22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质 课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.2 二次函数的图象和性质 1.用描点法画二次函数的图象，知道抛物线是轴对称图形，知道抛物线的开口方向与a的符号有关. 2.能根据图象说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点. 学习目标 复习引入 问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？ 问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？ ①列表；②描点；③连线. 一条直线 那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？ 获取新知 二次函数的图象的画法 1. 列表：在中自变量可以取任意实数. 列表表示几组对应值： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 4 9 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y 2. 描点：根据表中的数值在坐标平面中描点 (). 3. 连线：如图，再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到 的图象． 猎豹图书 3 6 9 y O -3 3 x 观察：二次函数的图象像什么？ 抛物线 事实上，二次函数的图象都是抛物线,它们的开口或者向上或者向下． 一般地，二次函数的图象叫做抛物线. -3 3 O 3 6 9 对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点， 它是抛物线的最低点， 为 (0，0). 这条抛物线关于轴对称,轴就是它的对称轴. 二次函数的图象是一条曲线，形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线. 当取更多个点时，二次函数的图象如下： 根据你以往学习函数图象特征的经验，说说二次函数 的图象有哪些特征，并与同伴交流. x O y=x2 y 1.的图象是一条抛物线； 2. 图象开口向上； 3. 图象关于 y 轴对称； 4. 顶点(0 ，0)； 5. 图象有最低点． 1 2 -2 O -1 1 4 x y (-2，4) (-1，1) (2，4) (1，1) 3 2 问题：观察二次函数 的图象， 随 的如何变化？ 从二次函数 的图象, 可以看出: 当<0时， 随的增大而减小； 当 x>0 时 随的增大而增大. 例1 在同一直角坐标系中，画出函数的图象． 解：列表如下： x ··· −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 例题讲解 O -2 2 2 4 6 4 -4 8 描点、连线，如图所示： x (2) 当 ＞0 时，二次函数的图象开口大小有什么规律？ O -2 2 2 4 6 4 -4 8 x y y = 2x2 当 ＞0 时，越大，开口越小. 共同点是开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，也是抛物线的最低点；不同点是开口大小不同， 二次项系数大的开口反而小. 思考：(1) 函数的图象与函数的图象相比，有什么共同点和不同点？ 对于抛物线 (a＞0)： 抛物线开口向上，对称轴是 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点， 越大，即 | |越大，抛物线的开口就越小. 解：列表如下 x … −3 −2 −1 0 1 2 3 … y=-x2 … 　 　 　 　 　 　 …　 … … 例2 在同一直角坐标系中，画出函数的图象。 −2 −0.5 0 −4.5 −2 −0.5 −4.5 −9 −4 −1 0　 −1 −9 −4 0 -18 -8 -2 -2 -8 -18 O −2 2 -2 -4 -6 4 −4 -8 描点、连线，如图所示. x y y = -2x2 思考 (1)观察函数的图象，这些抛物线有什么相同点和不同点？ −2 2 -2 -4 -6 4 −4 -8 x y y = -2x2 O 当＜0 时，越小，抛物线的开口越小. 共同点是开口向下，对称轴是轴，顶点是原点； 不同点是开口大小不同，二次项系数越小，抛物线的开口越小. (2) 当＜0 时，二次函数的图象开口大小有什么规律？ 对于抛物线 (＜0)： 抛物线开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，即 | a |越大，抛物线 的开口越小. 观察图象， 随 的变化如何变化？ y 2 4 -2 -4 O -3 -6 -9 x (2，−4) (−2，−4) (3，−9) (−3，−9) 从二次函数 的图象, 可以看出: 当0时,随 的增大而减大； 当0 时，随的增大而增小. 图象 开口方向 与大小 对称性 顶点与最值 增减性 开口向上 开口向下 | a | 越大，开口越小 顶点坐标是原点(0，0) 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 关于 轴对称，对称轴是直线 当时， 当时， 二次函数 的图象及性质 描点法 在对称轴两侧对称取点 抛物线 轴对称图形 重点关注4 个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 课堂小结 画法 图象 性质 课堂练习 1.若二次函数y＝ax2的图象经过点A(3，－6)，则该图象必经过点(　 　) A.(－3，6) B.(－3，－6) C.(6，－3) D.(6，3) B 2.在同一平面直角坐标系中，画函数y＝x2，y＝－x2，y＝2x2的图象，这些图象的共同特点是(　 　) A.关于y轴对称，开口向上 B.关于y轴对称，顶点是原点 C.当x＞0时，y随x的增大而增大 D.顶点是原点，且顶点是图象的最低点 B 3.若在正比例函数y＝ax中，y随x的增大而增大，则它与函数 y＝－ax2在同一平面直角坐标系内的图象可能是(　 　) A B C D C 4.(易错)如图，从二次函数y＝ax2的图象上可以看出，当－1≤x≤2时，y的取值范围是(　 　) A.1≤y≤4 B.0＜y≤4 C.0≤y≤4 D.1＜y＜4 C 5.如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝x2与y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是_______. 8 6.有下列三个二次函数：①y＝x2，②y＝－2x2，③y＝x2.将函数图象的开口按从大到小的顺序排列是____________.(用序号表示) ③①② 7.已知点M(3，m)，N(5，n)都在抛物线y＝－x2上，则m，n的大小关系是__________.(用“＞”连接) [变式1] 已知抛物线y＝ax2(a＜0)经过点(3，m)和点(－5，n)，则下列关系式正确的是(　 　) A.m＜0＜n B.n＜0＜m C.m＜n＜0 D.n＜m＜0 m＞n D [变式2] 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y＝ax2(a＞0)上，且位于对称轴的左侧.若y1＜y2，则x1－x2___0.(填“＞”“＜”或“＝”) ＞ 8.(1)已知关于x的函数y＝a的图象是开口向上的抛物线，则a＝_______. (2)已知函数y＝(3a－2)x2有最大值，则a的取值范围是_________. (3)已知函数y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是__________. 1 a＜ a＜2 9.如图，直线y＝－x＋b与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2交于B，C两点，且点B的坐标为(2，2). (1)求a，b的值； 解：将点B(2，2)的坐标代入y＝－x＋b，得2＝－2＋b，解得b＝4， 将点B(2，2)的坐标代入y＝ax2，得a×22＝2，解得a＝， ∴a的值是，b的值是4. 9.如图，直线y＝－x＋b与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2交于B，C两点，且点B的坐标为(2，2). (2)连接OC，OB，求△BOC的面积. 解：由(1)，知直线y＝－x＋4，抛物线y＝x2. 在y＝－x＋4中，当x＝0时，y＝4， ∴A(0，4). 联立方程组 解得或 ∴点C的坐标为(－4，8)， ∴S△BOC＝S△AOC＋S△AOB＝×4×4＋×4×2＝12. 10.如图，已知Rt△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(2，2)，C(2，1)，若抛物线y＝ax2(a＞0)与该直角三角形无交点，则a的取值范围是(　 　) A.a＞2 B.0＜a＜ C.≤a≤2 D.a＞2或0＜a＜　　 D 11.如图，正方形OABC的面积为18，OC与y轴的正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2(a＞0)的图象上，则a的值为______. 12.在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上. (1)如图1，已知菱形ABCD的顶点B，C，D在二次函数y＝x2的 图象上，且AD⊥y轴，则菱形ABCD的边长为______. 12.在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上. (2)如图2，已知正方形ABCD的顶点B，D在二次函数y＝x2的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧.设点B，D的横坐标分别为m，n，请探究n－m是否为定值，并说明理由. 解：n－m为定值.理由如下： 如图，过点B作BF⊥y轴于点F，过点D作DE⊥y轴于点E. ∵点B，D的横坐标分别为m，n，正方形ABCD的顶点B，D在二次函数y＝x2的图象上， ∴B(m，m2)，D(n，n2)， ∴BF＝m，OF＝m2，DE＝n，OE＝n2. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝90°，AD＝AB， ∴∠FAB＝90°－∠EAD＝∠EDA. ∵∠AFB＝∠DEA＝90°， ∴△ABF≌△DAE(AAS)， ∴BF＝AE，AF＝DE， ∴m＝n2－AF－m2，AF＝n， ∴m＝n2－n－m2， ∴m＋n＝(n－m)(n＋m). ∵点B，D在y轴的同侧， ∴m＋n≠0， ∴n－m＝1，∴n－m为定值. 13.如图，二次函数y＝ax2的图象经过点(1，)，P是图象上的一点，过点P作x轴的垂线与直线y＝－1交于点M.点F(0，1)在y轴上，直线y＝－1与y轴交于点H. (1)求二次函数的解析式； 解：将(1，)代入y＝ax2，得a＝， ∴二次函数的解析式为y＝x2. 13.如图，二次函数y＝ax2的图象经过点(1，)，P是图象上的一点，过点P作x轴的垂线与直线y＝－1交于点M.点F(0，1)在y轴上，直线y＝－1与y轴交于点H. (2)求证：FM平分∠OFP； 解：证明：设P(m，m2). ∵F(0，1)，∴PF＝＝ ＝m2＋1. ∵PM⊥x轴，且点M在直线y＝－1上， ∴PM＝m2＋1，PM∥FH，∴PF＝PM，∠HFM＝∠FMP，∴∠MFP＝∠FMP， ∴∠MFP＝∠HFM，∴FM平分∠OFP. 13.如图，二次函数y＝ax2的图象经过点(1，)，P是图象上的一点，过点P作x轴的垂线与直线y＝－1交于点M.点F(0，1)在y轴上，直线y＝－1与y轴交于点H. (3)当△FPM是等边三角形时，求点P的坐标. 解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF＝60°， ∴∠FMH＝30°. 在Rt△MFH中，MF＝2FH＝2×2＝4. 由(2)，得PF＝PM＝m2＋1，∴m2＋1＝4， ∴m＝±2，m2＝3， ∴点P的坐标为(2，3)或(－2，3). $$