专题04 图形的相似（考点串讲，11个常考点+5种重难点题型+3个易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版）

八年级数学下学期·期末复习大串讲 鲁教版 专题02 图形的相似 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 十一大常考点：知识梳理+针对训练 五大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题 精选6道期末真题对应考点练 考点透视 【清单01】相似形 【清单02】比例线段 【清单03】三角形一边的平行线 【清单04】三角形的重心 【清单05】平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被三条直线所截，截得的对应线段成比例； 平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 【清单06】 相似三角形的判定 【清单07】相似三角形的性质 【清单08】 实数与向量相乘 【清单09】 运算律 【清单10】 平行向量定理  【清单11】 单位向量 【清单12】 向量的线性运算 B 10cm ±6 6.已知线段a=2厘米，c=8厘米，那么线段a和线段c的比例中项b= ____ 厘米． 4 【解析】解：∵线段b是a、c的比例中项，∴b2=ac=16，解得：b=±4， 又∵线段是正数，∴b=4(厘米)．故答案为：4． 7.在1：200000的地图上，两地在地图上的距离是3.5厘米，那么这两地的实际距离为 ____ 千米． 7 【解析】解：∵在1：200000的地图上，两地在地图上的距离是3.5厘米， ∴这两地的实际距离是：3.5×200000cm=700000cm=7km. 故答案为：7． 7.若线段PK=10cm,点K是线段PQ的黄金分割点，且PK＞KQ，那么KQ的长为 　　cm. 【解析】解：∵线段PK=10cm,点K是线段PQ的黄金分割点，且PK＞KQ， ∴ = ， ∴KQ= PK= ×10=(5 -5)(cm)， 故答案为：(5 -5)． 考点3:黄金分割点 8.已知：点P是线段AB的黄金分割点，其中AP较短，若AB=10，则AP=　　． 【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，其中AP较短，AB=10， ∴BP= AB= ×10=5 -5， ∴AP=AB-BP=10-(5 -5)=15-5 ， 故答案为： ． 15 9.已知在△ABC中，AD是中线，G是重心，如果GD=3cm,那么AG= ____ cm. 【解析】解：∵G是△ABC的重心，且AD是中线， ∴AG=2GD=6cm. 故答案为：6． 6 考点4:重心 10.边长为2的等边三角形的重心到边的距离是 　　． 【解析】解：如图，△ABC为等边三角形，过A作AD⊥BC，交BC于点D， 则BD= AB=1，AB=2， 在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AD= = ， 则重心到边的距离是为： × = ， 故答案为： ． 16 11.如果两个相似三角形的周长之比是4：9，那么它们的对应角平分线的比为 _____ ． 【解析】解：∵两个相似三角形的周长之比是4：9， ∴两个相似三角形的相似比为4：9， ∴它们的对应角平分线的比为4：9． 故答案为：4：9． 4：9 考点5:相似三角形性质 12.若两个相似三角形的面积比为1：3，则这两个三角形的周长比为 　　 ． 【解析】解：∵两个相似三角形的面积比为1：3， ∴三角形的相似比为 ， ∵两个相似三角形的周长比等于相似比， ∴两个三角形的周长比为 ， 故答案为： ． 17 16.如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，点D、G分别在边AB、AC上．如果△ABC的边BC长为6，面积为24，那么正方形DEFG的边长 　　． 【解析】解：作AH⊥BC交BC于点H，交DG于点P， 由正方形DEFG得DG∥EF，即DG∥BC， ∵AH⊥BC，∴AP⊥DG． 由DG∥BC得△ADG∽△ABC，∴ ． 考点9：相似三角形的判定与性质综合 ∵PH⊥BC，DE⊥BC，∴PH=ED，AP=AH-PH，即 ， ∵△ABC的边BC长为6，面积为24， ∴ ，∴A H=8， 设正方形的边长DE=DG=x,得 ， 解得 ．故正方形DEFG的边长是 ． 故答案为： ． 21 17.如图，矩形DEFG内接于△ABC，BC=6cm,DE=3cm,EF=2cm,则BC边上的高的长是 _____ ． 【解析】解；过A点作BC边上的高AH，交GF于M，交BC于H， 由S△ABC=S△AGF+S梯形BCFG可得， BC×AH= GF×AM+ (GF+BC)×AH， 将BC=6cm,DE=3cm,EF=2代入上式可得AH=4cm. 故答案为：4cm. 4cm 22 18.如图，已知：在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，且∠BDE=∠BCA． (1)求证：△ABE∽△BDC； (2)如果AE=AC，求证：AC2=AD•AB． 【解析】证明：(1)∵∠BDE=∠ACB，∠B=∠B， ∴△BDE∽△BCA，∴ ，∴ ， ∵∠B=∠B， ∴△ABE∽△BDC； (2)∵△ABE∽△BDC，∴∠BAE=∠BCD， ∵AE=AC，∴∠AEC=∠ACE， ∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，∴∠ACD=∠B， ∵∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC， ∴ ，即AC2=AD•AB． 23 19.如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC上的点，满足∠ADE=∠B； _______ (1)若CD2=CE•CA，求证AD⊥BC； (2)若AB=6，CE=2，求AD的长； (3)如图2，过A作BC平行线交DE延长线于F，求证： ． 考点10:相似形综合题 【解析】(1)证明：∵CD2=CE•CA，∴ ，又∵∠C=∠C，∴△ACD∽△DCE，∴∠CAD=∠CDE，∵∠BAD+∠B=∠ADC，∠ADE+∠CDE=∠ADC，∠ADE=∠B， ∴∠BAD=∠CDE，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴AD⊥BC； (2)解：∵AB=AC，∴AC=6，∠B=∠C∴AE=AC-CE=6-2=4，∵∠ADE=∠B，∴∠ADE=∠C， 又∵∠DAE=∠CAD，∴△DAE∽△CAD， ，即 ， ∴ ； (3)证明：∵△DAE∽△CAD，∴ ，即AD2=AC•AE，∵AB=AC，∴AD2=AB•AE，∵AF∥BC，∴△CED∽△AEF，∴ ，∴ ，∴ ， 即 ，∴ ， ，∴ ． 24 20.已知| |=3，| |=2，且 和 的方向相反，那么下列结论中正确的是( ____ ) A.3 =2 B.2 =3 C.3 =-2 D.2 =-3 【解析】解：∵| |=3，| |=2，且 和 的方向相反， D 考点11:平面向量的线性运算 ∴ =- ， ∴2 =-3 ， 故选：D． 25 21.计算： =　　． 【解析】解：原式= - - +2 =( ) +(2-1) =-3 + ． 故答案为：-3 + ． 22.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，如果 ，那么 =　　．(用 表示) 【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ ，即 ， ∵ ，即 ，∴ ，故答案为： ． 26 23.如图，在平行四边形ABCD中，点E为DC上的一点，CE=2DE，AC与BE相交于点F，如果 ， ， (1)用向量 、 分别表示下列向量； =　　； =　　； (2)在图中求作 分别在 、 方向上的分向量．(不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论) 【解析】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，∴ ， ， ∵CE=2DE，∴ ，∵ ，∴ ； ∵AB∥CE，∴△ABF∽△CEF，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ； 故答案为： ； ； (2)如图， 即为 分别在 、 方向上的分向量． 27 24.如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC， ． (1)求 的值； (2)联结BE，设 ， ，试用向量 、 表示向量 ． 【解析】解：(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ = ， ∵ = ，∴ = = ，∴ = ； (2)∵ = ， = ， ∴ = = ，DE= ， ∴ = + = + ． 28 A 题型剖析 54 D C ①②③ A D B 易错易混 C B 1.(2024春·青浦区期末)下列各组中的四条线段成比例的是( ____ ) A.2cm,3cm,4cm,5cm B.2cm,3cm,4cm,6cm C.1cm,2cm,3cm,2cm D.3cm,2cm,6cm,3cm 【解析】解：A．由于2：3≠4：5，则2cm,3cm,4cm,5cm不成比例，所以A选项不符合题意； B．由于2：3=4：6，则2cm,3cm,4cm,6cm成比例，所以B选项符合题意； C．由于1：2≠2：3，则1cm,2cm,3cm,2cm不成比例， B 押题预测 所以C选项不符合题意； D．由于2：3≠3：6，则3cm,2cm,6cm,3cm不成比例，所以D选项不符合题意． 故选：B． 47 2..(2024·闵行区)如图，已知l1∥l2∥l3，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，那么下列比例式正确的是( ____ ) A. B. C. D. A 【解析】解：∵l1∥l2∥l3， ∴ = ，A选项符合题意； = ，B选项不符合题意； = ，C选项不符合题意； = ，D选项不符合题意； 故选：A． 48 3.(2024·闵行区)新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数(黄金数)，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”．如图，△ABC是“精准三角形”，AB=AC=2，CD⊥AB，垂足为点D，那么BD的长度为 　　． 【解析】解：作△ABC的中线CM，∵△ABC是“精准三角形”， ∴ = ，∵AB=2，∴CM= -1， ∵M是AB中点，∴AM=MB= AB=1， 令DM=x,则AD=x+1，∵CD2=CM2-MD2=AC2-AD2， ∴ -x2=22-(x+1)2，∴x= ，∴DM= ， ∴BD=MB-DM= ．故答案为： ． 49 4.(2024·崇明区)如图，已知在△ABC中，BC=18，点D在边BC上，DE∥AB，9DE=4AB． (1)求BD的长； (2)联结AD，设 ，试用 、 表示 ． 【解析】解：(1)∵DE∥AB，∴ ， ∵9DE=4AB，∴ ，∴ ， ∴CD=8，∴BD=10； (2)∵ ，∴ ， 由(1)知，BD= = BC，∴ ， ∵ ，∴ = ． 50 5.(2023秋·松江区期末)已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠BDC=∠DEC．求证： (1)△ADE∽△ACD； (2) ． 【解析】证明：(1)∵∠BDC=∠DEC，∠BDC=∠A+∠ACD，∠DEC=∠A+ADE， ∴∠ADE=∠ACD，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD； (2)∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∵∠BDC=∠DEC，∴△DEC∽△BDC， ∴ ，∴CD2=DE•BC．∴ ． ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴ ，∴ ． 51 6.(2023秋·长宁区期末)已知△ABC中，∠ABC=2∠C，BG平分∠ABC，AB=8，AG= ．点D、E分别是边BC、AC上的点(点D不与点B、C重合)，且∠ADE=∠ABC，AD、BG相交于点F． (1)求BC的长； (2)如图1，如果BF=2CE，求BF：GF的值； (3)如果△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求BD长． 52 _______ 【解析】解：(1)∵∠ABC=2∠C，BG平分∠ABC， ∴∠ABG=∠BGC=∠C，∴BG=CG， 又∵∠BAG=∠CAB，∴△ABG∽△ACB， ∴ = = ，∴AC= = =12， ∴CG=AC-AG= ，∴BC= =10； 53 (2)由(1)知，△ABG∽△CAB，∴∠AGB=∠ABC， ∵∠ADE=∠ABC∴∠AGB=∠ADE， ∵∠FAG=∠DAE，∴∠AFG=∠AED， ∵∠AFG+∠AFB=180°，∠AED+∠CED=180°，∴∠AFG=∠CED， 又∵∠ABG=∠C，∴△ABF∽△DCE，∴ = =2， ∴CD=4，∴BD=BC-CD=6， 过G作HG∥BC交AD于H，如图： ∴ = ，∴GH= = ， 同理， = = ， ∴BF：FG= ； 54 (3)∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=∠ABC=∠AGB， ∴DE∥BG，∴∠AFG=∠ADE=∠AGF，∴AF=AG， ∵∠ABC=2∠C，∴∠EDC=∠C，∴CE=DE， 由(2)知，△ABF∽△CDE，∴AF=BF， ∴GF=BG-BF=CG-AG= ，∵DE∥BG， ∴ = ，∴DE=CE= ， 同理， = ，∴CD= ，∴BD= ． 另外，DA=DE时，作CE中垂线交BC于点H，同理可证得△ABD≌△DHE．此时BD=1． 55 考点1：相似形 1.下列四个命题，其中正确的个数是( ) ①两个正方形一定是相似形；②两个矩形一定是相似形；③两个菱形一定是相似形； ④两个全等的多边形一定是相似形． A．1 B．2 C．3 D．4 2．在如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角α的大小． 解：由两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，得eq \f(18,4)＝eq \f(x,7)＝eq \f(y,6)，则x＝31.5，y＝27.α＝360°－(77°＋83°＋114°)＝86°. 考点2：比例线段 3．已知a、b、c、d四条线段是成比例线段，eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，若a＝2cm，b＝5cm，c＝4cm，则d＝　 　. 4．若a＝4，c＝9，且a∶b＝b∶c，则b＝　 　. 5.已知eq \f(b,a)＝eq \f(5,13)，则eq \f(a－b,a＋b)＝　 　. eq \f(4,9) 考点6：用合比性质求值． 13.如果eq \f(2m－n,n)＝eq \f(1,3)，求eq \f(m,n)的值． 【思路分析】分子中涉及m、n的差，所以可以利用合比性质将分子分母都加上分母，可求解． 【规范解答】∵eq \f(2m－n,n)＝eq \f(1,3)，∴eq \f(2m－n＋n,n)＝eq \f(1＋3,3)，∴eq \f(2m,n)＝eq \f(4,3)，∴eq \f(m,n)＝eq \f(2,3). 【方法归纳】1.运用合比时分子同时都要加(或减去)分母，不可漏加(或减)；2.本题也可以直接用比例的基本性质求解． 考点7：用等比性质解决问题． 14.若a、b、c是非零实数，且eq \f(a,b＋c)＝eq \f(b,a＋c)＝eq \f(c,a＋b)＝m，求m. 【思路分析】当a＋b＋c＝0可代入求m，当a＋b＋c≠0可用等比性质来求． 【规范解答】当a＋b＋c≠0时，由等比性质，得eq \f(a＋b＋c,b＋c＋a＋c＋a＋b)＝m＝eq \f(1,2)，当a＋b＋c＝0时，b＋c＝－a，a＋c＝－b，a＋b＝－c.eq \f(a,－a)＝eq \f(b,－b)＝eq \f(c,－c)＝m，m＝－1.所以m＝－1或m＝eq \f(1,2). 【方法归纳】利用等比性质解题时，一定要注意比例的分母之和不为0，若无此条件解决此问题需分类讨论． 考点8：用平行线分线段成比例定理求线段． 15.如图，DE∥BC，AD＝AC，DB＝6cm，AE＝1cm.求AC的长． 【思路分析】先用平行线分线段成比例得出eq \f(AE,AD)＝eq \f(AC,AB)，然后利用AD＝AC，AB＝BD－AD，转化成关于AD的方程，解方程得AD的长，然后求出AC的长． 【规范解答】∵DE∥BC，∴eq \f(AE,AD)＝eq \f(AC,AB).∵AD＝AC，AB＝BD－AD，∴eq \f(AE,AD)＝eq \f(AD,BD－AD). ∵DB＝6cm，AE＝1cm，∴eq \f(1,AD)＝eq \f(AD,6－AD).∴AD＝2或AD＝－3(不合题意，舍去)，∴AC＝AD＝2cm. 【方法归纳】在平行线的背景下求线段的长，常利用平行线分线段成比例得出关于未知线段与已知线段的比例关系式，并利用这一关系列方程来解决问题． 题型一： “A”字型 1．在△ABC中，DE∥BC，AE∶EC＝2∶3，DE＝4，则BC等于( ) A．10　　　 B．8　　　 C．9　　　 D．6 解：设经过x秒，两三角形相似，则CP＝AC－AP＝8－x，CQ＝2x， ①当CP与CA是对应边时，eq \f(CP,AC)＝eq \f(CQ,BC)，即eq \f(8－x,8)＝eq \f(2x,16)，解得x＝4.②当CP与BC是对应边时，eq \f(CP,BC)＝eq \f(CQ,AC)，即eq \f(8－x,16)＝eq \f(2x,8)，解得x＝eq \f(8,5).故经过4s或eq \f(8,5)s，两个三角形相似． 2．如图，▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F,3AE＝2EB，连接DF.若S△AEF＝1，则S△ADF的值为　 　. eq \f(5,2) 3．如图，在△ABC中，AC＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？ 题型二： “X”字型 4．如图所示，AB、CD交于点O，且OC＝45，OD＝30，OB＝36.当OA＝　时，△AOC∽△BOD；当OA＝　 　时，△AOC∽△DOB. 5．如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于( ) A．3∶2 B．3∶1 C．1∶1 D．1∶2 eq \f(75,2) 6．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边CB、DC延长线上的点，且BE＝CF，连接AE、FB，FB的延长线交AE于点M. 求证：(1)△BEM∽△BFC； (2)CF2＝FB·ME. 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠ABE＝∠BCF＝90°，又∵BE＝CF，∴△ABE∽△BCF(SAS)， ∴∠E＝∠F，∵∠EBM＝∠FBC，∴△BEM∽△BFC；　 (2)由(1)得△BEM∽△BFC，∴eq \f(BE,BF)＝eq \f(ME,CF)，∵BE＝CF，∴eq \f(CF,FB)＝eq \f(ME,CF)， ∴CF2＝FB·ME. 题型三：旋转型 7．如图，已知∠1＝∠2＝∠3，则下列等式正确的是( ) A.eq \f(AB,AD)＝eq \f(DE,BC) B．eq \f(AC,AE)＝eq \f(AD,AB) C.eq \f(AB,AC)＝eq \f(AD,AE) D．eq \f(BC,DE)＝eq \f(AE,AC) 8．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点 (不与点A，B重合)，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE.下列结论：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD＝25°，则∠AED＝65°；③DE2＝2CF·CA；④若AB＝3eq \r(2)，AD＝2BD，则AF＝eq \f(5,3).其中正确的结论是　 　 (填写所有正确结论的序号)． 9．已知：如图所示，eq \f(AB,AD)＝eq \f(BC,DE)＝eq \f(AC,AE)，点B、D、F、E在同一条直线上，请找出图中的相似三角形，并说明理由． 解：∵eq \f(AB,AD)＝eq \f(BC,DE)＝eq \f(AC,AE)，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠DAF＝∠DAE－∠DAF，即∠BAD＝∠EAC， 又∵eq \f(AB,AC)＝eq \f(AD,AE)，∴△ABD∽△ACE. 题型四：垂直型 10．如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且∠BEF＝90°，则三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ中一定相似的是( ) A．Ⅰ和Ⅲ B．Ⅲ和Ⅳ C．Ⅰ和Ⅳ D．Ⅱ和Ⅳ 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD＝1cm，DB＝2cm.求AC的长． 解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，在△ACD与△ABC中，∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC，∴AC∶AB＝AD∶AC，∴AC2＝AD·AB＝1×(1＋2)＝3，∴AC＝eq \r(3)cm. 12．如图，BE、CD是△ABC的两条高．求证：DE·AB＝AE·BC. 证明：∵BE、CD是△ABC的高，∴∠ADC＝∠AEB＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABE，∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB).又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(AE,AB)，即DE·AB＝AE·BC. 题型五：等角型 13．如图，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠1＝∠2＝∠B，则图中相似三角形有( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B. (1)求证：AC·CD＝CP·BP； (2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长． 解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C， ∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC， ∴△ABP∽△PCD，∴eq \f(BP,CD)＝eq \f(AB,CP)，∴AB·CD＝CP·BP，∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP；　 (2)∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP，∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C，∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴eq \f(BA,BC)＝eq \f(BP,BA)，∵AB＝10，BC＝12，∴eq \f(10,12)＝eq \f(BP,10)，∴BP＝eq \f(25,3). 易错点1：不能准确找出对应元素 1．如图，已知△ABC∽△DBA，点D在边BC上，则下列等式中正确的是(　　) A.eq \f(AB,BD)＝eq \f(AD,AC)　　　　　 B．eq \f(AB,BD)＝eq \f(BC,AB) C.eq \f(AB,BC)＝eq \f(CD,AB) D．eq \f(AB,AC)＝eq \f(BD,CD) 2．如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是(　　) A.eq \f(BH,HC)＝eq \f(AH,HD) B．eq \f(AD,DF)＝eq \f(BC,CE) C.eq \f(HC,HE)＝eq \f(HD,DF) D．eq \f(AF,DF)＝eq \f(BE,CE) 易错点2：不能准确找出相似三角形 3．如图，点A、B、C、D、E、F分别是小正方形的顶点，在△ABC与 △DEF中，下列结论成立的是(　　) A．∠DFE＝∠ACB B．∠BAC＝∠EDF C．∠ACB＝∠EDF D．这两个三角形中没有相等的角 4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE、BC于点F、G，且eq \f(AD,AC)＝eq \f(DF,CG). (1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若eq \f(AD,AC)＝eq \f(1,2)，求eq \f(AF,FG)的值． (1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∴∠ADF＝∠C，又∵eq \f(AD,AC)＝eq \f(DF,CG)，∴△ADF∽△ACG； (2)解： ∵△ADF∽△ACG，∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AF,AG)，又∵eq \f(AD,AC)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(AF,AG)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(AF,FG)＝1. 易错点3：考虑不全导致漏解 5．(随州中考)在△ABC在，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2， 点E在边AC上，当AE＝ 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似． eq \f(12,5)或eq \f(5,3)　 6．如图，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝eq \r(6)，AC＝2，则AD的长为__________时， 图中两直角三角形相似． 3或3eq \r(2) 7．如图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，Q在线段BC上，当△ADP与△QCP相似时，求BQ的值． 解：由题意，得∠D＝∠C＝90°.①当△ADP∽△PCQ时，eq \f(AD,PC)＝eq \f(DP,CQ)，即eq \f(1,\f(1,2))＝eq \f(\f(1,2),CQ)，得CQ＝eq \f(1,4).故BQ＝1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)；②△ADP∽△QCP时，eq \f(AD,QC)＝eq \f(DP,CP)，即eq \f(1,QC)＝eq \f(\f(1,2),\f(1,2))，得QC＝1，故BQ＝0. 所以当△ADP与△QCP相似时，BQ的值为0或eq \f(3,4). $$