猜想01 三角函数公式的应用（考题猜想，11大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019）

猜想01 三角函数公式的应用 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 条件等式求正弦、余弦、正切 · 题型二 正、余弦齐次式的计算 · 题型三 、的关系 · 题型四 诱导公式的应用——化简、求值 · 题型五 诱导公式的拼凑角 · 题型六 三角恒等变换的化简问题 · 题型七 三角恒等变换——给值求值问题 · 题型八 三角恒等变换——给值求角问题 · 题型九 积化和差、和差化积 · 题型十 利用三角恒等变换判断三角形形状 · 题型十一 三角恒等变换的综合应用 题型一 条件等式求正弦、余弦、正切 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 即，即， 显然，所以，则， 又，所以， 所以. 故选：D 2．已知集合，且A=B，则（     ） A．－1 B．0 C．1 D．±1 【答案】A 【详解】因为，又即，所以， 则，又，所以， 所以. 故选：A. 3．已知，则（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【答案】C 【详解】联立， 解得或， 当，时， ； 当，时， . 故选：C. 4．已知，那么的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】B 【详解】，则， 解得或（舍去）， 故，. 故选：B. 【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，需熟记公式，属于基础题. 5．已知，为第三象限角，则的值为 . 【答案】 【详解】由题意可得，，即，且为第三象限角， 则，，所以. 故答案为：. 题型二 正、余弦齐次式的计算 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，， 则， 故选：A． 7．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，解得. 故选：B 8．已知点在角的终边上，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】由题得， 所以原式. 故选：C 9．若，则 ， ． 【答案】 / /0.3 【详解】； . 故答案为：；. 10．已知，则 . 【答案】/ 【详解】由，得. 故答案为： 11．已知，则 ； . 【答案】 【详解】由，解得， 所以 由，可得， 所以，解得， 所以， 故答案为：； 题型三 、的关系 12．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在等式两边平方可得， 故， 所以. 故选：A. 13．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为,又， 所以，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：C. 14．（多选）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，由题意，，是方程的两根，则， 由，得，即， 解得，则，解得，故A错误； 对于B，， 因为，所以，又，所以， 则，因此，故B正确； 对于C，由，解得， 则，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：BD. 15．已知，则 ． 【答案】/ 【详解】由，得， 解得，所以， 又因为，且，所以，，所以， 则， 故答案为：. 16．已知，则 【答案】 【详解】， ， 所以，所以， 故答案为：. 17．已知，则 . 【答案】 【详解】 故答案为：. 题型四 诱导公式的应用——化简、求值 18．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知角的终边上有一点，设为坐标原点，则，故， 则， 故选：A. 19．已知角θ的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，角的终边经过点，则， 于是. 故选：C. 20．（多选）定义：角和都是任意角，若，则称与“广义互余”．已知，下列角中，可能与角广义互余的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于选项A：若角和广义互余，则，即． ，故A错误； 对于选项B：，解得，则，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，即满足与广义互余，故D正确． 故选：CD 21．计算： ． 【答案】 【详解】由已知得． 故答案为：. 22．如图，角的终边与单位圆交于点，且. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）（1）在单位圆上，可得，结合，故，故， 故 （2） 23．在平面直角坐标系中，若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求和的值； (2)若，化简并求值. 【答案】(1)，； (2)化简结果为，值为 【详解】（1）由三角函数定义可知，， ； （2） ， 将代入得 题型五 诱导公式的拼凑角 24．定义上进函数，其函数值为n的正约数的个数，例如，.若，已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则必是的一个约数，若有其它约数必会成对出现，则为正奇数， 所以 . 故选：B 25．已知，且 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 且，则， 又， ， 所以 . 故选：A 26．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ． 故选：A 27．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，， 所以，， 又，所以， 所以， 所以. 故选：B 28．已知，则 ． 【答案】 【详解】． 故答案为：. 29．已知. (1)化简； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为. （2）由. 所以. 题型六 三角恒等变换的化简问题 30．化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式． 故选：A 31．若，则（   ） A．－3 B． C． D．3 【答案】B 【详解】 ， 故选：B． 32．若是第一象限角，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为，又是第一象限角，易得， 原式， 故答案为： 33．（多选）若，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】将平方得， 结合可得，即， 即， 即，故CD错误； 又 ，故A正确，B错误. 故选：BCD. 34．已知，且，则 . 【答案】/ 【详解】由条件可知，， 即， 得，且 所以. 故答案为： 35．（1） ； （2） ． 【答案】 4 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 故答案为：4， 36．求值： (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2） ， , ． 题型七 三角恒等变换——给值求值问题 37．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：因为，所以. 因为， 所以. 解法二：令，则，， 所以. 故选：D. 38．若，，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，已知，令， 根据三角恒等式可得： 代入已知条件，， 得：， 计算得： ，即. 由于，均为非负数，故，即. 故选：B 39．已知，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C. 40．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因， 则. 故选：A. 41．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以 ，即， 所以由得， 所以. 故选：A. 42．已知，则 . 【答案】 【详解】因为， 即， 所以. 故答案为：. 43．已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，所以， 又因，， 故， 因为， ，则， 则． 又因为， 所以 （2）由1知：， ， 因为，所以 44．已知，． (1)求、的值； (2)求的值； (3)若、均为锐角，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由题意得，得． （2）． （3）由，得． 由，得，得， 所以，， 由，得， ， 所以 ． 题型八 三角恒等变换——给值求角问题 45．已知，，且、是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由条件可知，，，且， 所以不妨设，则，，则 ，所以. 故选：C 46．已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以， 化简得：， 所以， 又由，可得， 所以，即，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：A 47．已知，写出符合条件的一个角的值为 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】， 故， ，即， 故， 故，即， 则， 则， 可取. 故答案为： 48．已知，，且，. (1)的值； (2)的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据两角差的正切公式，，解得， （2）注意到，则，，于是， 结合（1）结果，则， ，则，由可知. 于是， ， 故是第一象限角， ，，则， 于是 49．已知，. (1)求的值； (2)若，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，所以， 所以，则； （2）因为，所以或， 因为，所以，所以， 所以， 因为，，所以，所以. 50．已知，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，， ； （2），，， ， ，，. 题型九 积化和差、和差化积 51． 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， . 故选：A. 52．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由和差化积公式， 得， ， 两式相除，所以. 所以. 故选：B． 53．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 所以. 故选：D. 54．化简求值： . 【答案】 【详解】 55．证明：． 【答案】见解析 【详解】，， ， 即 ． 题型十 利用三角恒等变换判断三角形形状 56．在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】由, 所以：. 因为为三角形内角，所以. 所以为等腰三角形. 故选：A 57．在△ABC中，若，则△ABC为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【详解】由题意，，又， ∴，即，， ∴当时，；当时，，又，则； ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 58．在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】在△ABC中，由，得 ， 则， 所以，即，则， 又，，则，所以，即， 所以△ABC为等腰三角形，但无法判断C是不是直角． 故选：A． 59．（多选）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】BC 【详解】由 因为，且， 可得， 所以，可得或， 因为，所以或，所以为直角或等腰三角形. 故选：BC. 60．在中给出下列四个命题： ①若，则是等腰三角形； ②若且，则是直角三角形； ③若，则是等边三角形； ④若，则是等腰三角形． 其中正确的是 ． 【答案】②③④ 【详解】在中，当时，，显然不是等腰三角形，①不正确； 在中，，则A为锐角，由得：B为锐角，且， 因此有，即，则有是直角三角形，②正确； 在中，，则， 因，则有， 于是得，是等边三角形，③正确； 在中，，则， 即，而，则有，是等腰三角形，④正确. 故答案为：②③④ 61．在中，已知，试判断的形状． 【答案】等腰三角形 【详解】由题设，即， 又为三角形的内角，所以， 又， 所以，故， 综上，，即，故为等腰三角形. 题型十一 三角恒等变换的综合应用 62．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，现据《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且，则该球体建筑物的高度约为（）（    ）    A．58.60m B．56.74m C．50.76m D．49.25m 【答案】C 【详解】如图，设球的半径为，球心为，为与球的切线，则. ， .    故选：C 63．有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，准备从这个扇形中切割出一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上），则这个内接矩形的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图, 在 中, 设, 则,. 在 中, . . 设矩形的面积为, 则 故当 , 即时, . 故选：A 64．露天电影就是在室外放的电影，在我国七十年代开始流行，观看者不需要买票，可以随意进场观看.已知某地在播放露天电影，幕布上、下边缘距离为d米，幕布的下方边缘距离观众水平视线上方a米，为使看电影时的视角（即从幕布上、下边缘引出的光线在人眼光心处所成的夹角）最大，应坐在距离幕布 米处.（用a，d表示） 【答案】 【详解】如图，设分别为幕布上下边缘，观影者位于点处， 则由条件可得，， 设，则，， 则 ， 当且仅当，即时，“”成立， 又因为在上为增函数， 所以坐在距离幕布米处，视角最大. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设分别为幕布上下边缘，观影者位于点处，设，得出，，再根据两角差的正切公式化简是解决本题的关键. 65．如图所示，已知OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．    【答案】当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为． 【详解】解：在中，，，， 在中，， ∴， ∴， 设矩形ABCD的面积为S，则 ， 由，得， 所以当，即时，， 因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为． 66．如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中. (1)将十字形的面积表示成的函数； (2)求十字形面积的最大值，并求出此时的值. 【答案】(1) (2)，此时 【详解】（1）解：如图所示：，为锐角， 因为，所以，解得， 所以， （2）解：由（1）知， （其中）， 当，，即当时，十字形取得最大面积，． 因为 所以 此时， 所以 综上，，此时 $$猜想01 三角函数公式的应用 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 条件等式求正弦、余弦、正切 · 题型二 正、余弦齐次式的计算 · 题型三 、的关系 · 题型四 诱导公式的应用——化简、求值 · 题型五 诱导公式的拼凑角 · 题型六 三角恒等变换的化简问题 · 题型七 三角恒等变换——给值求值问题 · 题型八 三角恒等变换——给值求角问题 · 题型九 积化和差、和差化积 · 题型十 利用三角恒等变换判断三角形形状 · 题型十一 三角恒等变换的综合应用 题型一 条件等式求正弦、余弦、正切 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，且A=B，则（     ） A．－1 B．0 C．1 D．±1 3．已知，则（    ） A．0 B． C．0或 D．或 4．已知，那么的值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 5．已知，为第三象限角，则的值为 . 题型二 正、余弦齐次式的计算 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．若，则（   ） A． B． C． D． 8．已知点在角的终边上，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 9．若，则 ， ． 10．已知，则 . 11．已知，则 ； . 题型三 、的关系 12．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 14．（多选）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 15．已知，则 ． 16．已知，则 17．已知，则 . 题型四 诱导公式的应用——化简、求值 18．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 19．已知角θ的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 20．（多选）定义：角和都是任意角，若，则称与“广义互余”．已知，下列角中，可能与角广义互余的是（   ） A． B． C． D． 21．计算： ． 22．如图，角的终边与单位圆交于点，且. (1)求； (2)求. 23．在平面直角坐标系中，若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求和的值； (2)若，化简并求值. 题型五 诱导公式的拼凑角 24．定义上进函数，其函数值为n的正约数的个数，例如，.若，已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 25．已知，且 ，则（   ） A． B． C． D． 26．若，则（   ） A． B． C． D． 27．已知，则（    ） A． B． C． D． 28．已知，则 ． 29．已知. (1)化简； (2)若，求. 题型六 三角恒等变换的化简问题 30．化简：（   ） A． B． C． D． 31．若，则（   ） A．－3 B． C． D．3 32．若是第一象限角，且，则的值为 ． 33．（多选）若，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 34．已知，且，则 . 35．（1） ； （2） ． 36．求值： (1); (2)． 题型七 三角恒等变换——给值求值问题 37．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 38．若，，其中，则（    ） A． B． C． D． 39．已知，则（    ） A． B． C． D．5 40．若，则（    ） A． B． C． D． 41．已知，则（    ） A． B． C． D． 42．已知，则 . 43．已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 44．已知，． (1)求、的值； (2)求的值； (3)若、均为锐角，且，求的值． 题型八 三角恒等变换——给值求角问题 45．已知，，且、是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 46．已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 47．已知，写出符合条件的一个角的值为 . 48．已知，，且，. (1)的值； (2)的值. 49．已知，. (1)求的值； (2)若，，求的值. 50．已知，且，. (1)求的值； (2)求的值. 题型九 积化和差、和差化积 51． 等于（    ） A． B． C． D． 52．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 53．已知，，则（    ） A． B． C． D． 54．化简求值： . 55．证明：． 题型十 利用三角恒等变换判断三角形形状 56．在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 57．在△ABC中，若，则△ABC为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 58．在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 59．（多选）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 60．在中给出下列四个命题： ①若，则是等腰三角形； ②若且，则是直角三角形； ③若，则是等边三角形； ④若，则是等腰三角形． 其中正确的是 ． 61．在中，已知，试判断的形状． 题型十一 三角恒等变换的综合应用 62．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，现据《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且，则该球体建筑物的高度约为（）（    ）    A．58.60m B．56.74m C．50.76m D．49.25m 63．有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，准备从这个扇形中切割出一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上），则这个内接矩形的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 64．露天电影就是在室外放的电影，在我国七十年代开始流行，观看者不需要买票，可以随意进场观看.已知某地在播放露天电影，幕布上、下边缘距离为d米，幕布的下方边缘距离观众水平视线上方a米，为使看电影时的视角（即从幕布上、下边缘引出的光线在人眼光心处所成的夹角）最大，应坐在距离幕布 米处.（用a，d表示） 65．如图所示，已知OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．    66．如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中. (1)将十字形的面积表示成的函数； (2)求十字形面积的最大值，并求出此时的值. $$