2025年高中数学解题技巧之函数图像变换讲义

大招9  函数图象变换 我们常常需要处理涉及两个函数图象之间平移或翻折关系的问题，此时需要用到函数图象变换． 函数图象变换的基本逻辑：利用点动成线的思想处理函数的变换问题，即根据函数图象上一点的变换，推出函数图象整体的变换．平移变换按左加右减，上加下减的原则处理，伸缩变换只针对自变量做伸缩变换，这两种变换大家已经非常熟悉了，下面我们重点学习对称变换与翻折变换． 1． 对称变换 1 关于直线对称：在图象上的点与在图象上的点关于直线对称，所以图象是由图象关于直线对称而来的． 2 关于点对称：在图象上的点与在图象上的点关于点对称，所以图象是由图象关于点对称而来的． 3 关于直线对称：在图象上的点与在图象上的点关于直线对称，所以（的反函数）图象是由图象关于直线对称而来的． 2． 翻折变换 1 下翻上：只需把图象中部分的图形沿轴翻折上来，并抹去原部分的图形，保留原部分的图形，如下图所示． 2 右翻左：只需把图象中部分的图形沿轴翻折过去，并保留原部分的图形，如下图所示． 【典例1】已知函数的图象向左平移1个单位长度，所得的图象与函数的图象关于轴对称，求． 【大招指引】首先设为函数图象上一点，然后使点变换得到点，接着根据点在图象上，求出函数的解析式，进而求得． 【解析】设为函数图象上一点，依题意将向左平移1个单位长度得，再关于轴对称得，因为点在函数的图象上，所以，所以函数，所以． 【题后反思】本题易错点在于学生往往利用“左加右减”原则得到错误结论：设为函数图象上一点，依题意将向左平移1个单位长度得. 【温馨提醒】在处理对称变换时，往往用到如下结论： 1 与的图象关于轴对称 2 与的图象关于轴对称 3 与的图象关于原点对称 4 奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形. 5 与关于直线对称. 【举一反三】 1． 设、分别是方程与的根，则 . 【答案】 【分析】根据题意数形结合，分别作出函数，，的图象，利用反函数的对称性求解即可. 【详解】如图，分别作出函数，，的图象， 且函数与、分别相交于点，. 由题意，．而与互为反函数， 直线与直线互相垂直，所以点与关于直线对称. 所以.所以. 故答案为：. 【典例2】已知函数.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为____________. 【大招指引】先利用二次函数的图象和翻折变换得到的图象，再利用绝对值的代数意义将去掉绝对值符号，进而利用直线和抛物线相切、数形结合思想进行求解. 【解析】显然. (i)当与相切时，， 此时恰有3个互异的实数根. (ii)当直线与函数相切时，，此时恰有2个互异的实数根.结合图象可知或. 【题后反思】本题也可以采用分离参数法进行求解： 显然，所以.令，则. 因为， 所以.结合图象可得或. . 【温馨提醒】若函数图象可以某个基本初等函数的图象经过平移，翻折，对称得到，可利用图象变换做出，但要注意变换的顺序. 【举一反三】 2． 已知函数，若，且，则（    ） A． B． B． D． 【答案】BC 【分析】根据函数的性质及图象画出当时函数的图象；根据函数图象的变化画出函数的图象.结合图象的对称性知；结合对数函数值的计算可知，从而得出正确答案. 【详解】当时，. 设函数，则有，所以是偶函数； 因为时，， 所以在上单调递增，的最小值为， 又是偶函数，所以在上单调递减， 把的图象向右平移一个单位长度， 得到函数的图象， 故函数的图象关于直线对称， 故可得到函数在上的图象. 又，故函数的图象与轴的交点为. 再又从的图象可以得到的图象， 则函数的图象如下：    作平行于轴的直线， 当时，直线与函数的图象有四个交点. 由对称性可知，故A错误； 由，得， 又根据题意知，所以， 即，即，所以，故B正确； 令，则，， 得，， 因此，故C正确； 又，，，得， 且函数，，时，所以在上单调递增， 所以，故D错误.    故选：BC. 【点睛】作函数图象的两种常用方法： (1) 直接法：当函数的表达式或者变形后的表达式是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出； (2) 图象变换法：若函数图象可以某个基本初等函数的图象经过平移，翻折，对称得到，可利用图象变换做出，但要注意变换的顺序. 3． 函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与关于y轴对称，则（    ） A． B． B． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出关于轴对称的函数解析式，再向左平移1个单位即可得解． 【详解】因为关于轴对称的解析式为， 把的图象向左平移1个单位长度得出， ， 故选：D． 4． 若函数的最小值为，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数解析式，发现函数与函数的变换关系，由此即可推断函数的最大值. 【详解】，， 令有：， 则，即， 由此知的函数图象为：的图象通过横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得到， 再关于轴对称，得到，最后再向下平移一个单位，得到； 根据已知条件函数的最小值为， 由此可知函数的最大值为. 故选：A 5． 若满足，满足，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】将所给式化简可得，，进而和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.再根据反函数的性质求解即可 【详解】由题意，故有 故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标. 根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 故曲线和曲线的图象交点关于直线对称. 即点（x1，5﹣x1）和点（x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y=x上， 即，求得x1+x2=5， 故选：D. 6． 已知是方程的根，是方程的根，则的值为（ ） A．2 B．3 C．6 D．10 【答案】B 【分析】把可变形为，变形为，借助反函数图像的特点求解. 【详解】方程可变形为，方程可变形为， ∵是方程的根，是方程的根， ∴是函数与函数交点的横坐标，是函数与函数交点的横坐标， ∵函数与函数互为反函数， ∴函数与函数交点的横坐标是函数与函数交点的纵坐标， 又∵函数图像上点的横纵坐标之积为3， ∴. 【点睛】本题考查反函数的图像与性质. 互为反函数的两个函数的图像关于对称. 7． 已知实数，，，满足，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】由题目可得，转化成两个点之间的距离最小即可． 【详解】 ， 可以看成和上两点之间距离最小值的平方， 当时，即点到直线的距离最小 的最小值为2. 【点睛】本题主要考查了函数之间距离最小、导数、两点的距离公式，考查了转化与划归的能力，属于中档题． 8． 方程的根为，方程的根为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元，设，两个方程变为和，两个方程的解就是函数，与直线交点的横坐标，利用函数与是反函数，它们图象关于直线对称可求解。 【详解】令，方程化为，即，它的根为函数与直线交点的恒坐标，方程化为，即，它的根是函数与直线交点的恒坐标，作函数和的图象，作直线，易知和是反函数，它们的图象关于直线对称，而直线与垂直，∴关于直线对称，由，得，即而直线与的交点为，∴．． 故选：C． 【点睛】本题考查方程根的分布问题，解题方法是把方程的解转化为直线与函数图象交点的横坐标，再由对称性求得结论，解题关键是转化。 9． （多选）某学习小组在研究函数f（x）＝的性质时，得出了如下结论，其中正确的结论是 （　　） A． 函数f（x）的图象关于点（2，0）中心对称 B． 函数f（x）在（－2，0）上单调递增 C． 函数f（x）在[0，2）上的最大值为－ D． 方程f（x）－x＝0有2个不同实根 【答案】BCD 【详解】 解析：由y＝→y＝→y＝的路线，结合图象变换规则，可得y＝f（x）大致图象如图. 由函数f（x）是偶函数及图象知，函数f（x）的图象不关于点（2，0）中心对称，故A错误；由图象知，函数f（x）在（－2，0）上单调递增，故B正确；由图知，函数f（x）在[0，2）上单调递减，因此x∈[0，2）时，f（x）max＝f（0）＝－，故C正确；当x<0时，f（x）＝，令＝x，得x2＋2x＋1＝0，得x＝－1. 且由图象知，当x>0时，y＝x与y＝f（x）有一个交点，故D正确．故选BCD. 【考查意图】分段函数的图象及单调性、最值应用 10． 设函数，则下列说法正确的是（    ） A． 函数的图象与函数的图象关于x轴对称 B． 函数的图象关于y轴对称 C． 函数的图象在上单调递增 D． 【答案】BCD 【分析】由函数图像变换得出新函数图像即可判断ABC，由对数运算与对数函数单调性判断D. 【详解】函数的图象如下： 对于A，由函数图象变换可知，图像如下： 函数图象与原函数图象关于轴对称，故A错误； 对于B，由函数图象变换可知，的图象如下： 函数图象关于轴对称，故B正确； 对于C，由函数图象变换可知，的图象如下： 函数图象在上单调递增，故C正确； 对于D，即，， 在定义域上单调递增， ，则，故D正确； 故选：BCD. 11． 在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个交点，则的值为 ． 【答案】## 【分析】利用图象的平移变换画出的图象，由于直线与其只有一个交点，便可求出a的值. 【详解】在同一平面直角坐标系内，作出函数与的大致图象，如图所示．    由题意，可知，则． 故答案为： 12． 已知直线与曲线有四个交点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】直线与曲线有四个交点等价于方程有四个解，即直线与函数的图象有四个交点，借助图形求解即得. 【详解】直线与曲线有四个交点等价于方程，即有四个解， 等价于直线与函数的图象有四个交点，在同一坐标系中，画出它们的图象，如图，    观察图象可知，当且仅当时，直线与函数图象有四个交点， 所以a的取值范围是：. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招9  函数图象变换 我们常常需要处理涉及两个函数图象之间平移或翻折关系的问题，此时需要用到函数图象变换． 函数图象变换的基本逻辑：利用点动成线的思想处理函数的变换问题，即根据函数图象上一点的变换，推出函数图象整体的变换．平移变换按左加右减，上加下减的原则处理，伸缩变换只针对自变量做伸缩变换，这两种变换大家已经非常熟悉了，下面我们重点学习对称变换与翻折变换． 1． 对称变换 1 关于直线对称：在图象上的点与在图象上的点关于直线对称，所以图象是由图象关于直线对称而来的． 2 关于点对称：在图象上的点与在图象上的点关于点对称，所以图象是由图象关于点对称而来的． 3 关于直线对称：在图象上的点与在图象上的点关于直线对称，所以（的反函数）图象是由图象关于直线对称而来的． 2． 翻折变换 1 下翻上：只需把图象中部分的图形沿轴翻折上来，并抹去原部分的图形，保留原部分的图形，如下图所示． 2 右翻左：只需把图象中部分的图形沿轴翻折过去，并保留原部分的图形，如下图所示． 【典例1】已知函数的图象向左平移1个单位长度，所得的图象与函数的图象关于轴对称，求． 【大招指引】首先设为函数图象上一点，然后使点变换得到点，接着根据点在图象上，求出函数的解析式，进而求得． 【解析】设为函数图象上一点，依题意将向左平移1个单位长度得，再关于轴对称得，因为点在函数的图象上，所以，所以函数，所以． 【题后反思】本题易错点在于学生往往利用“左加右减”原则得到错误结论：设为函数图象上一点，依题意将向左平移1个单位长度得. 【温馨提醒】在处理对称变换时，往往用到如下结论： 1 与的图象关于轴对称 2 与的图象关于轴对称 3 与的图象关于原点对称 4 奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形. 5 与关于直线对称. 【举一反三】 1． 设、分别是方程与的根，则 . 【典例2】已知函数.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为____________. 【大招指引】先利用二次函数的图象和翻折变换得到的图象，再利用绝对值的代数意义将去掉绝对值符号，进而利用直线和抛物线相切、数形结合思想进行求解. 【解析】显然. (i)当与相切时，， 此时恰有3个互异的实数根. (ii)当直线与函数相切时，，此时恰有2个互异的实数根.结合图象可知或. 【题后反思】本题也可以采用分离参数法进行求解： 显然，所以.令，则. 因为， 所以.结合图象可得或. . 【温馨提醒】若函数图象可以某个基本初等函数的图象经过平移，翻折，对称得到，可利用图象变换做出，但要注意变换的顺序. 【举一反三】 2． 已知函数，若，且，则（    ） A． B． B． D． 3． 函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与关于y轴对称，则（    ） A． B． B． D． 4． 若函数的最小值为，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 5． 若满足，满足，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6． 已知是方程的根，是方程的根，则的值为（ ） A．2 B．3 C．6 D．10 7． 已知实数，，，满足，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C．2 D． 8． 方程的根为，方程的根为，则（    ） A． B． C． D． 9． （多选）某学习小组在研究函数f（x）＝的性质时，得出了如下结论，其中正确的结论是 （　　） A． 函数f（x）的图象关于点（2，0）中心对称 B． 函数f（x）在（－2，0）上单调递增 C． 函数f（x）在[0，2）上的最大值为－ D． 方程f（x）－x＝0有2个不同实根 10． 设函数，则下列说法正确的是（    ） A． 函数的图象与函数的图象关于x轴对称 B． 函数的图象关于y轴对称 C． 函数的图象在上单调递增 D． 11． 在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个交点，则的值为 ． 12． 已知直线与曲线有四个交点，则a的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$