8.3.1分类变量与列联表（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

8.3.1 分类变量与列联表 第八章 成对数据的统计分析 人教A版2019选择性必修第三册 前情回顾 0 最小二乘估计 最小二乘法：我们将=x+称为Y关于x的 ， 也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归 方程的方法叫做： ，求得的，叫做b，a的 ， 经验回归方程 其中==，=-. 最小二乘法 最小二乘估计 性质：(1)经验回归直线=x+必过点(，)；(2) (3)利用回归方程可以求估计值。 前情回顾 0 残差分析 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值； 观测值减去预测值所得的差称为残差，即残差观测值预测值. 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果， 以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 残差平方和法：残差平方和(yi-)2越 ，模型的拟合效果越好. 决定系数R2法：可以用R2=1-来比较两个模型的拟合效果，R2越 ， 模型的拟合效果越 ，R2越 ，模型的拟合效果越 . 小 大 好 小 差 学习目标 1 2 3 结合具体实例，探究分类变量之间关系的方法． 制作、理解 2×2列联表，用频率分析法、图形分析法 探究两个分类变量之间的关系． 理解独立性检验(2×2列联表)的应用，提升数学运算能力． 0 新课引入 0 1.喜欢跑步与性别有关系？ 2.就读不同学校是否对学生的成绩有影响？ 3.吸烟是否会增加患肺癌的风险？ 思考一下：下面的几个问题： 研究两个变量之间是否存在关联性或相互影响(独立)的问题. 本节将要学习的独立性检验方法为我们提供了解决这类问题的方案. 读教材 0 阅读课本P124-P127，5分钟后完成下列问题： 1. 理解分类变量的概念？除分类变量外还有什么变量？ 我们一起来探究“分类变量与列联表”吧！ 2. 2×2列联表和等高堆积条形图主要体现变量的什么特征？ 01 03 02 目录 1 2×2列联表 学习过程 2 题型训练 1 新知探究 思考1 分类变量的概念？ 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量， 以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量． 数值变量的取值为实数， 其大小和运算都有实际含义. 分类变量的取值可用实数表示， 但数值只作为编号使用， 没有大小和运算意义. 本节只讨论取值{0,1}的 分类变量的关联性 研究一定范围内的两种现象或性质之间是否存在关联性或存在差异 研究一定范围内的两个变量的相关关系 1 新知探究 探究1 某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查。全校学生的普查数据如下：523名女生中有331名经常锻炼；601名男生中有473名经常锻炼。 你能利用这些数据，说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗？ 性别 锻炼 合计 不经常(Y=0) 经常(Y=1) 女生(X=0) 192 331 523 男生(X=1) 128 473 601 合计 320 804 1124 方法：由频率估计概率、借助条件概率、借助等高堆积条形图 为了清楚起见, 我们用表格整理数据 1 新知探究 性别 锻炼 合计 不经常(Y=0) 经常(Y=1) 女生(X=0) 192 331 523 男生(X=1) 128 473 601 合计 320 804 1124 方法1：由频率估计概率 结论：该校的女生和男生在体育锻炼的经常性方面存在差异， 男生更经常锻炼。 1 新知探究 性别 锻炼 合计 不经常(Y=0) 经常(Y=1) 女生(X=0) 192 331 523 男生(X=1) 128 473 601 合计 320 804 1124 方法2：借助条件概率 结论：该校的女生和男生在体育锻炼的经常性方面存在差异，男生更经常锻炼。 1 新知探究 性别 锻炼 合计 不经常(Y=0) 经常(Y=1) 女生(X=0) 192 331 523 男生(X=1) 128 473 601 合计 320 804 1124 方法3：借助等高堆积条形图 结论：该校的女生和男生在体育锻炼的经常性方面存在差异，男生更经常锻炼。 1 新知1－－2×2列联表 2×2列联表 实践中，保存原始数据的成本较高，故按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存. 将形如下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表. 合 计 合计 ＋ 等高堆积条形图 因为是百分比，所以总高相等，各颜色 代表的分类的频率大小也容易比较. 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 学以致用 例1 为比较甲、 乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生. 通过测验得到了如下数据: 甲校43名学生中有10 名数学成绩优秀; 乙校45名学生中有7名数学成绩优秀；试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异？ 解：用Ω表示两所学校的全体学生构成的集合，则Ω为样本空间，对于Ω中的 每一名学生，定义分类变量X和Y如下： 将所给数据整理成：2×2列联表. 学校 数学成绩 合计 不优秀(Y＝0) 优秀(Y＝1) 甲校(X＝0) 33 10 43 乙校(X＝1) 38 7 45 合计 71 17 88 学以致用 例1 试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异？ 由2×2列联表得： 学校 数学成绩 合计 不优秀(Y＝0) 优秀(Y＝1) 甲校(X＝0) 33 10 43 乙校(X＝1) 38 7 45 合计 71 17 88 乙校优秀的频率： 甲校不优秀频率： 甲校优秀的频率： 乙校 不优秀频率： 可以认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异， 甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高. 依据频率稳定于概率的原理 . 学以致用 思考：你认为“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这一结论是否有可能是错误的？ 学校 数学成绩 合计 不优秀(Y＝0) 优秀(Y＝1) 甲校(X＝0) 33 10 43 乙校(X＝1) 38 7 45 合计 71 17 88 可以认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异， 甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高. 事实上：“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这个结论是根据两个频率间存在差异推断出来的。有可能出现这种情况：在随机抽取的这个样本中，两个频率间确实存在差异，但两校学生的数学成绩优秀率实际上是没有差别的。 这就是说：样本的随机性导致了两个频率间出现较大差异．在这种情况下，我们推断出的结论就是错误的． 学以致用 例2 为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，其中，不吸烟的7817人中42人患肺癌，吸烟的2148人中91人患肺癌，试分析吸烟是否对患肺癌有影响？ 不患肺癌（Y=0） 患肺癌（Y=1） 总计 不吸烟（X=0） 吸烟(X=1) 总计 解：定义分类变量X和Y如下： 关于分类变量X和Y的2×2列联表如下： 7775 2099 9874 42 49 91 7817 2148 9965 学以致用 例2 试分析吸烟是否对患肺癌有影响？ 不患肺癌（Y=0） 患肺癌（Y=1） 总计 不吸烟（X=0） 吸烟(X=1) 总计 7775 2099 9874 42 49 91 7817 2148 9965 解：F1不吸烟者中患肺癌的比重是： 在吸烟者中患肺癌的比重是： 因为，且两个差值比较大，说明吸烟与患肺癌有关联． 学以致用 例2 试分析吸烟是否对患肺癌有影响？ 不患肺癌（Y=0） 患肺癌（Y=1） 总计 不吸烟（X=0） 吸烟(X=1) 总计 7775 2099 9874 42 49 91 7817 2148 9965 解：F2不吸烟者中患肺癌的比重是： 因为，说明吸烟者中患肺癌的概率更高。 方法1——由频率估计概率 通过对样本的每个分类变量的不同类别事件发生的频率大小进行比较来分析分类变量 之间是否有关联关系， 一般其值相差越大，分类变量有关系的可能性越大。 两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法： 方法2——借助条件概率 利用已知数据分别来计算两个条件概率并进行比较。一般其值相差越大，分类变量有关系的可能性越大。 能够直观地反映出两个分类变量间是否相互影响。 方法3——借助等高堆积条形图 学习过程 01 03 02 目录 1 2×2列联表 学习过程 2 题型训练 2 例1 下面是一个2×2列联表：则表中a，b处的值分别为（ ） A.94,96 B.52,50 C.52,60 D.54,52 题型1－－ 2×2列联表的应用 X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a 21 73 X＝1 8 25 33 合计 b 46   解：　∵a＋21＝73，∴a＝52，b＝a＋8＝52＋8＝60. 故选C. C 2 例2 下表是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表： 题型1－－ 2×2列联表的应用   时间 合计 晚上 白天 男婴 45 A B 女婴 E 35 C 合计 98 D 180 那么，A＝____，B＝____，C＝____，D＝____，E＝____. 47 92 88 82 53 2 例3 在某测试中，卷面满分为100分，60分为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示： 题型1－－ 2×2列联表的应用 分数段 29～40 41～50 51～60 61～70 71～80 81～90 91～100 午休考生人数 23 47 30 21 14 31 14 不午休考生人数 17 51 67 15 30 17 3 (1)根据上述表格完成列联表； (2)根据列联表可以得出什么样的结论？对今后的复习有什么指导意义？ 2 例3 题型1－－ 2×2列联表的应用 分数段 29～40 41～50 51～60 61～70 71～80 81～90 91～100 午休考生人数 23 47 30 21 14 31 14 不午休考生人数 17 51 67 15 30 17 3 (1)根据上述表格完成列联表；   人数 合计 及格人数 不及格人数 午休       不午休       合计         人数 合计 及格人数 不及格人数 午休 80 100 180 不午休 65 135 200 合计 145 235 380 解：2×2列联表如下表所示： 2 例3 题型1－－ 2×2列联表的应用   人数 合计 及格人数 不及格人数 午休 80 100 180 不午休 65 135 200 合计 145 235 380 解：2×2列联表如下表所示： 由P1>P2，可以粗略判断午休与考生考试及格有关系，并且午休的及格率高， 所以在以后的复习中考生应尽量适当午休，以保持最佳的学习状态. (2)根据列联表可以得出什么样的结论？对今后的复习有什么指导意义？ 2 例4 如下图的等高堆积条形图可知：喝酒与患胃病____ 关系.(填“有”或“没有”) 题型2－－等高堆积条形图的应用 有 解：从等高堆积条形图上可以明显地看出： 喝酒患胃病的频率远远大于不喝酒患胃病的频率. 2 例5 观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是( ) 题型2－－等高堆积条形图的应用 解：观察等高堆积条形图易知D选项两个分类变量之间关系最强. D 2 例6 某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张； 结合列联表作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类型是否有关系？ 题型3－－分类变量之间关联关系的定性分析 考前心情 性格 合计 内向 外向 紧张 332 213 545 不紧张 94 381 475 合计 426 594 1 020 解：作列联表如下： 2 例6 结合列联表作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类型是否有关系？ 题型3－－分类变量之间关联关系的定性分析 考前心情 性格 合计 内向 外向 紧张 332 213 545 不紧张 94 381 475 合计 426 594 1 020 解：作列联表如下： 相应的等高堆积条形图如图所示： 图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的人数的比例， 从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向的人数占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向的人数占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关． 2 例7 根据有关规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语，那么： (1) 吸烟是否对每位烟民一定会引发健康问题? (2) 有人说吸烟不一定引起健康问题，因此可以吸烟. 这种说法对吗？ 题型3－－分类变量之间关联关系的定性分析 解：(1) 从已掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康 ，但除了吸烟之外，身体的健康还受许多其他随机因素的影响，它是很多因素共同作用的结果 。吸烟导致患病的案例非常普遍，但也可以找到长寿的吸烟者。 因此健康与吸烟有关联，即从统计意义上讲，吸烟会损害健康，但不一定会对每位烟民都引起健康问题. (2) 这种说法不正确. 虽然吸烟不一定会对每个人都引起健康问题，但根据统计数据，吸烟比不吸烟引起健康问题的可能性大，因此“吸烟不一定引起健康问题，因此可以吸烟”的说法是不对的. 课堂小结 2×2列联表 合 计 合计 ＋ 等高堆积条形图 因为是百分比，所以总高相等，各颜色 代表的分类的频率大小也容易比较. 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 判断两个分类变量之间是否具有关联性的三种方法 图形分析法 频率分析法 条件概率法 Chart4 不吸烟 不吸烟 吸烟 吸烟 不患肺癌 患肺癌 7775 100 2099 80 Sheet1 7775 2099 100 80 Sheet1 不吸烟 不吸烟 吸烟 吸烟 不患肺癌 患肺癌 Sheet2 Sheet3 解:由列联表得： 解得 计算可知，午休的考生及格率为P1＝＝. 不午休的考生的及格率为P2＝＝， 紧张的学生中内向的频率为≈0.61，外向的频率为1－0.61＝0.39；不紧张的学生中内向的频率为≈0.20，外向的频率为1－0.20＝0.80. $$