精品解析： 内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2024-2025学年高三第三次模拟考试数学试题

保密★启用前 集宁二中2024-2025下学期高三年级第三次模拟考试 数学 考试范围：高中数学；考试时间：120分钟；命题人：李恩鹏 审题人：边祥彪 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题 1. 已知集合，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合B，再利用交集运算求解. 【详解】解：因为集合，， 所以， 故选：C． 2. 已知，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算，结合复数概念即可求解. 【详解】由， 可得：， 所以的虚部为， 故选：B 3. 已知向量，，则在方向的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示求解数量积，再利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为向量，，所以， 故在方向的投影向量为， 故选：B． 4. 为支援山区教育发展，区教委计划派名教师去石柱､丰都､奉节三个区县支教，若每个区县至少派遣名教师，则不同的选派方案为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，每个区县至少派遣名教师，可以分组为（1，2，3）；（2，2，2）；（1，1，4），分组后再分配 【详解】解：根据题意，每个区县至少派遣名教师，可以分组为（1，2，3）；（2，2，2）；（1，1，4）， 分组的种数为， 分组后，再分配到三个区县支教，共有种 故选：D 5. 已知是定义在上的偶函数，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，由偶函数的定义可得，可求的值，进而可求得结论. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，解得，所以定义域为 又，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：D. 6. 曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】曲线C是双曲线则与异号，列出不等式求出m的范围，即可进行判断. 【详解】曲线C是双曲线，则，解得，故是曲线C是双曲线的必要不充分条件. 故选：B 7. 若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，由垂径定理得到，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程. 【详解】由题意知直线的斜率存在，且 ∴， ∵，∴， 直线的方程为，即， 故选：C. 8. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的对称性可判断函数的周期性，进而可得函数值. 【详解】又已知，且是定义域为的奇函数， 可得， 即， 所以， 即函数的最小正周期为，即，， 又，， 所以，， ， 所以， 所以 ， 故选：A. 二､多选题 9. 如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数图象即可判断A；求得的解析式，再根据余弦函数的性质即可判断BCD． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， 由图象可知，，又，则， 所以， 因为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得图象的解析式为，则为偶函数，故D正确； 故选：ABD． 10. 已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（ ） A. 直线过点 B. 直线的倾斜角为 C. D. 是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点，代入验证可判断A；由直线的斜率求出倾斜角可判断B；由与直线的倾斜角的关系可判断C；由抛物线定义可知，进而判断的形状，从而判断D. 【详解】抛物线的焦点为，而，所以直线过点，故A正确； 设直线的倾斜角，因为直线的斜率为，， 所以，即直线的倾斜角为，故B正确； 因为，故C错误； 因为点在抛物线上，由抛物线定义可知，， 又，所以是等边三角形，故D正确. 故选：ABD. 11. 两头接起来的绳子，如果在接起来之前没有打过结，那么就不会再有结了.反过来，如果起初打了一个结，那么只要不把绳子割断，结也不会消失.看下面这张图，下面选项中与之相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据原先打结的绳子判断各选项中绳子是否有结，取有结的选项即得． 【详解】因选项A和C都没有结，而选项B和D中都有一个结，与原先打结的绳子相同. 故选：BD． 第II卷（非选择题） 三､填空题 12. 的展开式中的系数为______．（用数字作答） 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出展开式的项即可得解. 【详解】依题意，展开式中项分别为， 因此的展开式中项为， 所以所求系数为5. 故答案为：5 13. 在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用正弦边角关系及三角形内角的性质得，根据已知有，再应用余弦定理、三角形面积公式求结果. 【详解】由及正弦定理得， 因为，所以，所以，故， 又因为，所以， 由，得， 由余弦定理得， 所以的面积. 故答案为： 14. 与圆台的上下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若某圆台的上底面圆的半径为1，且该圆台的内切球半径为2，则该圆台的侧面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆台轴截面是其内切球截面大圆的外切等腰梯形，结合已知求出圆台下底面圆半径，进而求出侧面积. 【详解】依题意，圆台轴截面等腰梯形的内切圆是圆台内切球的截面大圆， 圆台上下底面圆心分别是梯形上下底的中点，令圆切腰于， 则，过作于，则， 由，得，解得， 因此圆台母线，所以圆台侧面积. 故答案为： 四､解答题 15. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数n． 【答案】（1） ∵，∴， 可得， 又由，所以，则数列表示首项为，公比为的等比数列． （2）2024 【解析】 【分析】（1）对递推式两边取倒数得，变形为，然后根据等比数列定义证明即可； （2）由（1）可得，利用分组求和思想求和后结合函数单调性解不等式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，所以． 设数列的前n项和为， 则， 若，即，因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数n的值为2024． 16. 已知函数在处的切线垂直于直线． （1）求的值； （2）求的极值． 【答案】（1） （2）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）求直线的斜率，根据切线与直线垂直可得切线斜率，再结合导数的几何意义及导数运算列方程求. （2）由（1）确定函数及其导函数，求的零点，分区间确定导数的取值规律，再确定极值. 【小问1详解】 因为直线的斜率为， 又函数在处的切线垂直于直线， 所以函数在处的切线斜率为， 所以， 由， 所以， 解得； 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 令，可得或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 故当时，取极大值，极大值为， 当时，函数取极小值，极小值为． 17. 随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额（单位：百亿） 1.5 2 3.5 8 15 （1）据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱．） （2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额． 参考数据：，， 参考公式：相关系数； 线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】（1）0.92，线性相关性程度很强． （2），15.9百亿． 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的计算公式可得，再判断可得答案； （2）根据公式求线性回归方程，再将代入方程进行预测. 【小问1详解】 由已知得，， ，， ， 故， ，所以线性相关性程度很强； 【小问2详解】 ，， 则， 所以关于的线性回归方程为， 当时，， 所以预计2025年该平台的交易额为15.9百亿． 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，且，是等边三角形，． （1）证明：平面平面． （2）若点为的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接， 因是等边形，所以，且 又因底面是菱形，且， 所以是等边三角形，，且 则，有 因，平面，则平面， 又平面，则平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明，，即可证明平面，再利用面面垂直的判定定理即可； （2）以为原点建系，计算平面的法向量，再利用计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 设与平面所成角为， 则， 则与平面所成角的正弦值为． 19. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为，离心率为，且点在椭圆上． （1）求出椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，且，试探究直线是否恒过一个定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）直线过定点． 【解析】 【分析】（1）利用给定的离心率和椭圆经过的点求出基本量，进而得到椭圆方程即可. （2）联立方程组结合韦达定理得到，再利用得到，最后分类讨论求解定点即可. 【小问1详解】 因为离心率为，所以， 因为点在椭圆上，所以， 因为，所以解得， 则椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 ①若直线斜率不存在，根据对称性可知为等腰直角三角形， 得到，此时， 则直线，与椭圆方程联立， 解得，故直线过椭圆左焦点，即， ②若直线斜率存在，如图，设， 联立方程组，消去得， 由韦达定理可知， 由已知得，且设， 可以求出直线方程为， 令，得到，， 故，又因为， 故， 代入韦达定理得， 求得，即，得到或， 当时，直线过，此时三点重合，不符合题意； 当时，直线方程为，此时直线AB过定点 综上所述：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 集宁二中2024-2025下学期高三年级第三次模拟考试 数学 考试范围：高中数学；考试时间：120分钟；命题人：李恩鹏 审题人：边祥彪 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题 1. 已知集合，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知向量，，则在方向的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 为支援山区教育发展，区教委计划派名教师去石柱､丰都､奉节三个区县支教，若每个区县至少派遣名教师，则不同的选派方案为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上的偶函数，那么的值是（ ） A. B. C. D. 6. 曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数 10. 已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（ ） A. 直线过点 B. 直线的倾斜角为 C. D. 是等边三角形 11. 两头接起来的绳子，如果在接起来之前没有打过结，那么就不会再有结了.反过来，如果起初打了一个结，那么只要不把绳子割断，结也不会消失.看下面这张图，下面选项中与之相同的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三､填空题 12. 的展开式中的系数为______．（用数字作答） 13. 在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积__________. 14. 与圆台的上下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若某圆台的上底面圆的半径为1，且该圆台的内切球半径为2，则该圆台的侧面积为_____. 四､解答题 15. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数n． 16. 已知函数在处的切线垂直于直线． （1）求的值； （2）求的极值． 17. 随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额（单位：百亿） 1.5 2 3.5 8 15 （1）据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱．） （2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额． 参考数据：，， 参考公式：相关系数； 线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，． 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，且，是等边三角形，． （1）证明：平面平面． （2）若点为的中点，求与平面所成角的正弦值． 19. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为，离心率为，且点在椭圆上． （1）求出椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，且，试探究直线是否恒过一个定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $