精品解析：内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

赤峰第四中学2024-2025学年度下学期月考试题 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 3. 将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（ ） A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 无法确定 5. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的值域为的值域为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 7. 如图，棱长为2的正方体中，为边的中点，为侧面上的动点，且//平面.则点在侧面轨迹的长度为 A. 2 B. C. D. 8. 已知函数的最大值为2，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在四面体中，，，则下列结论正确的有（） A. 四面体的表面积为40 B. 四面体的体积为 C. 四面体外接球的表面积为 D. 记四面体内切球的球心为，则 10. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 向量，在上的投影向量相等 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 正方体的表面积与其内切球的表面积的比值为______． 13. 设正方形的边长为4，动点在以为直径的上，如图，则的取值范围是______． 14. 在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，角的对边分别为，，，已知且. （1）求角A的大小； （2）求的取值范围. 16. 已知△ABC中，分别为内角的对边，且. （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积. 17. 函数（，，）的部分图象如图所示： （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调区间； （3）已知，，求． 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点． （1）求证：平面CMN∥平面PAB； （2）求三棱锥P-ABM的体积． 19. 设Ox，Oy是平面内夹角成的两条数轴，，两分别为x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在此坐标系中的坐标，记．已知，． （1）若． （ⅰ）求． （ⅱ）是否存在Oy上一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． （2）若对恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰第四中学2024-2025学年度下学期月考试题 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法及乘法运算化简，利用纯虚数的定义解得参数，再根据复数的乘方计算，结合周期性求值即可. 【详解】由题意可得， 因为是纯虚数，所以，解得. 则，又，，，， 则时，，，，， 即有时，， 故. 故选：B. 2. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据三点共线结论知，再利用乘“1”法即可得到最值. 【详解】因为，三点共线，则，， 则， 当且仅当，结合，即，时等号成立. 故选：C. 3. 将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数图象的变换规律可得的解析式，结合x的取值范围利用正弦函数的性质，即可求得答案. 【详解】将正弦曲线向左平移个单位得到曲线：的图象， 再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线：的图象， 将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到是曲线：的图象， 由于曲线恰好是函数的图象，故， 由得， 故， 故选：B 4. 如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（ ） A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据三角形中位线性质以及平行直线的传递性，即可判断答案. 【详解】如图，连接，则分别为的中点， 故, 由分别是线段的中点，得， 故, 故选：C 5. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：在中，利用正弦定理求解；方法二：设树高为，则由求解. 【详解】方法一：在中，， 又， ， 由正弦定理得：， 所以， 所以树的高度为， 方法二：设树高为，则，则， 故选：A. 6. 已知函数的值域为的值域为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数的单调性可得函数的值域为，可得的值，再结合对数函数的单调性得的最小值为9，从而可得的值，即可得解． 【详解】因为，所以， 即函数的值域为，所以， 因为的值域为， 所以的最小值为9，所以，解得， 所以． 故选：A． 7. 如图，棱长为2的正方体中，为边的中点，为侧面上的动点，且//平面.则点在侧面轨迹的长度为 A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得平面平面,根据面面平行的性质即可判断点的轨迹就是线段，进而可求长度. 【详解】取的中点,连接,由于平面,平面,故平面,同理可得平面,,平面，故可得平面平面,点的轨迹就是线段,而线段的长度为， 故选:C. 8. 已知函数的最大值为2，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据差角的正余弦公式及降幂公式将化简，再由最大值求出值，进而得到的解析式，通过换元，把在区间上有2个零点，转化为在区间上有2个零点，再结合图象，得到的范围，即可得到的取值范围. 【详解】 ， 所以当时，取到最大值， 解得，所以. 令， 在区间上有2个零点， 即在区间上有2个零点， ，解得. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在四面体中，，，则下列结论正确的有（） A. 四面体的表面积为40 B. 四面体的体积为 C. 四面体外接球的表面积为 D. 记四面体内切球的球心为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用该四面体的几何特征，将四面体补形成长方体，再利用长方体的几何特征求解表面积、体积以及外接球表面积和内切球的问题. 【详解】因为四面体的对棱相等，所以四面体可嵌入长方体，设长方体的长宽高分别为, ,解得，，. 每个面为等腰三角形，面积均为10，表面积为.选项A正确. 体积计算:长方体体积为,减去四个三棱锥体积(每个为), 得四面体体积为.选项B错误. 四面体的外接球即长方体的外接球，半径,表面积为.选项C正确. 因为四面体内切球球心到各个面的距离相等，且四面体各个面是全等的，所以可以得到内切球球心到四面体各个顶点的距离也相等，即四面体的内切球球心和外接球球心重合，则长度即为外接球的半径.选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据数量积的坐标形式判断A，求出后求出其模可判断B，求出、的坐标后结合数量积的坐标形式可判断C，利用投影向量公式求出投影向量后可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故，故B正确； 对于C，，， 故，故，故C正确； 对于D，，故， 故在上的投影向量，故D错误； 故选：ABC. 11. 已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 向量，在上的投影向量相等 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，结合向量加法的几何意义可得，再借助数量积的运算律逐项分析判断即得. 【详解】作向量，在中，，， 由向量平分与的夹角，得是菱形，即， 对于A，与不一定垂直，A错误； 对于B，，即，B正确； 对于C，在上的投影向量， 在上的投影向量，C正确； 对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 正方体的表面积与其内切球的表面积的比值为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两者的表面积后可得它们的比值. 【详解】设正方体的棱长为，则其表面积为， 而内切球的半径为，故其表面积为， 故正方体的表面积与其内切球的表面积的比值为， 故答案为： 13. 设正方形的边长为4，动点在以为直径的上，如图，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连结，根据极化恒等式求解即可. 【详解】取的中点，连结， 在内使用极化恒等式得 易知，故． 故答案为： 14. 在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】由题可知，，都是直角三角形，只需平面即可， 所以鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上， 而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等， 所以的中点是外接球的球心，所以， 所以该鳖臑外接球的表面积为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，角的对边分别为，，，已知且. （1）求角A的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件利用两角和差的三角公式求出，即可求解； （2）把边化为角利用三角函数的值域求解即可. 【小问1详解】 ∵， ∴， ， ， ∵，∴， 又，∴， ，； 【小问2详解】 根据正弦定理，， 则 ， ，所以的取值范围为. 16. 已知△ABC中，分别为内角的对边，且. （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理实行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案 （2）先利用三角形的面积关系解出 ，再根据三角形面积公式计算答案即可 【小问1详解】 在△ABC中，由正弦定理及得：，.. 由余弦定理得， 又，所以 【小问2详解】 是的角平分线，， 由可得 因为，，即有，， 故 17. 函数（，，）的部分图象如图所示： （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调区间； （3）已知，，求． 【答案】（1） （2）单调递增区间为,，单调递减区间为； （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象得到，最小正周期，故，代入求出，得到函数解析式； （2）整体法得到，整体法得到函数单调区间； （3）由求出，根据图象特征和特殊点函数值得到，故，利用凑角法和余弦差角公式求出答案 【小问1详解】 由图象可得，设的最小正周期为， 则，解得， ，故，解得， 所以， 将代入解析式，， 故，解得， 又，故当时，满足要求， 所以； 【小问2详解】 时，， 故当或时， 即或时，单调递增， 当，即时，单调递减， 故在上的单调递增区间为,， 单调递减区间为； 【小问3详解】 ，即， 因为，所以，又， 所以，其中， 故，故， 所以 . 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点． （1）求证：平面CMN∥平面PAB； （2）求三棱锥P-ABM的体积． 【答案】（1）∵分别为的中点， 则∥. 又∵平面，平面， ∴∥平面. 在中，，∴. 又∵， ∴∥. ∵平面，平面，∴∥平面. 又∵， ∴平面∥平面. （2）三棱锥的体积 【解析】 【详解】 试题分析：（1）由中位线定理可得∥ ∥平面. 再证得∥∥平面平面∥平面； （2）由（1）知，平面∥平面点到平面的距离等于点到平面的距离. 试题解析：（1）略 （2）由（1）知，平面∥平面， ∴点到平面的距离等于点到平面的距离. 由已知，，，，∴， ∴三棱锥的体积. 19. 设Ox，Oy是平面内夹角成的两条数轴，，两分别为x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在此坐标系中的坐标，记．已知，． （1）若． （ⅰ）求． （ⅱ）是否存在Oy上一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． （2）若对恒成立，求的最大值． 【答案】（1）（i）； （ii）轴上不存在一点，理由如下： 假设轴上存在一点，使得是以为斜边的直角三角形. 依题意得：， ， ， ，， 即， 即， 化简得：， ，∴方程无解， 即轴上不存在一点，使得是以为斜边的直角三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据坐标转化为基底表示，再利用数量积公式，即可求解；（ii）首先设，得到，再结合坐标和基底，利用垂直关系的向量运算，得到方程，方程无解，即可得到结论； （2）首先利用数量积公式，将不等式转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，根据求的范围，再代入向量夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 （i） ， （ii）略 【小问2详解】 ， 恒成立， ， 即， 解得， ， ， ， ， 在上单调递增，理由如下： 任取，且， 则， 因为，且， 所以，， 故，即， 故在上单调递增， 当时，取得最大值，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $