两位数的十位上的数是，个位上的数是，那么这个两位数可表示为____________；依题意得到的新数可表示为____________．这个两位数与得到的新数的和为 ． (3)结论：将一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新数，那么这个新数与原数的和______（填“能”或“不能”）被整除． 【答案】(1)答案不唯一，如：， (2)，， (3)能 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减计算，解题的关键是掌握两位数的表示方式：十位数字个位数字． （1）根据题意举例即可； （2）首先表示出这个两位数和得到的新数，然后列式求解即可； （3）根据（2）的结论求解即可． 【详解】（1）解：答案不唯一，例如：，； （2）解：这个两位数可表示为． 依题意得到的新数为． 这个两位数与得到的新数的和为； 故答案为：，； （3）解：由（2）可得， ∴将一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新数，那么这个新数与原数的和能被整除． 故答案为：能． 61．（24-25八年级上·北京·期中）对于一个正整数n，若存在正整数k，使得n能表示为k和的平方差，那么称这个正整数n为k系平方差数．例如：，则20为6系平方差数． (1)直接写出10系平方差数； (2)已知为k系平方差数，求M的值； (3)已知a，b为正整数，，且为k系平方差数． ①直接写出a与b之间的数量关系； ②若是m系平方差数，请判断是否为平方差数．若是请直接写出是_______系平方差数（用含m的代数式来表示）若不是请写出理由； 【答案】(1)36 (2)24 (3)①；②是， 【分析】（1）根据k系平方差数定义解答即可； （2）根据k系平方差数定义建立方程，求出k值即可得解； （3）①根据k系平方差数定义建立关于a和b的方程即可得解； ②由是m系平方差数得到，再结合，推出，，进而代入求解即可． 【详解】（1）解：， 答：10系平方差数为36． （2）解：依题意可知， ， 整理得， 解得， ． （3）解：①， ∵为k系平方差数，且， ． ②∵是m系平方差数， ∴， ∴， 由①得， ， ∴， ∴， ∴， 假设是n系平方差数，则， ∴， ∴， ∴是系平方差数． 【点睛】本题考查了平方差公式，新定义，完全平方公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 62．（24-25七年级上·北京·期中）一个三位正整数，其各位数字均不为零且互不相等．若将的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”：若从的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为的“团结数”，如：123的“团结数”为． (1)若的其百位数字为，十位数字为、个位数字为，试说明与其“友谊数”的差能被15整除； (2)若一个三位正整数，它的三个数位上的数字之和为11，求的“团结数”． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的加减计算，正确理解“友谊数”和“团结数”的定义是解题的关键： （1）根据题意表示出M和M的“友谊数”，再根据整式的加减计算法则求出与其“友谊数”的差，据此可证明结论； （2）设N的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，求出N的“团结数”，再根据题意得到的值，最后利用整体代入法计算求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得：，M的“友谊数”为， ， ， ， ∵a、b都是正整数， ∴是整数， 能被整除， 即M与其“友谊数”的差能被整除； （2）解：设N的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z， ∴的“团结数”为 ， ∵一个三位正整数的三个数位上的数字之和为11， ∴， ∴， ∴的“团结数”为． 第七章 概念、命题与证明 63．（23-24七年级下·山西太原·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动． (1)【操作发现】：如图①，小明把三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数； (2)【探索证明】：如图②，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与之间的数量关系； (3)【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E落在上．若，求（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差关系， 三角板的角度计算等知识． （1）由平行线的性质得，再由，，建立方程即可求解； （2）过点F作，结合已知得，从而有，，则； （3）由平行得，即，又，即可得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得； （2）解：，理由如下： 如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴ 64．（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出， (1)①如图1，点O在一条格线上，当时， °； ②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见解析； (2)或． 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．难点是作辅助线，第（2）要分类讨论，不要出现遗漏情况． （1）①先标出和，然后再根据平行的性质可得，然后再利用角的和差解答即可； ②如图：过点C作一条直线平行于格线，标出和 ，再根据平行的性质可得，然后再利用角和差解答即可； （2）分两种情况：当射线在的内部，当射线在的外部，然后利用平行线的性质和三角形的外角的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：①如图1：标出和， 由格线平行，利用平行的性质可得： ∵ ∴ ∴ 故答案为：； ②，证明如下： 证明：如图：过点C作一条直线平行于格线，标出和 由格线平行可得 ∵ ∴． （2）解：设与图中一条格线形成的锐角为，OC与另一条格线形成的锐角为， 当射线在的内部，如图： 在图中随意选择两条格线标出、且过O点作平行于格线的辅助线，并标出和 由格线平行可得， ∵ ∴即， ∴ 即 当射线在的外部，如图： ∵ ∴ 由（1）中②知， ∴ 综上所述：或． 65．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．如图，已知，点在、内部，我们过点作或的平行线，则有，故，，故，即． (1)现将点移至如图2的位置，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论． (2)如图3，与的角平分线相交于点； ①若，，求的度数． ②请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)结论不成立，应该是，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）过点A作，则，由平行线的性质可得，即可求解； （2）①过点F作，由（1）的结论可得，由角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，从而得到，即可求解；②由（1）的结论可得，再由角平分线的定义可得，从而得到，然后由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：结论不成立，应该是，理由如下： 如图2，过点A作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图3，过点F作， 由（1）得：， ∵，， ∴， ∵与的角平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由（1）得：， ∴， ∵与的角平分线相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 66．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知直线，点为平面上一点，连接与．    (1)如图①，点在直线、之间，说明：； (2)如图②，点在直线、之间，与的平分线相交于点，利用（1）中的结论，写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，点落在与外，与的角平分线相交于点，（2）中与之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 (3)成立；理由见解析 【分析】本题主要考查平行的性质，角之间的关系，角平分线的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行的性质得到，即可证明结论； （2）根据，分别平分，，得到即可证明． （3）分别过点P，Q作，根据平行的性质得到，角平分线的性质得到，即可得到答案． 【详解】（1）说明：过点P作， ， ， ， ， ， ， ；    （2）解： 说明：由（1）知，， ，分别平分，， ，， ， 即； （3）解：成立 说明：分别过点P，Q作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又与的角平分线相交于点Q， ，， ， 即．    67．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）三角形中，平分线与相交于点，，垂足为点． (1)如图，三角形是直角三角形，． 补全图； 直接写出的度数； (2)如图，三角形是锐角三角形，过点作，交于点．用等式表示，与三者之间的数量关系并说明理由． (3)三角形是钝角三角形，其中．过点作，交于点，直接写出，与三者之间的数量关系． 【答案】(1)见解析；； (2)，见解析； (3)． 【分析】（）根据题意进行画图即可； 由，平分，得，最后根据平行线的性质即可求解； （）过点作交于点，则，从而可证明，根据平行线的性质，角平分线定义，角度和差即可求解； （）过点作交于点，则，从而可证明，根据平行线的性质，角平分线定义，角度和差即可求解； 本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）补全如图， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），与之间的数量关系为，理由如下： 过点作交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）如图，过点作交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即． 68．（23-24七年级下·北京·期末）阅读下列材料： 如图，点P是线段所在直线之间的一点，且，连接．小马同学通过观察，度量，提出猜想：． 接着他时猜想进行了证明，证明思路是：如图1，过点P作，由．可得． 根据平行线的性质，可得，从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题： (1)如图2，点P是线段AB，CD所在直线上方的一点，且，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点M．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)（或） 【分析】本题考查平行线性质，角平分线定义，三角形内角和定理，外角和定理等． （1）根据题意过点P作，利用平行线性质即可得到本题答案； （2）根据题意过点作，利用角平分线定义得，，再利用内角和定理和外角和定理即可得到本题答案． 【详解】（1）解：数量关系：． 证明：过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵ （如图）， ∴ （等量代换）． 即； （2）解：补全图形： ∵和的角平分线所在直线交于点M， ∴将图按如下命名： ∴，， 又∵， 过点作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 数量关系：（或）． 69．（23-24七年级下·北京通州·期末）如图1，，，，求度数． 小明的解题思路是： 如图2，过点P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；    完成下列任务： (1)依据小明的思路写出求的度数的完整解答过程； (2)如图3，，直线与直线，分别相交于点G，H，这样三条直线将平面分成六个区域．点P是平面内任意一点，且满足，．请你直接写出点P分别在6个区域运动时，、、之间的数量关系，并选择点P在某一区域内的情况进行证明．（点P不在直线，，上） 【答案】(1) (2)当点P在区域①内时，；当点P在区域②内时，；当点P在区域③内时，；当点P在区域④内时，；当点P在区域⑤内时，；与点P在区域④内同理可得 【分析】本题考查平行线的判定与性质，过点作是解题的关键． （1）根据过点作，证明，根据平行线的性质求解即可； （2）分别作出各区域内的图形，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点作（如图，则 ， ∵，， ∴， 又 ， （2）解：当点P在区域①内时，，    过点P作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 当点P在区域②内时，，    过点P作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 当点P在区域③内时，，    与点P在区域①内同理可得； 当点P在区域④内时，，    过点P作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 当点P在区域⑤内时，，    过点P作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 当点P在区域⑥内时，，    与点P在区域④内同理可得． 第八章 因式分解 70．（24-25八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________． 【答案】(1)或 (2) (3)，， 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，因式分解的应用； (1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； (2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； (3）根据题意，由“-系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：或； （2）根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， 多项式的另一个零点是； （3）， 的两个零点分别是或， 根据“系多项式”的定义，有， ∴ 把代入， 得 ， ， 故答案为：，，． 71．（24-25九年级下·山东日照·阶段练习）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第12个智慧优数是 ． 【答案】35 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…依次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：，均为正整数， ，，，，…， ，，，，…， ， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…， 把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 第12个智慧优数是， 故答案为：． 72．（2025九年级下·北京·学业考试）多项式可分解为 ． 【答案】 【分析】根据分解因式的方法，先把变成，再根据提公因式法和十字相乘法分解因式即可． 【详解】解析：原式， ， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解的方法——提公因式法和十字相乘法，解决此题的关键是要想到把分开用． 73．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，那么 ， ． 【答案】 -1 0 【分析】由条件可以变形为，因式分解从而可以求出其值；，可以得出，．所以从而得出结论． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∵m≠2n， ∴ ∴m＋2n＝−1； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案是：−1；0． 【点睛】本题考查了因式分解在整式计算求值中运用和技巧，将原式进行适当的变形，灵活运用因式分解是解题的关键． 74．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）阅读材料：若（为常数）有一个因式为，则如何因式分解？ 解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解． 若（为常数）有一个因式为，则因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解求参数、以及通过列竖式做多项式除法进行因式分解，由题意同理求出中的值，再通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，即可解题． 【详解】解：（为常数）有一个因式为， 当时，有， 即当时，有， 解得， 多项式为， ， 故答案为：． 75．（2024·重庆江津·二模）对于一个各数位上的数字均不为零且互不相等的数，将它各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，得到一个新的数，称为的“趣味数”，并规定，（其中、为非零常数）．例如，其各个数位上的数字分别平方后数的个位数字分别是4、9、6，则234的“趣味数”，已知，，则 ，对于一个两位数和一个三位数，在的十位数字和个位数字中间插入一个数，得到一个新的三位数，若是的9倍，且是的趣味数，则的最小值＝ ． 【答案】 77 275 【分析】（1）分别求出7与12的“趣味数”，代入中，联立方程组即可求出a、b的值，从而确定的表达式，再求出的“趣味数”是，代入所求的表达式即可； （2）设s的十位数字为a，个位数字为b，分别表达出，由题意可得等式，再根据b的取值与等式成立的条件确定，由此列式计算，从而确定；再结合t是的“趣味数”，进一步确定t的值，从而求解． 【详解】解：（1）7的“趣味数”是9， ∴； 12的“趣味数”是14， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵的“趣味数”是， ∴； 故答案为：77； （2）设s的十位数字为a，个位数字为b， 由题意可知，， ∵是s的9倍， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴满足条件的a与k为： 或或， ∵， ∴s'为135，315， ∵t是的“趣味数”， ∴t为195，915，“趣味数”为115， ∵， ∴， ∴的最小值为275． 故答案为：275． 【点睛】本题考查因式分解的应用；准确理解题意，根据三位数的特点，能用字母表示数，再结合数的特点逐步确定各位数字的具体数是解题的关键． 76．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）材料阅读：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以是“完美数”；再如：因为（，是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： (1)请直接写出一个小于的“完美数”，这个“完美数”是 ． (2)试判断（，是整数）是否为“完美数”，并说明理由． (3)已知M＝（，是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)是完美数，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据新定义，判断，并写出一个小于的“完美数”即可求解； （2）根据新定义根据多项式乘以单项式进行计算，然后因式分解成两个平方和的形式即可求解； （3）先运用完全平方公式将M进行化简，再根据“完美数”的定义计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴是“完美数” 故答案为：（答案不唯一）． （2）解： 是“完美数”. （3）解： 为“完美数” ， ，   【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 77．（23-24八年级上·北京怀柔·期末）小柔在进行因式分解时发现一个现象，一个关于x的多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，则当或时原多项式的值为0，因此定义和为多项式的0值，和的平均值为轴值．例：或时，则和为的0值，3和的平均值1为的轴值． (1)的0值为____________，轴值为____________； (2)若的0值只有一个，则____________，此时0值与轴值相等； (3)的0值为，轴值为m，则____________，若的0值与轴值相等，则____________． 【答案】(1)2和，0 ； (2)； (3)0，9． 【分析】（1）把进行因式分解，即可求解； （2）根据的0值只有一个，则，即可求解； （3）根据，且0值为，，即可得出结论， 由的0值与轴值相等，即可得出，即可求解． 【详解】（1）解：， 或时，， 的0值为和， 又， 的轴值为0， 故答案为：2和，0 ； （2）解：的0值只有一个， ， 即的0值为， 又， ， 故答案为：； （3）解：， 的0值为：和， ， ； 当的0值与轴值相等， 的0值只有一个， ， 即时， 此时的0值为，轴值为：， 故答案为：0，9． 【点睛】本题考查是因式分解，以及完全平方公式的运用，解题的关键是读懂题意，以及熟练掌握相关的运算． 78．（23-24八年级上·北京海淀·期末）我们知道，代数式的运算和多项式因式分解都属于不改变代数式值的恒等变形．探究下列关于x的代数式，并解决问题． (1)若计算的结果为，则_________； (2)若多项式分解因式的结果为，则_________，b=_________； (3)若计算的结果为，求m的值． 【答案】(1) (2)1，2； (3) 【分析】（1）根据等式的性质即可求解； （2）把展开，根据与相等列出二元一次方程组求解即可； （3）将展开，根据与相等列出二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 解得：， 故答案为：1，2； （3）解：， ， ， 解得：； ． 【点睛】本题考查了等式的性质，代数式，解题的关键是根据等式列出二元一次方程求解． 79．（23-24八年级上·北京海淀·期末）阅读：把多项式分解因式得，由此对于方程可以变形为，解得或． 观察多项式的因式、，与方程的解或之间的关系．可以发现，如果、是方程的解，那么、是多项式的因式．这样，若要把一个多项式分解因式，可以通过其对应方程的解来确定其中的因式． 例如：对于多项式．观察可知，当时，．则，其中为整式，即是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法： ∴． 填空： (1)分解因式：______； (2)观察可知，当______时，，可得______是多项式的一个因式． 分解因式：______． (3)已知：，其中为整式，则分解因式：______． 【答案】(1) (2)1；； (3) 【分析】（1）通过得出方程的根，即可求解； （2）通过对竖式除法的掌握，进行计算即可得到； （3）通过对竖式除法的掌握，进行计算即可得到． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：当时，，可得是多项式的一个因式，通过竖式除法得： ， 故答案为：1；；． （3）解：， 为整式， 通过竖式除法得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握通竖式除法的运算法则，进行计算即可得到． 80．（23-24八年级上·北京西城·期中）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法” 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程 解：设①，将①带入原式后， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法； (2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果； (3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解 【答案】(1)提取公因式 (2) (3) 【分析】（1）根据因式分解的方法判断即可； （2）因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，将因式分解成即可； （3）用换元法设，代入多项式，然后仿照题干的换元法解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：从到运用了因式分解中的提取公因式法 故答案为：提取公因式 （2）解：由题意得： （3）解：设，将代入中得： 原式 【点睛】本题考查了因式分解的方法和运用，解题关键是灵活运用换元法对较为复杂的多项式进行因式分解，达到去繁化简的效果． 第九章 数据的收集与描述 81．（2025·山西朔州·三模）健康管理不仅是个人问题，更是关乎全民健康的国家战略．学校食堂积极响应健康饮食理念，推出，两种套餐．为了解学生对两种套餐的满意度情况，食堂管理员从两种套餐都吃过的学生中随机选择人，请他们分别从口味、营养、价格三方面对两种套餐进行满意度评分【非常满意：分；比较满意：分；基本满意：分；不太满意：分；不满意：分】．评分数据全部收回且有效，并整理得到如下统计图（不完整）和统计表： 两种套餐各项满意度得分平均数 种类 得分平均数 口味 营养 价格 套餐 8分 分 分 套餐 分 分 分 请根据上述信息，解决下列问题： (1)补全扇形统计图和条形统计图中空缺的部分； (2)小颖分析两种套餐价格满意度条形统计图时，发现给套餐打分的人数多于给套餐打分的人数，因此她判断套餐价格满意度更高．小明认为她的观点是片面的，请结合上述图表中的信息帮小明说明理由（写出一条即可）； (3)食堂管理员将两种套餐口味、营养、价格得分的平均数按的比例计算满意度综评得分，并求得套餐综评得分为分．请通过计算比较两种套餐的综评得分，并给综评得分较低的套餐提一条改进建议． 【答案】(1)，补图见解析 (2)见解析 (3)套餐综评得分较低，建议：套餐要更加关注营养搭配 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数，中位数，众数，熟练掌握这些定义及其应用是解题的关键． （1）从两个统计图可知，求出套餐3分占比和4分人数再补全图形即可； （2）根据条形统计图的数据分析结论即可； （3）求出加权平均数后再给出建议即可． 【详解】（1）解：套餐3分占比， 套餐4分人数（人）， 补全扇形统计图和条形统计图中空缺的部分如下： （2）解：不唯一，如：①套餐价格满意度中位数为3分，小于套餐价格满意度中位数4分，所以从中位数角度看，套餐价格满意度更高，所以小颖的观点是片面的； ②套餐价格满意度众数为3分，小于套餐价格满意度众数4分，所以从众数角度看，套餐价格满意度更高，所以小颖的观点是片面的； ③套餐价格满意度平均数为分，等于套餐价格满意度平均数分，所以从平均数角度看，，套餐价格满意度一样，所以小颖的观点是片面的； ④给套餐打5分，4分，3分的人共有人，给套餐打5分，4分，3分的人共有人，，即套餐价格满意度达到“基本满意”及以上的人数多于套餐，所以套餐价格满意度更高，所以小颖的观点是片面的． （3）解：套餐得分分， 套餐得分（分）， 因为， 所以，套餐综评得分较低． 建议：答案不唯一，例如：套餐要更加关注营养搭配． 82．（24-25八年级下·重庆·期中）在第30个“世界读书日”来临之际，我校作为重庆市“书香校园”开展了“书香满校园，阅读伴成长”的阅读知识竞赛活动．赛后从甲、乙两个班中各随机抽取10名学生进行模拟测试，测试题满分100分．所有测试成绩均不低于60分，现将测试成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分为四组：，，，．），下面给出部分信息： 甲班10名学生的测试成绩在组的数据是：84，85，88． 乙班10名学生的测试成绩的数据是：65，70，75，82，84，85，86，99，99，100． 甲班抽取的学生测试成绩扇形统计图 甲、乙两班抽取的学生测试成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 甲 85 95 乙 85 85 根据以上信息，解答下面问题： (1)直接写出上述图表中的值； (2)根据以上数据，你认为甲、乙两班中哪个班级抽取的学生测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)甲班抽取的10名学生的测试成绩中，B组学生平均成绩为78分，D组学生平均成绩为98分，请你计算甲校两组学生的竞赛总成绩． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)548 【分析】此题考查了求平均数，中位数和众数，根据以上数据作决策，解题的关键是正确分析统计图中的数据． （1）首先求出甲班10名学生的测试成绩在C组的人数所占的百分比，然后用1减去其他组所占的百分比即可求出a的值；根据中位数和众数的概念即可求出b和c的值； （2）根据甲班和乙班的中位数和众数判断求解即可； （3）利用样本平均数求解即可． 【详解】（1）解：∵甲班10名学生的测试成绩在C组的数据是：84，85，88，共3人， 甲班10名学生的测试成绩在C组的人数所占的百分比为， ∴B组人数所占的百分比， ∴； ∵一共抽取10名学生进行模拟测试， ∴中位数为从小到大排列后第5名和第6名的平均数， ∴中位数； ∵乙班10名学生的测试成绩的数据中99分出现的次数最多， ∴众数； （2）解：甲班抽取的学生测试成绩较好．理由如下： 甲班抽取的学生测试成绩的中位数86.5大于乙班抽取的学生测试成绩的中位数85； 乙班抽取的学生测试成绩较好．理由如下： 乙班抽取的学生测试成绩的众数99大于甲班抽取的学生测试成绩的众数95． （结论，原因，作答其中一条即可） （3）解：（分）． 答：甲班抽取的10名学生的测试成绩在B、D组的总成绩为548． 83．（2025年湖北省武汉市九年级下学期五月四区联考三模数学试题）某市教育部门为进一步开展“初中生睡眠管理”工作，对本市部分学生的睡眠情况进行了抽样调查．将数据整理后，设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：A 组 ：；B组：；C组：；D组：；E 组 ：．根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图： 请根据图中信息解答下列问题： (1)本次共调查了______名学生，在扇形统计图中，C 组所对扇形圆心角的度数为______° ； (2)该市现有260000名初中生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有 多少人? (3)根据上述调查数据，简要谈谈你关于“初中生睡眠管理”的看法，并结合自己的实际， 提一条合理化的建议．（字数不超过30个字） 【答案】(1)100,144 (2)平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有人 (3)建议增加学生睡眠时间（答案不唯一） 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、由样本估计总体、求扇形统计图圆心角度数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据组的人数和所占百分比即可求出总人数，用乘以组人数所占的比例即可得解； （2）用乘以平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生所占的比例即可得解； （3）根据题意写出一条合理化建议即可． 【详解】（1）解：本次共调查了学生（名）， C组所对应的扇形圆心角的度数为； （2）解：（人）， 故平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有人； （3）解：根据调查情况，平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生人数占比较小，建议增加学生睡眠时间（答案不唯一）． 84．（2025·安徽合肥·二模）综合与实践 【项目背景】随着北京冬奥会的顺利召开，冰雪运动已成为许多青年人的爱好，冰雪运动健儿更是在各类比赛中争金夺银．在哈尔滨亚冬会自由式滑雪空中技巧项目比赛中，中国队就夺得4金4银2铜的好成绩． 【规则了解】自由式滑雪空中技巧项目的计分规则为： a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H； b．每次试跳都有5名裁判进行打分（分，分数为0.5的整数倍），在5个得分中去掉1个最高分和1个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分P； c．运动员该次试跳的得分． 【数据收集与整理】在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为： 难度系数 裁判 A B C D E 3.5 打分 8.5 9.5 9.0 9.0 9.5 【数据分析与应用】 任务1：甲运动员这次试跳的完成分________，得分________；（结果保留两位小数） 任务2：若按照全部5名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为，那么与任务1中所得的比较，________（填“＞”“＝”或“＜”）； 任务3：在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低8.1分，已知乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分至少要达到多少分？ 【答案】1.9.17，96.29 2. 3.9.67 【分析】本题主要考查了求平均数，一元一次不等式的应用， 对于1，根据计算即可，再根据计算； 对于2，根据计算，再比较； 对于3，根据求出答案即可． 【详解】解：1.；； 故答案为：9.17，96.29； 2．， ∴； 故答案为：； 3.设这一跳乙的完成分至少要达到x分，根据题意，得 ， 解得． 所以这一跳乙的完成分至少要达到9.67分． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末真题必刷压轴80题（19个考点专练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 一元一次不等式压轴问题 · 题型二 一元一次不等式组的含参压轴 · 题型三 不等式与方程组相结合压轴 · 题型四 不等式组的新定义问题 · 题型五 不等式组的实际应用 · 题型六 二元一次方程组的含参压轴 · 题型七 二元一次方程组的实际应用 · 题型八 二元一次方程组的新定义问题 · 题型九 整式的加减压轴 · 题型十 幂的运算压轴 · 题型十一 整式的乘法压轴 · 题型十二 乘法公式压轴 · 题型十三 整式的除法压轴 · 题型十四 概念、命题与证明压轴 · 题型十五 因式分解压轴 · 题型十六 十字相乘法 · 题型十七 分组分解法 · 题型十八 因式分解的应用 · 题型十九 数据的收集与描述大题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组 1．（2023·北京东城·一模）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京·期中）若关于x的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（2024·福建龙岩·一模）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是(   ) A．或 B． 或 C．或 D． 或 4．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如，给出下列关于的结论：①；②；③；④若，则实数的取值范围是；⑤满足的非负数只有两个．正确结论的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2025·广东广州·一模）关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（24-25七年级下·北京海淀·期中）已知a，b，c为三个实数，其中a、b均为负数，且满足，令，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）若关于的不等式组的所有整数解之和等于20，则所有满足条件的整数的值之和为（　　） A．15 B．21 C． D．24 8．（24-25七年级下·北京白云·期中）已知关于的不等式组下列四个结论： ①若，则是该不等式组的一个解； ②若该不等式组无解，则； ③若该不等式组的解集为，则； ④若该不等式组只有三个整数解，则． 其中正确的结论个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于的一元一次方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ． 11．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于x的不等式组有解且只有3个偶数解．同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 12．（2025·湖南郴州·二模）小明去食堂排队取餐，看到甲、乙两窗口排队的人数均为，选择在甲窗口排队取餐．观察发现：甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟，且乙窗口每分钟新增4人排队取餐（假定后续同学按此速度取餐）．2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队取到餐所需时间为 （用含m的式子表示）．若小明在乙窗口取到餐所需时间，比不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间少，不考虑其他因素，则排队人数m的最小值为 ． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围是 ． 14．（24-25七年级下·重庆万州·期中）若关于 x 的不等式组 有且只有 2 个整数解，且关于 y 的方程的解是负整数， 则符合条件的所有整数 a 的和是    ． 15．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）若关于的方程有非负整数解，且关于的不等式组至多有三个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 16．（24-25七年级下·北京·期中）关于不等式组，下列说法正确的是 ．（填所有正确说法的序号） ①如果，则不等式组一定有实数解； ②如果，则不等式组一定有整数解； ③如果不等式组有两个整数解，则； ④如果，且不等式组有三个非负整数解，则的范围是． 17．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知关于x的不等式组，给出下面四个结论： 当时，不等式组的解集是； 若不等式组的解集是，则； 若不等式组恰有个整数解，则； 若不等式组无解，则； 上述结论中，正确结论的序号有 ． 18．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 19．（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）定义：我们把不等式组解集中的整数叫做这个不等式组的“核”，把解集中整数的个数称为该不等式组的“核数”．例如，不等式组的解集中存在0，1，2，3这4个“核”，这个不等式组的“核数”为4． (1)下列不等式组中，“核数”为2的有________（只填序号） ①    ②    ③ (2)不等式组的“核数”为a，不等式组的“核数”为b． ①若，求整数k的值． ②若关于m，y，z的三元一次方程组的解是正数，直接写出整数k的值． 20．（24-25九年级下·北京·开学考试）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种， 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减70元． （如：所购商品原价为300元，可减70元，需付款230元；所购商品原价为700元，可减140元，需付款560元） （1）若购买一件原价为400元的健身器材，更合算的选择方式为活动 ； （2）若购买一件原价为元的健身器材，选择活动二比选择活动一更合算，则的取值范围是 ． 21．（23-24七年级下·北京·期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于x，y的二元一次方程组中，，求a的取值范围． 分析：在关于x，y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得，又因为，所以解得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知，且，求的取值范围； ②已知，在关于x，y的二元一次方程组中，，请直接写出的取值范围 （结果用含m的式子表示）． 第五章 二元一次方程组 22．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）在《算法统宗》里记载了一道趣题： 原文：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑! 意思是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问甜、苦果各买几个？ 下列是四位同学的解答： 小明：设苦果买个，甜果买个，根据题意可列方程组为； 小刚：设苦果买个，甜果买个，根据题意可列方程组为； 小勇：设苦果买个，甜果买个，根据题意可列方程为； 小强：设苦果买个，甜果买个，根据题意可列方程为； 其中，以上解答一定正确的是（　　） A． B． C． D． 23．（23-24七年级下·北京门头沟·期末）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，；②当时，x与y互为相反数；③无论a取何值时，都有；④当时，．其中正确结论的序号是（　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 24．（23-24七年级下·北京西城·期中）关于x，y的方程组的解中x与y的差等于2，则m的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 25．（24-25七年级下·北京·期中）关于，的二元一次方程，且当时，． （1）的值是 ； （2）当时，对于每一个的值，关于的不等式总成立，则的取值范围是 ． 26．（24-25七年级下·北京·期中）已知三个数，，，用表示这三个数中最大的数，如果，那么： （1）当，，时，的值是 ； （2）当，，，且时，的值是 ． 27．（24-25七年级下·北京·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ． 28．（24-25七年级下·北京·期中）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为“友好二元一次方程”，其中；由这两个方程组成的方程组叫做“友好方程组”． （1）若关于、的方程组为“友好方程组”，则 ， ； （2）若关于、的“友好方程组”的解为整数，则整数的值为 ． 29．（24-25九年级下·北京·阶段练习）一个旅游团去游览某个水上景点，游客可以沿岸边徒步游览，也可以乘坐游船游览，都是原路去，原路返回，如果乘坐游船，方式和费用为：单程每人100元，往返每人150元．若该旅游团队每个人都至少乘坐一次游船，去程时有9人乘坐游船，返程时有13人乘坐游船，他们乘坐游船的总费用是1800元，则该旅游团队只乘坐一次游船的有 人． 30．（23-24七年级下·北京朝阳·期末）某校为提高校园足球质量和水平，让学生在参与校园足球运动中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，实现德智体美劳全面发展，举办了校园足球联赛．根据赛事安排，每队均需参赛19场，记分办法如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分． （1）在这次足球联赛中，若某队得13分，则该队可能负 场；（写出一种情况即可） （2）在这次足球联赛中，若甲、乙两队都得33分，甲队所有比赛都没有踢平，甲、乙两队负场数不同，则乙队最多胜 场． 31．（2024·北京大兴·模拟预测）小明是某蛋糕店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打八五折．周末他去蛋糕店，发现店内正在举办特惠活动：任选两件商品，第二件打七折，如果两件商品不同价，则按照低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小明打算在该店购买两个面包，他计算后发现，使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差0.9元，则 花费较少（直接填写序号：①使用会员卡；②参加特惠活动）；两个面包的定价相差 元． 32．（2024·北京门头沟·二模）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”知农爱农，珍惜粮食，传承美德，从校园做起．为响应此号召学校举办“减少舌尖上的浪费”宣传活动，参加活动的共60人，其中有校领导，教师代表，七年级学生代表，八年级学生代表和九年级学生代表．已知校领导和教师代表的总人数是七年级学生代表和八年级学生代表总人数的四分之一，校领导和七年级学生代表的总人数是教师代表和八年级学生代表总人数的七倍，则参加这次活动的九年级学生代表有 人． 33．（2024·北京大兴·一模）某公园门票价格如下表：某学校组织摄影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数分别为和．若两社团分别以各自社团为单位购票，共需1560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需1170元，那么这两个社团的人数为 ， ． 购票人数 80以上 门票价格 20元人 16元人 13元人 34．（2025·北京海淀·模拟预测）临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个．设购进的小枣粽袋，豆沙粽袋． (1)购进的肉粽的个数为________个（用含，的代数式表示）； (2)为了促销，超市计划将所购200袋粽子组合包装，使得其恰好全部制成，两种套装销售，套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个． ①用等式表示，的数量关系为________； ②若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进多少袋？ 35．（24-25七年级下·北京·期中）用方程组和不等式解决问题 学校计划建设一间活动教室，需要为教室采购五人桌和两人桌两种类型的活动课桌．已知购买2张五人桌和5张两人桌需花费1700元；购买5张五人桌和2张两人桌需花费2150元． (1)求每张五人桌和两人桌的价格． (2)学校根据教室布局，计划采购14张活动课桌，要求预算不超过3800元，求至少采购几张两人桌？ (3)在（2）的条件下，活动教室至少要容纳43名学生，求所有满足条件的采购方案． 36．（24-25七年级下·北京通州·期中）已知关于x、y的二元一次方程的解如下表 x … 0 1 2 … … 2 5 … (1)求k、b的值； (2)求当时x的值． (3)直接写出的解集． 37．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 38．（23-24七年级下·北京延庆·期末）我们把关于x，y的二元一次方程，叫作数对的“伴随方程”；若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则称数对是数对的“伴随数对”． (1)已知数对，在数对中，是数对的“伴随数对”的是 ； (2)若数对是数对和数对的“伴随数对”，求数对的“伴随方程”； (3)若是n个不同的数对，满足前一个数对是后面所有数对的“伴随数对”，且n的最大值是t，如果关于x的不等式组恰好有2024个整数解，直接写出m的取值范围． 39．（23-24七年级下·北京·期末）已知二元一次方程组的解为，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，若在线段上存在个整数，则称二元一次方程组为系方程组． (1)二元一次方程组是______系方程组． (2)关于，的二元一次方程组是3系方程组，直接写出的取值范围． (3)关于，的二元一次方程是2系方程组，直接写出的取值范围． 第六章 整式的运算 40．（23-24七年级上·北京西城·期中）如图所示是婷婷家所在区的一条公路路线图，粗线是大路，细线是小路，七个公司，，，，，，分布在大路两侧，有一些小路与大路相连，现要在大路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（　　）    A．路口C B．路口D C．路口E D．路口F 41．（23-24七年级上·北京西城·期中）规定：，．例如，．下列结论中：①若，则；②若，则；③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是7．其中正确的所有结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 42．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（    ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 43．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，在矩形中，，，点和点分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 44．（2025七年级下·全国·专题练习）观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（　　） A． B． C． D． 45．（24-25七年级下·北京·期中）数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为，，且，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏．某小组按照此方式玩了5次游戏，他们将部分数据记录如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 32 乙 22 丙 16 由此推断的值为 ． 46．（24-25七年级上·北京·期中）1．已知，有理数在数轴上的位置如图所示， （1）化简： ； （2）若两数的倒数是他们自身，当的范围是 时，有最小值，最小值为 ． （3）在（2）的条件下，若未知数满足，则代数式的最大值是 ． 47．（24-25七年级上·北京·期中）定义计算“”，对于两个有理数，，有，例如：，则 ， ． 48．（24-25八年级上·北京·期中）先阅读下面材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”． 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”，完成下列各小题： （1）若，则代数式的值为 ； （2）若，则代数式的值为 ； （3）已知，则代数式的值为 ． 49．（24-25七年级上·北京·期中）填空（直接写出答案） （1） ； （2） ； （3） ；（n为正整数） （4）若a、b都是非零的有理数，那么的值是 ； （5）若a、b都是有理数，，化简 ． 50．（24-25八年级上·北京·期中）图1是由边长分别为a，b的两个正方形拼成的图形，其面积为；图2是长、宽分别为a，b的长方形，其面积为， （1）图3是由图1中的图形补成的大正方形，其面积为，请你用等式表示的数量关系 ； （2）在图1边长为a的正方形中放入两个边长为b的小正方形，得到图4所示的图形．若，则图4中阴影部分的面积是 ． 51．（24-25七年级下·北京·期中）对实数定义一种新运算，规定：，这里等式右边是通常的四则运算，例如：．设为实数，且满足． (1)当时，求的取值范围； (2)若，请你计算当，时，的取值范围． 52．（24-25七年级上·北京东城·期中）如果把一个正整数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的正整数叫做“完美数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一中数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“完美数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“完美数”． (1)若由a、b(a、b均为1-9的正整数)组成的两位数、，与的和一定能被一个常数n整除(n为大于1的正整数)，则常数______； (2)现有一个四位数，若它是“完美数”，这个“完美数”一定能被一个常数m整除(m为大于1的正整数)，则常数______；请说明理由． 53．（24-25七年级上·北京·期中）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按照图2的方式拼成一个大正方形． (1)图2中，中间空白正方形的边长等于______； (2)试写出，， 这三个代数式之间的等量关系：______； (3)若，，请利用（2）中的结论，求的值． 54．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：，． (1)根据以上变形填空： 已知，，则______； (2)若，，求的值； (3)如图，正方形、的边长分别为、，若，，求图中阴影部分的面积之和． 55．（24-25七年级上·北京西城·期末）学校机器人社团计划开展自制机器人比赛，场地是长为，宽为的长方形，现需要设计赛道和比赛方案．如图1，小明在场地长为的一条边上截取线段，以为一边在场地内部画了一个小长方形，设计了一个宽都为的“U”形赛道（阴影部分），并制定了比赛方案．他将小长方形在场地内部的三条线段的和叫作赛道的内圈长．例如，图1中赛道的内圈长为线段，，的和． (1)用含x的式子表示：图1中，的长为_______，赛道的内圈长为______； (2)小明想到可以调整“U”形赛道的开口方向，如图2，他在场地长为的边上截取线段，且．他以为一边在场地内部画了一个小长方形，设计了一个宽都为的“U”形赛道． ①请在图2中补全小明设计的赛道图形； ②对于图2的这种设计，在图2和图1两种赛道的内圈长相同的前提下，如果这两种赛道宽度的差在范围内，那么可以直接使用之前制定的比赛方案，否则需要对比赛方案作出调整．判断使用图2的设计时，是否需要调整小明之前制定的比赛方案，并说明理由． 56．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 57．（23-24八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3：当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)判断：多项式是否关于对称？（答题卡填“是”、“否”） (2)多项式关于_____对称； (3)若关于的多项式关于对称，则_____； (4)多项式关于_____对称． 58．（24-25八年级上·北京大兴·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数和形之间有着十分密切的联系，可见在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 如：在对乘法公式的探究学习中，我们根据图中图形的面积说明了完全平方公式：． (1)如图2，已知正方形和正方形，请用两种不同的方式表示正方形的面积． 方式一：________； 方式二：________； 由正方形的面积的两种不同表示方式可写出一个等式是________． (2)连接，，，，用含，的代数式表示四边形的面积是________． 59．（23-24七年级上·天津河西·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如下所示是该市自来水收费价格见价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 4元 超出的部分 8元 注：水费按月结算． (1)填空：若该户居民2月份用水，则应收水费________元； (2)若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示并化简） (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水，求该户居民4，5月份共交水费多少元？（用含的整式表示并化简） 60．（24-25七年级上·北京·期中）有这样一个问题：将一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新数，那么这个新数与原数的和能被整除吗？ 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)举例：例①；例②，； 例③____________． (2)说理：设一个两位数的十位上的数是，个位上的数是，那么这个两位数可表示为____________；依题意得到的新数可表示为____________．这个两位数与得到的新数的和为 ． (3)结论：将一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新数，那么这个新数与原数的和______（填“能”或“不能”）被整除． 61．（24-25八年级上·北京·期中）对于一个正整数n，若存在正整数k，使得n能表示为k和的平方差，那么称这个正整数n为k系平方差数．例如：，则20为6系平方差数． (1)直接写出10系平方差数； (2)已知为k系平方差数，求M的值； (3)已知a，b为正整数，，且为k系平方差数． ①直接写出a与b之间的数量关系； ②若是m系平方差数，请判断是否为平方差数．若是请直接写出是_______系平方差数（用含m的代数式来表示）若不是请写出理由； 62．（24-25七年级上·北京·期中）一个三位正整数，其各位数字均不为零且互不相等．若将的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”：若从的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为的“团结数”，如：123的“团结数”为． (1)若的其百位数字为，十位数字为、个位数字为，试说明与其“友谊数”的差能被15整除； (2)若一个三位正整数，它的三个数位上的数字之和为11，求的“团结数”． 第七章 概念、命题与证明 63．（23-24七年级下·山西太原·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动． (1)【操作发现】：如图①，小明把三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数； (2)【探索证明】：如图②，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与之间的数量关系； (3)【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E落在上．若，求（用含α的式子表示）． 64．（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出， (1)①如图1，点O在一条格线上，当时， °； ②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 65．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．如图，已知，点在、内部，我们过点作或的平行线，则有，故，，故，即． (1)现将点移至如图2的位置，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论． (2)如图3，与的角平分线相交于点； ①若，，求的度数． ②请直接写出与的数量关系． 66．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知直线，点为平面上一点，连接与．    (1)如图①，点在直线、之间，说明：； (2)如图②，点在直线、之间，与的平分线相交于点，利用（1）中的结论，写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，点落在与外，与的角平分线相交于点，（2）中与之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由． 67．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）三角形中，平分线与相交于点，，垂足为点． (1)如图，三角形是直角三角形，． 补全图； 直接写出的度数； (2)如图，三角形是锐角三角形，过点作，交于点．用等式表示，与三者之间的数量关系并说明理由． (3)三角形是钝角三角形，其中．过点作，交于点，直接写出，与三者之间的数量关系． 68．（23-24七年级下·北京·期末）阅读下列材料： 如图，点P是线段所在直线之间的一点，且，连接．小马同学通过观察，度量，提出猜想：． 接着他时猜想进行了证明，证明思路是：如图1，过点P作，由．可得． 根据平行线的性质，可得，从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题： (1)如图2，点P是线段AB，CD所在直线上方的一点，且，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点M．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 69．（23-24七年级下·北京通州·期末）如图1，，，，求度数． 小明的解题思路是： 如图2，过点P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；    完成下列任务： (1)依据小明的思路写出求的度数的完整解答过程； (2)如图3，，直线与直线，分别相交于点G，H，这样三条直线将平面分成六个区域．点P是平面内任意一点，且满足，．请你直接写出点P分别在6个区域运动时，、、之间的数量关系，并选择点P在某一区域内的情况进行证明．（点P不在直线，，上） 第八章 因式分解 70．（24-25八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________． 71．（24-25九年级下·山东日照·阶段练习）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第12个智慧优数是 ． 72．（2025九年级下·北京·学业考试）多项式可分解为 ． 73．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，那么 ， ． 74．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）阅读材料：若（为常数）有一个因式为，则如何因式分解？ 解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解． 若（为常数）有一个因式为，则因式分解 ． 75．（2024·重庆江津·二模）对于一个各数位上的数字均不为零且互不相等的数，将它各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，得到一个新的数，称为的“趣味数”，并规定，（其中、为非零常数）．例如，其各个数位上的数字分别平方后数的个位数字分别是4、9、6，则234的“趣味数”，已知，，则 ，对于一个两位数和一个三位数，在的十位数字和个位数字中间插入一个数，得到一个新的三位数，若是的9倍，且是的趣味数，则的最小值＝ ． 76．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）材料阅读：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以是“完美数”；再如：因为（，是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： (1)请直接写出一个小于的“完美数”，这个“完美数”是 ． (2)试判断（，是整数）是否为“完美数”，并说明理由． (3)已知M＝（，是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由． 77．（23-24八年级上·北京怀柔·期末）小柔在进行因式分解时发现一个现象，一个关于x的多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，则当或时原多项式的值为0，因此定义和为多项式的0值，和的平均值为轴值．例：或时，则和为的0值，3和的平均值1为的轴值． (1)的0值为____________，轴值为____________； (2)若的0值只有一个，则____________，此时0值与轴值相等； (3)的0值为，轴值为m，则____________，若的0值与轴值相等，则____________． 78．（23-24八年级上·北京海淀·期末）我们知道，代数式的运算和多项式因式分解都属于不改变代数式值的恒等变形．探究下列关于x的代数式，并解决问题． (1)若计算的结果为，则_________； (2)若多项式分解因式的结果为，则_________，b=_________； (3)若计算的结果为，求m的值． 79．（23-24八年级上·北京海淀·期末）阅读：把多项式分解因式得，由此对于方程可以变形为，解得或． 观察多项式的因式、，与方程的解或之间的关系．可以发现，如果、是方程的解，那么、是多项式的因式．这样，若要把一个多项式分解因式，可以通过其对应方程的解来确定其中的因式． 例如：对于多项式．观察可知，当时，．则，其中为整式，即是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法： ∴． 填空： (1)分解因式：______； (2)观察可知，当______时，，可得______是多项式的一个因式． 分解因式：______． (3)已知：，其中为整式，则分解因式：______． 80．（23-24八年级上·北京西城·期中）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法” 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程 解：设①，将①带入原式后， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法； (2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果； (3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解 第九章 数据的收集与描述 81．（2025·山西朔州·三模）健康管理不仅是个人问题，更是关乎全民健康的国家战略．学校食堂积极响应健康饮食理念，推出，两种套餐．为了解学生对两种套餐的满意度情况，食堂管理员从两种套餐都吃过的学生中随机选择人，请他们分别从口味、营养、价格三方面对两种套餐进行满意度评分【非常满意：分；比较满意：分；基本满意：分；不太满意：分；不满意：分】．评分数据全部收回且有效，并整理得到如下统计图（不完整）和统计表： 两种套餐各项满意度得分平均数 种类 得分平均数 口味 营养 价格 套餐 8分 分 分 套餐 分 分 分 请根据上述信息，解决下列问题： (1)补全扇形统计图和条形统计图中空缺的部分； (2)小颖分析两种套餐价格满意度条形统计图时，发现给套餐打分的人数多于给套餐打分的人数，因此她判断套餐价格满意度更高．小明认为她的观点是片面的，请结合上述图表中的信息帮小明说明理由（写出一条即可）； (3)食堂管理员将两种套餐口味、营养、价格得分的平均数按的比例计算满意度综评得分，并求得套餐综评得分为分．请通过计算比较两种套餐的综评得分，并给综评得分较低的套餐提一条改进建议． 82．（24-25八年级下·重庆·期中）在第30个“世界读书日”来临之际，我校作为重庆市“书香校园”开展了“书香满校园，阅读伴成长”的阅读知识竞赛活动．赛后从甲、乙两个班中各随机抽取10名学生进行模拟测试，测试题满分100分．所有测试成绩均不低于60分，现将测试成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分为四组：，，，．），下面给出部分信息： 甲班10名学生的测试成绩在组的数据是：84，85，88． 乙班10名学生的测试成绩的数据是：65，70，75，82，84，85，86，99，99，100． 甲班抽取的学生测试成绩扇形统计图 甲、乙两班抽取的学生测试成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 甲 85 95 乙 85 85 根据以上信息，解答下面问题： (1)直接写出上述图表中的值； (2)根据以上数据，你认为甲、乙两班中哪个班级抽取的学生测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)甲班抽取的10名学生的测试成绩中，B组学生平均成绩为78分，D组学生平均成绩为98分，请你计算甲校两组学生的竞赛总成绩． 83．（2025年湖北省武汉市九年级下学期五月四区联考三模数学试题）某市教育部门为进一步开展“初中生睡眠管理”工作，对本市部分学生的睡眠情况进行了抽样调查．将数据整理后，设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：A 组 ：；B组：；C组：；D组：；E 组 ：．根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图： 请根据图中信息解答下列问题： (1)本次共调查了______名学生，在扇形统计图中，C 组所对扇形圆心角的度数为______° ； (2)该市现有260000名初中生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有 多少人? (3)根据上述调查数据，简要谈谈你关于“初中生睡眠管理”的看法，并结合自己的实际， 提一条合理化的建议．（字数不超过30个字） 84．（2025·安徽合肥·二模）综合与实践 【项目背景】随着北京冬奥会的顺利召开，冰雪运动已成为许多青年人的爱好，冰雪运动健儿更是在各类比赛中争金夺银．在哈尔滨亚冬会自由式滑雪空中技巧项目比赛中，中国队就夺得4金4银2铜的好成绩． 【规则了解】自由式滑雪空中技巧项目的计分规则为： a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H； b．每次试跳都有5名裁判进行打分（分，分数为0.5的整数倍），在5个得分中去掉1个最高分和1个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分P； c．运动员该次试跳的得分． 【数据收集与整理】在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为： 难度系数 裁判 A B C D E 3.5 打分 8.5 9.5 9.0 9.0 9.5 【数据分析与应用】 任务1：甲运动员这次试跳的完成分________，得分________；（结果保留两位小数） 任务2：若按照全部5名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为，那么与任务1中所得的比较，________（填“＞”“＝”或“＜”）； 任务3：在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低8.1分，已知乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分至少要达到多少分？ 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$