22.1.1 二次函数 课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 1.通过学习分析几何问题中所蕴含的数量关系,列出一元二次方程解决几何问题.（重点） 2.在探究过程中，学习在几何问题中可以将图形进行适当变换,使列方程更容易.（重点） 3.通过实际问题的解答,再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验,方程的解是否要舍去.（难点） 学习目标 情境引入 1.如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度与它距离喷头的水平距离之间有什么关系？ 2.投篮时篮球的路线,悬索桥的钢索等,都是一条曲线，这些曲线能否用函数关系式表示？ 获取新知 问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为，表面积为，则 关于的关系式为_________. 显然，对于x的每一个值，都有一个对应值，即是的函数，它们的函数关系式为. 问题2 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数与球队数 有什么关系？ 解：每个球队要与个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为即.所以对于球队的每一个值，比赛场次 都有一个对应值，即是的函数. 问题3 某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加倍，那么两年后这种产品的产量 将随计划所定的的值而确定，与之间的关系怎样表示？ 解：原产量是 20 t，一年后的产量是t，再经过一年后的产量是t，即两年后的产 y =t,即.此式表示了两年后的产量与计划增产的倍数之间的关系，对于的每一个值，都有唯一一个对应值，即是的函数. 思考：问题 13 中函数关系式有什么共同点? 上述三个函数都是用自变量的二次式表示的.一般地，形如 ( 是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数.其中是自变量， 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 注意： (1) 为常数，且 ； (2) 等号左边是变量，右边是关于自变量的整式； (3) 等式的右边自变量的最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 例题解析 例1 下列函数中哪些是二次函数? 为什么?(x是自变量) ①； ②； ③； ④； ⑤ ; ⑥ . 解：①不一定是，缺少 是常数，且 的条件. ②③是二次函数，符合二次函数定义. ④不是，等式右边是分式. ⑤不是，𝒙 的最高次数是 𝟑. ⑥ 不是,整理后是. 例2 若函数是二次函数,求m的值. 注意：在解决此类问题时，一定注意二次项系数不为0这一条件！ 解：由题意得 所以 = 3. 课堂小结 二次函数 定义 一般形式 形如(是常数,)的函数叫做二次函数.其中是自变量， 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 特殊形式 ； ； (， 是常数) 巩固练习 1.下列函数中，y是x的二次函数的是(　 　) A.y＝ B.y＝2x C.y＝ D.y＝－3x2 D 2.若y＝(m－2)x2＋(m－1)x是关于x的二次函数，则m的取值范围是(　 　) A.m≠2 B.m≠1 C.m≠2且m≠1 D.全体实数 [变式] (2025·重庆八中月考)若y＝(m－4)＋2x＋5是关于x的二次函数，则m的值为_______. A 2 3.下列说法正确的是(　 　) A.函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)是二次函数 B.在函数y＝ax2(a＞0)中，无论x为何值，y的值总是正数 C.函数y＝x2－(x＋2)(x－2)是二次函数 D.若y与x2＋1成正比例，则y是x的二次函数 D 4.某农机厂四月份生产零件60万个.设该厂第二季度平均每月的增长率为x.如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x的关系式是(　 　) A.y＝60(1＋x)2 B.y＝60＋60(1＋x)＋60(1＋x)2 C.y＝60(1＋x)＋60(1＋x)2 D.y＝60＋60(1＋x) B 5.在二次函数y＝2x2－4x＋1中，当x＝0时，y＝_______；当x＝2时，y＝_______. [变式] 在二次函数y＝－3x2＋2x＋1中，当y＝0时，x＝___________. 1 1 1或－ 6.(教材P29练习T2变式)已知边长为3的正方形，若边长增加x，面积相应地增加了y，则y与x的关系式为_______________. y＝x2＋6x 7.(易错)某物体从上午7时至下午4时的温度m(℃)与时间t(时)之间的函数解析式为m＝t2－5t＋100(其中t＝0表示中午12时，t＝1表示下午1时)，则上午10时此物体的温度为_________℃. 114 8.已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x－2(m为常数). (1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值； 解：由题意，得m2－m＝0且m－1≠0，∴m＝0. (2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围. 解：由题意，得m2－m≠0， ∴m≠1且m≠0. 9.如图，利用一面墙(墙的长度为5 m)，用长为20 m的篱笆围成一个矩形花圃.设花圃的宽AB为x m，面积为S m2. (1)求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围. 解：∵AB＝x m， ∴BC＝(20－2x)m. 由题意，得S＝x(20－2x)＝－2x2＋20x. ∵0＜20－2x≤5， ∴≤x＜10， ∴S＝－2x2＋20x(≤x＜10). 9.如图，利用一面墙(墙的长度为5 m)，用长为20 m的篱笆围成一个矩形花圃.设花圃的宽AB为x m，面积为S m2. (2)能围成面积为32 m2的花圃吗？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由. 解：能围城面积为32 m2的花圃. 由题意，得－2x2＋20x＝32. 整理，得x2－10x＋16＝0.解得x1＝2，x2＝8. ∵≤x＜10，∴x＝2不合题意，舍去， ∴AB的长为8 m. 10.如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿线段BA运动至点A.以线段AP为边作正方形APCD，以线段PB的长为半径作圆.设点P的运动时间为t(0≤t≤5)，正方形APCD的周长为y，圆B的面积为S，则S与t，y与t满足的函数关系分别是( 　 ) A.一次函数关系、二次函数关系 B.正比例函数关系、二次函数关系 C.二次函数关系、一次函数关系 D.二次函数关系、正比例函数关系　　 C 11.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＋BD＝10，M和N分别是BD和AC的中点，连接AM，MN，DN，BA和CD的延长线交于点P，连接PM，PN.设S△PMN＝y，AC＝x，则y关于x的函数解析式为________________.(不必写出x的取值范围) y＝－x2＋x 12.一家用电器开发公司研制出一种新型的电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件.为了增加销售量，公司决定采取降价的办法，经市场调研发现：每降价1元，月销售量可增加2万件. (1)求出月销售量y(万件)关于销售单价x(元)的函数解析式(不必写出x的取值范围)； 解：由题意，得y＝20＋2(40－x)＝－2x＋100. 12.一家用电器开发公司研制出一种新型的电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件.为了增加销售量，公司决定采取降价的办法，经市场调研发现：每降价1元，月销售量可增加2万件. (2)求出月销售利润z(万元)关于销售单价x(元)的函数解析式(不必写出x的取值范围)； 解：由题意，得z＝(x－18)y＝(x－18)(－2x＋100)＝－2x2＋136x－1 800. 12.一家用电器开发公司研制出一种新型的电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件.为了增加销售量，公司决定采取降价的办法，经市场调研发现：每降价1元，月销售量可增加2万件. (3)若某月的利润为350万元，则该月的销售量和销售单价分别为多少？ 解：当z＝350时，则－2x2＋136x－1 800＝350. 整理，得x2－68x＋1 075＝0， 解得x1＝25，x2＝43. ∵18≤x＜40，∴x＝25， ∴y＝－2×25＋100＝50， ∴该月的销售量为50万件，销售单价为25元. 13.如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，边AB上的动点E从点B出发，以1 cm/s的速度向点A运动，到点A停止运动；同时边BC上的动点F从点B出发，以2 cm/s的速度向点C运动，到点C停止运动.设动点运动的时间为t s，△DEF的面积为S cm2. (1)求S关于t的函数解析式，并求出t的取值范围； 解：由题意，得BE＝t cm，BF＝2t cm， AE＝(6－t)cm，CF＝(12－2t)cm， ∴S＝S矩形ABCD－S△AED－S△BEF－S△CDF ＝12×6－×12(6－t)－t×2t－×6(12－2t)＝－t2＋12t. 根据题意，得解得0＜t≤6. 13.如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，边AB上的动点E从点B出发，以1 cm/s的速度向点A运动，到点A停止运动；同时边BC上的动点F从点B出发，以2 cm/s的速度向点C运动，到点C停止运动.设动点运动的时间为t s，△DEF的面积为S cm2. (2)当△DEF是直角三角形时，求△DEF的面积. 解：由勾股定理，得EF2＝BE2＋BF2＝5t2，DF2＝CD2＋CF2＝4t2－48t＋180，DE2＝AD2＋AE2＝t2－12t＋180. ①当∠EDF为直角时，EF2＝DE2＋DF2，即5t2＝t2－12t＋180＋4t2－48t＋180， 解得t＝6， 此时S＝－62＋12×6＝36(cm2). ②当∠DEF为直角时，DF2＝DE2＋EF2， 即4t2－48t＋180＝t2－12t＋180＋5t2， 解得t＝0或t＝－18. ∵0＜t≤6，∴t＝0或t＝－18都不符合题意，舍去. ③当∠DFE为直角时，DE2＝EF2＋DF2， 即t2－12t＋180＝5t2＋4t2－48t＋180， 解得t＝0(舍)或t＝， 此时S＝－()2＋12×＝(cm2). 综上所述，当△DEF是直角三角形时，△DEF的面积为36 cm2或cm2. $$