第03讲 三角形中的“四心问题”与奔驰定理（思维导图+知识串讲+5大考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第03讲 三角形中的“四心问题”与奔驰定理在平面向量中的应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 三角形的重心 1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有. 知识点02 三角形的外心 1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 3、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或 ； 知识点03 三角形的内心 1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心 2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等 ②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3、内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 在平面向量的应用：若点是△的内心，则有 知识点04 勾股定理证明 四、三角形的垂心 1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 在平面向量的应用：若是△的垂心，则或 知识点05 勾股定理证明 一、奔驰定理 1.奔驰定理：O是△ABC内一点，且，则 2.奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② 由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理. 二、奔驰定理的证明 奔驰定理：是内一点，且，则 已知是内的一点，的面积分别为，，，求证： 法一证明：延长与边相交于点则 法二证明：延长OA到OA1，OB到OB1,OC到OC1使得，O为△A1B1C1的重心. 三、三角形四心与奔驰定理的关系及证明 ①是的重心：． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 ②是的内心： 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 ③是的外心：． 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 ④是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 【考点一：重心】 一、单选题 1．（23-24高一下·江西上饶·期末）已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．（24-25高一下·云南玉溪·阶段练习）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知为重心，线段上一点满足，与相交于点，则（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·天津·期中）已知G是的重心，若，则（    ） A． B． C． D． 【考点二：外心】 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）若点O是的外心，且，则的内角C等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知点是的外心，，若，，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 4．（24-25高一下·湖北·期中）中，角所对的边分别为，若分别为的外心和重心，则（    ） A． B．2 C．3 D． 5．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，，，O为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【考点三：内心】 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）设为的内心，且，则角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 3．（24-25高一下·山东菏泽·期中）已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高一下·山西晋城·阶段练习）设为的内心，，，，则 ． 5．（23-24高一下·新疆·期末）已知点是的内心，，则面积的最大值为 . 【考点四：垂心】 一、单选题 1．（23-24高一下·河南·阶段练习）设是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，则点是的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 2．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④（其中a，b，c为中，角A，B，C所对的边）．则O依次是的（   ） A．内心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、内心 C．外心、内心、重心、垂心 D．内心、垂心、外心、重心 3．（24-25高一下·河北保定·期中）已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 4．（23-24高一下·广东汕尾·期末）在中，，点为的垂心，且满足，，则（    ） A． B．－1 C． D． 5．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 6．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【考点五：奔驰定理】 一、单选题 1．（23-24高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一下·河北·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 一、单选题 1．（24-25高一上·重庆·期中）已知点是的重心，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）在中，若，则点H是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 3．（2025高一·全国·专题练习）设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹经过的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 4．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 5．（2025高一·全国·专题练习）在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）在△ABC中，，，P为△ABC内的一点，，则下列说法错误的是（   ） A．若P为△ABC的重心，则 B．若P为△ABC的外心，则 C．若P为△ABC的垂心，则 D．若P为△ABC的内心，则 二、多选题 7．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 8．（23-24高一下·四川广安·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：如图所示，已知是内一点，，，的面积分别为，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，则 三、填空题 10．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知是的外心，，则 ． 11．（2025高一·全国·专题练习）已知H是的垂心，满足，且，则 ． 12．（2025高一·全国·专题练习）在中，I为的内心，若，则 . 13．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为 . 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 三角形中的“四心问题”与奔驰定理在平面向量中的应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 三角形的重心 1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有. 知识点02 三角形的外心 1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 3、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或 ； 知识点03 三角形的内心 1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心 2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等 ②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3、内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 在平面向量的应用：若点是△的内心，则有 知识点04 勾股定理证明 四、三角形的垂心 1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 在平面向量的应用：若是△的垂心，则或 知识点05 勾股定理证明 一、奔驰定理 1.奔驰定理：O是△ABC内一点，且，则 2.奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② 由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理. 二、奔驰定理的证明 奔驰定理：是内一点，且，则 已知是内的一点，的面积分别为，，，求证： 法一证明：延长与边相交于点则 法二证明：延长OA到OA1，OB到OB1,OC到OC1使得，O为△A1B1C1的重心. 三、三角形四心与奔驰定理的关系及证明 ①是的重心：． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 ②是的内心： 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 ③是的外心：． 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 ④是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 【考点一：重心】 一、单选题 1．（23-24高一下·江西上饶·期末）已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据重心的性质及向量的线性运算可得解. 【详解】 如图所示， 设为中点， 又为的重心， 则， 故选：B. 2．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由题可得，结合重心性质及平面向量基本定理可得答案. 【详解】因，则. 又，由平面向量基本定理可得： . 则，，故三角形是等腰直角三角形. 故选：D 3．（24-25高一下·云南玉溪·阶段练习）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】用向量的线性运算，结合中线向量和共线向量性质即可作答. 【详解】因为，， 则 若设中的的中点为，有， 则. 所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心． 故选：A． 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知为重心，线段上一点满足，与相交于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形重心的性质可得，结合条件及向量共线的推论，即可求出结果. 【详解】如图，因为为的重心，所以在中线上，且， 又，所以， 设，所以， 又，所以，又三点共线， 所以，得到，所以， 故选：C. 5．（23-24高一下·天津·期中）已知G是的重心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用正弦定理得，再由三角形重心性质得出，再结合三边一角用余弦定理即可求出结果. 【详解】因为， 所以由正弦定理得， 由三角形重心性质知，得， 即， 故由余弦定理得. 故选：D 【考点二：外心】 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）若点O是的外心，且，则的内角C等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，又因为，所以四边形为菱形，且，即可得答案. 【详解】由得，， 因为点O是的外心，则， 结合向量加法的几何意义知， 四边形为菱形，且，    所以的内角C等于. 故选：A. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算律，即可得，结合外心定义即可求解. 【详解】由已知得， 所以，所以， 所以点O是的外心， 故选:A． 3．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知点是的外心，，若，，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】取边的中点，则.由题中条件分析可知点与点重合，为的中点.根据点是的外心，可得，利用向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】取边的中点，则. ∵，∴，即，∴点与点重合，为的中点. 又∵点是的外心，∴是以为斜边的直角三角形，∴. ∵，，∴，解得. 故选：D. 4．（24-25高一下·湖北·期中）中，角所对的边分别为，若分别为的外心和重心，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】设为边中点，连接,作于，求得，，化解得，代数计算即可. 【详解】 设为边中点，连接,作于，即为中点， 因为, 同理, 则 故选：D 5．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，，，O为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由向量数量积及三角形外心的定义可知，，然后化简已知等式，得到的值. 【详解】由题意可知，， ， ， ， ， ， . 故选：B. 【考点三：内心】 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）设为的内心，且，则角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由内心的向量表示可得，结合余弦定理的推论计算即可得. 【详解】∵为的内心， ∴， ∴， 设，（）， 则， 又，所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义作出图形，即可得出判断． 【详解】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． 3．（24-25高一下·山东菏泽·期中）已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算结合角平分线性质可得，再利用余弦定理和数量积的运算律可得计算结果. 【详解】连接并延长，交于， 因为O为的内心，故为角平分线，由角平分线的性质可得， 同理， 而，故，且，故， 故， 而，故， 故， 故 ， 故选：C. 二、填空题 4．（23-24高一下·山西晋城·阶段练习）设为的内心，，，，则 ． 【答案】 【分析】结合图形和条件，推得，利用三角形等面积求得的内切圆半径，继而得出，最后利用向量的线性运算求出即得. 【详解】 如图，因，,为的内心，延长交于点，则, 于是，,，设的内切圆半径为， 则，解得，即,因,故, 于是，,则，即. 故答案为：. 5．（23-24高一下·新疆·期末）已知点是的内心，，则面积的最大值为 . 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求出，再利用面积公式即可求解. 【详解】因为点是的内心，，所以. 由余弦定理得， 所以， 则， 故的面积. 故答案为：. 【考点四：垂心】 一、单选题 1．（23-24高一下·河南·阶段练习）设是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，则点是的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析】利用向量的加减法法则计算化简，再运用向量垂直的充要条件进行判断即得. 【详解】由题意可得，则，故点是的垂心. 故选：A. 2．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④（其中a，b，c为中，角A，B，C所对的边）．则O依次是的（   ） A．内心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、内心 C．外心、内心、重心、垂心 D．内心、垂心、外心、重心 【答案】B 【分析】由向量的运算以及三角形四心的定义，逐项检验，可得答案. 【详解】对于①，因为①， 所以点O到点A，B，C的距离相等，即点O为的外心； 对于②，因为，所以， 所以，即，同理，， 即点O为的垂心； 对于③，因为，所以， 设D为BC的中点，则，即点O为的重心； 对于④，因为， 故，整理得． 又， 所以． 因为，分别为，方向的单位向量，故AO与的角平分线共线． 同理与的角平分线共线，与的角平分线共线， 故点为的内心． 故选：B. 3．（24-25高一下·河北保定·期中）已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律，结合向量加减计算判断得解. 【详解】在中，由为的垂心，得， 由，得， 则，即，又， 显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件. 故选：B. 4．（23-24高一下·广东汕尾·期末）在中，，点为的垂心，且满足，，则（    ） A． B．－1 C． D． 【答案】D 【分析】一方面：根据已知得出，另一方面：由三点共线的推论即可列式求解. 【详解】由题意可知是以A为顶角的等腰三角形， 如图所示：，，则， 在直角三角形中，，即. 设， 则， ， 所以，所以. 故选：D. 5．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 【答案】A 【分析】由表示过角平分线所在向量，即可判断，由正弦定理得到，再设的中点为，则，即可判断，推导出，即可判断. 【详解】因为表示过角平分线所在向量，又， 所以的轨迹经过的内心， 由正弦定理，所以， 令， 由， 得， 设的中点为，则， 所以，所以的轨迹经过的重心，    因为， 所以 ， 所以，所以的轨迹经过的垂心. 故选：A 6．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，，分别交边，，于点，，，利用同底的两个三角形面积比推得，从而得解. 【详解】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图， 则，，，，， 因此，， 同理， 于是得， 又 由“奔驰定理”有 即，所以， 故选：A 【考点五：奔驰定理】 一、单选题 1．（23-24高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三边，先求出角B的余弦值,再由内心可得到，进而由“奔驰定理”得到，在对向量进行线性运算即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为O为的内心，设，由题意， 则， 同理可得 所以根据“奔驰定理”有， 所以， 即， 所以， ． 故选：A． 2．（23-24高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和得，从而可以得出，设，，得，，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解. 【详解】    如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，所以， 又，则，同理可得，所以， 设，，则，， 所以，即，， 所以， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用“奔驰定理”得到，从而利用对顶角相等得到，由此得解. 二、多选题 3．（24-25高一下·河北·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【分析】根据重心的性质推导出，结合重心的定义可判断A选项；由“奔驰定理”结合平面向量的线性运算可判断BC选项；推导出，可得出为直角，结合锐角三角函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用平面向量的线性运算与三角形的面积比的关系，转化为“奔驰定理”判断结论即可. 一、单选题 1．（24-25高一上·重庆·期中）已知点是的重心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用为基底，结合三角形重心的性质，表示向量，可得，的值. 【详解】如图，由点是的重心，可得   ， 结合，可得，，所以. 故选：D 2．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）在中，若，则点H是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】A 【分析】根据向量的运算结合向量垂直分析判断. 【详解】因为，则， 所以，即点H在边的高线所在直线上， 同理可得：， 所以点H为的三条高线的交点，即点H是的垂心. 故选：A. 3．（2025高一·全国·专题练习）设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹经过的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】C 【分析】根据数量积的运算可得，进而根据可得，结合垂线的定义即可求解. 【详解】， 则，即，故，即点的轨迹经过的垂心. 故选：C 4．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形. 故选：C. 5．（2025高一·全国·专题练习）在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角平分线定理可得出，求得，再由角平分线定理可得，由向量相等的性质可得结果. 【详解】因为是的内心，的延长线交于， ，，， 由角平分线定理可得，可得，， 即，则， 又因为，，且为的角平分线， 所以，，所以，， 又，且向量、不共线，所以，，所以. 故选：C. 6．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）在△ABC中，，，P为△ABC内的一点，，则下列说法错误的是（   ） A．若P为△ABC的重心，则 B．若P为△ABC的外心，则 C．若P为△ABC的垂心，则 D．若P为△ABC的内心，则 【答案】B 【分析】对于A，利用三角形重心性质易得，计算即可判断；对于B，将转化后利用向量数量积计算即得；对于C，先算出边上的高线长，再利用三角函数和勾股定理求得长，即可判断；对于D，先通过等面积求得三角形的内切圆半径，即得长，即可判断. 【详解】    对于A，如图，P为△ABC的重心时，延长交于点. 必有,即，故有，即A正确；    对于B，如图，连接,则, 在中，，故, 于是， 因，则,即，故，故B错误；    对于C，如图，延长交于点,不妨设 在中，,故中， ①， 又,解得，故， 在中， ② ，联立①和②，解得， 故,即，则，C正确；    对于D，如图，设的内切圆半径为， 则由解得，即, 故，即，则，D正确. 故选：B. 二、多选题 7．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 【答案】ACD 【分析】根据向量加法的平行四边形法则判断A，根据外心的性质判断B，根据重心的性质判断C，根据向量共线及内心的性质判断D. 【详解】对于A，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，可得， 若，可得是边的中点，故A正确； 对于B，若，则是的外心，故B错误； 对于C，若，则，即， 所以是的重心，故C正确； 对于D，因为表示方向的单位向量，表示方向的单位向量， 所以与的角平分线同向，又， 则在的角平分线上，所以动点过的内心，故D正确. 故选：ACD 8．（23-24高一下·四川广安·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用欧拉线的几何性质，再结合平面几何中的平行性质，以及向量的线性运算，即可作出判断. 【详解】 对于A，由是的中点，又由是外心，是垂心，可知: 所以，根据平行线分线段成比例可知：， 又由欧拉线的性质可知：，所以，即，故A正确； 对于B，由于是重心，所以， 而是的中点，所以，代入上式可得：，故B正确； 对于C，因为是外心，所以，故C正确； 对于D，由向量的加法可知：，故D错误； 故选：ABC. 9．（23-24高一上·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：如图所示，已知是内一点，，，的面积分别为，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，则 【答案】ABD 【分析】对于A，取中点，连接，由题意可得，即有，同理可得，，即可判断；对于B，设内切圆的半径为，由三角形的面积公式可得，整理即可判断；对于C，设的外接圆半径为，根据题意及三角形的面积公式可得，，，即可判断；对于D，由题意可得，再由三角形的面积公式可得 ，，设，可得，进而可得，，，即可判断. 【详解】解：对于A，取中点，连接，    因为， 则， 所以，， 所以三点共线，且， 设分别是的中点， 同理可得，， 所以为的重心，故A正确； 对于B，因为为的内心， 设内切圆的半径为，    则有， 所以， 即，故B正确； 对于C，因为为的外心， 设的外接圆半径为， 又因为，    则有，，， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D，延长交于，延长交于，延长交于，如图所示：    因为为的垂心，， 则， 又因为， 则， 设， 因为， 同理可得， 则， 所以， 所以， 所以在中，， 所以在中，； 所以在中，， 所以在中，； 所以 ， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解三角形的重心、内心、外心、垂心. 三、填空题 10．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知是的外心，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量的运算律求解即得. 【详解】令边的中点为，由是的外心，得，， 又，所以. 故答案为： 11．（2025高一·全国·专题练习）已知H是的垂心，满足，且，则 ． 【答案】 【分析】由向量的线性运算，可得，两边点乘及由垂心向量公式得解. 【详解】由，得， 化简得，再左右点乘及垂心向量公式得 ，故. 故答案为：. 12．（2025高一·全国·专题练习）在中，I为的内心，若，则 . 【答案】 【分析】根据内心的性质和向量关系可得到三角形三边的比值，然后根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形，从而得出的值. 【详解】根据题意，画出图形为： 因为是的内心，所以根据内心的性质和向量关系可知， 若，则，分别为三角形三边的长度. 因为，所以， 根据勾股定理的逆定理，则. 故答案为：90°. 13．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为 . 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，作于点.将用表示，根据向量数量积的几何意义化简已知式，推得，再由利用向量数量积的运算律求得，最后利用和已得结论求即可. 【详解】 如图，延长交于点，过点作于点，作于点. 因点，分别是知的重心和外心，则，, 则，则 ， 即得， 又由和，可得， 整理得，解得， 因， 则， 即边的长为. 故答案为：. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$