第10章 二元一次方程组（大单元教学设计）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学下册同步备课系列（人教版2024）

大单元教学设计 第十章 二元一次方程组 大单元教学设计 主备人 课型 新授 时间 课程标准 课题 第10章　二元一次方程组 课时 课时 大单元主题背景分析（教材分析） 1. 教材地位与内容结构 本章是初中数学代数领域的重要章节，承上启下：既是对一元一次方程的拓展（从“单一未知数”到“多元未知数”），也为后续学习三元一次方程组、一次函数及不等式组奠定基础.教材围绕“二元一次方程（组）的概念→解法（代入法、消元法）→应用”展开，强调从实际问题中抽象数学模型，体现“数学源于生活又服务于生活”的理念. 2. 新课标要求 依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本章需聚焦“模型观念”“应用意识”等核心素养，要求学生能通过分析简单实际问题中的数量关系，建立二元一次方程组模型，并运用代数方法解决问题. 3. 学情分析 七年级学生已掌握一元一次方程的解法，但对多元方程存在认知断层，易混淆“方程”与“方程组”的解法逻辑.教学中需通过对比教学（如“对比一元与二元方程的异同”），引导学生经历“实际问题→数学模型→符号运算→结果检验”的完整过程. 单元教学的目标 一、知识与技能 理解二元一次方程（组）及其解的概念，掌握代入消元法和加减消元法. 能根据实际问题列二元一次方程组，并检验解的合理性. 初步感知方程组解的情况（唯一解、无解、无穷多解）与系数的关系. 二、数学思考 通过对比一元与二元方程的解法，体会“消元”思想的核心价值，发展代数推理能力. 在探索方程组解的过程中，培养归纳、类比和符号化表达能力. 三、问题解决 能用方程组模型解决配套问题、工程问题、行程问题等经典题型. 通过小组合作设计“生活预算方案”（如合理分配零花钱），提升综合建模能力. 四、情感态度 感受代数方法的普适性，增强对数学应用的信心. 在探究活动中培养耐心与批判性思维（如主动检验方程解的合理性）. 学习活动设计 活动一 二元一次方程组 活动二 解二元一次方程组 活动三 实际问题与二元一次方程组 活动四 三元一次方程组的解法 学习评价设计 1. 过程性评价 课堂观察：记录学生在小组讨论中的参与度（如能否清晰表达“消元”步骤的逻辑）. 作业分析：设计分层作业（基础题：解方程组；拓展题：设计含参数方程组并讨论解的情况）. 2. 终结性评价 单元测试：包含概念理解（如判断方程组类型）、技能应用（如解复杂方程组）、综合题（如列方程组解决实际问题）. 项目展示：以“我的购物清单”为主题，学生用方程组模型设计最优采购方案，并撰写报告. 3. 评价量表示例 维度 优秀（4-5分） 待改进（1-3分） 模型建立 准确抽象问题并列出规范方程组 无法将问题转化为数学表达式 代数运算 灵活选择消元法且步骤清晰 机械套用公式，符号错误频发 反思能力 主动检验解的合理性并提出优化方案 忽略检验环节，解明显不符合实际 反思性教学改进 在实施《二元一次方程组》单元教学后，需从实践反馈中动态优化教学策略.教学中发现学生易混淆“代入法”与“加减法”的适用场景，对此可设计“方程组特征分析表”，引导学生通过观察系数特点（如是否含简单系数、相反项或倍数关系）自主选择解法，而非机械记忆步骤.针对计算过程中频繁出现的符号错误或漏乘项问题，可引入“分步书写+同桌互查”机制，要求每一步运算标注算理（如“为何此处需乘2？”），并通过错误案例示范强化规范意识.为突破“消元思想”的抽象性，可借助“天平平衡”实物模型，将代数运算转化为直观的等量关系操作.此外，需关注学生模型意识的差异性：对学困生提供“消元法步骤卡”降低认知负荷，对学优生则设置“含参数方程组解的情况探究”任务拓展思维深度.长期需跟踪学生能否将方程组工具迁移至函数、不等式等领域，通过“数学建模日记”记录生活实例，形成“问题抽象—符号建模—结果解释”的完整思维闭环，最终实现从“解题”到“解决问题”的素养跃升. 单元教学结构图 教学设计 课题 　二元一次方程组 学习活动设计 教师活动 学生活动 设计意图 新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机.1 h就完成了8 hm2棉田的采摘.如果大型采棉机1 h完成 2 hm2棉田的采摘，小型采棉机1 h完成1 hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台? 思考1：你能圈出图中重要的数据吗? 思考2：这个问题包含哪些相等关系? 思考3： 若设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗？ 思考4: 若设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗？ 思考5: 刚才得到的两个方程有什么特点？ 它们与一元一次方程有什么不同？ 方程含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程. 思考：下列方程中哪些是二元一次方程，哪些不是?如果不是，请说明理由. 判断要点：①是否为整式方程；②是否含两个未知数； ③未知数次数是否为1；④化简后未知数的系数不为0. 例1.已知 |m－1| x|m|＋y2n－1 ＝ 3 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m＋n ＝_____． 刚才问题中得到的两个等量关系，必须同时满足，也就是未知数x，y必须同时满足方程 把这两个方程合在一起，写成 就组成了一个方程组. 含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. 思考：下列方程组中，哪些是二元一次方程组，哪些不是?为什么? 判断要点： ①两个方程是否为整式方程； ②方程组是否含两个未知数； ③未知数次数是否为1. 满足方程 x+y=6，且符合问题的实际意义的x，y 的值有哪些？把它们填入表中. 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. 二元一次方程的解的特点： (1)二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要用大括号联立表示，如x=2，y=4是二元一次方程x+y=6的一组解，可写为 (2)一般地，二元一次方程有无数组解，即有无数多对数值满足这个二元一次方程.但如果对未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能解的数量是有限的. (3)在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值. 联系前面的问题可知，这个种棉大户租用了2台大型采棉机，4台小型采棉机. 二元一次方程组的解的特点 (1)二元一次方程组的解要用大括号联立起来，分两行书写，如方程组 的解应写成 (2)一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，如方程组 无解，方程组 有无数组解. 例2.判断 是不是二元一次方程组 的解. 课堂小结 1.本节课你学到了什么？ 2.二元一次方程和二元一次方程的解的概念是什么？ 3.二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念是什么？ 当堂练习 1.下列不是二元一次方程组的是 ( 　 ) 2.二元一次方程组 的解是 ( ) 3.《九章算术》中记载了一道数学问题,其译文为:有大小两种容器,已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛(斛是过去的一种量器),1个大容器和5个小容器的总容量为2斛.大、小容器的容量分别是多少斛?设大容器的容量是x斛,小容器的容量是y斛.根据题意,可列方程组为　　 　.  教师提问，学生独立思考并举手回答. ① 大型采棉机台数+小型采棉机台数=总台数， ② 大型采棉机1h采摘面积+小型采棉机1h采摘面积=1h采摘总面积. x+y=6 有两个未知数，未知数的次数也都是1. 与一元一次方程最大的不同在于未知数的个数有2个. 学生独立思考然后讨论列出方程，教师巡视，选两名学生作答. 根据条件列出关于字母参数的式子：含有未知数的项的次数都是 1，且两个未知数的系数都不为0．进而得到相应字母参数的值． 教师提出问题，激发学生积极探寻解决问题的办法，通过合作探究从而解决问题. 教师提出问题，学生独立思考并举手回答. 教师在黑板上展示例题，提示学生仔细审题，找出问题的突破点.学生思考并尝试解答.教师讲解完后，询问学生是否理解每一步的操作，鼓励学生提出疑问. 教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 学生独立思考后小组讨论，选派代表作答，教师顺势总结. 通过学生熟悉的实际问题引入，吸引学生的课堂注意力:由浅入深，激发学习兴趣. 用引言的问题引入本节课内容，列二元一次方程，为后面教学做好了铺垫. 从实际出发，引入二元一次方程的概念，符合学生的认知过程. 充分鼓励学生对于一元一次方程的设立. 简单定义完全应该放手. 让学生经历合作探究的过程，通过类比一元一次方程得出二元一次方程(组)的概念；培养学生发现问题，解决问题和直观想象能力. 通过表格的形式呈现符合要求的x与y的值，帮助学生有效观察. 发展抽象能力和推理能力，初步培养模型意识和观念. 通过引例进一步学习二元一次方程的解，通过学生归纳二元一次方程的解的特点，培养学生的归纳总结能力. 可以强调二元一次方程应该有无数组解. 二元一次方程只有一组解. 培养学生的自主学习能力和归纳总结能力，锻炼学生的实践能力. 通过典型例题让学生巩固新知，培养学生逻辑思维能力，锻炼学生的推理能力.培养发散思维能力，完善学生列方程组解决实际问题的认知结构，从而对本章的学习内容、学习方法和研究思路有一个较清晰的认识，对今后学习的多元方程的解法有基本的思路. 让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力. 活动一：二元一次方程组 活动二：解二元一次方程组 在上一节中，我们已经看到，直接设两个未知数:租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，可以列方程组 表示本章引言中问题包含的相等关系. 思考：如果只设一个未知数: 租用了x台大型采棉机，那么这个问题可以怎么解决？ 我们发现，二元一次方程组中第一个方程x+y=6可以写为y=6-x.由于两个方程中的y都表示租用小型采棉机的台数，所以可以通过等量代换，把第二个方程2x+y=8中的y换为6-x，这个方程就化为一元一次方程2x+(6-x)=8.解这个一元一次方程，得x=2. 把x=2代人y=6-x,得y=4,从而得到这个方程组的解. 合作交流：你从上面的学习中体会到代人法的基本思路是什么？主要步骤有哪些呢？与你的同伴交流． 归纳：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，从而求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法． 代入法求二元一次方程组的技巧： 用代入法解二元一次方程组时 ，挑选系数简单的方程变形 . 当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时，直接代入； 当方程组中有未知数的系数为 1 或 -1 时 ，选择系数为 1或-1 的方程进行变形； 当未知数的系数都不是 1 或 -1 时 ，一 般选择未知数系数的绝对值较小的方程变形. 思考：你会解下面这个方程组吗？ 除了代入消元，还有其他的方法吗？ 问题1：观察方程组： （1）未知数x的系数有什么特点？ （2）怎么样才能把这个未知数x消去？这样做的依据是什么？ （3）把两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减．你得到了什么结果？ 例1.解方程组： 看一看：y的系数有什么特点？ 想一想：先消去哪一个比较方便呢？用什么方法来消去这个未知数呢？ 思考：从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新的解法吗？ 用加减法解二元一次方程组的时候，什么条件下用加法、什么条件下用减法？ 当方程组中同一未知数的系数互为相反数时，我们可以把两方程相加，当方程组中同一未知数的系数相等时，我们可以把两方程相减，从而达到消元的目的，进而求得二元一次方程组的解． 像上面这种解二元一次方程组的方法，叫做加减消元法，简称加减法． 例2.解方程组： 问题：直接相加减不能消掉一个未知数，怎么办？如何把同一未知数的系数变成一样呢？ 思考：能否先消去x再求解？ 方法二：利用加减消元法消去未知数x． 解：①×5，②×3，得 ④－③得 把代入②得 所以原方程组的解为 ． 当同一未知数的系数即不相等也不互为相反数，该如何求解呢？ 归纳结论：一般步骤是：(1)方程组的两个方程中，如果同一未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解． 溯源 我国古代很早就开始对多元一次方程组进行研究，古代数学著作《九章算术》中专门设“方程”章讨论多元一次方程组.多元一次方程组的解法是我国在世界上领先的重大数学成就之一.我国古代解多元一次方程组的方法主要有直除法和互乘相消法. 例2：解方程组： 课堂总结： 1.这节课你学到了哪些知识？ 2．解二元一次方程组的基本思路是什么？ 3．什么是带入消元法？ 4. 加减消元法的基本步骤是什么？ 当堂练习 1．用代入法解方程组将方程代入，得方程 ． 2．已知方程组中，x、y的值相等，则m等于（ ） A．1或 B．1 C．5 D． 3．已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有关系式是(    ) A． B． C． D． 4．用代入法解二元一次方程组： 5.解下列方程组 教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题． 二元一次方程组中有两 个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想. 第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来． 第二步：把此代数式代入没有变形的一个方程中，可得一个一元一次方程． 第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值． 第四步：回代求出另一个未知数的值，把方程组的解表示出来． 第五步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立． 教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果. 学生畅所欲言，互相补充，小组派中心发言人进行总结发言．最后，由老师出示幻灯片． 答：由①得 ③ 将③代入②得 解得 把代入③ 得 所以原方程组的解为． 解：①－②得 (消去了未知数x，达到了消元的目的) 解得 ． 把代入①， 得　 　　　　　　　　　． 所以原方程组的解为． 解：①＋②得 把代入①得 所以原方程组的解为 教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论 解：方法一：利用加减消元法消去未知数y． ①×3，②×2得 ③＋④得 把代入②得 ， ． 所以原方程组的解为 ． 教师可适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师可选代表总结，教师补充． 学生独立思考，再小组交流，最后呈现答案． 通过溯源，让学生了解我国数学文化，增强文化自信. 强调换元法的思想 第4题参考答案 由得，， 把代入得， ， ， ， 把代入得：， ， ， 原方程组的解为 原方程整理为 由得，， 把代入得，， ， ， 把代入得： 原方程组的解为 问题情境是上节课的生活实际情境问题，增强求知欲，对所学知识产生亲切感. 教师以复习的形式回顾上节课的重点内容，为下面的实际问题的出现做好铺垫埋下伏笔． 组织学生合作探究，重视知识的发生过程，让学生通过自己努力归纳结论，更加深刻的理解消元思想和代入法解二元一次方程组． 体验获得方法，分享成果的满足感. 把未知的知识交给学生，让他们在合作学习的过程中，体会到可以用自己的能力去解决新问题，探索新方法，从而获得成功的喜悦．这样一来又大大调动了学生的学习热情，培养和提高了学生学习的主动性和合作精神，同时又使学生的观察力和语言表达能力得到了锻炼． 通过让学生操作，培养学生动手的能力，并引发学生的思考，加深对本节概念的印象．将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解．这种解法叫做加减消元法，简称加减法． 这个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性，不仅强化了学生对概念的理解，又培养了学生勤于动脑，勤于探究的好习惯，还可为之后灵活运用加减法解二元一次方程组打下良好的基础． 数学史料融入课堂的教学，一方面能创造学生的学习动机，增强学生的学习自信心，有助于学生更好地理解数学的本质;另一方面通过古今方法的演绎，拓宽学生的思维，使得学生通过走近古人，从而走进古人的心灵，体会深刻的数学思想. 及时梳理知识，形成模—用代入法解二元一次方程一般步骤. 通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象． 通过练习，能恰当地应用“代入消元法”解方程组，提高学生逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力． 活动三：实际问题与二元一次方程组 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18～20 kg，每头小牛1天约需饲料7～8 kg.你能通过计算检验他的估计吗？ 思考： 题目中有哪些未知量？ 题目中有哪些等量关系？ 怎样判断李大叔的估计是否正确？ 设平均每头大牛1天需用饲料x kg ，每头小牛需用饲料y kg. 你能否将题中信息用表格的形式来呈现？ 1. 基本思想方法： (1)列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的过程；它的关键是把未知量与已知量联系起来，找出题目中的等量关系列方程组. (2)一般情况下，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等 . 2.估算能力：在生产和生活中估算具有一定的实用价值的，同学们应该逐渐具备这种估算能力，但估算通常会产生一定的误差，通过精准计算可以对估算的结果进行检验. 思考：你能归纳出利用二元一次方程组分析和解决实际问题的基本过程吗？ 找等量关系的方法： 1. 抓住题目中的关键词，常见的关键词有：“比”“是”“等于”等； 2.根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系； 3. 挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等； 4. 借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系. 例1.食堂有一批粮食，若每天用去140千克，按预计天数计算就少50千克；若每天用去120千克，那么到期后还可剩余70千克.估计食堂现有粮食700～800千克，可供应时间为一周. 通过计算检验估计是否正确？ 例2.果果做拼图游戏时发现：8 个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示. 小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图2所示的正方形，不过中间留下一个空白，恰好是一个边长为2 cm 的小正方形，你能算出每个小长方形的长和宽各是多少吗？ 例3. 如图,长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5 元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 思考1：题目的等量关系是什么？ 思考2：销售款与产品数量有关，原料费与原材料有关.设制成x吨产品，购买y吨原料.根据题意填写下表： 思考3：如何列出方程组求解？ 例4.我国古代数学著作《増制算法统宗》记载“绳索量竿”问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”.其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.绳索和竿子的长度各多少尺？ 总结讨论：用二元一次方程组解决实际问题有哪些步骤： 1.审题：弄清题意和题目中的数量关系； 2.设元：用字母表示题目中的未知数； 3.列方程组：根据2个等量关系列出方程组； 4.解方程组：利用代入消元法或加减消元法解出未知数的值； 5.检验作答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答. 这节课你学到了什么？ 列方程组解决实际问题： （1）明确题意，并将所给的问题转化为数学模型； （2）找出题目中的已知量和未知量，明确它们之间的关系； （3）设出未知数，列出方程组并求解. 当堂练习 1.有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨.3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？ 2.计划若干节车皮装运一批货物.如果每节装15.5吨，则有4吨装不下，如果每节装16.5吨，则还可多装8吨.问多少节车皮？多少吨货物？ 3. 某校团支部发出为贫困地区捐款的倡议后，全校师生奉献爱心，踊跃捐款，已知全校师生共捐款45 000元，其中学生捐款数比老师捐款数的2倍少9 000元，该校老师和学生各捐款多少元？ 4.请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”求诗句中谈到的鸦的只数、树的棵数． 解：设有x只鸦，y棵树，由题意得 解得x=20,y=5 答：有20只鸦，5棵树． 学生理解情境，认真思考问题. 学生举手回答 每头大牛和每头小牛一天各自大约需用饲料量 (1)30头大牛和15头小牛1天需用饲料675kg； (2)42头大牛和20头小牛1天需用饲料940kg； (3)12头大牛和5头小牛1天需用饲料940kg—675kg； 求出每头大牛和每头小牛一天各自大约需用饲料量 学生归纳，教师点评 学生在充分思考后，可适当交流，在教师的引导下设出未知数，从而列出方程. 例1. 例2. 在教师的指导下，学生列方程求解，教师巡视指导； 例3. （1）两次运输共支出公路的运费等于15000元； （2）两次运输共支出铁路的运费等于97200元 例4. 设绳索长x尺，竿长y尺， 根据题意，得， 由①，得y=x-5③， 将③代入②，得，得x=20， 将x=20代入③得y=15， 所以，原方程组的解为． 学生独立完成,然后同桌互批;教师鼓励学生到黑板前演示,再走到学生中间对个别学生指导,在学生完成后组织学生进行交流、评价和实物投影展示,对于细节上存在的问题要让学生进行纠错,必须做到解题规范. 学生总结用二元一次方程组解决应用题的一般步骤. 学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳. 学生认真做课堂练习.通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知. 1.解：设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨，根据题意列出方程组得 解得x=4，y=2.5 3x+5y=24.5（吨） 答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨. 2.解：设x节车皮，y吨货物，根据题意列出方程组得 解得x=12，y=190 答：有12节车皮，190吨货物. 3.解：设该校老师捐款x元，学生捐款y元， 解得x=18000，y=27000 答：该校老师捐款18 000元，学生捐款27 000元． 由同学们熟悉的数学背景,激发学生的学习热情,感受数学在生活中的应用,吸引学生的注意力,同时为本课的学习做好铺垫. 通过对问题的思考与交流，进一步认识和理解用二元一次方程组解决实际问题. 激发学生解决问题的好奇心;提出问题后,让学生先思考,后讨论,然后找学生说出他的解题思路,写出解题过程,让学生讨论对不对,有没有不同的思路和观点;最后在学生充分讨论的基础上进行讲解. 体会实际问题的不同思维过程,通过比较列一元一次方程求解、列二元一次方程组求解的优缺点,从而感受方程模型思想的必要性和优越性,并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中,领会列二元一次方程组思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性. 在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构. 当堂练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学. 单元作业设计 A组 1．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键．设木长尺，绳子长尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺，绳子对折再量长木，长木剩余1尺可得答案． 【详解】解：设木长尺，绳子长尺， 根据题意有：， 故选：C 2．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，找准等量关系，是解题的关键．根据我若得你9只羊，我的羊多你一倍，以及我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多，列出方程组即可． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，由题意，得： ； 故选B． 3．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将①② B．要消去，可以将①② C．要消去，可以将①② D．要消去，可以将①② 【答案】A 【分析】本题主要考查加减消元法，牢记加减消元法的定义（当二元一次方程组的两个方程中同一 未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法）是解题的关键．根据加减消元法的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，得，可以消去，符合题意； B、，得，无法消去，不符合题意； C、，得，无法消去，不符合题意； D、，得，无法消去，不符合题意； 故选：A． 4．对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得，则方程①是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，根据代入消元法解二元一次方程组的解法计算即可得解． 【详解】解：， ， ∴， 故选：A． 5．下列方程中，不是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义：（1）共有两个未知数；（2）未知数的项最高次数是1次；（3）都是整式方程．据此逐一判断即可． 【详解】解：A． 未知数的项最高次数是2次，不是二元一次方程，故本选项符合题意； B． 是二元一次方程，故本选项不符合题意； C． 是二元一次方程，故本选项不符合题意； D． 是二元一次方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 6．已知关于的方程组，若，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程．利用加减消元法求得，得出，解得，即可得到答案． 【详解】解：， 得， ∵， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 7．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组求参数，涉及解二元一次方程组、一元一次方程等知识，熟练掌握解二元一次方程组是解决问题的关键．先利用加减消元法得出，得出，解即可得到答案． 【详解】解： ，得：， 得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 8．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将方程组两个方程相加得到，整理得到，结合方程组的解满足，得到关于的方程，解出的值即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，， 方程组的解满足， ， 解得：． 故答案为：． 9．已知代数式与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项，解二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义，代入法解二元一次方程组，是解题关键．同类项是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项．根据同类项的定义可得一个关于、的二元一次方程组，解方程组可得、的值，代入可得． 【详解】解：∵代数式与是同类项， ∴，， ∴， 由①得：③， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为：， ∴． 故答案为：． 10．请认真观察，想一想，图中的“？”表示的数是 ． 【答案】70 【分析】本题主要考查三元一次方程组的应用，能根据题意得到三元一次方程组是解题的关键．设正方形表示的数为x，圆表示的数为y，三角形表示的数为z，根据题意，列出三元一次方程组，解出即可． 【详解】解：设正方形表示的数为x，圆表示的数为y，三角形表示的数为z，根据题意得： ， 由得：④， 由得：， 解得：， 由得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴， 即图中的“？”表示的数是70． 故答案为：70 11．已知．若用含的代数式表示，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，把看作是已知数求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 12．已知关于，的二元一次方程的解是，则的值是 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了二元一次方程的解，关键是利用代入法求出方程中的参数． 把代入即可得到答案． 【详解】解：把代入得 ， 解得：， 故答案为：． 13．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键： （1）加减消元法解方程组即可； （2）代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：； （2）原方程组可化为：， 把代入②，得：，解得：； 把代入，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 14．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解此题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 由得：， 将代入①得：， ∴原方程组的解为． 19．方程组的解为，求被△和□遮盖的两个数． 【答案】被△和□遮盖的两个数分别为2， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．将方程组的解代入方程②，可求出的值，将方程组的解代入方程①，可求出的值，此题得解． 【详解】解：， 将代入方②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 被△和□遮盖的两个数分别为2，． 15．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，会熟练运用代入消元法与加减消元法解方程组是解决问题的关键． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解： 得，， 将代入①得， 解得： 所以原方程组的解为：； （2）解： 原方程组整理为： 得， 解得：， 将代入①得， 解得： 所以原方程组的解为： B组 1．已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 2．阅读下列材料：名句“运筹椎幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数，据此图2可以列出方程为：． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数，的系数，且图5所表示的方程组中的值为4，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数． 【答案】（1）；（2）3 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据“算筹图”利用图3、图4列方程组成方程组，利用加减消元法解二元一次方程组； （2）设被墨水所覆盖部分所表示的数是，根据图5列二元一次方程组，把x的值代入解方程组求出m值即可． 【详解】（1）解：由图3得，①， 由图4得，②， 将这两个方程组成方程组得，， 将①，②，得，， 得，， 将代入②得，， 这个方程组的解是：， 即这两个方程的公共解是，； （2）解：设被墨水所覆盖部分所表示的数是， 由题意得，图5中表示的方程组可表示为，， 由题意可知，， 将代入①得，，解得：， 将，代入②得，，解得：， 被墨水所覆盖部分的符号所表示的数是3． 3．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车，3辆型汽车的进价共计70万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【答案】(1)型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元 (2)方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台，方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台，方案三：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的解，理解题意并解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组并进行求解即可； （2）根据题意列出二元一次方程，并根据解的情况求出解即可． 【详解】（1）解：设型号的汽车每辆进价为万元，型号的汽车每辆进价为万元， ， 解得， 答：型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元． （2）解：设购买型号的汽车台，型号的汽车台， ，即， 、均为正整数， 或或， 方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台， 方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台， 方案一：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台． 4．根据以下素材，探索完成任务． 设计奖项设置和奖品采购的方案 某学校举办七年级数学知识竞赛，需考虑获奖人数以及奖品购买方案 素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元． 素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品． 问题解决 任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？ 任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？ 【答案】任务1：一盒水笔120元，一包笔记本80元；任务2：有三种方案，①购买水笔6盒，笔记本2包；②购买水笔4盒，笔记本5包；③购买水笔2盒，笔记本8包 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． 任务1：设一盒水笔为元，一包笔记本为元，根据购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元建立方程组求解即可； 任务2：设购买水笔盒，购买笔记本包，根据总费用为880元可得方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】解：任务1，设一盒水笔为元，一包笔记本为元， 由题意得，， 解得， 答：一盒水笔120元，一包笔记本80元； 任务2，设购买水笔盒，购买笔记本包． 由题意得，， ∴， ∵，均为正整数 ∴当时，，即购买水笔6盒，笔记本2包． 当时，，即购买水笔4盒，笔记本5包． 当时，，即购买水笔2盒，笔记本8包． 则有三种方案，分别为①购买水笔6盒，笔记本2包；②购买水笔4盒，笔记本5包③购买水笔2盒，笔记本8包； 5．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)， (2)加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； (3)最多可加工铁盒19个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2张，即可求解； （2）设加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，根据题意列出方程组求解即可； （3）设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片张， 正方形铁片张； 故答案为：，； （2）解：设加工的竖式铁容器有m个，横式铁容器有n个，由题意得 ， 解得 故加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； （3）解：设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，由题意得 解得 ∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做（片）， 9张做正方形铁片可做（片）， 剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片， 共可做长方形铁片（片），正方形铁片（片） ∴可做铁盒（个） 答：最多可加工铁盒19个． 6．为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，15杯B款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． (1)求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元； (2)在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了200元，请问有几种购买方案？ (3)若小华恰好用了268元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？（直接写出结果） 【答案】(1)A款奶茶的销售单价是8元，B款奶茶的销售单价是10元 (2)有4种购买方案：①购买A种款式的奶茶20杯，购买B种款式的奶茶4杯；②购买A种款式的奶茶15杯，购买B种款式的奶茶8杯；③购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶12杯；④购买A种款式的奶茶5杯，购买B种款式的奶茶16杯； (3)B款加料的奶茶买了8杯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据买10杯A款奶茶，15杯B款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花200元，列出二元一次方程，求出正整数解即可； （3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，根据小华恰好用了268元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A款奶茶的销售单价是8元，B款奶茶的销售单价是10元； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯， 由题意得：， 解得：， 、n均为正整数， ，，，， ∴有4种购买方案： ①购买A种款式的奶茶20杯，购买B种款式的奶茶4杯； ②购买A种款式的奶茶15杯，购买B种款式的奶茶8杯； ③购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶12杯； ④购买A种款式的奶茶5杯，购买B种款式的奶茶16杯； （3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯， 则B款加料的奶茶买了杯，即杯， 由题意得：， 整理得：， ，，均为正整数， ， ， 解得：， ，， ， 答：B款加料的奶茶买了8杯． C组 1．已知关于的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论取何值：的值不可能互为相反数； ④都为自然数的解有2对． 以上说法中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质，掌握以上知识是解题关键． 将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，解得，故②正确；设，代入解得，故③错误解方程，解得：，当 时，，，当 时，，，当 时，，，因此存在三对自然数解，④错误； 【详解】解：将代入原方程组得，解得：，将其代入，解得：， ∴当时，方程组的解也是的解，①正确； 方程组，得：，当，解得：；故②正确； 设，代入解得，此时，，互为相反数，故③错误； 解方程，解得：， 当 时，，， 当 时，，， 当 时，，， 因此存在三对自然数解，④错误； 综上所述：①②正确， 故选：A； 2．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示），就是一个三阶“幻方”（如图所示）．观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，根据寻找出的关系，可推算出的值为 ． 【答案】64 【分析】本题考查了本题主要考查了二元一次方程组的应用，首先根据图可知：“幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等，再根据图可以得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出，的值，代入求值即可． 【详解】解：由图可知： ， ， ， ， ， ， ， ， “幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等， 由图可知， 解得：， 则． 故答案为：64． 3．若一个四位正整数（各个数位均不为0），十位和千位数字相同，个位和百位数字相同，则称该数为“双生数”例如：、都是“双生数”．将一个四位正整数的百位和十位交换位置后得到一个四位数，规定．例如：若，则；计算 ．若一个“双生数”（，，且，为整数），当能被6整除时，求满足条件的所有值中的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了新定义，整除问题，根据新定义表示要求的式子是解本题的关键． 直接利用新定义计算即可得出结论；把合并，再用a、b表示，最后计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 当时， 由题：为整数， 为的倍数 或或或或或 经讨论得：或或或 当时， 故答案为：；． 4．对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了列方程组及解二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握分类讨论解决问题，由题意进行讨论分别列出方程组，并进行求解，再验证即可． 【详解】解：分析第二个方程 1.若为偶数， 则, 化简得： ， 2.若为奇数， 则, 化简得： ， 处理第一个方程， 情况1：， 1.计算内层运算， ， 因此，。 2.计算外层运算，和为： 奇偶性分析： 为奇数（因为奇数)，为偶数，故和为偶数。 因此，外层运算结果为： ， 根据方程： ，整理得：， 3.联立方程1和方程3， ， 解得：。 情况2：， 1.计算内层运算， ， 因此，。 2.计算外层运算，和为：(必为奇数)， 因此，外层运算结果为：， 根据方程： ， 解得： (非整数，不符合题意)， 综上所述，的值为3． 5．已知关于，的方程组． (1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________． (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解等知识，熟练掌握二元一次方程的解的定义是关键． （1）求出二元一次方程的正整数解即可； （2）解得到，再代入即可求出答案； （3）无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，与的取值无关，则，即可求出这个解． 【详解】（1）解：一个正整数解为， 故答案为： （2）由题知， 解得， 将代入， 解得 （3）∵无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解， ∴与的取值无关，则， 则 ∴ 故答案为． 6．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)或 (3)具有“友好关系”，或 【分析】（1）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （2）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （3）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ②①得，， ∴ 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； （3）解：， ①得，， 解得， 由②得， ∴ ∵方程组的解具有“友好关系”； ∴ ∴ ∴其中与都是正整数， ∴或 ∴或时，此时方程组的解具有“友好关系”． 7．列方程组解应用题： 越野爱好者吴悠分三次从甲地出发，沿着不同的线路（线，线，线）去乙地．在每条线路上，行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登山峰这三种路况，且他在同种路况下行进的速度不以线路改变而变化．已知他涉水行走的路程与攀登山峰的路程相等．线、线路程相等，都比线路程多，线总时间等于线总时间的，他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，在线中一共用了，其中涉水行走所用时间比线上升了，攀登山峰所用时间也比线上升了．若他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线，且都为正整数，求，，的值． 【答案】，，或，，， 【分析】本题考查了三元一次方程组，难度较大，解题的关键是理解题意，学会利用参数方程解决问题．设涉水行走的速度为、攀登的速度为、穿越丛林的速度为，结合题意建立方程组解题即可． 【详解】解：他涉水行走的路程与攀登山峰的路程相等， 可以假设涉水行走的速度为、攀登的速度为、穿越丛林的速度为， 由题意得： 整理得：， 解得：，①， ∵线总时间等于线总时间的，他用了穿越丛林、涉水行走和攀登山峰走完线， ∴； 由消去z得到：， ∵，是正整数， ∴，，或，，， 8．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”． (1)若，在，，中，的“3系数补角”是______； (2)在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“6系数补角”，求的大小． 【答案】(1) (2)是或； 【分析】此题考查了平行线的性质、二元一次方程组的应等知识，理解新定义的含义是解题的关键． （1）设的“3系数补角”是x，根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）设，，再根据的位置，结合，再建立方程组，解方程组即可得到答案； 【详解】（1）解：设的“3系数补角”是x， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的“3系数补角”是； 故答案为： （2）解：设，， 如图，设与相交于点H，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 即①， ∵是的“6系数补角”， ∴， 即②， ∴， 联立①②得， ， 解得， 即是； 如图，当在之间时，过作，而， ∴， ∴，， ∴， ∵， 即①， ∵是的“6系数补角”， ∴， 即②， 联立①②得， ， 解得， ∴； 如图，当在的下方时， 同理可得：， 即①， ∵是的“6系数补角”， ∴， 即②， 联立①②得， ， 解得：， 综上：是或； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$