精品解析：2025年山东省滨州市无棣县中考二模数学试题

二○二五年初中学业水平考试 数学模拟试题（二） 温馨提示： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷（选择题 共24分） 一、选择题（本题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分24分） 1. 2025相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3. 如图，点O在数轴上表示的数为0，在数轴上取一点A，使，过点A作直线，在直线l上取点B，使，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示的数是（ ） A. B. C. 7 D. 29 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是( ) A 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 6. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目大意是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 下面是定理：“角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明过程，需要补充符号处要填写的内容，则下列答案错误的是（ ） 已知：如图，是的平分线，点在上，，垂足分别为、． 求证：． 证明：∵是的平分线， ∴（①） ∵， ∴， ∵ ∴（③）， ∴（④） A. ①处应填写“角平分线的定义” B. ②处应填写“” C. ③处应填写“ASA” D. ④处应填写“全等三角形对应边相等” 8. 二次函数图象如图所示，它的对称轴为，下列结论中正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤若和是这条抛物线上的两点，则当时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共96分） 二、填空题（每小题3分，共计21分） 9. 函数 的自变量x的取值范围是 ______． 10. 如图，线段沿方向平移至线段，，则_____． 11. 关于x的分式方程的解是________． 12. 如图，正八边形和正方形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 13. 如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，则___________． 14. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为其中为实数)．当的长最小时，的值为___________． 15. 如图，点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于，交的延长线于点． （1）图中与哪个三角形全等：______． （2）猜想：线段、、之间存在什么关系：______． 三、解答题（共计75分） 16. 计算： 17. （1）李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． 若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值； （2）如图，中，．尺规作图：作菱形，使分别在上，并求出菱形的边长． 18. 先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 19. 在2025年十四届全国人大三次会议记者会上，国家卫生健康委员会宣布要实施“体重管理年3年行动”．（身体质量指数），是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．下列图表为九年级男女生标准与统计图． 九年级男生标准 九年级女生标准 等级 范围 范围 低体重 正常 超重 肥胖 九年级1班男生在的数据为：； （1）九年级（1）班男生正常的人数是________人，的中位数为________； （2）九年级（1）班女生超重的有1人，则扇形统计图中低体重的圆心角为________； （3）该学校九年级共有男生440人，女生400人，请你估计该校共有多少人正常？ （4）从正常体重的学生中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到两位同学的概率． 20. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，其中p，q是关于t的一元二次方程的两个实数根． （1）求反比例函数的表达式； （2）若一次函数与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求． 21. 【课本再现】 推论 直径所对的圆周角是________． （1）补全课本再现中横线上的内容． 知识应用】 （2）如图，内接于，D是的直径的延长线上一点，． ①求证：是的切线； ②过圆心O作的平行线交的延长线于点E，若的半径为2，且，求的长度． 22. 中考临近，校门口文具店生意火爆，文具店老板小张从批发商处了解到甲、乙、丙三种文具套装的部分价格如表： 价格 甲 乙 丙 批发价（元／套） 25 ________ ________ 零售价（元／套） 30 25 35 （1）已知小张第一次批发购进乙260套，丙200套，共花费7900元，且乙每套的批发价比丙低5元，求乙、丙每套的批发价； （2）在（1）的条件下，由于销量好，第一次购进的文具套装全部售完，小张用第一次的销售额全部用于第二次批发购进甲、乙、丙三种文具套装，且购进乙、丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高，丙的批发价每套比原来下降．设第二次销售完这三种文具套装所得利润为元，当甲的数量不少于130套时，求的最大值． 23. 综合与实践 基本图形法：在复杂图形中，找到或构造基本图形，再利用基本图形概念和性质，寻求解题的突破口，从而达到解决几何问题的目的，我们把这种解决几何问题的方法叫做基本图形法． 【基本图形】 （1）①如图1，点是的内心，若，则_____； ②如图2，，平分，求证：． 【方法运用】 （2）运用基本图形法解决下面问题： 如图3，点是的内心，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接，若，猜想线段的关系，并进行证明． 【拓展延伸】 （3）如图4，四边形的对角线与相交于点，，两点分别是的内心和外心，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二五年初中学业水平考试 数学模拟试题（二） 温馨提示： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷（选择题 共24分） 一、选择题（本题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分24分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 【详解】解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 3. 如图，点O在数轴上表示的数为0，在数轴上取一点A，使，过点A作直线，在直线l上取点B，使，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示的数是（ ） A. B. C. 7 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意利用勾股定理得出的值，即可得点C表示的数． 【详解】解：由在数轴上点A表示的数为5，，，以原点O为圆心，以长为半径作弧， 得， 得点C表示的数为, 故选：B． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、与不能合并，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 5. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是( ) A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 【答案】C 【解析】 【分析】在扇形统计图中将总体看做一个圆，用各个扇形表示各部分，能清楚的表示出各部分所占总体的百分比． 【详解】根据题意，将空气（除去水汽、杂质等）看做总体，用各个扇形表示空气的成分（除去水汽、杂质等）中每一种成分所占空气的百分比，由此可以选择扇形统计图． 故选C． 【点睛】本题考查了统计图的选取，扇形统计图的特点及优点，熟练掌握各种统计图的特点及优点是解题的关键． 6. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目大意是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设绫布有x尺， 则根据题意可列方程为：， 故选：B． 7. 下面是定理：“角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明过程，需要补充符号处要填写的内容，则下列答案错误的是（ ） 已知：如图，是的平分线，点在上，，垂足分别为、． 求证：． 证明：∵是的平分线， ∴（①） ∵， ∴， ∵ ∴（③）， ∴（④） A. ①处应填写“角平分线的定义” B. ②处应填写“” C. ③处应填写“ASA” D. ④处应填写“全等三角形对应边相等” 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质；掌握（AAS）的判定条件是解题关键． 根据全等三角形的判定：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）；即可解答； 【详解】证明：∵是的平分线， ∴（角平分线的定义） ∵， ∴， ∵ ∴， ∴（全等三角形对应边相等） 原证明过程中③处填写错误， 故选：C． 8. 二次函数图象如图所示，它的对称轴为，下列结论中正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤若和是这条抛物线上的两点，则当时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据所给函数图象，可得出的正负，再结合抛物线的增减性和对称性即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， ，，， 所以，故①错误． 因为抛物线与轴有两个不同的交点， 所以，故②错误． 因为抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点横坐标比大， 所以， 所以抛物线与轴的另一个交点的横坐标比小， 则当时，函数值小于零， 所以，故③正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以，即 又因为当时，函数值小于零， 所以， 所以，故④正确． 因为抛物线开口向上， 所以抛物线上的点离对称轴越近，其函数值越小， 又因为， 所以，故⑤错误． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共96分） 二、填空题（每小题3分，共计21分） 9. 函数 的自变量x的取值范围是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，函数自变量的取值范围等知识．熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，函数自变量的取值范围是解题的关键． 由题意知，，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，， ∴函数的自变量x的取值范围是， 故答案为：． 10. 如图，线段沿方向平移至线段，，则_____． 【答案】##70度 【解析】 【分析】该题考查了平移的性质和平行线的性质，根据平移的性质可得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：根据平移的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 关于x的分式方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】把分式方程转化整式方程即可解决问题． 详解】解： 两边乘得到，， 解得， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 故答案为：． 【点睛】此题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验． 12. 如图，正八边形和正方形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正方形、正八边形的性质，扇形面积的计算方法是正确解答的关键．根据正八边形、正方形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：八边形是正八边形，四边形边形是正四边形， ，， ， ． 故答案为：． 13. 如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，则___________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握相关知识．由折叠可得：，，，设正方形的边长为，，则，，在中，由勾股定理得：，即，推出，得到，证明，即可求解． 【详解】解：由折叠可得：，，， 设正方形的边长为，，则，， 在中，由勾股定理得：，即， ， ， ，， ，， ， ， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为其中为实数)．当的长最小时，的值为___________． 【答案】#### 【解析】 【分析】由两点间的距离公式可得出关于的二次函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可得出当取最小值时的值． 【详解】解：由两点间的距离公式可知：， ∵， ∴当时，最小． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，定理求两点距离，掌握二次函数的性质是解题的关键． 15. 如图，点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于，交的延长线于点． （1）图中与哪个三角形全等：______． （2）猜想：线段、、之间存在什么关系：______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据菱形的四条边都相等，对角线平分对角可得，，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，即可求解； （2）根据全等三角形的对应边相等，对应角相等可得，，根据菱形的对边平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，推得，根据两角分别对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边之比相等即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形菱形， ∴，， 又∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴，， ∵四边形菱形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共计75分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂、负整数指数幂，解题的关键是掌握相应的运算法则．先计算算算术平方根，然后利用零指数幂、负整数指数幂的意义和绝对值的意义化简，最后计算加减． 【详解】解：原式 17. （1）李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． 若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值； （2）如图，中，．尺规作图：作菱形，使分别在上，并求出菱形的边长． 【答案】（1）16；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟知相关知识是解题的关键． （1）设被遮挡的数为x，根据数轴可得，解不等式即可得到答案； （2）作的角平分线交于E，作线段的垂直平分线分别交于F、D，则四边形即为所求；设，则，证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：（1）设被遮挡的数为x， 由题意得，， ∴， 解得， ∴x的最小值为16， ∴被遮挡的数的最小值为16； （2）如图所示，作的角平分线交于E，作线段的垂直平分线分别交于F、D，则四边形即为所求， 由线段垂直平分线的性质可得，则，则， 则四边形是菱形； 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴，即菱形的边长为． 18. 先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，一元一次不等式组，熟悉相关解法是解答本题的关键．根据分式的减法和除法化简题目中的式子，然后根据是不等式组的整数解，可以求得整数的值，然后将使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ; 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 整数解为  当时，原式 19. 在2025年十四届全国人大三次会议记者会上，国家卫生健康委员会宣布要实施“体重管理年3年行动”．（身体质量指数），是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．下列图表为九年级男女生标准与统计图． 九年级男生标准 九年级女生标准 等级 范围 范围 低体重 正常 超重 肥胖 九年级1班男生在的数据为：； （1）九年级（1）班男生正常的人数是________人，的中位数为________； （2）九年级（1）班女生超重的有1人，则扇形统计图中低体重的圆心角为________； （3）该学校九年级共有男生440人，女生400人，请你估计该校共有多少人正常？ （4）从正常体重的学生中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到两位同学的概率． 【答案】（1）18；17.8 （2）36 （3）全校共有680人正常 （4） 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图，中位数以及用样本估计总体，列表法求概率，能够读懂统计图，掌握中位数的定义是解答本题的关键． （1）根据题意及中位数的定义求解即可； （2）乘扇形统计图中低体重的百分比即可； （3）总人数乘以样本中正常人数所占比例即可． （4）列出表格得出所有等可能的情况数，找出恰好抽到、两位同学的情况数，即可求出恰好抽到、两位同学的概率． 【小问1详解】 解：依题意，， 九年级（1）班男生正常的人数是18人， 九年级（1）班共有男生22人， 把的数据从小到大排列，第11与第12个数据是17.5，18.1， ∴的中位数为， 故答案为：18；17.8． 【小问2详解】 解：． 故答案为：36． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校共有680人正常． 小问4详解】 解：列表如下： A B C D E A --- B --- C --- D --- E --- 所有等可能的情况有20种，其中恰好抽到A、B两位同学的情况数为2种， 则P（恰好抽到A、B两位同学）． 20. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，其中p，q是关于t的一元二次方程的两个实数根． （1）求反比例函数的表达式； （2）若一次函数与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出线段的长，再根据三角形面积公式求出的面积即可． 【小问1详解】 解：p，q是关于t的一元二次方程的两个实数根， 解得 ，．则点和点． 点A在反比例函数图象上， ，解得． 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入， 得：解得． 所以一次函数的表达式为． 当时，，所以点． 因为点D为点C关于原点O的对称点，所以． 的面积． 21. 【课本再现】 推论 直径所对的圆周角是________． （1）补全课本再现中横线上的内容． 【知识应用】 （2）如图，内接于，D是的直径的延长线上一点，． ①求证：是的切线； ②过圆心O作的平行线交的延长线于点E，若的半径为2，且，求的长度． 【答案】（1）直角；（2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，正确理解圆周角定理是解决此题的关键． （1）由直径所对的圆周角是直角可得结论； （2）①由等腰三角形的性质与已知条件得出，，由圆周角定理可得，进而得到，即可得出结论； ②设，则，，由勾股定理求出，得，再由平行线分线段成比例定理可得结论． 【详解】解：（1）直径所对的圆周角是直角； 故答案为：直角； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； ②解：设，则，， ∵， ∴是直角三角形， 在中，， ∴， 解得，（舍去），或， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得，． 22. 中考临近，校门口文具店生意火爆，文具店老板小张从批发商处了解到甲、乙、丙三种文具套装的部分价格如表： 价格 甲 乙 丙 批发价（元／套） 25 ________ ________ 零售价（元／套） 30 25 35 （1）已知小张第一次批发购进乙260套，丙200套，共花费7900元，且乙每套的批发价比丙低5元，求乙、丙每套的批发价； （2）在（1）的条件下，由于销量好，第一次购进的文具套装全部售完，小张用第一次的销售额全部用于第二次批发购进甲、乙、丙三种文具套装，且购进乙、丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高，丙的批发价每套比原来下降．设第二次销售完这三种文具套装所得利润为元，当甲的数量不少于130套时，求的最大值． 【答案】（1）乙每套的批发价为 15 元，丙每套的批发价为 20 元 （2）当时的值最大， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）分别设乙，丙每套的批发价为未知数，列二元一次方程组并求解即可； （2）求出第一次销售额及第二次乙，丙每套的批发价，设第二次购进甲套，购进乙，丙各套，根据题意写出和的数量关系式并用含的代数式把表示出来，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时的值最大，求出其最大值即可． 【小问1详解】 解：乙每套的批发价为元，丙每套的批发价为元． 根据题意，得， 解得， ∴乙每套的批发价为 15 元，丙每套的批发价为 20 元． 【小问2详解】 解：第一次的销售额为（元）， 第二次乙每套的批发价为（元）， 第二次丙每套的批发价为（元 ）， 设第二次购进甲套，购进乙，丙各套， 根据题意，得， 经整理，得， ∴， ∴， ∵， ∴随的减小而增大， ∵为非负整数， ∴且为 6 的整数倍， ∴当时的值最大，． 23. 综合与实践 基本图形法：在复杂图形中，找到或构造基本图形，再利用基本图形的概念和性质，寻求解题的突破口，从而达到解决几何问题的目的，我们把这种解决几何问题的方法叫做基本图形法． 【基本图形】 （1）①如图1，点是的内心，若，则_____； ②如图2，，平分，求证：． 【方法运用】 （2）运用基本图形法解决下面问题： 如图3，点是的内心，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接，若，猜想线段的关系，并进行证明． 【拓展延伸】 （3）如图4，四边形的对角线与相交于点，，两点分别是的内心和外心，若，求证：． 【答案】（1）①；②见解析；（2），，理由见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理，三角形内心和外心的性质，三角形中位线的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和构造辅助线． （1）①利用角平分线的性质得出，进而利用直角三角形得出，利用三角形内角和定理可得结果； ②利用角平分线的性质得出，利用即可判定三角形全等； （2）利用上题结论可得出，，，继而可得； （3）连接，延长至点，使，连接，得出， 在利用三角形的外心等条件依据三角形的中位线得出，继而可得． 【详解】解：（1）①∵点是的内心， 平分，平分， , ， ， ， 故答案为：； ②平分， ． 在和中， ； （2），，理由如下： 如图，连接， 是内心， 平分． 又∵， 根据基本图形（图2），可推出． ，． 是的内心，， 根据基本图形（图1），可推出． ． ． ； （3）如图，连接，延长至点，使，连接， 由（2）知，，，，， ， 由基本图形（图1）可知，， ， 在和中， ， ， 是的外心，， ， 又， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $