专题19.1 一次函数的规律探究问题（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题19.1 一次函数的规律探究问题 · 典例分析 【典例1】如图，在一次无人机表演中，操作者设计了如下程序：无人机从与x轴成角出发，触碰到直线上的点后，与原方向成角折回，再触碰到x轴上的点后，与原方向成角折回，依次进行，当无人机行至时，无人机行驶的路程是 ． 【思路点拨】 本题考查了一次函数的规律探究，解题的关键是找出等边三角形边长的递变规律．先由直线方程求得直线与x轴的夹角，再证明无人机行驶的轨迹是若干个等边三角形，且每后一个等边三角形是前一个等边三角形边长的2倍，最后利用巧算法求得无人机行驶的总路程． 【解题过程】 解：如图，在直线上任取一点P，作轴，垂足为点Q，取的中点M． 设，即， 在中，， ∴， ∵点M是斜边的中点， ∴ ∴是等边三角形． ∴， ∴ 即． 由与x轴成角出发，即， ∴， 依题意， ∴是等边三角形． 同理：（n为正整数）均为等边三角形． 由与，得， ∴．则 由可得， ∴． 所以每后一个等边三角形的边长是前一个等边三角形边长的2倍． ∴ 设 则 两式相减得：． 故答案为：． · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，达到直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动…，照此规律运动，动点C依次经过点，则当动点C从A到达处时，运动的总路径的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）正方形，，按如图的方式放置，…和点…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使记面积为，面积为，面积为，则等于（　　） A．4047 B．4048 C． D． 6．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线a：y＝x，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上．已知点，点，，则的坐标是(　　) A． B． C． D． 10．（2024·黑龙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，点，，，，都在直线l上；点，，，，都在x轴上，以为直角顶点作等腰直角三角形；再以为直角顶点作等腰直角三角形如此下去，则等腰直角三角形的腰长为 ． 11．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，，，…，都是边长为2的等边三角形，边在x轴上，点，，，…，都在直线上，则点的坐标是 ． 12．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为 ，的坐标为 ． 13．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角…，按此规律进行下去，则等腰直角的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 14．（2024·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为按此规律，则点的纵坐标为 ． 15．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，过点A作直线的垂线，交x轴于点C，以为直角边向右作等腰直角三角形，，过点作的平行线，交直线于点，交x轴于点，再以为直角边向右作等腰直角三角形，……按照此方式作下去，点的坐标为 ． 16．（24-25八年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，直线，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为原点，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；…，按此作法进行下去，点的坐标为 ． 17．（2025·湖北恩施·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…，依据图形所反映的规律， ． 18．（2025·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 19．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，，……在直线上，在x轴上取点，使，作等腰面积为，等腰面积为，等腰面积为……，则 （用含a的代数式表示）． 20．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则的顶点的坐标为 ． 21．（24-25九年级上·四川广安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，直线l：与x轴交于点B，以为边作等边，过点作轴，交直线L于点，以为边作等边，过点作轴，交直线L于点，以为边作等边，以此类推，则点的纵坐标是 ． 22．（23-24八年级下·全国·期末）正方形按如图的方式放置，点和点分别在直线和y轴上，则点的坐标是 ，点的坐标是 ． 23．（24-25九年级上·广东惠州·开学考试）在平面直角坐标系中，正方形、、，…，按在图所示的方式放置．点、、，…和、、，…分别在直线和轴上．已知，，则点的坐标是 ；点的坐标是 ． 24．（2024八年级上·四川成都·专题练习）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，按此方法作下去，则点的坐标是 ．    第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.1 一次函数的规律探究问题 · 典例分析 【典例1】如图，在一次无人机表演中，操作者设计了如下程序：无人机从与x轴成角出发，触碰到直线上的点后，与原方向成角折回，再触碰到x轴上的点后，与原方向成角折回，依次进行，当无人机行至时，无人机行驶的路程是 ． 【思路点拨】 本题考查了一次函数的规律探究，解题的关键是找出等边三角形边长的递变规律．先由直线方程求得直线与x轴的夹角，再证明无人机行驶的轨迹是若干个等边三角形，且每后一个等边三角形是前一个等边三角形边长的2倍，最后利用巧算法求得无人机行驶的总路程． 【解题过程】 解：如图，在直线上任取一点P，作轴，垂足为点Q，取的中点M． 设，即， 在中，， ∴， ∵点M是斜边的中点， ∴ ∴是等边三角形． ∴， ∴ 即． 由与x轴成角出发，即， ∴， 依题意， ∴是等边三角形． 同理：（n为正整数）均为等边三角形． 由与，得， ∴．则 由可得， ∴． 所以每后一个等边三角形的边长是前一个等边三角形边长的2倍． ∴ 设 则 两式相减得：． 故答案为：． · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 首先通过求解一次函数图象与坐标轴的交点，可得出的坐标，进而得出的长，由正方形的性质可得，于是可得的坐标；，以此类推，同理可得，，，，，据此即可得出答案． 【解题过程】 解：令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， ， 令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， 的纵坐标为：， ， 同理可得，，，， 故选：． 2．（24-25八年级上·河南·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，达到直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动…，照此规律运动，动点C依次经过点，则当动点C从A到达处时，运动的总路径的长为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 由直线确定点，利用解析式确定，，计算得到，同理可证，由此可得，继而确定动点C从A到达处时，运动的总路径的长为，据此即可求解． 本题考查平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、探究规律，正确分析出相关规律是本题解题关键． 【解题过程】 解：由直线可知，根据题意， 当时，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， 当时，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， 由此可得，， ∴动点C从A到达处时，运动的总路径的长为， ∴动点C从A到达处时，运动的总路径的长为． 故答案为：C． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）正方形，，按如图的方式放置，…和点…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了正方形的性质和一次函数图象上点的坐标特点，找到规律是解题的关键. 根据一次函数图象上点的坐标特点和正方形的性质依次求出，，，找到规律，可得点的坐标是，即可求解. 【解题过程】 解：对于直线，当时，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，即， 当时，， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，即，即， 当时，， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，即，即， 以此类推，可得点的坐标是； 点的坐标是； 故选：A. 4．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键．通过求出点的坐标，、、的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后结合图形求解即可． 【解题过程】 解： 轴，点的坐标为， ，则点的纵坐标为3，代入， 得：，则点的坐标为． ，， ， 由旋转可知，，，， ，， ， ． 设点的坐标为， 则， 解得或（舍去），则， 点的坐标为． 故选C． 5．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使记面积为，面积为，面积为，则等于（　　） A．4047 B．4048 C． D． 【思路点拨】 本题考查了一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点坐标的规律计算，理解图示，找出点坐标的规律，面积的计算方法是解题的关键．根据题意，分别算出的值，找出规律即可求解． 【解题过程】 解：将代入得，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴， 依此类推，，，， ∴（为正整数）， 当时，， 故选：C ． 6．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了点的坐标规律探索，轴对称的性质，坐标与图形变化平移，一次函数的图象和性质，通过求出，，，，，进而得到规律当（k为正整数）时，，当时，，再由，即可求出答案． 【解题过程】 解：如图所示， 设与直线l交于点C， ∵， ∴， ∵函数的图象为直线， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， ∵将向右平移2个单位得到点， ∴， 同理可得， ∴，， ......， 以此类推，可知当（k为正整数）时，，当时，， ∵， ∴，即． 故选：D． 7．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键．设点，，，…，坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题即可． 【解题过程】 解：过作轴于，过作轴于，过作轴于，…， 如图， ∵在直线上， ∴， ∴； 设，，，，…， ， 则有， ，，…， 又∵，，，…，都是等腰直角三角形，轴，轴，轴，…， ∴，，，…， ∴，，…， ， 将点的坐标依次代入直线解析式得到： ， ， ， …，， 又∵ ， ∴， ， ，…，； 故选：A． 8．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线a：y＝x，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及点坐标规律探索，首先根据点的变化规律分别求出点、、、的坐标，根据它们的横坐标变化规律，得到点的横坐标，再根据点在直线上求出纵坐标． 【解题过程】 解：点的坐标为，点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在上， 解方程， 解得：， 点的坐标是， 轴， 点的横坐标是， 又点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在直线上， 可得方程， 解得：， 点的坐标是， 根据规律可得：的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， ， 的横坐标为， ， 的横坐标为， 又点在上， 可得：， 点的坐标为 故答案选： A． 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上．已知点，点，，则的坐标是(　　) A． B． C． D． 【思路点拨】 由题意可知纵坐标为1，的纵坐标为2，的纵坐标为4，的纵坐标为8，，即可得到，，，，的纵坐标，根据图象得出，，，即可得到，，，，在一条直线上，直线的解析式为，把的纵坐标代入即可求得横坐标． 【解题过程】 解：∵，点， ∴， ∴， 过作x轴于M， 过作y轴于N， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，， 同理可求得：纵坐标为1，的纵坐标为2，的纵坐标为4，的纵坐标为8，，和，和，和，和的纵坐标相同， ，，，，，的纵坐标分别为1，2，4，8，16，， 根据图象得出，，， 直线的解析式为， 的纵坐标为， 把代入，解得， 的坐标是， 当时，， 故选：D． 10．（2024·黑龙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，点，，，，都在直线l上；点，，，，都在x轴上，以为直角顶点作等腰直角三角形；再以为直角顶点作等腰直角三角形如此下去，则等腰直角三角形的腰长为 ． 【思路点拨】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，通过罗列计算得到规律是关键．根据题意，分别计算、、、可得边长规律，据此计算即可． 【解题过程】 解：在函数中，令，则；令，则， ，， 是等腰直角三角形， ， 设代入直线解析式得，解得， ， 设代入直线解析式得，解得， ， 设代入直线解析式得，解得， ， ， ． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，，，…，都是边长为2的等边三角形，边在x轴上，点，，，…，都在直线上，则点的坐标是 ． 【思路点拨】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标规律探究，找到平移规律，继而求出坐标即可． 【解题过程】 解：过作轴于， ∵，，…，都是边长为2的等边三角形，边在x轴上， ∴，，后面每一等边三角形都是在前一个等边三角形的基础上沿射线平移2个单位长度， ∴，， ∴， ∴后面每一等边三角形都是在前一个等边三角形的基础上向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度得到的图形； ∴点是在基础上平移2024次，每次向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度， ∴点的坐标是， ∴． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为 ，的坐标为 ． 【思路点拨】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质．先根据题意求出点的坐标，再根据点的坐标求出的坐标，以此类推总结规律便可求出点、的坐标． 【解题过程】 解：点坐标为， ， 过点作轴的垂线交直线于点， ∴将代入得， ∴点的坐标为， 点与点关于直线对称， ， ， 点的坐标为，同理可得的坐标为， 点与点关于直线对称． 故点的坐标为，同理的坐标为， 以此类推便可求出点的坐标为，同理点的坐标为． 故答案为：，． 13．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角…，按此规律进行下去，则等腰直角的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 【思路点拨】 本题考查了一次函数规律探索、等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质和一次函数的性质求解即可，熟练掌握等腰三角形的性质和一次函数的性质是解此题的关键． 【解题过程】 解：∵点在直线上，过点作轴交直线于点， ∴， ∴，即的面积， ∵， ∴， ∵过点作轴，分别交直线和于，两点， ∴， ∴，即的面积， 依次类推，，即的面积， ，即的面积， …， ∴，的面积， 故答案为：． 14．（2024·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为按此规律，则点的纵坐标为 ． 【思路点拨】 本题考查了坐标规律探究，两直线的交点，一次函数图象性质．总结归纳出点A纵坐标变化规律是解题的关键．联立直线与直线的表达式并解得：，，故，依次求出：点的纵坐标为、的纵坐标为，…，的纵坐标为即可求解． 【解题过程】 解：联立直线与直线的表达式并解得：，，故； 则点，则直线的表达式为：， 将点坐标代入上式并解得：直线的表达式为：， 将表达式与直线的表达式联立并解得：，，即点的纵坐标为； 同理可得的纵坐标为， 的纵坐标为 按此规律，则点的纵坐标为， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，过点A作直线的垂线，交x轴于点C，以为直角边向右作等腰直角三角形，，过点作的平行线，交直线于点，交x轴于点，再以为直角边向右作等腰直角三角形，……按照此方式作下去，点的坐标为 ． 【思路点拨】 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出点的坐标为是解决本题的关键．根据等腰直角三角形的性质得到点A、的坐标，通过相应规律得到点的坐标即可． 【解题过程】 解：∵直线的解析式为， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 同理， … 点的坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，直线，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为原点，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；…，按此作法进行下去，点的坐标为 ． 【思路点拨】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合勾股定理，求出点的坐标并找到规律是解题的关键． 根据的坐标和函数解析式，求得的长度，再由此可求得的坐标，依次类推，即可求出点探究规律利用规律即可解决问题． 【解题过程】 解：∵直线，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点， ， 在中，， ， ∴点的坐标为， 同理，可得出：点的坐标为，点的坐标为， 由此可知的坐标为， 的坐标为． 故答案为：． 17．（2025·湖北恩施·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…，依据图形所反映的规律， ． 【思路点拨】 本题考查规律型：一次函数的几何应用、等腰直角三角形的性质，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．分别过点、、作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案． 【解题过程】 解：如图，分别过点、、作x轴的垂线，垂足分别为点C、D、E， ∵，且为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴点坐标为， 将点坐标代入，得：， 解得：， ∴，， 同理求得 ，， ∴， ， ， …… ∴， 因此． 故答案为：． 18．（2025·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 【思路点拨】 本题考查的是一次函数性质应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，，，，找出规律即可解决． 【解题过程】 解：作轴于点H， 由条件可知， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由条件可知， ∴由勾股定理得：， ∴，， 同理，， ∴， ∴， 同理，，， ，， ∴，即， 即点的横坐标是， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，，……在直线上，在x轴上取点，使，作等腰面积为，等腰面积为，等腰面积为……，则 （用含a的代数式表示）． 【思路点拨】 本题考查一次函数上点的坐标特征．根据一次函数图象上点的坐标特征，得到、、的纵坐标，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积，得到变化规律进行求解． 【解题过程】 解：∵，，，…，在直线上， ∴，，，，…，； 又∵， 故， ∴； ， ； ， ； ； … ∴（n为奇数），（n为偶数）， ∴ ． 故答案是：． 20．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则的顶点的坐标为 ． 【思路点拨】 本题考查了一次函数的几何应用、等腰直角三角形的性质，先求出的坐标并归纳出规律是解题关键．先求出的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题． 【解题过程】 解：由题意得：把代入直线， 得， 把代入直线得： ∴， 由等腰直角三角形的性质得：， 的横坐标为 则的横坐标为1，代入直线得，，即， 由等腰直角三角形的性质得， ， 即的横坐标为， 同理可得：的横坐标为， ∴的横坐标为（为正整数）， ∴的横坐标为：， 把代入，得：， ∴； 故答案为：． 21．（24-25九年级上·四川广安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，直线l：与x轴交于点B，以为边作等边，过点作轴，交直线L于点，以为边作等边，过点作轴，交直线L于点，以为边作等边，以此类推，则点的纵坐标是 ． 【思路点拨】 本题主要考查了坐标规律题，结合等边三角形的性质和一次函数的图象和性质求解是解题的关键． 根据求出点B的坐标，得到，根据等边三角形的性质，分别求得的纵坐标，进而得到的纵坐标，可得点的纵坐标． 【解题过程】 解：∵直线与x轴交于点B， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴点在的垂直平分线上， ∴点的横坐标为， ∴， 把代入得∶， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴点在的垂直平分线上， ∴点的横坐标为， ∴， 同理， ……， ∴的纵坐标为， ∴点的纵坐标是． 故答案为：． 22．（23-24八年级下·全国·期末）正方形按如图的方式放置，点和点分别在直线和y轴上，则点的坐标是 ，点的坐标是 ． 【思路点拨】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、坐标与图形，设直线与y轴的交点为D，求出，，易证，得到，的横坐标为，同理的横坐标为， 的横坐标为，进而得到，再由正方形的性质得出，即可得解． 【解题过程】 解：如图，设直线与y轴的交点为D， 则， ， 又∵， ， ，， ∴， ， ， 的横坐标为， 同理的横坐标为， 的横坐标为， ， ∵都是正方形， ∴的横坐标为，的纵坐标为， ， ∴当时，；当时，， 故答案为：，． 23．（24-25九年级上·广东惠州·开学考试）在平面直角坐标系中，正方形、、，…，按在图所示的方式放置．点、、，…和、、，…分别在直线和轴上．已知，，则点的坐标是 ；点的坐标是 ． 【思路点拨】 根据正方形的轴对称性，由、的坐标可求、的坐标，将、的坐标代入中，得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，从而求直线解析式，由正方形的性质求出，的长，设，表示出的坐标，代入直线方程中列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的坐标，依此类推寻找规律，即可求出的坐标． 【解题过程】 解：连接，，，分别交轴于点、、， 正方形、、， 与关于轴对称，与关于轴对称，与关于轴对称， ，， ，即，，即， ，， 将与的坐标代入中得： ， 解得：， 直线解析式为， 设，则有坐标为， 代入直线解析式得：， 解得：， 坐标为，即， 依此类推． 故点的坐标是：；点的坐标是：． 故答案为：，． 24．（2024八年级上·四川成都·专题练习）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，按此方法作下去，则点的坐标是 ．    【思路点拨】 分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，，依题意得，，，进而得，则，由此可求出，再由△的面积公式求出，进而可求出，则，据此得点，根据直线， 直线，得，，，则，，再由直线得，则，，进而可求出，再由三角形的面积公式求出，由此可求出，则，据此得点，同理可得：点，点，，以此类推，点的坐标为，据此规律即可得出点的坐标． 【解题过程】 解：分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，，如图所示： 直线与轴的夹角为，点的坐标为， ，， 直线经过坐标原点，且与轴的夹角为， ， ， ， ， ， 直线， ， ， ， 在中，，，由勾股定理得：， 由三角形面积公式得：的面积， ， 在中，，，由勾股定理得：， ， 点的坐标为， 直线， 直线， ，，， ， 由勾股定理得：， 直线， 在中，，则， ， 由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：的面积， ， 在中，，，由勾股定理得：， ， 点的坐标为，同理可得：点，点，，以此类推，点的坐标为， 当时，，， 点的坐标为， 故答案为：． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$