第12讲 因式分解与提公因式法（3个知识清单+4类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

第12讲 因式分解与提公因式法 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01判断是否是因式分解........................................................................................................................................................3 题型02已知因式分解的结果求参数............................................................................................................................................5 题型03公因式................................................................................................................................................................................7 题型04提公因式法分解因式........................................................................................................................................................9 分层练习.........................................................................................................................................................................................12 夯实基础.........................................................................................................................................................................................12 能力提升.........................................................................................................................................................................................23 知识点1．因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 知识点2．公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 知识点3．因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 题型01判断是否是因式分解 1．（23-24八年级下·福建漳州·期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、，不是整式乘积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、，是因式分解，故本选项符合题意； D、不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（八年级下·广东佛山·阶段练习）根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．    【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、判断是否是因式分解 【分析】根据图形的面积大长方形的面积，又等于各部分的面积之和，即可得到等式． 【详解】解：图形的面积， 又图形的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，用两种方法求出大长方形的面积是解题的关键． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是因式分解 (2)不是因式分解 (3)是因式分解 (4)不是因式分解 (5)不是因式分解 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解是针对多项式而言的，因式分解后，右边是整式积的形式． 根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式 【详解】（1）解：因式分解是针对多项式来说的，故不是因式分解； （2）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （3）解：是因式分解； （4）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （5）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解． 题型02已知因式分解的结果求参数 4．（2024八年级·全国·竞赛）若多项式因式分解得，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【知识点】已知因式分解的结果求参数、计算多项式乘多项式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法运算．根据因式分解的定义，列出等式，利用等式性质分别求出m和n的值，再求解即可． 【详解】解：由已知， 故可得，， ∴，， ∴， 故选：D 5．（2024八年级下·全国·专题练习）若可以分解为，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 先计算，再根据对应的项相同，可求出结果． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：2． 6．（23-24八年级下·全国·假期作业）仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1) (2)9 (3)； 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查的是多项式的乘法与因式分解，待定系数法的运用，理解题意是解本题的关键． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出n和k的值及另一个因式． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）∵， ∴； （3）设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，k的值为12． 题型03公因式 7．（23-24八年级下·广东清远·期中）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】公因式 【分析】本题主要考查了求公因式，（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的；据此求解即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故选：C． 8．（23-24八年级下·河南新乡·期末）要将化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为 ． 【答案】/ 【知识点】公因式 【分析】本题考查了分式约分中公因式的求法，掌握求法是解题的关键．公因式：取分子、分母的系数的最大公约数及相同字母（或因式）的低次幂作为公因式的因式，即可求解． 【详解】解：与的公因式为， 故答案为：． 9．（八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【知识点】提公因式法分解因式、公因式 【分析】前3个小题直接提取公因式即可； 后3个小题，先分别变形，变形后可直接提取公因式． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式，当多项式中有互为相反数的因式时，可通过变形，使多项式有公因式．一般常见的两种变形为：及． 题型04提公因式法分解因式 10．（23-24八年级下·广东清远·期末）已知，，那么代数式的值为（   ） A．7 B．10 C．17 D．70 【答案】D 【知识点】提公因式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查代数式求值，因式分解，先把代数式因式分解，再代入求值，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 11．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了分解因式，先将式子变形，再根据提公因式法提取公因式，计算即可得解． 【详解】解： 故答案为：． 12．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算； (1)解不等式：； (2)因式分解： 【答案】(1)； (2)． 【知识点】提公因式法分解因式、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，提公因式法分解因式． （1）按照去分母，去括号，移项合并，系数化为1即可求解； （2）提取公因式，即可求解． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并，得， 解得； （2）解： ． 13．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)已知，，求的值； (4)计算：． 【答案】(1) (2) (3)6 (4) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、二次根式的加减运算、提公因式法分解因式 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，二次根式的混合运算，分母有理化，正确对二次根式进行化简是关键． （1）首先化简每一项二次根式，然后合并同类二次根式即可求解； （2）首先化简括号中二次根式，然后合并同类二次根式，计算除法运算即可求解． （3）首先对所求的式子分解因式然后代入数值计算求解； （4）原式各项分母有理化，合并即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵，， ； （4）解： ． 夯实基础 一、单选题 1．已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1 【答案】A 【分析】将原式提取公因式xy,进而将已知代入求出即可. 【详解】解: xy＝﹣3，x+y＝2, x2y+xy2= xy (x+y)=-32=-6. 故答案：A. 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键. 2．将多项式分解因式时应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂．同时注意首项系数通常要变成正数． 【详解】解：系数最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是、，应提取的公因式是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．当第一项的系数为负数时，应先提出“−”号． 3．下列分解因式中，完全正确的是（　　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是提公因式法与公式法的综合运用，根据分解因式的定义，以及完全平方公式即可作出解答． 【详解】A、x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1)，故选项错误； B、结果不是乘积的形式，故选项错误； C、x2+y2≠(x+y)2，故选项错误； D、6a-9-a2=-(a2-6a+9)=-(a-3)2，故选项正确． 故选D 【点睛】本题考查了分解因式的定义，以及利用公式法分解因式，正确理解定义是关键． 4．单项式，，的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将，，写成，，即可． 【详解】解：∵，， ∴，，的公因式为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了公因式的知识，将，，写成，，的形式是正确解题的关键． 5．下列变形正确的是（    ） A．x3﹣x2﹣x＝x（x2﹣x） B．x2﹣3x+2＝x（x﹣3）﹣2 C．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3） D．a2﹣4a+4＝（a+2）2 【答案】C 【分析】A、利用提取公因式法进行因式分解； B、利用十字相乘法进行因式分解； C、利用公式法进行因式分解； D、利用公式法进行因式分解． 【详解】A、x3-x2-x=x（x2-x-1），故本选项错误； B、x2-3x+2=（x-1）（x-2），故本选项错误； C、a2-9=（a+3）（a-3），故本选项正确； D、a2-4a+4=（a-2）2，故本选项错误； 故选C． 【点睛】考查了十字相乘法分解因式和提公因式法与公式法的综合运用．运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 6．如果二次三项式x2＋px－6可以分解为(x＋q)·(x－2)，那么(p－q)2的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【分析】根据多项式的乘法运算，把（x＋q）（x－2）展开，再根据对应项的系数相等进行求解即可． 【详解】解：∵（x＋q）（x－2）＝x2＋（q－2）x－2q， ∴p＝q－2， －2q＝－6， 解得p＝1，q＝3， ∴（p－q）2＝（1－3）2＝4． 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解与多项式的乘法的关系，根据对应项系数相等列式是解题的关键． 7．把多项式分解因式正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据因式分解法—提公因式，可由a-2与2-a互为相反数，先变形，再提公因式a-2可得：= = . 故选B. 点睛：此题主要考查了因式分解法—提公因式，关键是明确a-2与2-a互为相反数，并且多次提取公因式. 8．某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：-12xy2+6x2y+3xy=-3xy•（4y-______）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（　　） A．2x B．-2x C．2x-1 D．-2x-l 【答案】C 【分析】根据题意，提取公因式-3xy，进行因式分解即可． 【详解】解：原式=-3xy×（4y-2x-1），空格中填2x-1． 故选：C． 【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，同时要注意提取公因式后各项符号的变化． 二、填空题 9．分解因式： ． 【答案】 【分析】直接提取公因式即可 【详解】解：． 故答案为: . 10．x2﹣5x因式分解结果为 ，2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）因式分解结果为 ． 【答案】 x（x﹣5） （x﹣3）（2x﹣5） 【详解】解：x2﹣5x=x（x﹣5）； 2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）=（x﹣3）（2x﹣5）． 故答案为x（x﹣5）；（x﹣3）（2x﹣5）． 考点：因式分解-提公因式法． 点评：本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．第二问注意将（x﹣3）看作一个整体． 11．下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【答案】③④⑥ 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； ②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； ③是因式分解，故符合题意； ④是因式分解，故符合题意； ⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意； ⑥是因式分解，故符合题意； 故答案为：③④⑥． 【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 12．单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是 ． 【答案】4x10y3 【详解】运用公因式的概念，系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x10y3，可得公因式为4x10y3． 故答案为4x10y3. 点睛：此题主要考查了找公因式的方法，系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可求解. 13．用提公因式法分解因式：= ． 【答案】 【详解】根据提公因式法可以得到. 故答案为. 14．（1）已知长方体的长、宽、高分别是3x﹣4、2x和x，则它的表面积是 ； （2）若3x3﹣x＝1，则9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2018＝ ； （3）若25x＝2000，80y＝2000，则的值为 ． 【答案】 22x2﹣24x 2022 1 【分析】（1）根据长方体的表面积＝2×（长×宽+长×高+宽×高），再将长方体的长、宽、高分别是3x﹣4、2x和x，代入并化简求可以得出结果； （2）这题要用整体的思想进行解答，把3x3﹣x看作一个整体，对9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2018进行提取公式因，使得3x3﹣x的这个整体能够出来，然后再代入计算； （3）根据幂的逆运算：把25x＝2000，80y＝2000变成，这一步是解题的关键；接着把它们相乘可以得出 的值 【详解】（1）∵长方体的长、宽、高分别是3x﹣4、2x和x ∴长方体的表面积公式＝2×[（3x﹣4）•x+（3x﹣4）×2x+x•2x] ＝2×[3x2﹣4x+6x2﹣8x+2x2] ＝2×[11x2﹣12x] ＝22x2﹣24x 故答案为：22x2﹣24x （2）∵3x3﹣x＝1，把3x3﹣x看作一个整体 ∴9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2018 ＝（9x4﹣3x2）+（12x3﹣6x）﹣x+2018 ＝3x（3x3﹣x）+4（3x3﹣x）﹣3x+2018 ＝3x•1+4×1﹣3x+2018 ＝4+2018 ＝2022 故答案为：2022 （3）由已知得 两个式子相乘，得： ＝ ＝2000 ∴ ＝1 故答案为：1 【点睛】这题主要考查学生的对长方体的表面积公式的应用，整体思想、因式公解和幂的逆运算； 第（2）问需要掌握整体的思想的运用方法；第（3）问的突破口是幂的逆运算的应用； 三、解答题 15．计算(-2)2019+(-2)2018的结果. 【答案】-22018 【分析】直接利用提取公因式法分解因式进而计算得出答案． 【详解】（﹣2）2019+（﹣2）2018 =（﹣2）2018×（﹣2+1） =﹣22018． 【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键． 16．计算：999×118＋999×－999×18. 【答案】99900. 【分析】根据因式分解法步骤，先提取公因式999，然后整理即可得到正确答案. 【详解】原式＝999×＝999×100＝99900. 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，解题的关键是找出公因式． 17．在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】根据题意甲看错了b，分解结果为，可得a系数是正确的，乙看错了a，分解结果为，b系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a、b的值． 【详解】解：∵，小明看错了b， ∴， ∵，小张看错了a， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的． 18．计算：20162－2016×2015. 【答案】2016 【详解】试题分析：根据提公因式法分解因式，先确定公因式2016，再提取公因式即可. 试题解析：20162－2016×2015 =2016×（2016-2015） =2016. 19．（1）计算： （2）已知，试求的值. 【答案】（1）（2）4 【分析】本题主要考查了实数的运算和代数式求值．熟练掌握二次根式的化简，0指数幂性质，分解因式，整体代入法求代数式的值，是解决问题的关键． （1）针对二次根式化简，零指数幂性质，实数的加减法则，计算即得； （2）根据，求出，，将提取后代入计算即可． 【详解】解：（1）； （2）当时， ，， ∴． 20．阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是____________，共应用了____________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法____________次，结果是____________； (3)分解因式：（为正整数）． 【答案】(1)提公因式法；2 (2)2023； (3) 【分析】（1）由题干提示的分解因式的方法可得答案； （2）逐步提取公因式，从而可得答案； （3）逐步提取公因式，从而可得答案． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次； （2） ； ∴一共用了2023次，结果为； （3） ； 【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，熟练的掌握提公因式法以及多次使用提公因式的方法是解本题的关键． 能力提升 一、单选题 1．一个多项式因式分解后是，那么这个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】利用因式分解是整式乘法的逆运算，可知=3x2+3x. 故选C. 2．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此判定即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、该式从左边到右边的变形是整式乘法，不是因式分解，不合题意； 、该式左边和右边不相等，左边不能因式分解，变形错误，不合题意； 、该式从左边到右边是因式分解，符合题意； 、该式左边不能因式分解，不合题意； 故选：． 二、填空题 3．－x2+2xy－y2的一个因式是x－y，则另一个因式是 . 【答案】y－x 【分析】此题需将－x2＋2xy－y2整理成能利用公式法分解因式的形式， 然后进行因式分解求出另一个因式. 【详解】原式＝－x2＋2xy－y2＝－（x－y）2＝（y－x）（x－y），故答案为（y－x）. 【点睛】本题主要考查了公因式的概念和求法，先将上式因式分解，再找它们的因式，求出答案. 4．多项式 因式分解的结果是(x+3)(x-n)，则 等于 . 【答案】-3 【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把(x+3)(x-n)展开，可得 ，则有；利用“两个多项式相等，则对应项的系数相等”得到关于m、n的方程组，解出m，n的值，再把m，n值代入中计算即可. 【详解】由题意可知：=(x+3)(x-n)，即； ∴ ， 解得 ∴=-3. 故答案为-3. 【点睛】此题考查因式分解，代数式求值，解题关键在于掌握的将(x+3)(x-n)展开. 三、解答题 5．分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】本题考查了提公因式法因式分解． （1）先确定公因式，再进行因式分解即可求解； （2）先将原式变形为，即可提公因式法分解因式； （3）先确定公因式，即可提公因式法分解因式． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 6．分解因式： （1）； （2）； （3） ； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8) 【分析】（1）直接提取公因式2a，计算即可；（2）直接提取公因式6a，计算即可；（3）直接提取公因式-2xy，计算即可；（4）直接提取公因式x+y，计算即可；（5）直接提取公因式4(a+2b)，计算即可；（6）将原多项式变形为a(x-y)2+b(x-y)，提取公因式x-y，计算即可；（7）将原多项式变形为4a(x-2)2+2b(x-2)3，提取公因式2(x-2)2，计算即可；（8）将原多项式变形为x(x-y)2(a-b)+(x-y)2(a-b)，提取公因式(x-y)2(a-b)，计算即可. 【详解】解：（1） = = ； （2） = =； （3） = =； （4） =； （5） = =； （6） = = =； （7） = = =； （8） = = =. 【点睛】本题考查提公因式法因式分解，确定公因式是解答此题的关键，确定公因式的方法为公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 因式分解与提公因式法 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01判断是否是因式分解........................................................................................................................................................3 题型02已知因式分解的结果求参数............................................................................................................................................5 题型03公因式................................................................................................................................................................................7 题型04提公因式法分解因式........................................................................................................................................................9 分层练习.........................................................................................................................................................................................12 夯实基础.........................................................................................................................................................................................12 能力提升.........................................................................................................................................................................................23 知识点1．因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 知识点2．公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 知识点3．因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 题型01判断是否是因式分解 1．（23-24八年级下·福建漳州·期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 2．（八年级下·广东佛山·阶段练习）根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．    3．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型02已知因式分解的结果求参数 4．（2024八年级·全国·竞赛）若多项式因式分解得，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．（2024八年级下·全国·专题练习）若可以分解为，则的值为 ． 6．（23-24八年级下·全国·假期作业）仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 题型03公因式 7．（23-24八年级下·广东清远·期中）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D．3 8．（23-24八年级下·河南新乡·期末）要将化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为 ． 9．（八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 题型04提公因式法分解因式 10．（23-24八年级下·广东清远·期末）已知，，那么代数式的值为（   ） A．7 B．10 C．17 D．70 11．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）分解因式： ． 12．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算； (1)解不等式：； (2)因式分解： 13．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)已知，，求的值； (4)计算：． 夯实基础 一、单选题 1．已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1 2．将多项式分解因式时应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 3．下列分解因式中，完全正确的是（　　  ） A． B． C． D． 4．单项式，，的公因式是（   ） A． B． C． D． 5．下列变形正确的是（    ） A．x3﹣x2﹣x＝x（x2﹣x） B．x2﹣3x+2＝x（x﹣3）﹣2 C．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3） D．a2﹣4a+4＝（a+2）2 6．如果二次三项式x2＋px－6可以分解为(x＋q)·(x－2)，那么(p－q)2的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．9 7．把多项式分解因式正确的是（      ） A． B． C． D． 8．某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：-12xy2+6x2y+3xy=-3xy•（4y-______）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（　　） A．2x B．-2x C．2x-1 D．-2x-l 二、填空题 9．分解因式： ． 10．x2﹣5x因式分解结果为 ，2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）因式分解结果为 ． 11．下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 12．单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是 ． 13．用提公因式法分解因式：= ． 14．（1）已知长方体的长、宽、高分别是3x﹣4、2x和x，则它的表面积是 ； （2）若3x3﹣x＝1，则9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2018＝ ； （3）若25x＝2000，80y＝2000，则的值为 ． 三、解答题 15．计算(-2)2019+(-2)2018的结果. 16．计算：999×118＋999×－999×18. 17．在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 18．计算：20162－2016×2015. 19．（1）计算： （2）已知，试求的值. 20．阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是____________，共应用了____________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法____________次，结果是____________； (3)分解因式：（为正整数）． 能力提升 一、单选题 21．一个多项式因式分解后是，那么这个多项式是（　　） A． B． C． D． 22．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 23．－x2+2xy－y2的一个因式是x－y，则另一个因式是 . 24．多项式 因式分解的结果是(x+3)(x-n)，则 等于 . 三、解答题 25．分解因式： (1)； (2)； (3)． 26．分解因式： （1）； （2）； （3） ； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$