第十七章 勾股定理 章末检测1（考点解码舱 题型透视镜 双阶训练场）2024-2025学年八年级下学期数学人教版期末复习登顶手册：三维突破指南

八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 第十七章 勾股定理 章末检测 一、单选题 1．以下列长度的线段为边不能组成直角三角形的是（    ） A．8，15，17 B．4，5， C．，1， D．40，50，60 【答案】D 【分析】根据勾股定理逆定理：“若三角形的三条边分别为a、b、c（c为最长边），且，则这个三角形是直角三角形”进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴8，15，17能组成直角三角形，故A不符合题意； ∵， ∴4，5，能组成直角三角形，故B不符合题意； ∵， ∴，1，能组成直角三角形，故C不符合题意； ∵， ∴40，50，60不能组成直角三角形，故D不符合题意， 故选：D． 2．下列命题中，原命题与其逆命题均为真命题的有（    ）个 ①全等三角形对应边相等；     ②全等三角形对应角相等； ③等腰三角形两条腰上的高相等；     ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查真假命题、逆命题及等腰三角形的性质、实数的性质．本题考查了首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假即可． 【详解】解：①全等三角形对应边相等，原命题是真命题； 逆命题为：如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等，逆命题是假命题； ②全等三角形对应角相等，原命题是真命题； 逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，逆命题不是真命题； ③等腰三角形两条腰上的高相等，原命题是真命题； 逆命题为：有两条高相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等，原命题是真命题； 逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么它们相等的平方相等，逆命题不是真命题； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直，原命题是真命题； 逆命题为：两条直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直，则这两条直线平行，逆命题是真命题． 原命题与其逆命题均为真命题的有③⑤，共2个． 故选：A． 3．在直角三角形中，若两条边的长分别是cm，cm则第三边的长为（    ） A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm 【答案】D 【分析】分两种情况：①若直角边长分别为1cm、2cm；②若斜边为2cm，则第三边为直角边，分别由勾股定理求解即可． 【详解】解：①若直角边长分别为1cm、2cm， 则由勾股定理可得斜边长为：； ②若斜边为2cm，则第三边为直角边，由勾股定理得： ． 综上，第三边的长为cm或cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形的边长计算中的应用，分类讨论、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4．已知等腰三角形的腰长为17cm，底边上的中线长为15cm，则它的周长为（    ） A．42cm B．50cm C．49cm D．47cm 【答案】B 【分析】首先根据等腰三角形的三线合一的性质求得底边的一半，然后求得周长即可． 【详解】解：∵等腰三角形的腰长为17cm，底边上的中线长为15cm， ∴底边的一半= =8cm， ∴底边长为16cm， ∴周长=17+17+16=50cm， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是首先求得底边的一半长，难度不大． 5．如图所示边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到的距离等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的混合运算．根据网格特征和勾股定理求出的边长和面积，利用三角形的面积公式进行解答即可． 【详解】解：过点作于， 由网格特征和勾股定理可得， ，，， ， 是直角三角形， ， 即， ， 故选：C． 6．如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（　　　）尺． A．26 B．24 C．13 D．12 【答案】D 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理列方程可解答． 【详解】解：由题意可知：BC=×10=5（尺） 设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺， 由勾股定理得： 解得：x=12， ∴这个水池的深度是12尺． 故选D． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息建立数学模型是解题的关键． 7．在矩形中，过的中点作，交于E，交于F，连接、．若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形是菱形，再求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，根据矩形的对边相等可得，然后求出，从而得解． 【详解】解：四边形是矩形 ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点在于判断出是等边三角形． 8．如图，长方体的长为4cm，宽为4cm，高为3cm，cm，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点C，则需要爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D．6cm 【答案】C 【分析】本题考查平面展开—最短路线问题，勾股定理，无理数的大小比较．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：按照正面和右面展开，如下， ∴， ∴； 按照上面和左面展开，如下， ∴， ∴； 按照正面和上面展开，如图3， ∴，， ∴ ∵， ∴需要爬行的最短距离是， 故选：C． 9．如图，在四边形中，，分别以它的四条边为斜边，向外作等腰直角三角形．若、和的面积分别为4、9、5，则的面积为（ ）．   A. 8  B.10 C. 12 D. 16 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个等腰直角三角形的面积之间的关系． 连接，根据等腰直角三角形的面积公式可求，根据勾股定理可求再根据等腰直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，    、和是等腰直角三角形， ， 、和的面积分别为、、， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 则的面积为． 故选：A． 10．若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意根据图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理，分别分析即可得出答案 【详解】解：A、不能利用图形面积证明勾股定理； B、根据面积得到； C、根据面积得到，整理得； D、根据面积得到，整理得. 故选：A. 【点睛】本题考查勾股定理的证明，熟练掌握利用图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理. 11．如图，在△ABC中，BC＝2，∠C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作BE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一性质可得AE=DE，根据∠C＝45°，得出∠EBC=180°-∠C-∠BEC=180°-45°-90°=45°，可得BE=CE，利用勾股定理求出CE=BE=2，根据D是AC的三等分点得出AE=DE==CD，求出CD=1，利用勾股定理即可． 【详解】解：作BE⊥AC于E， ∵AB＝BD， ∴AE=DE， ∵∠C＝45°， ∴∠EBC=180°-∠C-∠BEC=180°-45°-90°=45°， ∴BE=CE，   在Rt△BEC中， ∴， ∴CE=BE=2， ∵D是AC的三等分点， ∴CD=，AD=AC-CD=， ∴AE=DE==CD， ∴CE=CD+DE=2CD=2， ∴CD=1， ∴AE=1， 在Rt△ABE中，根据勾股定理． 故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三等分线段，掌握等腰三角形的性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三等分线段是解题关键． 12．如图，长方形中，，点在上，且，连结将长方形沿翻折，点恰好落在上的点处，则的长度为( )cm A.8  B.10 C. 12 D. 16 【答案】A 【分析】由矩形和翻折的性质可知：，，，从而可利用“AAS”证明，得出．设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解出x即可． 【详解】解：由矩形和翻折的性质可知：，，． ∴， ∴在和中 ， ∴()， ∴ 设，则． 在中，． 所以，解得：． 即：． 故选A． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．解答时运用勾股定理建立方程求解是关键． 二、填空题 13．命题：“如果，那么”的逆命题是 ，如果，那么，该命题是 命题（填真或假）． 【答案】如果，那么；假 【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：根据题意得：命题“如果，那么”的条件是“”，结论是“”， 故逆命题是如果，那么，该命题是假命题， 故答案为：如果，那么；假． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 15．设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24，斜边长为10，则的值为 ． 【答案】48 【分析】由该三角形的周长为24，斜边长为10可知a＋b＋10＝24，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值． 【详解】解：∵三角形的周长为24，斜边长为10， ∴a＋b＋10＝24， ∴a＋b＝14， ∵a、b是直角三角形的两条直角边， ∴a2＋b2＝102， 则a2＋b2＝（a＋b）2−2ab＝102， 即142−2ab＝102， ∴ab＝48． 故答案为：48． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，掌握利用勾股定理证明线段的平方关系及完全平方公式的变形求值是解题的关键． 16．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为12、16、9、12．则最大的正方形E的面积是    【答案】49 【分析】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形的面积和即是最大正方形的面积．根据正方形的面积公式，结合勾股定理勾股定理“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”，能够导出正方形的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为、的面积和为，于是，即． 故答案为：49．    三、解答题 17．如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且． (1)求证：； (2)求修建的公路的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形，进而得解； （2）利用的面积公式可得，，从而求出的长． 【详解】（1）解：证明：∵，，，， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴． 答：修建的公路的长是． 18．小明在荡秋千时，发现秋千在静止时，秋千离地面的距离，荡起的水平距离为时，离地面的距离，求秋千的绳索AF的长． 【答案】秋千的绳索AF的长为19.4dm． 【分析】从图中得到AB＝AF，AC＝AF﹣（8﹣3），根据勾股定理可求得AF的值． 【详解】解：秋千的绳索， 由题意得：，， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴秋千的绳索AF的长为19.4dm． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，本题利用了勾股定理求解，关键是运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． 19．如图，在五边形中，，，，，，，，求五边形的面积． 【答案】12 【分析】连接、，由，，可得，，根据勾股定理可得，，再由勾股定理的逆定理证明，继而根据五边形的面积求解即可． 【详解】 连接、， ，， ，， ，， ，，，， ，， ，， ， ， ， 五边形的面积 ． 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 20．某小区有一块如图所示的四边形空地，为了庆祝建党百年，小区物业决定在这块空地上种植花草，测得，，，．种植花草的费用为80元/，则该空地种植花草共需多少元？（参考数据：） 【答案】该空地种植花草约共需13064元 【分析】先利用等边三角形的判定和性质求得BD的长，再根据勾股定理判定△DBC为直角三角形，从而空地的面积就转化为两个直角三角形的面积解答即可． 【详解】连接，如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴．    在中，∵． ∵， ∴．    ∴为直角三角形， 过D作于E， ∵是等边三角形， ∴．   在中，，   ∴．    ∴（）．     ∴（元）   答：该空地种植花草约共需13064元． 【点睛】此题考查了学生对直角三角形的判定的掌握情况及利用勾股定理解实际问题的能力，关键是利用等边三角形的判定和性质求得BD的长解答． 21．如图，在△ABC中，，，． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）若AD平分∠BAC，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）只需要利用勾股定理的逆定理验证即可； （2）过D作于E，由角平分线的性质可得，即可利用勾股定理推出，则，设，则，，在Rt△DEC中，，则，由此求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∴△ABC是直角三角形； （2）过D作于E． ∵AD平分∠BAC，， ∴， 在Rt△ABD中，， 同理， ∴， ∴， 设，则，， 在Rt△DEC中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，角平分线的性质，解题的关键在于能够根据题意判断出∠B=90°． 22．如图，在中，D是的中点，，垂足为D，交于点E，且．    (1)求证：是直角三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证，然后由可得，然后根据勾股定理逆定理即可证明结论； （2）先用勾股定理求得，由（1）可得，再由勾股定理可得，最后联立求得即可． 【详解】（1）证明：∵D是的中点，， ∴ ∵， ∴，即， ∴是直角三角形． （2）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由（1）可知为直角三角形，， ∴. ∵D是的中点， ∴， 在中，，由勾股定理得， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理和逆定理，是解答本题的关键． 23．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度为3米，为1米． (1)求滑道的长度； (2)若把滑梯改成滑梯，使，则求出的长．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】(1)滑梯长度为5米 (2)的长度为2.3米 【分析】（1）设为x米，则为米，，根据勾股定理求解即可； （2）设，则，利用勾股定理求得的长度，即可求解． 【详解】（1）解：设为x米，则为米， 可得方程，解得． 答：滑梯长度为5米． （2）解：在中，，∵ ∴， ∴， 设，则 可得方程，所以 ∴ 答：的长度为米． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，涉及了含直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，正确利用勾股定理列出方程． 24．如图，在，，，是上一动点，以为底，在的右侧作等腰直角，的延长线交于点． (1)如图1；当时， ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，若，，求线段的长； 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质可得结论； ②证明，根据，即可求解； （2）过点作，且，连接，证明，得出，设勾股定理求得，则，得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， ， ， ． ②解：∵，，， ∴， ∵以为底，在的右侧作等腰直角， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴ （2）解：如图，过点作，且，连接， ∵，， ∴， 在中 ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 第十七章 勾股定理 章末检测 一、单选题 1．以下列长度的线段为边不能组成直角三角形的是（    ） A．8，15，17 B．4，5， C．，1， D．40，50，60 2．下列命题中，原命题与其逆命题均为真命题的有（    ）个 ①全等三角形对应边相等；     ②全等三角形对应角相等； ③等腰三角形两条腰上的高相等；     ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直． A．2 B．3 C．4 D．5 3．在直角三角形中，若两条边的长分别是cm，cm则第三边的长为（    ） A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm 4．已知等腰三角形的腰长为17cm，底边上的中线长为15cm，则它的周长为（    ） A．42cm B．50cm C．49cm D．47cm 5．如图所示边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到的距离等于（   ） A． B．2 C． D． 6．如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（　　　）尺． A．26 B．24 C．13 D．12 7．在矩形中，过的中点作，交于E，交于F，连接、．若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 8．如图，长方体的长为4cm，宽为4cm，高为3cm，cm，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点C，则需要爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D．6cm 9．如图，在四边形中，，分别以它的四条边为斜边，向外作等腰直角三角形．若、和的面积分别为4、9、5，则的面积为（ ）．   A. 8  B.10 C. 12 D. 16 10．若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在△ABC中，BC＝2，∠C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB的长为（    ） A． B． C． D． 12．如图，长方形中，，点在上，且，连结将长方形沿翻折，点恰好落在上的点处，则的长度为( )cm A.8  B.10 C. 12 D. 16 二、填空题 13．命题：“如果，那么”的逆命题是 ，如果，那么，该命题是 命题（填真或假）． 14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 15．设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24，斜边长为10，则的值为 ． 16．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为12、16、9、12．则最大的正方形E的面积是    三、解答题 17．如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且． (1)求证：； (2)求修建的公路的长． 18．小明在荡秋千时，发现秋千在静止时，秋千离地面的距离，荡起的水平距离为时，离地面的距离，求秋千的绳索AF的长． 19．如图，在五边形中，，，，，，，，求五边形的面积． 20．某小区有一块如图所示的四边形空地，为了庆祝建党百年，小区物业决定在这块空地上种植花草，测得，，，．种植花草的费用为80元/，则该空地种植花草共需多少元？（参考数据：） 21．如图，在△ABC中，，，． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）若AD平分∠BAC，求AD的长． 22．如图，在中，D是的中点，，垂足为D，交于点E，且．    (1)求证：是直角三角形； (2)若，，求的长． 23．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度为3米，为1米． (1)求滑道的长度； (2)若把滑梯改成滑梯，使，则求出的长．（精确到0.1米，参考数据：） 24．如图，在，，，是上一动点，以为底，在的右侧作等腰直角，的延长线交于点． (1)如图1；当时， ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，若，，求线段的长； 学科网（北京）股份有限公司 $$八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 第十七章勾股定理章末检测 一、单选题 2 3 6 8 9 10 11 12 D B D B 二、填空题 13,如果a2=b2,那么a=b；假 14.73 15.48. 16.49 三、解答题 17.(1)解：证明：AC=15km,BC=20km,AB=25km,152+202=252, AC2+BC2=AB2, ∠ACB=90°，…3分 (2)CD⊥AB, 54Bc0 AC.BC, .CD=4C.BC=15x20=-12(km). 6分 AB 25 答：修建的公路CD的长是12km, 18。解：秋千的绳索AF=x, 由题意得：AB=AF=x,AC=AF-(8-3)=(x-5dm, BC=13dm,3分 在R1aABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2, 即(x-5)+132=x2, 解得x=19.4, 秋千的绳索AF的长为19.4dm。…6分 19. 连接AC、AD, AB⊥BC,AE⊥DE, LB=90°，∠E=90°， :AB2+BC:=AC AE2+DE2=AD:, AB=1,BC=2,DE=3,AE=4, 2+22=AC2,43+32=AD2, AC=5,AD=5, ……4分 CD=25, ..AC2+CD2=AD2, ∠ACD=90°， 五边形cDE的面积=Sc+5e+5mAB-BC+号E-DE+宁4C-CD 2 1x2+ 1 1 4x3+2x5x25=+6+5=12。… 20.连接BD,如图， D A E B AB=AD=10m,∠A=60°， ·△ABD是等边三角形， BD=AB=10m,…1分 在△BDC中，BD2+BC2=102+242=676. DC2=262=676, BD2+BC2 DC2. △BDC为直角三角形，∠DBC=90°…3分 过D作DE⊥AB于E, ,△ABD是等边三角形， 8贴=4B=5到m.5分 在Rt△DEB中，BD2=BE2+DE2, DE=√BD2-BE=02-了=55(m.…7分 G6…（u)0Z1+gs7=忆x01X+gSx01X号=0S+0y=oy (25V3+120)×80≈(25×1.732+120)×80=13064（元） 答：该空地种植花草约共需13064元，*…10分 21.解：(1)证明：：AB2+BC2=62+82=102=AC2, ∠B=90, △ABC是直角三角形：…3分 (2)过D作DE⊥AC于E. AD平分∠BAC,∠B=90°， BD=DE,5分 在Rt△ABD中，AB=√AD-BD2, 同理AE=√AD-DE, .AE AB=6. EC=AC-AE=4,…6分 设BD=x,则DE=BD=x,CD=8-x, 在Rt△DEC中，CD2=CE2+DE2, x2+42=(8-x2, 解得x=3,…8分 AD=√AB2+BD3=3V5.… …10分 E B D 22.(1)证明：：D是BC的中点，DE⊥BC, CE=BE…2分 BE2-AE2=AC2, :CE2-AE2=AC2,AE2+AC2=CE, △ACE是直角三角形.…4分 (2)解：DE⊥BC, ∠BDE=90°， 在Rt△BDE中，DE=3,BD=4, BE2=DE2+BD2=25, CE=BE=5,…6分 由(1)可知△ACE为直角三角形，∠A=90°， ,AC2=CE2-AE2=25-AE2.…7分 :D是BC的中点， BC=2BD=8,…8分 在Rt△ABC中，AB=5+AE,由勾股定理得BC2-BA2=AC2, 64-(5+AE)2=25-AE2, 解得：AE=7 5 …10分 23.(1)解：设BD为x米，则DA为x-1米， 可得方程32+(x-1)2=x2,解得x=5. 答：滑梯BD长度为5米。……4分 (2)解：在R1△BAF中，∠BAF=90°，∠BFA=60 ∠ABF=30°， BF=2AF,…6分 设AF=x,则BF=2x 可得方程x2+32=(2x)2,所以4F=5.1.732…8分 .DF=DA-AF=4-1.732≈2.3 答：DF的长度为23米.…10分 24.(1)①证明：：AB=AC, ∠B=LACF, AD=AF. ∠ADF=∠AFD, ·∠ADB=∠AFC, △ABD≌aACF(AAS, BD=CF,…4分 ②解：AB=6,AB=AC,∠BAC=90°， BC=√2AB=6√2， :以AD为底，在AD的右侧作等腰直角ADE, .∠ADE=∠DAF=45°， △ABD≌△ACF(AAS ∠BAD=∠CAF=90°-∠DAF)=22.5° ∠BAF=∠BAD+∠DAF=67.5 .∠AFB=180°-45°-67.5°-67.5 :BF AB=6, 又：BD=CF .CD BF=6 DF=2BF-BC=12-6√互8分 (2)解：如图，过点C作CG⊥BC,且CG=BD=8,连接GF,GA, B D 图2 :AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°，CG⊥BC, .LACG=∠ABD=45, 在△ABD,△ACG中 AB=AC ∠ABD=∠ACG BD=CG △ABD≌ACG(SAS),…9分 AG=AD,∠GAC=∠BAD .∠GAD=∠CAB=90 :∠DAF=450 .∠DAF=∠GAF 又：AF=AF .aADF≌AGFSAS DF=FG…10分 在RtaFCG中， FG=VCG+FC2=V82+15=17 .DF=17 .BC=BD+DF+CF=8+15+17=40 8.5BC.5×40=205…12分 2 2