专题1 幂的运算（6大基本题型） 期末专项训练 2024～2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题1】幂的运算（6大基本题型） 【核心知识点总结】 1. 同底数幂的乘法：（底数不变，指数相加） 注意：适用于底数相同的情况，若不同需先转化为同底数 2. 幂的乘方：（底数不变，指数相乘） 3. 积的乘方：（每个因式分别乘方） 4. 同底数幂的除法：（底数不变，指数相减）。 5. 零指数与负指数幂： 【易错点】 1. 符号处理：如与的区别，奇偶次幂的符号变化 2. 运算顺序：先乘方、再乘除，避免混淆和 3. 灵活逆用公式：如，，简化复杂计算 【例1】直接运用幂的运算性质 【典例】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：∵不是同类项，无法计算，错误， 故A不合题意． ∵，错误， ∴B不合题意． ∵，错误， ∴C不合题意． ∵，正确， ∴D合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【变式1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方运算，根据积的乘方运算法则计算即可，掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式2】的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法计算，根据题意可得，据此计算求解即可． 【详解】解：， 故选： B． 【变式3】已知，， (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出a、b、c之间的数量关系为______． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方解答即可； （2）根据同底数幂的除法法则解答即可； （3），结合已知可得，再利用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）解：∵，，，， ∴， 即， ∴． 【例2】逆用幂的运算性质求值 【典例】已知，则的值为 . 【答案】4 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 逆用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再整体代入相应的值运算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式． 故答案为4． 【变式1】已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式2】已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 ． 【答案】(1)8 (2)8 (3) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法除法，幂的乘方法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方法则进行计算即可； （2）逆用同底数幂的除法法则进行计算即可； （3）由（1）（2）即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）由（1）（2）可知：， ∴． 【变式3】已知，，则 ． 【答案】 【分析】 本题考查了幂的乘方的逆用，负整数指数幂，解题关键是理解幂的乘方的逆用法则． 先根据已知式子，分别求出，，从而可得，求得，再整体代入求值． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【例3】幂的简便运算 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了含负整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键． 分别计算有理数的乘方和负整数指数幂，再相减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】的值等于（    ） A． B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了积的乘方的逆运算．根据积的乘方的逆运算解答即可． 【详解】解：． 故选：B 【变式2】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据幂的乘方和积的乘方等知识点计算解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）先算积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例4】幂的化简求值 【典例】若，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了乘方和负整数指数幂的意义，先根据，求出x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解；∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式1】若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的乘方以及负整数指数幂，根据题意得出，然后根据负整指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式2】已知，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质，负整数幂，直接利用绝对值的非负性，偶次幂的非负性得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， 故． 故答案为：． 【变式3】若（其中，是正整数），且有，则的值是 ． 【答案】12或21或9 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘的应用．根据题意，把进行整理，得到a、b的值，然后进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 即． ∵， ∴， 即． 此时． ∵， ∴． ∵，是正整数，． ∴，或，或，或，， ∴或或或， 故答案为：12或21或9． 【例5】幂的比较大小 【典例】如果，那么a、b、c三数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则． 先由零指数幂和负整数指数幂，乘方的运算法则求出，再根据有理数的大小比较方法比较即可． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 【变式1】已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方计算，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】若，则的大小关系为 ．（结果用“>”号连接） 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的特征变正数指数幂后比较大小即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 【变式3】某同学在比较，的大小时，发现55，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为，， 所以， 请根据上述解题思路完成下题：若，，试比较，的大小． 【答案】 【分析】此题考查了幂的乘方的逆用．把原式变为同指数的幂，比较底数的大小即可． 【详解】解：因为，， 而， 所以． 【例6】新定义问题 【典例】定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为108，求t的值； (3)，，，则的值为 ． 【答案】(1)96 (2) (3)21 【分析】本题考查了有理数的乘方、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用等知识，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义可得，再计算有理数的乘方即可得； （2）根据新运算的定义和同底数幂乘法的逆用可得，则可得，由此即可得； （3）先根据新运算的定义可得，再利用同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ． （2）解：由题意得： ， ∵运算的结果为108， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴ ， 故答案为：21． 【变式1】规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，且，求的值． (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；② 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法的计算方法是正确解答的关键． （1）根据新定义的运算进行计算即可； （2）根据，的定义可得，根据再进行计算即可； （3）①根据，，进行计算即可； ②由，再根据进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵，，且， ∴， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴． 故答案为：3． 【变式2】定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了学生的数的乘方的计算能力，理解新定义的意义是解题的关键． 先理解新定义，再结合乘方以及其逆用的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：①∵，∴，故说法①正确，符合题意； ②设，，则，， ∴， ∴，即②正确； ③设，，则，， ∴，即， ∴， ∴，即，故③正确，符合题意； ④设，则，， ∴， ∴， ∴，解得，故④说法正确，符合题意． 综上，正确的说法有个． 故选：D． 【变式3】表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法： ①； ②当，，，时，在的所有因数中，能被4整除但不能被8整除的共有6个； ③若，是大于2000的整数，则满足条件的的最小值为11． 正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相乘等知识，可求，，，以此类推得出，假设成立，则，可求，然后举反例说明等式不成立即可判断①，求出，然后列出被4整除但不能被8整除的因数有4、12、36，共3个，即可判断②；求出，然后根据，，即可求出最小n的值，即可判断③． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ， 以此类推，， 若，则， ∴， ∴， 当，时，左边，右边， ∴左边右边， ∴假设不成立，故①错误； ∵，，，， ∴， ∴， ∴能被4整除但不能被8整除的因数有，，，共3个，故②错误； ∵，， ∴， 又是大于2000的整数， ∴， 又，， 所以最小整数n的值为11，故③正确， 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册期末专项训练 【专题1】幂的运算（6大基本题型） 【核心知识点总结】 1. 同底数幂的乘法：（底数不变，指数相加） 注意：适用于底数相同的情况，若不同需先转化为同底数 2. 幂的乘方：（底数不变，指数相乘） 3. 积的乘方：（每个因式分别乘方） 4. 同底数幂的除法：（底数不变，指数相减）。 5. 零指数与负指数幂： 【易错点】 1. 符号处理：如与的区别，奇偶次幂的符号变化 2. 运算顺序：先乘方、再乘除，避免混淆和 3. 灵活逆用公式：如，，简化复杂计算 【例1】直接运用幂的运算性质 【典例】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，， (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出a、b、c之间的数量关系为______． 【例2】逆用幂的运算性质求值 【典例】已知，则的值为 . 【变式1】已知，，则的值为 ． 【变式2】已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 ． 【变式3】已知，，则 ． 【例3】幂的简便运算 【典例】计算： ． 【变式1】的值等于（    ） A． B．8 C． D． 【变式2】计算的结果是 ． 【变式3】计算 (1)； (2)． 【例4】幂的化简求值 【典例】若，，则 ． 【变式1】若，则 ． 【变式2】已知，则 ． 【变式3】若（其中，是正整数），且有，则的值是 ． 【例5】幂的比较大小 【典例】如果，那么a、b、c三数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，则的大小关系为 ．（结果用“>”号连接） 【变式3】某同学在比较，的大小时，发现55，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为，， 所以， 请根据上述解题思路完成下题：若，，试比较，的大小． 【例6】新定义问题 【典例】定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为108，求t的值； (3)，，，则的值为 ． 【变式1】规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，且，求的值． (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算： ． 【变式2】定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法： ①； ②当，，，时，在的所有因数中，能被4整除但不能被8整除的共有6个； ③若，是大于2000的整数，则满足条件的的最小值为11． 正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 学科网（北京）股份有限公司 $$