22.1.3 二次函数的y=a(x??)^2+k的图像和性质 第1课时　课件　2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数的的图像和性质 第1课时 二次函数的图像和性质 1.会用描点法画二次函数的图象.(重点） 2.能说出抛物线与抛物线的相互关系.（难点） 3.能说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.（重点) 学习目标 情境引入 猎豹图书 小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后,绘制成如图所示的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛物线的函数解析式为. 你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗? x O 获取新知 例1 在同一直角坐标系中，通过画出二次函数，的图象,判断它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. 解：先列表： x ··· −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· ··· ··· 9 5.5 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 7 7 3.5 1 1 3.5 1 描点、连线，画出这两个函数的图象. y x −3 −2 −1 o 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 思考1：抛物线的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = 2x2+1 y = 2x2 -1 上 上 轴 轴 （0,1） （0,-1） 相同点： 不同点： 开口方向相同、形状相同，对称轴都是轴. 顶点坐标发生了改变. 思考2：抛物线与抛物线有什么关系？ 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y = 2x2 -1 y = 2x2+1 -1 所以，的图象还可以由抛物线 平移 个单位得到. 向下 2 观察图象可发现： 把抛物线 平移 个单位就得到抛物线;把抛物线 平移 个单位就得到抛物线. 向上 1 向下 1 思考3：抛物线与抛物线有什么关系？ 抛物线的图象相当于把抛物线的图象向上（k＞0）或向下（k＜0）平移|k|个单位. y O x y = ax2 +k(k<0) y = ax2+k (k>0) y = ax2 k k 在同一坐标系中，画出二次函数，,的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，指明抛物线通过怎样的平移可得到抛物线. 巩固练习 如图所示 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 二次函数的图象和性质: a的符号 a>0 a<0 图象 0 0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当时，随增大而增大；当时，随增大而减小. 当时，随增大而减小；当时，随增大而增大. 向上 向下 轴（直线=0） 轴（直线=0） （0，） （0，） 0时，y最小值 0时，y最大值 课堂小结 探索的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 轴（直线=0） （0,） 0,开口向上 0,开口向下 与的关系 k＞0向上平移|k|个单位. k＜0向下平移|k|个单位. 课堂练习 1.将抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度后得到的新抛物线的函数解析式为(　 　) A.y＝2(x－3)2 B.y＝2(x＋3)2 C.y＝2x2－3 D.y＝2x2＋3 C 2.(教材P41习题T5变式)函数y＝－x2＋3与y＝－x2－2的图象的不同之处是(　 　) A.对称轴 B.开口方向 C.顶点坐标 D.形状 C 3.已知抛物线y＝－x2＋1.有下列结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线的对称轴是y轴； ③抛物线的顶点坐标是(0，1)； ④抛物线y＝－x2＋1是由抛物线y＝－x2向上平移1个单位长度得到的； ⑤抛物线与x轴交于点(－1，0)和点(1，0). 其中正确的有(　 　) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 B 4.已知a是不为0的常数，函数y＝ax和y＝－ax2＋a在同一平面直角坐标系内的图象大致是(　 　) A B C D C 5.(1)如果抛物线y＝ax2＋c的顶点坐标是(0，－3)，且与抛物线y＝2x2的形状相同，开口方向相反，那么该抛物线的函数解析式是_________________. (2)如果二次函数y＝(m＋1)x2＋m2－9有最大值，且它的图象经过点(0，－5)，那么m＝_________. y＝－2x2－3 －2 6.已知点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(，y3)在抛物线y＝2x2＋c上，则y1，y2，y3的大小关系是________________.(用“＞”连接) [变式1] (2025·丰都月考改编)已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝ax2＋2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是________________.(用“＜”连接) y1＞y3＞y2　 y1＜y2＜y3 [变式2] 抛物线y＝x2＋3上有A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若y1＜y2，则下列结论正确的是(　 　) A.0≤x1＜x2 B.x2＜x1≤0 C.x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D.以上都不对 D 7.已知二次函数y＝－2x2＋3，当－2≤x＜3时，y的取值范围是________________. －15＜y≤3 8.已知抛物线y＝ax2＋b经过点(－2，－3)和点(1，6). (1)求该抛物线的函数解析式； 解：∵抛物线y＝ax2＋b经过点(－2，－3)和点(1，6)， 代入，得解得 ∴该抛物线的函数解析式为y＝－3x2＋9. 8.已知抛物线y＝ax2＋b经过点(－2，－3)和点(1，6). (2)指出该函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； 解：该函数图象开口向下，对称轴为x＝0，顶点坐标是(0，9). (3)描述该函数图象的增减性及最值. 解：由(1)可知，该函数图象开口向下，对称轴为x＝0， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.当x＝0时，y最大值＝9. 9.已知点A(m，y1)，B(－m－1，y2)在抛物线y＝x2－1上，其中｜m｜＞1，下列判断正确的是(　 　) A.m(y1－y2)＞0 B.m(y1－y2)＜0 C.y1－y2＞0 D.y1－y2＜0 B 10.如图，在平面直角坐标系中，点A(4，7)在抛物线y＝ax2－1上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，过点C，D作x轴的垂线分别与抛物线交于E，F两点.当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为____________. －4＋4 11.已知抛物线y＝x2＋1具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离相等.如图，点M的坐标为 (，3)，P是抛物线y＝x2＋1上的一个动点. (1)当△POF的面积为4时，求点P的坐标； 解：设点P的坐标为(x，x2＋1). ∵点F的坐标为(0，2)， ∴OF＝2， ∴当△POF的面积为4时， ×2×＝4， 解得x＝±4. 当x＝4时，y＝5，当x＝－4时，y＝5， ∴点P的坐标为(－4，5)或(4，5). 11.已知抛物线y＝x2＋1具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离相等.如图，点M的坐标为 (，3)，P是抛物线y＝x2＋1上的一个动点. (2)求△PMF周长的最小值. 解：如图，过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P'，连接P'F. ∵抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离相等，∴P'F＝P'E. 又∵MF为定值， ∴当点P运动到点P'时，△PMF的周长取最小值. ∵F(0，2)，M(，3)， ∴ME＝3，MF＝＝2， ∴MP'＋P'F＋MF＝MP'＋P'E＋MF＝ME＋MF＝3＋2＝5， ∴△PMF周长的最小值为5. 12.如图，抛物线y＝ax2＋k与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，过点B的直线交抛物线于点C，P为直线BC上方抛物线上的一个动点，连接PB，PC，已知点B(2，0)，C(－1，3). (1)求抛物线的函数解析式； 解：将点B(2，0)，点C(－1，3)的坐标分别代入y＝ax2＋k，得 解得 ∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋4. 12.如图，抛物线y＝ax2＋k与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，过点B的直线交抛物线于点C，P为直线BC上方抛物线上的一个动点，连接PB，PC，已知点B(2，0)，C(－1，3). (2)设点P的横坐标为t，请用含t的代数式表示△PBC的面积； 解：设直线BC的函数解析式为y＝mx＋n(m≠0). 将点B(2，0)，点C(－1，3)的坐标分别代入y＝mx＋n，得 解得 ∴直线BC的函数解析式为y＝－x＋2. 如图，过点P作PF∥y轴交BC于点F. ∵点P的横坐标为t， ∴P(t，－t2＋4)，F(t，－t＋2)， ∴PF＝－t2＋4－(－t＋2)＝－t2＋t＋2， ∴S△PBC＝S△PFB＋S△PFC＝PF·(xB－xC)＝－t2＋t＋3. 12.如图，抛物线y＝ax2＋k与x轴交于A，B两 点(点A在点B的左侧)，过点B的直线交抛物线 于点C，P为直线BC上方抛物线上的一个动点， 连接PB，PC，已知点B(2，0)，C(－1，3). (3)点B，C在直线BC上同时沿相同的方向平移相同的距离，点B平移后的对应点为D，点C平移后的对应点为E，当△ADE是等腰三角形时，求出此时点D的坐标. 解：设D(q，－q＋2)，则E(q－3，－q＋5). ∵B(2，0)， ∴由抛物线的对称性，得A(－2，0)， ∴AD2＝(q＋2)2＋(－q＋2)2＝2q2＋8， AE2＝(q－3＋2)2＋(－q＋5)2＝2q2－12q＋26， DE2＝BC2＝(－1－2)2＋(3－0)2＝18. 当AD＝AE时，则AD2＝AE2， 即2q2＋8＝2q2－12q＋26， 解得q＝，此时点D的坐标为(，). 当AD＝ED时，则AD2＝ED2， 即2q2＋8＝18， 解得q＝±，此时点D的坐标为(，－＋2) 或(－，＋2). 当AE＝DE时，则AE2＝DE2， 即2q2－12q＋26＝18， 解得q＝3±，此时点D的坐标为(3＋，－1－)或(3－，－1＋). 综上所述，当△ADE是等腰三角形时，点D的坐标为(，)或(，－＋2)或(－，＋2)或(3＋，－1－)或(3－，－1＋). $$