2025年高中数学解题技巧之对称性转化讲义

大招10 对称性转化 对称性转化主要包括轴对称转化和中心对称转化，熟记一些结论，在处理一些函数问题时也起到事半功倍的效果 1． 轴对称性转化： 已知函数的定义域为，由轴对称的性质可知，到对称轴距离相等的两个自变量所对应的函数值相等，所以函数的图象关于直线对称． 推论一：函数的图象关于直线对称． 推论二：函数的图象关于直线对称． 证明 因为，所以（用替换），所以函数的图象关于直线对称，反之亦然，所以推论一正确．因为，所以（用替换），即，所以函数的图象关于直线对称，反之亦然，所以推论二正确． 注： （1） 函数的图象关于直线对称在需要用等式表达时，我们通常转化为（或）． （2） 在看到等式（改等式的特征：两个表达式写在等号两边时，前面的符号相同，且括号内的代数式之和为常数，这个常数的值恰为对称轴横坐标的两倍）时，我们也要转化为函数的图象关于直线对称． 2． 中心对称性转化： ②由中心对称的性质可知，到对称中心距离相等的两个自变量所对应的函数值之和为对称中心纵坐标的2倍，所以函数的图象关于点中心对称． 推论一：函数的图象关于点中心对称． 推论二：函数的图象关于点中心对称． 证明 因为，所以 （用替换）， 所以函数的图象关于点中心对称，反之亦然，所以推论一正确． 因为，所以（用替换），即， 所以函数的图象关于点中心对称，反之亦然，所以推论二正确． 注： （1） 函数的图象关于点中心对称在需要用等式表达时，我们通常转化为（或）． （2） 在看到等式（该等式的特征：两个表达式写在等号同一边时前面的符号相同，且括号内的代数式之和为常数，这个常数的值恰为对称中心横坐标的两倍）时，我们也要转化为函数的图象关于点中心对称． （3） 特别地，函数的图象关于点中心对称，函数的图象关于点中心对称，这两种情况经常考查． （4） 三次函数图象的对称性 对于一个三次函数来说，点是函数图象的对称中心，其中满足方程（为函数的二阶导数）． 证明 因为，所以， 所以．因为，所以， 所以，所以， 所以点是函数图象的对称中心． 【典例1】若函数的图象关于直线对称，则的最大值为______． 【大招指引】根据对称性的定义进行转化，有，进而根据转化式求出，再利用基本不等式进行求解. 【解析】由函数的图象关于直线对称， 得到，因为， 所以（挖掘隐藏条件），又，所以， 所以，. 于是，而， 当且仅当时取等号，因此， 当且仅当时取等号. 综上所述，的最大值为. 【题后反思】本题是填空题，取去求的值也可以. 【温馨提醒】函数的图象关于直线对称在需要用等式表达时，我们通常转化为或，这两式要注意转化． 【举一反三】 1． 已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以. 故选：D 【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题. 【典例2】已知函数，且，求的值． 【大招指引】根据三次函数图象的对称性得图象关于点对称，从而得到，根据得，进而求得的值. 【解析】因为，所以，，令（三次函数图象对称性），得，所以函数图象关于点对称，所以.因为，所以.由解得 【题后反思】本题也可以利用整体代换和赋值法进行求解：因为，，所以，所以. 【温馨提醒】三次函数图象的对称性和三次函数的二阶导数有关，要注意求导结果的正确性. 【举一反三】 2． 已知函数，函数满足，若函数恰有个零点，则所有这些零点之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由满足的等式确定的图象关于点对称，且（1），由函数图象变换以及奇函数图象的特点，得到函数的图象关于点对称，由零点的定义可知，两个函数图象的交点也关于点对称，由此计算可得答案． 【详解】解：函数满足， 则函数的图象关于点对称，且（1）， 函数， 则， 所以函数为奇函数，其图象关于点对称， 又函数是由函数向右平移一个单位得到的函数， 故函数的图象关于点对称， 令， 则， 因为函数与的图象都关于点对称， 所以两个函数图象的交点也关于点对称， 因为函数恰有2021个零点， 所以2021个零点除之外的2020个零点关于对称， 则所有这些零点之和为． 故选：D． 3． 函数满足：对，都有，则a+b为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意易得方程组，解出方程组即可得结果. 【详解】因为函数满足：对，都有， 所以，即，解得， 经检验满足题意，所以， 故选：C. 4． 设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（    ） A．2022 B．4043 C．4044 D．8086 【答案】C 【分析】令函数，得出函数为奇函数，其图象关于原点对称，进而求得函数的图象关于点中心对称，得到当时，再结合倒序相加法，即可求解. 【详解】令函数，则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 可得的图象关于点中心对称， 即当，可得， 设 ， 所以 所以. 故选：C. 5． 已知函数是奇函数，若函数与图象的交点分别为，，…，，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题得和的图象都关于点对称，所以它们的交点也关于点对称，利用对称性计算即得解. 【详解】由题可得关于点对称，的图象也关于点对称， 即若点为交点，则点也为交点，同理若为交点，则点也为交点，…… 则交点的所有横坐标和纵坐标之和为， 故选：D. 6． 已知函数，函数为奇函数，若函数与图象共有个交点为、、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析出函数、的图象都关于点对称，利用对称性可求得的值. 【详解】因为， 函数的定义域为， ，所以，， 故函数的图象关于点对称， 因为函数为奇函数，则，即， 故函数的图象也关于点对称， 函数与图象共有个交点为、、、，且这六个点也关于点对称， 所以，. 故选：B. 7． 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（    ） A． 的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 B． 的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】AD 【分析】根据抽象函数的奇偶性与对称性即可判断得答案. 【详解】因为为奇函数，所以，所以函数关于点对称， 又为偶函数，所以，所以函数关于直线对称. 故选：AD. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招10 对称性转化 对称性转化主要包括轴对称转化和中心对称转化，熟记一些结论，在处理一些函数问题时也起到事半功倍的效果 1． 轴对称性转化： 已知函数的定义域为，由轴对称的性质可知，到对称轴距离相等的两个自变量所对应的函数值相等，所以函数的图象关于直线对称． 推论一：函数的图象关于直线对称． 推论二：函数的图象关于直线对称． 证明 因为，所以（用替换），所以函数的图象关于直线对称，反之亦然，所以推论一正确．因为，所以（用替换），即，所以函数的图象关于直线对称，反之亦然，所以推论二正确． 注： （1） 函数的图象关于直线对称在需要用等式表达时，我们通常转化为（或）． （2） 在看到等式（改等式的特征：两个表达式写在等号两边时，前面的符号相同，且括号内的代数式之和为常数，这个常数的值恰为对称轴横坐标的两倍）时，我们也要转化为函数的图象关于直线对称． 2． 中心对称性转化： ②由中心对称的性质可知，到对称中心距离相等的两个自变量所对应的函数值之和为对称中心纵坐标的2倍，所以函数的图象关于点中心对称． 推论一：函数的图象关于点中心对称． 推论二：函数的图象关于点中心对称． 证明 因为，所以 （用替换）， 所以函数的图象关于点中心对称，反之亦然，所以推论一正确． 因为，所以（用替换），即， 所以函数的图象关于点中心对称，反之亦然，所以推论二正确． 注： （1） 函数的图象关于点中心对称在需要用等式表达时，我们通常转化为（或）． （2） 在看到等式（该等式的特征：两个表达式写在等号同一边时前面的符号相同，且括号内的代数式之和为常数，这个常数的值恰为对称中心横坐标的两倍）时，我们也要转化为函数的图象关于点中心对称． （3） 特别地，函数的图象关于点中心对称，函数的图象关于点中心对称，这两种情况经常考查． （4） 三次函数图象的对称性 对于一个三次函数来说，点是函数图象的对称中心，其中满足方程（为函数的二阶导数）． 证明 因为，所以， 所以．因为，所以， 所以，所以， 所以点是函数图象的对称中心． 【典例1】若函数的图象关于直线对称，则的最大值为______． 【大招指引】根据对称性的定义进行转化，有，进而根据转化式求出，再利用基本不等式进行求解. 【解析】由函数的图象关于直线对称， 得到，因为， 所以（挖掘隐藏条件），又，所以， 所以，. 于是，而， 当且仅当时取等号，因此， 当且仅当时取等号. 综上所述，的最大值为. 【题后反思】本题是填空题，取去求的值也可以. 【温馨提醒】函数的图象关于直线对称在需要用等式表达时，我们通常转化为或，这两式要注意转化． 【举一反三】 1． 已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数，且，求的值． 【大招指引】根据三次函数图象的对称性得图象关于点对称，从而得到，根据得，进而求得的值. 【解析】因为，所以，，令（三次函数图象对称性），得，所以函数图象关于点对称，所以.因为，所以.由解得 【题后反思】本题也可以利用整体代换和赋值法进行求解：因为，，所以，所以. 【温馨提醒】三次函数图象的对称性和三次函数的二阶导数有关，要注意求导结果的正确性. 【举一反三】 2． 已知函数，函数满足，若函数恰有个零点，则所有这些零点之和为（ ） A． B． C． D． 3． 函数满足：对，都有，则a+b为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4． 设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（    ） A．2022 B．4043 C．4044 D．8086 5． 已知函数是奇函数，若函数与图象的交点分别为，，…，，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ） A． B． C． D． 6． 已知函数，函数为奇函数，若函数与图象共有个交点为、、、，则（    ） A． B． C． D． 7． 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（    ） A． 的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 B． 的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$