专题6.1 反比例函数中k的几何意义（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题6.1 反比例函数中k的几何意义 · 典例分析 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的一条边轴于点B，经过点A的反比例函数（，）的图象交于点D，连结，，若点D是中点，的面积为3，则k的值为 ．    【思路点拨】 利用反比例函数的几何意义，表示出点A的坐标的关系，利用的面积，求出点A的坐标的积，从而求出答案． 【解题过程】 解：如下图，过C作、轴，作轴，    设点， ∴，， ∵为等边三角形且， ∴，， ∴矩形中，， ∵D是中点， ∴DE=14b， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． · 学霸必刷 1．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，点A、B是反比例函数 图象上任意两点，且轴于点D，轴于点C，和 面积之和为6，则k的值为（    ） A． B． C．6 D．12 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数y＝的图象上，轴于点，轴于点，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 3．（2024·安徽安庆·三模）已知反比例与的图像如图所示，为x轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交反比例函数与的图像于点，，点，（点在点的上方）在轴上，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 5．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为（　　）    A． B． C．4 D． 6．（24-25九年级上·湖南怀化·开学考试）矩形中，，，以O为原点，分别以，所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线的图象分别交，于点E，F，连接，，，，则（    ） A． B．1 C． D． 7．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（   ）    A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．15 B．12 C．10 D．18 9．（2024·山东枣庄·二模）如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（     ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作 轴交函数的图象于点，过点作 轴交函数的图象于点，交轴点，连接，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（　　）    A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 11．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，点在反比例函数上，垂直轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，，若的面积为9，则 ． 12．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为2，则的值为 ． 13．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点、在双曲线上，且，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D．若的面积为，则的值为 ． 14．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，以线段为斜边在第一象限内作等腰直角三角形．若反比例函数的图象经过点C，则k的值为 ．    15．（2024·山东日照·模拟预测）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段的中点，过点作轴于点，点为线段的三等分点，且．连接、，若，则的值为 ； 16．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图所示，在中，轴，点、在轴上，点、在反比例函数图象上，若的面积为，则的值为 ． 17．（2023·河南南阳·一模）如图，在中，，点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，轴于点C． （1）已知点D是左侧一点，连接，，若四边形为菱形，则点D是否在反比例函数的图象上？请说明理由； （2）在（1）的条件下，若菱形的面积为4，求k的值． 18．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，连接，交反比例函数的图象于点C，已知． （1）求k的值； （2）连接，若点A的横坐标为4，求的面积． 19．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，A为反比例函数的图像上一点，轴，垂足为P． （1）连接，当时，求反比例函数的解析式； （2）若点在函数的图像上，点先向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得点，点恰好落在函数的图像上，求的值． （3）点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图像于点C，若的面积为4，求k的值． 20．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，点、分别在反比例函数和的图象上，线段与轴相交于点． （1）如图①，若轴，且，．求、的值； （2）如图②，若点是线段的中点，且的面积为2．求的值． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.1 反比例函数中k的几何意义 · 典例分析 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的一条边轴于点B，经过点A的反比例函数（，）的图象交于点D，连结，，若点D是中点，的面积为3，则k的值为 ．    【思路点拨】 利用反比例函数的几何意义，表示出点A的坐标的关系，利用的面积，求出点A的坐标的积，从而求出答案． 【解题过程】 解：如下图，过C作、轴，作轴，    设点， ∴，， ∵为等边三角形且， ∴，， ∴矩形中，， ∵D是中点， ∴DE=14b， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． · 学霸必刷 1．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，点A、B是反比例函数 图象上任意两点，且轴于点D，轴于点C，和 面积之和为6，则k的值为（    ） A． B． C．6 D．12 【思路点拨】 本题考查反比例函数系数k的几何意义，用含k的式子表示出和 面积之和，即可求解． 【解题过程】 解：点A、B是反比例函数图象上任意两点， 设，， 轴于点D，轴于点C， ，，，， 和 面积之和为6， ， ， 故选A． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数y＝的图象上，轴于点，轴于点，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了反比例函数的性质，比例系数的几何意义，连接，由反比例函数的性质可知，，由，即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解题过程】 解：连接，如图， 由反比例函数的性质可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由两式解得， 则， 故选：． 3．（2024·安徽安庆·三模）已知反比例与的图像如图所示，为x轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交反比例函数与的图像于点，，点，（点在点的上方）在轴上，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 利用反比例函数系数k的几何意义可得，，再根据同底等高的三角形面积相等，得到，由平行四边形的面积公式进而求出答案 【解题过程】 解：连接、、， 轴，， 四边形为平行四边形， ， 轴， ， 由反比例函数系数的几何意义得， ，，　 ， ， 故选：B． 4．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 【思路点拨】 过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图，利用勾股定理计算出，根据角平分线的性质得，设，利用面积的和差求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入中求出k的值． 【解题过程】 解：过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P， ∴， ∴， 设，则PC＝t， ∵， ∴， 解得， ∴， 把代入得． 故选：A． 5．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为（　　）    A． B． C．4 D． 【思路点拨】 连接，过点和点分别作轴的垂线段和，根据全等三角形的判定可得，推得；根据三角形的面积可得，，推得，求解即可，注意． 【解题过程】 解：连接，过点和点分别作轴的垂线段和，如图：    ∴， 又∵，， ∴； ∴， ∵点在双曲线上， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， 解得：（正数舍去）， 故选：D． 6．（24-25九年级上·湖南怀化·开学考试）矩形中，，，以O为原点，分别以，所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线的图象分别交，于点E，F，连接，，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【思路点拨】 本题考查了矩形的性质，反比例函数中的面积问题，割补法表示面积；由三角形面积得 ，割补法表示面积得，即可求解；能通过两种方法表示面积是解题的关键. 【解题过程】 解：∵矩形中，，， ，，， ∵双曲线()的图象分别交，于点E，F， ，， ， 根据图示： , 又， , 整理得：， 解得：，（不合题意舍去）， ； 故选：A． 7．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（   ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查反比函数系数的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得，，，继而得出轴，轴，根据三角形的面积及反比函数系数的几何意义得，，推出，继而得到，， ∴，再根据即可得解．求出、的长是解题的关键． 【解题过程】 解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：B． 8．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．15 B．12 C．10 D．18 【思路点拨】 此题考查了反比例函数的几何意义，设反比例函数为，设，得到，，，求出，得到，求出，得到，，列得，得到，进而求出，即可得到． 【解题过程】 解：如图， 设反比例函数为, ∴， ∵，， ∴设， ∴， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴，， ∴， 得 ∴ ∵ ∴． 故选A． 9．（2024·山东枣庄·二模）如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，矩形的性质和菱形的性质，作轴于，轴于，由得，进而得，再由，，即可判断 ；当， 四边形是矩形，不能确定与相等，故不能判断，即不能判断，由此不能确定，即可判断；若四边形是菱形，可证，得到，即得，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键． 【解题过程】 解：作轴于，轴于，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴，故正确； ∵，， ∴，故正确； 当， 四边形是矩形， ∴不能确定与相等， 而， ∴不能判断， ∴不能判断， ∴不能确定，故错误； 若四边形是菱形，则，而， ∴， ∴， ∴， 又由图象可得，，， ∴， ∴，故正确； ∴结论正确的是， 故选：． 10．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作 轴交函数的图象于点，过点作 轴交函数的图象于点，交轴点，连接，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（　　）    A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【思路点拨】 设，则的中点为，，即可求得，即可判断①；表示出的坐标，即可表示出，求得，即可判断②；计算出，，即可求得，即可判断③；先证是的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断④． 【解题过程】 解：动点在反比例函数的图象上， 设， 的中点为，， 的图象经过点， ，故①正确； 过点作轴交函数的图象于点， 的纵坐标， 把代入得，， ， ， ，故②正确； 如图，过点作轴于．          ，，，， 过点作轴交函数的图象于点，交轴点， ， 直线的解析式为，直线的解析式为， 由，解得， ，， ， ， ， ，故③正确； ，，，，， 是的中点， ， ， 轴， ， ， 若，则， ， ．故④正确； 故选：D． 11．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，点在反比例函数上，垂直轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，，若的面积为9，则 ． 【思路点拨】 此题重点考查反比例函数中比例系数的几何意义，解题的关键是正确地作出辅助线． 过点作轴的垂线，得到矩形，连接，则矩形的面积是面积的2倍，所以只要根据的面积求出的面积即可． 【解题过程】 解：如图，连接，作轴于点， ∵垂直轴，， ∴四边形为矩形， ， ， ， ，， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 12．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为2，则的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了反比例函数的综合应用，设点坐标根据中点坐标公式表示线段和的长是解决本题的关键．设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为2，得的面积为4，所以，即可求出的值． 【解题过程】 解：设， 是矩形，且点为的中点， 点纵坐标为， 代入反比例函数解析式得， ， 点横坐标为， 点横坐标为，代入反比例函数解析式， 得， ， ， 的面积为2， 的面积为4， ， ， 解得． 故答案为：6． 13．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点、在双曲线上，且，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D．若的面积为，则的值为 ． 【思路点拨】 作轴，作轴，用含、的代数式，表示出、、的长，根据轴，表示出、的坐标，进而表示出、的长，代入，得到，根据反比例函数的几何意义，得到，代入梯形面积公式，应用因式分解，得到，即可求解， 本题考查了，反比例函数的几何意义，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的几何意义． 【解题过程】 解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵点、在双曲线上， ∴，，， ∵轴， ∴点C纵坐标为：，点D纵坐标为：， ∴点C横坐标为：，点D横坐标为：， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得：，即：， ∴或， ∴（舍）， ， ∴， 故答案为：． 14．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，以线段为斜边在第一象限内作等腰直角三角形．若反比例函数的图象经过点C，则k的值为 ．    【思路点拨】 过点C作轴于点E,作轴于点F，根据等腰直角三角形的性质可证出，从而得出，勾股定理可得出的长度，再根据三角形的面积结合反比例函数系数的几何意义，即可求出值． 【解题过程】 解：如图，过点C作轴于点E,作轴于点F， 轴，轴， ∴四边形是矩形， 为等腰直角三角形， , 在和中 , ∵点，， , 为等腰直角三角形， , , 反比例函数（x＞0）的图象经过点C， ． 15．（2024·山东日照·模拟预测）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段的中点，过点作轴于点，点为线段的三等分点，且．连接、，若，则的值为 ； 【思路点拨】 本题考查了反比例函数与几何综合，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．设，其中，则由B是中点可求得点坐标，由点C在y轴上，得m与n的关系，从而得D、E的坐标；连接，则得，根据，则可求得k的值． 【解题过程】 解：设，其中， 由于点B是的中点， 则； 因点C在y轴上，则， ∴； 即，； ∵轴于点，点为线段的三等分点，且 ∴D点的坐标为，E点坐标为， ∴，； 如图，连接， ∵点为线段的中点， ∴； ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：； 故答案为：． 16．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图所示，在中，轴，点、在轴上，点、在反比例函数图象上，若的面积为，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，三角形的面积公式；根据平行四边形的性质求得的面积是解题的关键． 设点的横坐标为，代入求得点、的坐标，求得，，根据平行四边形的对边平行且相等可求得点、的坐标，求得，推得，结合平行四边形的平行和三角形的面积公式可求得的值，结合图象即可求解． 【解题过程】 解：∵点在反比例函数图象上， 故设点的横坐标为， 将代入得， ∴设点的坐标为， ∵轴，点在轴上， ∴点的坐标为， 故，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 即， 结合图象可得点的横坐标为：， 将代入得， ∴点的坐标为， ∵轴，， ∴轴， 又∵点在轴上， ∴点的坐标为， 故， ∴； 连接，如图： 在中，点、在轴上， ∴是的对角线， 故， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴． 故答案为：． 17．（2023·河南南阳·一模）如图，在中，，点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，轴于点C．    （1）已知点D是左侧一点，连接，，若四边形为菱形，则点D是否在反比例函数的图象上？请说明理由； （2）在（1）的条件下，若菱形的面积为4，求k的值． 【思路点拨】 本题考查了反比例函数综合题，待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，反比例函数的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）过点B作于H，延长到D，使，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形，设点，得到，推出在反比例函数的解析式为，求得，，，根据反比例函数点的坐标特征即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，根据菱形的面积公式得到，由于在反比例函数的图象上，于是得到． 【解题过程】 （1）解：存在．理由如下： 过点B作于H，延长到D，使，    ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设点， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴在反比例函数的解析式为， ∵点B在y轴上，轴于点C， ∴，，， 当时，， ∴点D在反比例函数的图象上； （2）∵，，四边形是菱形， ∴，， ∵菱形的面积为4， ∴ ∴， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴． 18．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，连接，交反比例函数的图象于点C，已知． （1）求k的值； （2）连接，若点A的横坐标为4，求的面积． 【思路点拨】 本题考查了反比例函数的几何意义，求反比例函数的解析式； （1）延长交轴于点，根据反比例函数的几何意义直接计算即可； （2）过点作，先求出正比例函数的解析式，然后求出点的坐标，从而求出，最后根据计算即可； 熟知反比例函数的几何意义是关键． 【解题过程】 （1）解：如图，延长交轴于点， ∵点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，且 ∴， 解得， 故k的值为； （2）如图，过点作， ∵点A的横坐标为4，点A是反比例函数图象上一点， ∴， ∵平行于y轴， ∴点的横坐标为4， 解得， ∴正比例函数的图象与反比例函数图象的交点的坐标为 ， 故的面积为． 19．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，A为反比例函数的图像上一点，轴，垂足为P． （1）连接，当时，求反比例函数的解析式； （2）若点在函数的图像上，点先向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得点，点恰好落在函数的图像上，求的值． （3）点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图像于点C，若的面积为4，求k的值． 【思路点拨】 本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数的几何意义，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据反比例函数的几何意义求解作答即可； （2）由题意知，平移后的点坐标为，由点，点在函数的图像上，可得，计算求解即可； （3）如图2， 设，则，，分当在点左侧时，当在点右侧时两种情况，根据的面积为列等式，计算求解即可． 【解题过程】 （1）解：如图1， 由题意知，， 解得，或（舍去）， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意知，平移后的点坐标为， ∵点在函数的图像上，点恰好落在函数的图像上， ∴， 解得，， ∴的值为1． （3）解：如图2， 设，则，， 当在点左侧时，，则， 将代入得，， ∴， 解得，； 当在点右侧时，同理可得，，，， ∴， 解得，； 综上所述，k的值为或． 20．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，点、分别在反比例函数和的图象上，线段与轴相交于点． （1）如图①，若轴，且，．求、的值； （2）如图②，若点是线段的中点，且的面积为2．求的值． 【思路点拨】 （1）连接、，根据反比例函数系数的几何意义以及得到，即①，由②．①②得，，进而求得； （2）作轴于，轴于，则，，根据题意得到，，即可得到，整理得． 【解题过程】 （1）解：如图①，连接、， 轴， ，， ， ，即， ①， ②． ①②得，， ； （2）如图②，作轴于，轴于，则，， 点是线段的中点，且的面积为2， ， 在和中， ， ， ， ， 整理得． 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $$