第04讲 坐标法和极化恒等式在平面向量中的应用（思维导图+知识串讲+2大考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第04讲 坐标法和极化恒等式在平面向量中的应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 平面直角坐标系建系的常见技巧 1、前言 坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标。对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的。 2、技巧 ①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等等； ②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等。 知识点02 极化恒等式 设a，b是平面内的两个向量，则有 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． 【考点一：坐标法求式子的最值与范围】 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）边长为2的正方形上有一动点，则向量的最大值是（   ） A．1 B．2 C． D．4 2．（20-21高一下·辽宁·阶段练习）已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高一下·甘肃白银·期末）在中，，，，若，则等于（    ） A．7 B．8 C．12 D．13 5．（2024·全国·模拟预测）在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中点，N在BC上，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是正六边形的中心，若，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）在中，，当时，的最小值为4．若，，其中，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【考点二：极化恒等式解决数量积的最值与范围问题】 一、单选题 1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，内角的对边分别为，已知，为的中点，且，则（   ） A．3 B．5 C．6 D．12 2．（2024高一·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（23-24高一下·山东日照·期末）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．-2 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在边长为2的菱形中，，点是内一动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京·三模）已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 6．（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C．2 D．3 7．（23-24高一上·北京顺义·期中）如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 9．（24-25高一上·河南·阶段练习）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 10．（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·江苏常州·开学考试）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 坐标法和极化恒等式在平面向量中的应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 平面直角坐标系建系的常见技巧 1、前言 坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标。对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的。 2、技巧 ①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等等； ②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等。 知识点02 极化恒等式 设a，b是平面内的两个向量，则有 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． 【考点一：坐标法求式子的最值与范围】 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）边长为2的正方形上有一动点，则向量的最大值是（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，分在正方形的四条边上的情况分别求解即可． 【详解】如图，分别以为轴建立平面直角坐标系， 则， 设，则，，所以， 当在边或上时，，所以， 当在边上时，，所以， 当在边上时，，所以， 所以的取值范围是，所以向量的最大值是． 故选：D. 2．（20-21高一下·辽宁·阶段练习）已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的对称性建立坐标系，利用坐标运算再结合二次函数求出结果即可. 【详解】以中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 设， 则， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意建立坐标系，用坐标表示向量的数量积计算即得. 3．（23-24高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，利用坐标法求向量数量积. 【详解】以为原点，为轴，点在第一象限，建立如图所示的平面直角坐标系，      则有，，,为弧上的点且，则， ， . 故选：A. 4．（23-24高一下·甘肃白银·期末）在中，，，，若，则等于（    ） A．7 B．8 C．12 D．13 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，通过数量积的坐标运算即可求解. 【详解】如图，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 过作，且，连接，延长到，使， 连接，则四边形为平行四边形， . 又， 为边的中点. 根据条件得，，，， ，， . 故选：C.    5．（2024·全国·模拟预测）在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中点，N在BC上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一  建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，从而求出，的坐标，最后利用向量的夹角公式即可得解；解法二  以，为基底，通过向量的线性运算用基底将，表示出来，再利用向量的夹角公式即可得解． 【详解】解法一  如图，建立平面直角坐标系，则，，，， ∴，，∴，∴， 则，∴， 故选：A．    解法二  设，，则，，，， ， ∴， ，， ∴， 故选：A． 6．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是正六边形的中心，若，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据题意求出正六边形的半径，设出的坐标，再利用向量的数量积和半径列出方程组，求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以 ，设，则， 根据正六边形的性质有： ，且， 所以，整理得：，解得：， 根据题意，所以. 故选：C. 7．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，求出，从而建系，将用函数表示出来，即可求出. 【详解】, 且在平行四边形中，， . 以A为原点建坐标系，则 点P在边上，设, ， ，， 所以. 故选：A 8．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果. 【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 因为“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行， 所以六边形为边长为的正六边形，， 所以， 所以， 设，则， 所以， 因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界）， 所以，所以， 所以，即的取值范围是. 故选：B. 9．（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）在中，，当时，的最小值为4．若，，其中，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得. 【详解】如下图所示： 在直线上取一点，使得，所以， 当时，取得最小值为，即； 又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形， 建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示： 又可得为的中点， 由以及可得在上， 可得， 所以，可得， 则， 令，由可得， 所以， ， 由二次函数在上单调递减可得. 故选：B 【考点二：极化恒等式解决数量积的最值与范围问题】 一、单选题 1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，内角的对边分别为，已知，为的中点，且，则（   ） A．3 B．5 C．6 D．12 【答案】B 【分析】根据向量的数量积公式及运算律计算即可. 【详解】已知，所以， 因为为的中点，所以 且，则. 故选：B. 2．（2024高一·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据，结合正六边形的性质求解的范围即可. 【详解】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值4， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以． 所以， 即的最小值为8． 故选：D 3．（23-24高一下·山东日照·期末）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解. 【详解】取中点为，连接，显然， 所以 . 故选：A 4．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．-2 【答案】B 【分析】设的中点为的中点为E，则可表示为，进而可得答案. 【详解】设的中点为的中点为E， 则有 ， 则 ， 而 而 ，， 故当P与E重合时， 有最小值 ， 所以的最小值为， 故选：B. 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，设，得，根据的范围即可求出的范围. 【详解】 以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 因为在矩形中，， 则， 又点在边上运动（包含端点）， 设，则， ， 则， 因为，所以， 故选：D. 2．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解. 【详解】如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 故选：C 3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在边长为2的菱形中，，点是内一动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图建系，可求得A,B,C,D的坐标，设，则可得的表达式，根据x的范围，即可求得答案. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，则. 设，则，故， 即的取值范围是. 故选：A 4．（2024·北京·三模）已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，计算即可. 【详解】以为原点， 为轴，为轴建立平面直角坐标系， 设，则， 所以， 由于正八边形的每个外角都为； 则， 所以. 故选：C 5．（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系. 则， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是8. 故选：C 6．（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】以菱形的对角线为坐标轴，对角线的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及基本不等式求解即可. 【详解】解：由，可建立如图所示平面直角坐标系， 设，， 则， 所以， 则 ， 故， 所以. 故选：D. 7．（23-24高一上·北京顺义·期中）如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题得为直角三角形，建立平面直角坐标系，将问题转化为求与夹角的余弦即可. 【详解】因为，，， 由余弦定理得，， 得到，又，所以为直角三角形， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则有，又分别为中点， 所以，故， 所以， 故选：D. 8．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】借助中点Q和平方差公式得，再探究PQ的最大值即可. 【详解】分别取，中点Q，R，连接，， 则由题，，即， 所以， 作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大， 所以 ， 所以的最大值为3. 故选：C. 9．（24-25高一上·河南·阶段练习）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】取的中点，连接，由向量的加法和数量积结合图形运算即可； 【详解】 取的中点，连接（图略），则 ． 因为正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合， 所以，所以． 故选：B. 10．（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，求出的取值范围，再根据 结合数量积的运算律求解即可. 【详解】取中点，连接， 因为是边长为2的正方形，动点在以为直径的半圆上， 所以当在点或点时，取得最大值， 当在弧中点时，取得最小值， 的取值范围为， 又因为，，， 所以 ， 因为的取值范围为， 所以的取值范围为，的取值范围为， 故选：B 11．（23-24高一下·江苏常州·开学考试）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，转化为点到和点三个点的距离之和，画出图形，结合费马点的性质求出点坐标，得到答案. 【详解】设，，， 则， 即为点到和点三个点的距离之和， 则△ABC为等腰三角形，如图， 由费马点的性质可得，需满足：点P在y轴上且∠APB＝120°，则∠APO＝60°， 因为|OA|＝|OB|＝2，则，所以点坐标为时，距离之和最小， 最小距离之和为. 故选：B. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$