2025年高中数学解题技巧之平口单峰函数的处理策略讲义

大招8  平口单峰函数的处理策略 平口函数就是在区间的左右端点同时取最大值（最小值）的一类函数总称． 1. 所有的平口函数一定满足一个共性： 出现求时，一定为平口函数；若有一个极值点，也叫平口单峰函数，若，此为平口单峰函数的万能招数． 2. 关于平口单峰函数的处理策略： （1） 构造平口单峰函数： 若题目给的基本函数为非平口单峰，则我们需要构造平口单峰，构造平口单峰函数的后边应为一次函数． （2） 三点（多点）控制法： 在这类求最大值的最小值问题中，多点控制也是一个非常好用的处理手段，这里给到大家一些总结，怎么取点控制： 1 对于二次函数一般用三点控制，这三点分别是区间的两个端点和区间中点； 2 对于平口打勾函数一般用三点控制，这三点分别是区间的两个端点和极值点，对于一般的打勾函数，这三点分别是区间的两个端点和打勾函数两区间端点连线平行且与打勾函数相切的直线与打勾函数的切点， 3 对于一般的三次函数，一般需要四点控制，这四点分别是区间的两个端点和分别靠近两端点的两个四等分点． 注意：对于缺少常数项的二次函数和缺项的三次函数，选取点的原则可能会发生改变，视情况而定． 【典例1】已知函数，若对任意的实数，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【大招指引】构造平口单峰函数，再利用平口单峰函数的性质进行求解. 【解析】构造平口单峰函数，不难发现在为“平口对勾”，且极值点， 根据秘籍得的最大值为，故选B． 【题后反思】本题也可以利用换元法和平口函数的性质进行求解： 由， 即求在最小值的最大值，由秘籍得，得． 【温馨提醒】若题目给的基本函数为非平口单峰，则我们需要构造平口单峰，构造平口单峰函数的后边应为一次函数． 【举一反三】 1． 设函数，若对任意的正实数，总存在，使得，求实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】构造平口单峰函数，然后根据求最值即可. 【详解】构造平口单峰， 不难发现在为平口对勾，且当时，取最小值， 根据秘籍得的最小值为． 故答案为：. 【典例2】已知函数，若的最大值是，则的最小值是____________． 【大招指引】先取端点值和中间点值进行控制，再利用绝对值不等式进行求解. 【解析】取三点控制得①， ①． 【题后反思】本题也可以常用平口解法：，不难发现在为平口二次，极值点为根据秘籍得的最小值为. 【温馨提醒】在这类求最大值的最小值问题中，多点控制也是一个非常好用的处理手段，对于二次函数一般用三点控制，这三点分别是区间的两个端点和区间中点. 【举一反三】 2． 已知函数，若对任意的，使得，求实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用换元法结合三点控制法求解即可. 【详解】令，则， 取三点控制得，进而， 化简得，可得， 即，解得． 故答案为： 3． 已知函数定义域为，记的最大值为，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知|f（x）|的最大值为M，得到|f（-1）|，|f（2）|，|f（1）|都不大于M，利用三角不等式得到所求． 【详解】解：因为函数定义域为，记的最大值为， 所以|f（）|，|f（2）|，|f（1）|都不大于M， 即, , , 所以 . 所以， 即M的最小值为：2； 故选C． 【点睛】本题考查了三次函数的性质以及绝对值三角不等式的运用求最值，属于中档题． 4． 记在区间（为正数）上的最大值为，若，则实数的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为，当时，求出，当或时得到，代入即可求出实数的范围. 【详解】由题意如图：在区间（为正数）上的最大值为，转化为， 当时，则有：， 那么①； 当或时，或， 所以只需要，即， 得②， 把①式带入②，得：， 故选：D．    5． 已知，，函数，，设的最大值为，且对任意的实数，恒有成立，则实数的最大值为 A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】当时，．设，，根据导数可得，于是 ，又根据绝对值的三角不等式可得 ．于是可得，故得实数的最大值为． 【详解】由题可知对任意的实数，恒有成立，只需． 因为时，由， 得， 设，，则有， 令，得， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 故，， 又，， 所以， 从而 ①， 又 ．②． 当时，①②同时取等号， 故恒成立， 所以实数的最大值为． 故选D． 【点睛】本题难度较大，解题的关键是通过适当的变形得到的最大值为，同时还应注意不等式放缩的技巧，考查变形应用和计算能力． 6． 已知函数，当时，记的最大值为，有，则实数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】解法一：求导，利用导数可知在区间为减区间，进而可得的最值，结合绝对值的性质可得，分析求解即可；解法二：分析可知对称中心在，根据平口理论可得，，进而可求，结合恒成立问题分析求解即可. 【详解】解法一：函数的导数为， 由，可得，， 可知，则在区间为减区间， 可得的最大值为，最小值为， 对任意的恒成立，可得， 可得， 由，可得，即， 则的最大值为2； 解法二：因为， 可知三次函数对称中心在， 根据平口函数理论，即①， 且，且②， 由①②解得，与题意不符合； 故只能选择，此时， 则，可知， 则在区间为减区间， 可得的最小值为，最大值为， 可知的最大值2，可得，则的最大值为2. 故选：B． 7． 已知函数在区间内的最大值为（，，为常数）且存在实数，，使得取最小值，则 【答案】 【分析】将转换成，运用绝对值三角不等式求出M的范围，再求出其最小值. 【详解】设，则 ，则， 从而，此时. 所以. 故答案为：2． 【点睛】利用换元法将区间转换成，为运用绝对值三角不等式创造条件，求出M的范围之后问题就变得简单. 8． 若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】去绝对值可得，利用参变量分离法得出，设，求得函数在区间上的最大值和最小值，由此可求得实数的取值范围. 【详解】原不等式等价于：， 故问题等价于，， 令，设，， 由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，， 又，则，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用函数不等式在区间上有解求参数，考查参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题. 9． 设函数x∈R，其中a,b∈R. （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）= f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3； （Ⅲ）设a＞0,函数g（x）= |f（x）|,求证：g（x）在区间[0,2]上的最大值不小于. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析. 【详解】 试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数，再根据导函数零点是否存在，分类讨论；（Ⅱ）由题意得，计算可得.再由及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，可分三种情况研究：①；②；③. 试题解析：（Ⅰ）解：由，可得. 下面分两种情况讨论： （1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为. （2）当时，令，解得，或. 当变化时，，的变化情况如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，. （Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且， 由题意，得，即， 进而. 又，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以. （Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论： （1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此 ， 所以. （2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，， 所以在区间上的取值范围为，因此 . （3）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，， 所以在区间上的取值范围为，因此 . 综上所述，当时，在区间上的最大值不小于. 【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【名师点睛】1．求可导函数单调区间的一般步骤： （1） 确定函数f（x）的定义域（定义域优先）； （2） 求导函数f ′（x）； （3） 在函数f（x）的定义域内求不等式f ′（x）＞0或f ′（x）＜0的解集； （4） 由f ′（x）＞0（f ′（x）＜0）的解集确定函数f（x）的单调增（减）区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间． 3. 由函数f（x）在（a，b）上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到． 10．已知函数，记是在区间上的最大值． (1)当且时，求的值； (2)若，证明． 【答案】(1)或； (2)证明见解析. 【分析】（1）由在上的最大值在的端点处或对称轴处取得，分类讨论求出的值并检验即可； （2），由，求出的取值范围即可证明结论. 【详解】（1）时，，易知，在上的最大值在的端点处或对称轴处取得． 而，所以或 若，解得或，此时，或， 当，在上单调递增，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为； 若，解得， 当时，，在上单调递增，最大值为； 当时，，在上单调递增，最大值为， 综上，或． （2）由，得，即， 所以，且，所以， 而，所以，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招8  平口单峰函数的处理策略 平口函数就是在区间的左右端点同时取最大值（最小值）的一类函数总称． 1. 所有的平口函数一定满足一个共性： 出现求时，一定为平口函数；若有一个极值点，也叫平口单峰函数，若，此为平口单峰函数的万能招数． 2. 关于平口单峰函数的处理策略： （1） 构造平口单峰函数： 若题目给的基本函数为非平口单峰，则我们需要构造平口单峰，构造平口单峰函数的后边应为一次函数． （2） 三点（多点）控制法： 在这类求最大值的最小值问题中，多点控制也是一个非常好用的处理手段，这里给到大家一些总结，怎么取点控制： 1 对于二次函数一般用三点控制，这三点分别是区间的两个端点和区间中点； 2 对于平口打勾函数一般用三点控制，这三点分别是区间的两个端点和极值点，对于一般的打勾函数，这三点分别是区间的两个端点和打勾函数两区间端点连线平行且与打勾函数相切的直线与打勾函数的切点， 3 对于一般的三次函数，一般需要四点控制，这四点分别是区间的两个端点和分别靠近两端点的两个四等分点． 注意：对于缺少常数项的二次函数和缺项的三次函数，选取点的原则可能会发生改变，视情况而定． 【典例1】已知函数，若对任意的实数，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【大招指引】构造平口单峰函数，再利用平口单峰函数的性质进行求解. 【解析】构造平口单峰函数，不难发现在为“平口对勾”，且极值点， 根据秘籍得的最大值为，故选B． 【题后反思】本题也可以利用换元法和平口函数的性质进行求解： 由， 即求在最小值的最大值，由秘籍得，得． 【温馨提醒】若题目给的基本函数为非平口单峰，则我们需要构造平口单峰，构造平口单峰函数的后边应为一次函数． 【举一反三】 1． 设函数，若对任意的正实数，总存在，使得，求实数的最小值为 ． 【典例2】已知函数，若的最大值是，则的最小值是____________． 【大招指引】先取端点值和中间点值进行控制，再利用绝对值不等式进行求解. 【解析】取三点控制得①， ①． 【题后反思】本题也可以常用平口解法：，不难发现在为平口二次，极值点为根据秘籍得的最小值为. 【温馨提醒】在这类求最大值的最小值问题中，多点控制也是一个非常好用的处理手段，对于二次函数一般用三点控制，这三点分别是区间的两个端点和区间中点. 【举一反三】 2． 已知函数，若对任意的，使得，求实数的取值范围是 ． 3． 已知函数定义域为，记的最大值为，则的最小值为 A． B． C． D． 4． 记在区间（为正数）上的最大值为，若，则实数的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D． 5． 已知，，函数，，设的最大值为，且对任意的实数，恒有成立，则实数的最大值为 A．4 B．2 C． D． 6． 已知函数，当时，记的最大值为，有，则实数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7． 已知函数在区间内的最大值为（，，为常数）且存在实数，，使得取最小值，则 8． 若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是 . 9． 设函数x∈R，其中a,b∈R. （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）= f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3； （Ⅲ）设a＞0,函数g（x）= |f（x）|,求证：g（x）在区间[0,2]上的最大值不小于. 10． 已知函数，记是在区间上的最大值． (1) 当且时，求的值； (2) 若，证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$