专题6.2 反比例函数的应用（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题6.2 反比例函数的应用 · 典例分析 【典例1】某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少； （2）若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？ 【思路点拨】 本题考查了一次函数、反比例函数的应用，掌握待定系数法是关键． （1）设线段解析式为，根据图象求出函数解析式，再求出恒定温度即可； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出时的值，进而即可求解． 【解题过程】 （1）解：设线段解析式为， ∵线段过点，， ∴， 解得， ∴线段的解析式为： 当时，， ∴这个恒温系统设定的恒定温度为：． （2）解：根据解析（1）可知，线段的解析式为： 当时，， ∴B坐标为， ∴点C的坐标为， ∴线段的解析式为：， 设双曲线解析式为： ∵， ∴， ∴双曲线的解析式为：， ∵当时，， ∴， ∵当时，， ∴， ∴气温不低于的适宜温度是：． 答：这天内有小时水果生长不受伤害． · 学霸必刷 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：min）与骑车速度v（单位：）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在15分钟内赶到学校，那么他骑行的速度至少是（    ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.4 2．（2024·广东·模拟预测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（    ） A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于 3．（2024·湖北·模拟预测）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 4．（23-24九年级上·山东济南·期末）学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．水温从降至，所需时间为 D．水温不低于的时间为 5．（23-24九年级下·吉林长春·期中）小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．这篇文章一共1500字． B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟． C．小丽在19:20开始录入，要求完成录入时不超过19:35，则小丽每分钟至少应录入90字． D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务． 6．（2024·广西柳州·三模）伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图所示，若小明想使动力不超过，则动力臂（单位：m）需满足（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖北武汉·模拟预测）学校举行篮球比赛．图中的四个点分别描述了甲、乙、丙、丁四位同学投篮的命中率（投进的次数占尝试投篮次数的百分率）与尝试投篮次数的情况，其中所有投进的球记2分，描述乙、丁两位同学情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则投篮得分最多的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    9．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年实验后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示，其中4 小时后y是关于x的反比例函数．由图像计算可知血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为 小时．    10．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为的整数）.函数的图象为曲线. （1）若过点，则它必定还过另一点，则 ； （2）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的整数值有 个. 11．（2024·安徽·模拟预测）人工智能饮水机在接通电源后开始自动加热，加热过程中，水温与通电的时间成一次函数关系，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热．在水温开始下降时，水温与通电的时间成反比例函数关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间x（min）之间的关系如图所示． （1）求a的值； （2）求加热一次，水温不低于的时间有多长？ 12．（2024·浙江杭州·模拟预测）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示， （1）求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式； （2）如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？ 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）某草莓生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后大棚内温度随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图象信息解答下列问题： （1）求k的值； （2）当时，大棚内的温度约为多少？ （3）一天24小时大棚内温度超过的时间有多少小时？ 14．（23-24八年级下·全国·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示． （1）开始学习后第5分钟时与第40分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）某校博雅课堂学习大致可分为三个环节：即“自学自测展素养，研学随练展收获，检学综练展成效”．其中重点环节“研学随练展收获”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 15．（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． （1）研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ （2）当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 16．（2024九年级下·内蒙古包头·专题练习）墨墨在妈妈生日当天购买了一个足浴盆作为生日礼物送给妈妈．墨墨妈妈在使用该足浴盆泡脚时，最初注入的水的温度是，加热后，水温达到最高温度，然后该足浴盆自动停止加热进行保温，设定保温过程中，水温的最低温度不低于，当水温降至时，该足浴盆又会再次自动加热，以此循环．加热时，温度与时间成一次函数关系；保温时，温度与时间成反比例函数关系，第一个加热和保温过程如图所示． （1）分别求出该足浴盆在第一个加热和保温过程中y与x的函数关系，并且写出自变量x的取值范围； （2）墨墨妈妈在使用时，决定当水温不低于时，才使用该足浴盆泡脚，若墨墨妈妈泡脚的时间为30分钟，则该足浴盆加热了几次？ 17．（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ （3）当每立方米空气中的含药量y达到毫克消毒才有效，问消毒的有效时间为多少？ 18．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2 反比例函数的应用 · 典例分析 【典例1】某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少； （2）若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？ 【思路点拨】 本题考查了一次函数、反比例函数的应用，掌握待定系数法是关键． （1）设线段解析式为，根据图象求出函数解析式，再求出恒定温度即可； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出时的值，进而即可求解． 【解题过程】 （1）解：设线段解析式为， ∵线段过点，， ∴， 解得， ∴线段的解析式为： 当时，， ∴这个恒温系统设定的恒定温度为：． （2）解：根据解析（1）可知，线段的解析式为： 当时，， ∴B坐标为， ∴点C的坐标为， ∴线段的解析式为：， 设双曲线解析式为： ∵， ∴， ∴双曲线的解析式为：， ∵当时，， ∴， ∵当时，， ∴， ∴气温不低于的适宜温度是：． 答：这天内有小时水果生长不受伤害． · 学霸必刷 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：min）与骑车速度v（单位：）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在15分钟内赶到学校，那么他骑行的速度至少是（    ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.4 【思路点拨】 此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而代入数据得出答案． 【解题过程】 解：设，当时，， 解得：， 故与的函数表达式为：， 为了不迟到，需不超过15分钟赶到学校， ， 解得：， 他骑车的速度至少是0.2． 故选：A． 2．（2024·广东·模拟预测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（    ） A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于 【思路点拨】 本题考查了反比例函数的实际应用，求反比例函数的解析式，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解反比例函数解析式的方法和步骤，设该反比例函数的解析式为，把代入求出，得出该反比例函数的解析式为，再把代入求出，根据反比例函数的增减性，即可解答． 【解题过程】 解：设该反比例函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴该反比例函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∵， ∴在第一象限内，p随V的增大而减小， ∴为了安全起见，气球的体积应不小于， 故选：B． 3．（2024·湖北·模拟预测）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 【思路点拨】 本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 【解题过程】 解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 4．（23-24九年级上·山东济南·期末）学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．水温从降至，所需时间为 D．水温不低于的时间为 【思路点拨】 本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【解题过程】 解：∵开机加热时水温每分钟上升， ∴水温从加热到，需要，故A选项错误； ∴设反比例函数的解析式为，将点代入，可=得， ∴水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项错误； 将代入得， 解得 ∴ ∴水温从降至，所需时间为，故C选项错误； ∵开机加热时水温每分钟上升， ∴水温从加热到，需要， 将代入得， 解得 ∴水温不低于的时间为，故D选项正确． 故选：D． 5．（23-24九年级下·吉林长春·期中）小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．这篇文章一共1500字． B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟． C．小丽在19:20开始录入，要求完成录入时不超过19:35，则小丽每分钟至少应录入90字． D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务． 【思路点拨】 本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的应用，有理数混合运算的应用，掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例解析式，根据反比例函数的定义，即可判断A 选项；求出时的函数值，即可判断B选项；求出时的值，再结合反比例函数的增减性，即可判断C选项；分别求出和时的函数值，作差即可判断D选项． 【解题过程】 解：设反比例函数解析式为，将点代入得：， 解得：， 即反比例函数解析式为， A、录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）的乘积恒为，即这篇文章一共1500字，说法正确，不符合题意； B、当录字速度为时，录入时间，说法正确，不符合题意； C、当录入时间时，， ，在第一象限内，随的增大而减小， 即录入时间不超过分钟时，每分钟至少应录入100字，说法错误，符合题意； D、当时，， 当时，， （分钟）， 即比原计划提前2分钟完成任务，说法正确，不符合题意； 故选：C 6．（2024·广西柳州·三模）伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图所示，若小明想使动力不超过，则动力臂（单位：m）需满足（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到动力臂的取值范围． 【解题过程】 解：阻力和阻力臂的函数关系式为， 点在该函数图象上， ， 解得， 阻力和阻力臂的函数关系式为， ， ， 当时，， 小明想使动力不超过，则动力臂（单位：需满足， 故选：C 7．（2024·湖北武汉·模拟预测）学校举行篮球比赛．图中的四个点分别描述了甲、乙、丙、丁四位同学投篮的命中率（投进的次数占尝试投篮次数的百分率）与尝试投篮次数的情况，其中所有投进的球记2分，描述乙、丁两位同学情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则投篮得分最多的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【思路点拨】 本题考查反比例函数的实际应用题．根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【解题过程】 解：描述乙、丁两位同学情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为， 则令甲，、乙，、丙，、丁，， 过甲点作轴平行线交反比例函数于，，过丙点作轴平行线交反比例函数于，，如图所示： 由图可知，， ，、乙，、，、丁，在反比例函数图象上， 根据题意可知投进次数，则： ①，即乙、丁两人投进次数相同，即投篮得分相同； ②，即甲投进次数比乙、丁两人投进次数少，即甲投篮得分比乙、丁两人投篮得分少； ③，即丙投进次数比乙、丁两人投进次数多，即甲投篮得分比乙、丁两人投篮得分多； 综上所述：甲投篮得分乙投篮得分丁投篮得分丙投篮得分， 在这次篮球比赛中投篮得分最多的是丙， 故选：C． 8．（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【思路点拨】 本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【解题过程】 解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 9．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年实验后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示，其中4 小时后y是关于x的反比例函数．由图像计算可知血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为 小时．    【思路点拨】 本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，根据图象求出一次函数和反比例函数的表达式是解答本题的关键．分别求出当和时y与x的表达式，再根据血液中药物浓度不低于4微克/毫升求出持续时间即可． 【解题过程】 解：当时，函数为正比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，， ∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时， ∴， 当时，函数为反比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，， ∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时， ∴， ∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升， ∴持续时间为， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为的整数）.函数的图象为曲线. （1）若过点，则它必定还过另一点，则 ； （2）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的整数值有 个. 【思路点拨】 本题考查了求反比例函数解析式以及反比例函数的应用． （1）将点的坐标代入解析式可求k的值，将点代入，可求解； （3）由曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得与在曲线L的两侧，即可求解． 【解题过程】 解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴ ， ∵L过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴在反比例函数图象上， ∴， 故答案为：5； （2）若曲线L过点，时，， 若曲线L过点，时，， 若曲线L过点，时，， 若曲线L过点 时，， ∵曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， ∴， ∴整数共7个， 故答案为：7． 11．（2024·安徽·模拟预测）人工智能饮水机在接通电源后开始自动加热，加热过程中，水温与通电的时间成一次函数关系，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热．在水温开始下降时，水温与通电的时间成反比例函数关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间x（min）之间的关系如图所示． （1）求a的值； （2）求加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【思路点拨】 本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤． （1）先用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入，即可求出a的值； （2）先求出一次函数解析式，再分别求出时的x的值，即可解答． 【解题过程】 （1）解：设反比函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 把代入得：， 解得：； （2）解：设一次函数解析式为， 把代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴水温不低于的时间有． 12．（2024·浙江杭州·模拟预测）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示， （1）求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式； （2）如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？ 【思路点拨】 本题主要考查一次函数，反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的方法是解题的关键． （1）根据“从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克”可得的值，运用待定系数法求一次函数，反比例函数解析式的方法即可求解； （2）令分别代入一次函数，反比例函数求出时间进行比较即可求解． 【解题过程】 （1）解：从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克， ∴， 当时，设y与x之间的函数关系式为， ∵经过点， ∴， 解得， ∴； 当时，y与x之间的函数关系式为， ∵经过点， ∴， 解得，即； （2）解：令， 解得， 令， 解得， ∴一次服药后的有效视角为：（分钟），超过分钟． 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）某草莓生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后大棚内温度随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图象信息解答下列问题： （1）求k的值； （2）当时，大棚内的温度约为多少？ （3）一天24小时大棚内温度超过的时间有多少小时？ 【思路点拨】 此题主要考查了反比例函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式等知识，求出反比例函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）将代入函数解析式求出的值即可； （3）分别利用的取值范围求出两函数解析式，进而得出时，得出的值即可． 【解题过程】 （1）解：点在双曲线上， ， 解得：； （2）解：当时，， 所以当时，大棚内的温度约为； （3）解：当时，直线解析式为：， 故， 解得：， 解析式为：， 则， 解得：， 当，则， 解得：， 一天24小时大棚内温度超过的时间有：（小时）． 14．（23-24八年级下·全国·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示． （1）开始学习后第5分钟时与第40分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）某校博雅课堂学习大致可分为三个环节：即“自学自测展素养，研学随练展收获，检学综练展成效”．其中重点环节“研学随练展收获”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查了反比例函数的应用，此题属于分段函数，根据实际情况，结合图象，求出相对应的函数解析式，计算出数值，代入相应的函数解析式解决问题． （1）从图象上看，表示的函数为一次函数，是平行于轴的线段，为双曲线的一部分，设出解析式，代入数值可以解答，把自变量的值代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值比较得出； （2）求出相对应的自变量的值，代入相对应的函数解析式，求出注意力指标数与40相比较，得出答案． 【解题过程】 （1）解：设，把，代入函数解析式解得，， 由图象直接得到， 设，把代入函数解析式解得； 把代入，得， 把代入，得， 因为， 所以第40分钟时学生的注意力更集中； （2）解：由题意知，注意力指数不低于40 即当在， 同时 即 即当开始上课分钟直至上课37.5分钟时学生的注意力指数均不小于40． 而， 该学习设计合理． 15．（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． （1）研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ （2）当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 【思路点拨】 本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，是一个分段函数，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出时间，再减去分钟即可得结果． （2）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出，对于，令，求出时间，用两时间之差与作比较，即可得结果． 【解题过程】 （1）解：由题意可得，故当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， （分钟）． 答：至少经过分钟后学生方可返回教室． （2）当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， 对于，当时，， ， ， 此次消毒是完全有效， 答：此次消毒完全有效． 16．（2024九年级下·内蒙古包头·专题练习）墨墨在妈妈生日当天购买了一个足浴盆作为生日礼物送给妈妈．墨墨妈妈在使用该足浴盆泡脚时，最初注入的水的温度是，加热后，水温达到最高温度，然后该足浴盆自动停止加热进行保温，设定保温过程中，水温的最低温度不低于，当水温降至时，该足浴盆又会再次自动加热，以此循环．加热时，温度与时间成一次函数关系；保温时，温度与时间成反比例函数关系，第一个加热和保温过程如图所示． （1）分别求出该足浴盆在第一个加热和保温过程中y与x的函数关系，并且写出自变量x的取值范围； （2）墨墨妈妈在使用时，决定当水温不低于时，才使用该足浴盆泡脚，若墨墨妈妈泡脚的时间为30分钟，则该足浴盆加热了几次？ 【思路点拨】 本题考查了一次函数与反比例函数的知识，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，难度中等． （1）将已知点的坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式利用待定系数法确定函数的解析式即可； （2）分别令两个函数值为30求得的值的差即为保持的时间，然后即可求得加温几次． 【解题过程】 （1）解：设一次函数的解析式为， ∵经过点，， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； 设反比例函数的解析式为， ∵经过点， ∴ ∴； （2）解：，解得：； 令，解得：， 所以一次加温能保持（分钟）以上， 所以次， ∴墨墨妈妈泡脚的时间为30分钟，则该足浴盆加热了5次． 17．（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ （3）当每立方米空气中的含药量y达到毫克消毒才有效，问消毒的有效时间为多少？ 【思路点拨】 本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （2）根据（1）中的关系式列不等式，进一步求解可得答案． （3）把代入两个函数求得x值相减即可求得有效时间． 【解题过程】 （1）解：将点代入函数关系式得：， 解得，有， 将代入得：， 解得：， 所以所求反比例函数关系式为， 再将代入得：， 解得：， 所以所求正比例函数关系式为． （2）解：根据题意可得：， 解得， 根据图象可知：当时，， 所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室． （3）解：把代入到得：， 解得：， 把代入到得：， 解得：， ∴消毒的有效时间为：（小时）． 18．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【思路点拨】 （1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【解题过程】 解：（1）∵反比例函数，直线：， ∴联立得：， 解得：，， ∴反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． 故答案为：4；2． （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， 将点代入，得：， 解得； （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意； 把代入得：， 解得：， ∴． 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $$