精品解析：2025年山东省菏泽市成武县二模数学试题

二0二五年初中学业水平考试（中考） 数学模拟试题（二） 本试卷共6页.满分120分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，若∠1=70°，则∠2=【 】 A. 70° B. 90° C. 110° D. 80° 4. 下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是【 】 A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为（ ） A. b=﹣1，c=2 B. b=1，c=﹣2 C. b=1，c=2 D. b=﹣1，c=﹣2 6. 已知一组数据10，8，9，x，5众数是8，那么这组数据的方差是（ ） A. B. C. 2 D. 5 7. 如图，A（，1），B（1，）．将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则此时点A对应点A′的坐标为（ ） A. （-，-1） B. （-2，0） C. （-1，-）或（-2，0） D. （-，-1）或（-2，0） 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是【 】 A. 3 B. 2 C. D. 1 9. 联想三角形外心概念，我们可引入如下概念： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图，若，则点为的准外心. 探究：已知中，，，，准外心在边上，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 2或 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点.下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）其中正确的结论有（ ）个. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.） 11. 已知，则代数式的值为_________． 12. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＋y＞1，则k的取值范围是_______. 13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在边AB上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝2，则四边形MABN的面积是___________. 14. 如图，从点发出一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过路径的长为____． 15. 我国古代数学家刘徽在《九章算术》“圆田术”注中给出了用“割圆术”计算圆周率（圆周率=圆的周长与该圆直径的比）的方法.“割圆术”就是以圆内接正多边形来无限逼近圆，刘徽描述为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.如图，他计算圆周率是从正六边形开始的，此时圆的半径为，其内接正六边形的周长为，可得圆周率为3.当正十二边形内接于圆时，按照上述的方法计算，可得圆周率为________.（结果精确到，参考数据：） 三、解答题（本题共8个小题，共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内.） 16 （1）计算：； （2）若，求代数式的值． 17. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面旋转的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度为多少米？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象分别交于点M，N，已知△AOB的面积为1，点M的纵坐标为2， （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出时x的取值范围． 19. 丰县为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 20. 某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，对学校部分捐款人数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图(图中信息不完整)．已知A、B两组捐款人数的比为1∶5. 捐款人数分组统计表 组别 捐款额x/元 人数 A 1≤x＜10 a B 10≤x＜20 100 C 20≤x＜30 D 30≤x＜40 E x≥40 请结合以上信息解答下列问题． (1)a＝________，本次调查样本的容量是________； (2)先求出C组的人数，再补全“捐款人数分组统计图1”； (3)若任意抽出1名学生进行调查，恰好是捐款数不少于30元的概率是多少？ 21. 如图，是的弦，，过圆心的直线垂直于点D，交于点C和点E，连接， ，延长到点F，使． （1）求的半径； （2）求证：是的切线． 22. 如图1，在边长为5的正方形中，点，分别是，边上的点，且，. （1）求的值； （2）延长交正方形的外角平分线于点（如图2），试判断与的大小关系，并说明理由； （3）在图2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形?若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由. 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的表达式． （2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． （3）如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二0二五年初中学业水平考试（中考） 数学模拟试题（二） 本试卷共6页.满分120分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A．，故A错误； B．，故B正确； C．，故C错误； D．，故D错误； 故选B． 【点睛】考点：1．同底数幂的除法；2．幂的乘方与积的乘方；3．负整数指数幂；4．二次根式的性质． 3. 如图，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，若∠1=70°，则∠2=【 】 A. 70° B. 90° C. 110° D. 80° 【答案】A 【解析】 【详解】∵直线a⊥直线c，直线b⊥直线c， ∴a∥b． ∴∠1=∠3．∵∠3=∠2，∴∠2=∠1=70°．故选A． 4. 下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是【 】 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别判断每个选项中的正视图是否满足条件即可． 【详解】解：A的主视图是矩形，不满足条件． B的主视图是矩形，不满足条件． C的主视图是三角形，满足条件． D的主视图是矩形，不满足条件． 故选：C． 【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图的判断，要求熟练掌握常见空间几何体的三视图． 5. 已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为（ ） A. b=﹣1，c=2 B. b=1，c=﹣2 C. b=1，c=2 D. b=﹣1，c=﹣2 【答案】D 【解析】 【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2， ∴x1+x2=b=1+（﹣2）=﹣1，x1•x2=c=1×（﹣2）=﹣2． ∴b=﹣1，c=﹣2． 故选：D． 6. 已知一组数据10，8，9，x，5的众数是8，那么这组数据的方差是（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数的概念，确定的值，再求该组数据的方差． 【详解】解：因为一组数据10，8，9，，5的众数是8，所以． 于是这组数据为10，8，9，8，5． 该组数据的平均数为：， 方差． 故选：A． 【点睛】本题考查了平均数、众数、方差意义．①平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”；②众数是一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中有好几个；③方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 7. 如图，A（，1），B（1，）．将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为（ ） A. （-，-1） B. （-2，0） C. （-1，-）或（-2，0） D. （-，-1）或（-2，0） 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：∵A（，1），B（1，）， ∴tanα=， ∴OA与x轴正半轴夹角为30°，OB与y轴正半轴夹角为30°， ∴∠AOB=90°-30°-30°=30°， 根据勾股定理，OA==2， OB==2， ①如图1，顺时针旋转时， ∵150°+30°=180°， ∴点A′、B关于原点O成中心对称， ∴点A′（-1，-）； ②如图2，逆时针旋转时， ∵150°+30°=180°， ∴点A′在x轴负半轴上， ∴点A′的坐标是（-2，0）． 综上所述，点A′的坐标为（-1，-）或（-2，0）． 故选C． 考点：坐标与图形变化-旋转． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是【 】 A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】连接AF， ∵DF是AB的垂直平分线，∴AF=BF． ∵FD⊥AB，∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°﹣30°=60°． ∵∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∠FAC=60°﹣30°=30°． ∵DE=1，∴AE=2DE=2． ∵∠FAE=∠AFD=30°，∴EF=AE=2．故选B． 9. 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图，若，则点为的准外心. 探究：已知中，，，，准外心在边上，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】运用勾股定理求出的长度，且根据准外心的定义，一共有两种情况：，，设，解一元一次方程，即可求得答案．本题主要考查了勾股定理、解一元一次方程，解题的关键在于考虑到两种情况的可能，且需要理解准外心的定义． 【详解】解：∵，，， 根据勾股定理，可得：， ∵准外心P在上， ∴或， ①当时，如图， 设， 则， 即， 解得：； ②当，如图， 设， 则， 此时也是直角三角形， 故， 即， 解得：； 故选：D 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点.下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）其中正确的结论有（ ）个. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线开口向下、与轴交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断结论①；将点代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．本题主要考查了利用二次函数的图像判断式子的符号、二次函数的性质等知识点，从函数图像上得到相关信息是解题的关键． 【详解】解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴， ， 抛物线的对称轴为， ， ，则结论①正确； 将点代入二次函数的解析式得：，结论③错误； 将代入得：，结论②正确； 抛物线的对称轴为， 和时的函数值相等，即都为， 又当时，随的增大而减小，且， ，结论④错误； 由函数图像可知，当时，取得最大值，最大值为， ， ，即，结论⑤正确； 综上，正确的结论有①②⑤． 故选：B 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.） 11. 已知，则代数式的值为_________． 【答案】7 【解析】 【详解】∵=3 ∴ =(x+)2−2⋅x⋅ =32−2=7 故答案为7 12. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＋y＞1，则k的取值范围是_______. 【答案】k＞2 【解析】 【分析】解关于x，y的方程组，用k表示出x，y的值，再把x，y的值代入x+y＞1即可得到关于k的不等式，求出k的取值范围即可： 【详解】解： 得． ∵x+y＞1， ∴2k－k－1＞1， 解得k＞2． 故答案为：k＞2． 13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在边AB上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝2，则四边形MABN的面积是___________. 【答案】18 【解析】 【分析】 如图，连接CD，与MN交于点E，根据折叠的性质可知CD⊥MN，CE=DE.再根据相似三角形的判定可知△MNC∽△ABC,再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方.由图可知四边形ABNM的面积等于△ABC的面积减去△MNC的面积. 【详解】解:连接CD，交MN于点E. ∵△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在边AB上的点D处， ∴CD⊥MN，CE=DE. ∵MN∥AB， ∴△MNC∽△ABC, CD⊥AB， ∴===4. ∵=MCCN=62=6, ∴=24, ∴四边形ACNM=- =24-6 =18 故答案是18. 【点睛】本题考查了折叠的性质、相似三角形的性质和判定，根据题意正确作出辅助线是解题的关键. 14. 如图，从点发出的一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过路径的长为____． 【答案】 【解析】 【详解】方法一：设这一束光与轴交于点，过点作轴的垂线， 过点作轴于点． 根据反射的性质，知． ∴． ∴． ∵，，， ∴． ∴，． 由勾股定理，得，， ∴． 方法二：设设这一束光与轴交于点，作点关于轴的对称点，过作轴于点． 由反射的性质，知A，C，这三点在同一条直线上． 再由对称的性质，知． 则． ∵AD=2+3=5，， 由勾股定理，得． ∴． 15. 我国古代数学家刘徽在《九章算术》“圆田术”注中给出了用“割圆术”计算圆周率（圆周率=圆的周长与该圆直径的比）的方法.“割圆术”就是以圆内接正多边形来无限逼近圆，刘徽描述为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.如图，他计算圆周率是从正六边形开始的，此时圆的半径为，其内接正六边形的周长为，可得圆周率为3.当正十二边形内接于圆时，按照上述的方法计算，可得圆周率为________.（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】连接、，根据正十二边形的性质得到，是等腰三角形，作于，根据等腰三角形三线合一的性质得出，．设圆的半径R，解直角，求出，进而得到正十二边形的周长，那么圆周率．本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长是解题的关键． 【详解】解：如图， 设半径为的圆内接正十二边形的周长为． 连接、， ∵十二边形是正十二边形， ∴． 作于，又， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴圆周率． 故答案为． 三、解答题（本题共8个小题，共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内.） 16. （1）计算：； （2）若，求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，特殊角的三角函数值等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，零指数幂，绝对值的意义，特殊角的三角函数运算即可； （2）先将分式化简，再将的值代入求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ； 当时，原式． 17. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面旋转的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度为多少米？ 【答案】树高为米 【解析】 【分析】延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可． 【详解】解：延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，如下图所示： 在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m， ∴CE=2m，m， 在Rt△CED中， ∵同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米， ∴CE:ED=1:2，且CE=2m， ∴DE=4m， ∴米， 再由同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置标杆在地面上的影长为2米可知， 米， 故答案为：树高米． 【点睛】本题考查了解直角三角形应用，解决本题的关键是作出辅助线即可得到AB的影长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象分别交于点M，N，已知△AOB的面积为1，点M的纵坐标为2， （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）y1=x+1，；（2）x＜－2或0＜x＜4． 【解析】 【分析】（1）先由一次函数的解析式求出点A与点B的坐标，再根据△AOB的面积为1，可得到k1的值，从而求出一次函数的解析式；得到点M的坐标，然后运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式； （2）y1＞y2即一次函数值大于反比例函数值，只需观察一次函数的图象落在反比例函数的图象的上方时自变量的取值范围即可，为此，先求出它们的交点坐标，再根据函数图象，可知在点M的左边以及原点和点N之间的区间，y1＞y2． 【详解】解：（1）∵一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴A（0，1），B（，0）． ∵△AOB的面积为1，∴×OB×OA=1，即．∴． ∴一次函数的解析式为y1=x+1． ∵点M在直线y1上，∴当y=2时，x+1=2，解得x=－2．∴M的坐标为（－2，2） 又∵点M在反比例函数的图象上，∴k2=－2×2=－4， ∴反比例函数的解析式为． （2）当y1＞y2时，x＜－2或0＜x＜4． 解方程组得或， ∴当y1＞y2时，x＜－2或0＜x＜4． 19. 丰县为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 【答案】（1）天 （2）元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，有理数混合运算的实际应用， （1）设这项工程的规定时间是天，根据甲、乙队先合做天，余下的工程由甲队单独需要天完成，可得出方程，解出即可； （2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可； 正确理解题意并建立方程是解题的关键．解答工程类问题，经常设工作量为“单位1”． 【小问1详解】 解：设这项工程的规定时间是天， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解且符合题意， 答：这项工程的规定时间是天； 【小问2详解】 该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：（天）， 则该工程施工费用是：（元）， 答：该工程的费用为元． 20. 某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，对学校部分捐款人数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图(图中信息不完整)．已知A、B两组捐款人数的比为1∶5. 捐款人数分组统计表 组别 捐款额x/元 人数 A 1≤x＜10 a B 10≤x＜20 100 C 20≤x＜30 D 30≤x＜40 E x≥40 请结合以上信息解答下列问题． (1)a＝________，本次调查样本的容量是________； (2)先求出C组的人数，再补全“捐款人数分组统计图1”； (3)若任意抽出1名学生进行调查，恰好是捐款数不少于30元的概率是多少？ 【答案】（1）20，500 （2）200，图形见解析 （3）0.36 【解析】 【详解】解：(1)∵A、B两组捐款人数的比为1∶5，B组捐款人数为100人， ∴A组捐款人数为：100÷5＝20， A、B两组捐款人数所占的百分比的和为：1－40%－28%－8%＝1－76%＝24%， A、B两组捐款的人数的和为：20＋100＝120， 120÷24%＝500，故答案为20，500； (2)500×40%＝200，C组的人数为200， 补图见图． (3)∵D、E两组的人数和为： 500×(28%＋8%)＝180， ∴捐款数不少于30元的概率是：＝0.36(或：28%＋8%＝36%＝0.36.) 21. 如图，是的弦，，过圆心的直线垂直于点D，交于点C和点E，连接， ，延长到点F，使． （1）求的半径； （2）求证：是的切线． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂径定理得，，由已知利用圆周角定理可得到，可得到，在中，设，则，利用勾股定理可计算出的值，即可获得答案． （2）由于，则，则，而，于是得到，根据相似三角形的判定即可得到，根据相似三角形的性质有，然后根据切线的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵直径， ∴，． ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴， 在中，设，则， ∵， ∴，解得． ∴，即的半径为． 【小问2详解】 证明：∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵是半径， ∴是的切线． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 22. 如图1，在边长为5正方形中，点，分别是，边上的点，且，. （1）求的值； （2）延长交正方形的外角平分线于点（如图2），试判断与的大小关系，并说明理由； （3）在图2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形?若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合正方形的性质，证明，即可得到； （2）在上取一点M，使，连接，证明即可； （3）在上截取，与交于N，先证,再证，再由，得，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可作答． 【小问1详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 在上取一点M，使，连接 ，， ， ∵是正方形外角平分线， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：存在，理由如下， 证明：在上截取与交于N， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ∴ ∴，， ∵， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题综合考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的表达式． （2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． （3）如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的交点式直接得出结果； （2）作于，作于，交于，先求出抛物线的对称轴，进而求得，坐标及的长，从而得出过的直线与抛物线相切时，的面积最大，根据的△求得的值，进而求得的坐标，进一步求得上的高的值，进一步得出结果； （3）分两种情形：当点在线段上时，连接，交于，设，根据求得的值，可推出四边形是平行四边形，进而求得点坐标；当点在的延长线上时，同样方法得出结果． 【小问1详解】 解：由题意得， ； 【小问2详解】 解：如图1， 作于，作于，交于， ，， ， ， 抛物线的对称轴是直线：， ， ， ， ， 故只需的边上的高最大时，的面积最大， 设过点与平行的直线的解析式为：， 当直线与抛物线相切时，的面积最大， 由得， ， 由△得， 得， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图2， 当点在线段上时，连接，交于， 点和点关于对称， ， 设， 由得，， ，（舍去）， ， ∵， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ∴； 如图3， 当点在的延长线上时，由上可知：， 同理可得：， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$