专题3 整式乘除的化简求值（6大基本题型） 期末专项训练　 2024～2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题3】整式乘除的化简求值（6大基本题型） 【核心知识点总结】 1. 整式运算规则​​ （1）乘法公式：完全平方公式，平方差公式 （2）整式除法：多项式除以单项式时，需逐项分配系数并化简 2. 化简求值策略 （1）直接代入：化简后直接代入已知数值计算 （2）整体代入：利用已知条件（如）整体表示目标式 （3）非负性应用：若，则，用于简化代数条件 【易错点】 1. 符号错误 （1）平方差公式中需明确“相同项”与“相反项”，如 （2）完全平方公式交叉项符号由原式决定，如中交叉项为负 2. 运算顺序混淆 先乘方再乘除，例如需先计算幂运算 3. 漏项或合并错误 多项式展开后需逐项合并，如合并后为 【例1】直接代入求值 【典例】先化简，再求值：，其中． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【变式3】先化简，再求值：，其中，． 【例2】整体代入求值 【典例】先化简，再求值：，其中． 【变式1】如图，在线段上取一点，分别以为边作正方形、，连接．已知图中阴影部分的面积之和为，△面积为，则的长度为 ． 【变式2】【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，的等式是__________． （2）若，求的值． 【类比迁移】（3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【变式3】“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简求值中应用广泛，把一个比较复杂的代数式的一部分看作一个整体，用一个字母代替这个整体，使代数式得到简化，便于解决问题，例如：已知，求的值． 解：设，则___________ 所以_____________________ ___________； 即___________． (1)请将横线部分补充完整； (2)已知，请运用“整体思想”求的值； (3)如图，已知四边形，四边形，四边形和四边形都是正方形，，长方形的面积为40，则正方形的面积为___________． 【例3】几何图形结合求值 【典例】如图①是一个长为，宽为的长方形（），沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图②所示． (1)观察图②，请你写出，，之间的等量关系：______； (2)根据（1）中的结论，若，，求； (3)如图③，正方形的边长为，，，长方形的面积是20，四边形和四边形都是正方形，求图中阴影部分的面积． 【变式1】阅读材料：若x满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)若x满足，求的值； (2)若x满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是500，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积． 【变式2】数形结合是数学学习中一种很重要的思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，利用图1中图形面积的两种不同表示方式可以得到等式． 【解决问题】（1）如图2，用四个全等的长方形（为两条邻边长，且）拼成一个大正方形，内含一个小正方形．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则下列三个关系式中，正确的是_____．（只填序号） ①；②；③． （2）用四个全等的直角三角形（是直角边，是斜边）和一个边长为的正方形拼接成一个大正方形如图3所示．根据此图形，可以得到一个关于的等式，请你写出这个等式． 【创新设计】（3）如图4，A型是边长为的正方形，B型是长为、宽为的长方形，C型是边长为的正方形，其中A型、B型、C型都有若干个．请你用A型、B型、C型拼出一个长方形或正方形（A型、B型、C型至少使用一次，拼接时不可有重叠、不可有缝隙），并根据你的拼图写出一个关于的等式． 【变式3】【探索】（1）观察图1，图2，请写出 ，，之间的等量关系是： ；根据（1）的结论，若，，则的值是 ． 【应用】（2）如图3，C是线段上的一点，以，边向上分别作等腰和等腰 ，点E在上，连接，若，，求的面积． 【拓展】（3）如图4，某学校有一块梯形空地．于点E，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和． 【例4】非负性条件求值 【典例】先化简，再求值：，其中． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【变式2】求值及解方程 (1)先化简再求值：，其中与互为相反数； (2)解方程： 【变式3】阅读材料：把形的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即请根据阅读材料解决下列问题： (1)配方： ． (2)先化简，再求值：，其中、满足． 【例5】整式乘除的应用 【典例】如图，某乡镇有一块长为米，宽为米的长方形耕地，当地镇响应退耕还林政策，决定只留一块长为米，宽为米的长方形耕地，退耕还林． (1)求退耕还林的面积．（用含a、b的代数式表示，要求化简） (2)当，时，求退耕还林的面积． 【变式1】如图，是某公园的一块长，宽的长方形空地，园区管理员计划在其内部选取一块边长为的正方形空地修建一座喷水池，并在右边修一条宽为的长方形道路，剩余部分（阴影）种植草坪．； (1)用含a，b的式子表示种植草坪的面积；（结果要化简） (2)当，时，求出种植草坪的面积． 【变式2】如图，和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） (1)用含有，的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积． 【变式3】春天到了，公园的天空中有各式各样的风筝，小盟也设计了一款风筝，风筝的骨架是由四个长为，宽为的长方形竹板拼成的正方形，风筝的面如阴影部分所示．现将阴影部分面积设为，中间小正方形的面积设为． (1)用含，的代数式表示阴影部分的面积． (2)若，请计算的值． 【例6】新定义运算 【典例】对于任意有理数 a、b 现用“☆”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为 ． 【变式1】定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，且，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是 ，第个“智慧数”是 【变式2】定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【变式3】定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”． (1)若，均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______； (3)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题3】整式乘除的化简求值（6大基本题型） 【核心知识点总结】 1. 整式运算规则​​ （1）乘法公式：完全平方公式，平方差公式 （2）整式除法：多项式除以单项式时，需逐项分配系数并化简 2. 化简求值策略 （1）直接代入：化简后直接代入已知数值计算 （2）整体代入：利用已知条件（如）整体表示目标式 （3）非负性应用：若，则，用于简化代数条件 【易错点】 1. 符号错误 （1）平方差公式中需明确“相同项”与“相反项”，如 （2）完全平方公式交叉项符号由原式决定，如中交叉项为负 2. 运算顺序混淆 先乘方再乘除，例如需先计算幂运算 3. 漏项或合并错误 多项式展开后需逐项合并，如合并后为 【例1】直接代入求值 【典例】先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查整式的四则运算，原式根据单项式乘以多项式和平方差公式将括号展开后再合并得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 把代入得，原式． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【答案】；22 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式进行化简，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式混合运算及求值；先利用完全平方公式及单项式乘以多项式进行运算，再进行加减运算，最后代值计算，即可求解；掌握整式混合运算的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【变式3】先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平方差公式和完全平方公式化简，然后代值计算． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 【例2】整体代入求值 【典例】先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算－化简求值，解题的关键是掌握平方差公式，完全平方公式及去括号，合并同类项法则．先展开，再去括号，合并同类项，化简后整体代入求值． 【详解】原式 ∵ ∴ 原式 【变式1】如图，在线段上取一点，分别以为边作正方形、，连接．已知图中阴影部分的面积之和为，△面积为，则的长度为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了正方形的性质，完全平方公式，三角形的面积公式，熟练掌握正方形的性质，三角形的面积公式，完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． 设，则，进而得，根据图中阴影部分的面积之和为10.5，得，整理得，再根据面积为6得，整理得，，则，再根据得，由此即可得出的长． 【详解】解：设， ， ， ∵四边形和四边形都是正方形， ，， ， ，， ∵图中阴影部分的面积之和为10.5， ， 整理得：， 又∵面积为6， ， 整理得：， ， ， ， ， ． 故答案为：3． 【变式2】【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，的等式是__________． （2）若，求的值． 【类比迁移】（3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）16；（3）22 【分析】本题考查了平方差公式、一元一次方程的应用． （1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积小正方形的边长小正方形的边长，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）延长、交于点H，根据题意，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是56，得出方程：，求出，根据，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 【详解】解：（1）图4中阴影部分的面积可以表示为：或， ∴， 故答案为：； （2）若， 则 ； （3）如图：延长、交于点H， 设正方形的边长为x，正方形的边长为，由得： ， ， ， 即， ， ， 即 ． 答：图中阴影部分的面积是22． 【变式3】“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简求值中应用广泛，把一个比较复杂的代数式的一部分看作一个整体，用一个字母代替这个整体，使代数式得到简化，便于解决问题，例如：已知，求的值． 解：设，则___________ 所以_____________________ ___________； 即___________． (1)请将横线部分补充完整； (2)已知，请运用“整体思想”求的值； (3)如图，已知四边形，四边形，四边形和四边形都是正方形，，长方形的面积为40，则正方形的面积为___________． 【答案】(1) (2) (3)196 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用，利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形形式即可求解； （2）根据完全平方公式变形形式即可求解； （3）设，则正方形的边长为，由题意得：，，那么，根据即可求解． 【详解】（1）解：设， 则， 所以， 即； 故答案为：； （2）解：设，则， ；. 所以； 所以； 即；. （3）解：设，则正方形的边长为， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：． 【例3】几何图形结合求值 【典例】如图①是一个长为，宽为的长方形（），沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图②所示． (1)观察图②，请你写出，，之间的等量关系：______； (2)根据（1）中的结论，若，，求； (3)如图③，正方形的边长为，，，长方形的面积是20，四边形和四边形都是正方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)2 (3)84 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能进行公式的变形应用． （1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为的长方形面积，可得答案； （2）将，代入（1）中公式即可； （3）由正方形的边长为，则，得，设，得，则，代入即可． 【详解】（1）解：由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为， 大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为的长方形面积， ， 故答案为：； （2）解：∵， 将，代入得：， ， ， ∵， ， 故答案为：2； （3）解：∵正方形的边长为， ， ， 设， ， ， ∴图中阴影部分的面积为84． 【变式1】阅读材料：若x满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)若x满足，求的值； (2)若x满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是500，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)120 (2)1011 (3)2225 【分析】本题考查了完全平方公式变形应用，解决本题的关键是熟记完全平方公式，进行转化应用． （1）根据举例进行对已知式子计算解答即可； （2）设，，则可得，，所以，可得，即可解答； （3）根据正方形的边长为，，，所以，，得到，设，，从而得到，，根据举例求出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：设，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，， ， ， ， ， 即； （3）解：∵正方形的边长为，，， ，， ， 设，， ，， ， 答：阴影部分的面积为2225． 【变式2】数形结合是数学学习中一种很重要的思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，利用图1中图形面积的两种不同表示方式可以得到等式． 【解决问题】（1）如图2，用四个全等的长方形（为两条邻边长，且）拼成一个大正方形，内含一个小正方形．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则下列三个关系式中，正确的是_____．（只填序号） ①；②；③． （2）用四个全等的直角三角形（是直角边，是斜边）和一个边长为的正方形拼接成一个大正方形如图3所示．根据此图形，可以得到一个关于的等式，请你写出这个等式． 【创新设计】（3）如图4，A型是边长为的正方形，B型是长为、宽为的长方形，C型是边长为的正方形，其中A型、B型、C型都有若干个．请你用A型、B型、C型拼出一个长方形或正方形（A型、B型、C型至少使用一次，拼接时不可有重叠、不可有缝隙），并根据你的拼图写出一个关于的等式． 【答案】（1）①②③；（2）；（3）图见解析，写出的关于的等式是： 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据拼图得出大正方形、小正方形以及长方形的边长之间的关系、面积之间的关系，逐项进行判断即可； （2）用代数式表示图形中大、小正方形面积，长方形的面积由面积之间的和差关系可得答案； （3）画出相应的拼图，再根据面积之间的和差关系即可得出答案． 【详解】解：（1）图2中，大正方形的边长，因此①正确； 图2中大正方形的边长，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个小长方形的面积为，由拼图可知，即，因此②正确； 由拼图可知，，所以，即，因此③正确； 故答案为：①②③； （2），理由如下： 图3中大正方形的面积为，小正方形的面积为，4个直角三角形的面积和为， 因此有，即； （3）画图：如图所示（画图不唯一）， 根据拼图，可得关于，的等式是：． 【变式3】【探索】（1）观察图1，图2，请写出 ，，之间的等量关系是： ；根据（1）的结论，若，，则的值是 ． 【应用】（2）如图3，C是线段上的一点，以，边向上分别作等腰和等腰 ，点E在上，连接，若，，求的面积． 【拓展】（3）如图4，某学校有一块梯形空地．于点E，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】（1），12 （2）的面积为14 （3）种草区域的面积和为19 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种不同的方法表示出4个小长方形的面积即可得到；然后根据题意得到，将，代入求解即可； （2）设，由题意得，，由代入计算即可； （3）设，由题意得，，，根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图1中4个小长方形的面积为， 图②中4个小长方形的面积为， ∴； ∵，， 根据题意得，， ∴， ∴； （2）∵等腰和等腰 ∴设， ∴ ∵，， ∴， 由（1）得， ∴ ∴ ∴的面积； （3）设，， 由题意得，， ∴，即， ∴ ， 即种草区域的面积和为19． 【例4】非负性条件求值 【典例】先化简，再求值：，其中． 【答案】，8 【分析】先利用多项式乘多项式的法则，完全平方公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．本题考查了整式的混合运算，化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解： ∵ ∴，， 解得： ，， 当，，时，原式． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式的乘法，偶次方和绝对值的非负性，先化简整式，再求得的值代入求值即可，解题的关键是正确的化简整式． 【详解】解：， ， ， ； ，即， ， 解得， 故原式． 【变式2】求值及解方程 (1)先化简再求值：，其中与互为相反数； (2)解方程： 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值、非负数的性质、解一元一次方程等知识点，掌握相关运算法则和方法成为解题的关键． （1）先由非负数的性质求得a、b的值，然后运用整式的混合运算法则化简，最后将a、b的值代入计算即可； （2）先运用整式的混合运算法则化简，最后解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ， 当时，原式． （2）解：， ， ， ， ． 【变式3】阅读材料：把形的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即请根据阅读材料解决下列问题： (1)配方： ． (2)先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法计算即可； （2）根据平方差公式、多项式除以单项式的运算法则、合并同类项把原式化简，利用配方法、偶次方的非负性分别求出、，代入计算即可． 本题考查的是整式的混合运算化简求值、配方法的应用，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）， 故答案为：； （2） ， ， 则， ， ，， ，， 则原式． 【例5】整式乘除的应用 【典例】如图，某乡镇有一块长为米，宽为米的长方形耕地，当地镇响应退耕还林政策，决定只留一块长为米，宽为米的长方形耕地，退耕还林． (1)求退耕还林的面积．（用含a、b的代数式表示，要求化简） (2)当，时，求退耕还林的面积． 【答案】(1)平方米 (2)退耕还林的面积平方米 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． （1）根据图形及题意可直接进行求解； （2）由（1）可知退耕还林的面积为平方米，然后把，代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 平方米； （2）解：当，时， ， 答：退耕还林的面积平方米． 【变式1】如图，是某公园的一块长，宽的长方形空地，园区管理员计划在其内部选取一块边长为的正方形空地修建一座喷水池，并在右边修一条宽为的长方形道路，剩余部分（阴影）种植草坪．； (1)用含a，b的式子表示种植草坪的面积；（结果要化简） (2)当，时，求出种植草坪的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了多项式的乘法与图形面积，完全平方公式的应用，熟练的利用图形面积差列出正确的代数式是解本题的关键． （1）根据种植花卉的面积等于长方形空地的面积减去正方形喷水池的面积和长方形道路列式，再计算即可； （2）把，代入（1）中化简后的代数式计算即可． 【详解】（1）解：种植花卉的面积 ； （2）当，时， ． 【变式2】如图，和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） (1)用含有，的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)13200平方米 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，熟练的应用整式的乘法运算解决问题是解题的关键． （1）根据绿化的总面积等于大长方形面积减去小正方形面积计算即可； （2）把，，代入（1）所求结果中计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意， 绿化的总面积为平方米． （2）解：当，时，（平方米）， 绿化的总面积为13200平方米． 【变式3】春天到了，公园的天空中有各式各样的风筝，小盟也设计了一款风筝，风筝的骨架是由四个长为，宽为的长方形竹板拼成的正方形，风筝的面如阴影部分所示．现将阴影部分面积设为，中间小正方形的面积设为． (1)用含，的代数式表示阴影部分的面积． (2)若，请计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用，整式的混合运算，数形结合是解题的关键； （1）根据阴影部分面积等于两个三角形的面积加上梯形的面积，列出代数式，即可求解． （2）根据，得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 阴影部分的面积为 （2）解：∵，，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 【例6】新定义运算 【典例】对于任意有理数 a、b 现用“☆”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，涉及完全平方公式，整式的加减运算，正确理解新定义，掌握运算法则是解题的关键． 由新定义得到，再化简计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式1】定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，且，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是 ，第个“智慧数”是 【答案】 【分析】本题考查了新定义，平方差公式的应用．根据新定义，利用平方差公式，找到，之间的关系，列举出结果，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时， 由产生的“智慧数”为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，， 当时， 由产生的“智慧数”为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，， 当时， 由产生的“智慧数”为：24，32，40，48，56，64，72，80，， 当时， 由产生的“智慧数”为：35，45，55，65，75，85，， 当时， 由产生的“智慧数”为：48，60，72，84，， 当时， 由产生的“智慧数”为：63，77，91，， 当时， 由产生的“智慧数”为：80，96，， 综上，将上述产生的“智慧数”从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，56，57，60，63，64，65，68，69，，∴第3个“智慧数”是，第个“智慧数”是， 故答案为：，． 【变式2】定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算、一元一次方程的应用、单项式乘以多项式等知识，正确理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义可得，计算有理数的运算即可判断①正确；根据新运算的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程即可判断②正确；先求出，，再根据新运算的定义代入计算，由此即可判断③正确；根据新运算的定义可得，则可得或，由此即可判断④错误． 【详解】解：由题意得： ，结论①正确； 由题意得：， ∵， ∴， 解得，结论②正确； ∵， ∴，， ∴ ，结论③正确； 由题意得：， ∵， ∴， ∴或， ∴或，结论④错误； 综上，正确的结论有①②③， 故选：A． 【变式3】定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”． (1)若，均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______； (3)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值． 【答案】(1)B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”，理由见解析； (2)3； (3)或． 【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，理解“好多项式”和“极好多项式”的定义是解答本题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“好多项式”的定义判断； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于a的方程，解方程即可求解； （3）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”， 理由如下： ， ∵的项数比A的项数多1项， ∴B是A的“好多项式”，不是A的“极好多项式”； （2） ， ∵B是A的“极好多项式”， ∴且， 解得． 故答案为：3； （3） ， ∵B是A的“极好多项式”， ∴或， 解得或0． ∴的值是或0． 学科网（北京）股份有限公司 $$