第五章 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

考点3 2.AC 解析 由题意得|a|=√5,|b|=5,A正确；4a-3b= [例3]C 解析 因为a,b为不共线的向量，所以a,b可以作为 一组基底。 (8,4)-(-9,12)=(17,-8),B错误；因为2×4-1×(-3) 对于A,AB=a+5b,BC=-2a+8b,若存在实数t使得AB =tBC, ≠0,所以a,b不共线，即a,b可以作为平面向量的一组基 底，C正确；a-b=(5,-3),由5×4-(-3)×(-3)≠0,得 a-b与b不共线，D错误. s--5,则a+5b=t(-2a+8b),所以 方程组无解，所以 3.D 解析 ∵A(2,0),B(4,2),∴AB=(2,2). AB与BC不共线，故A,B,C三点不共线，即A错误； ∵点P在直线AB上，且|AB|=2|AP|∴AB=2AP或AB =-2AP, 对于B,因为AB=a+5b,BC=-2a+8b,所以AC=AB+ 故AP=(1,1)或AP=(-1,-1),故点P的坐标为(3,1)或 BC=a+5b+(-2a+8b)=-a+13b, (1,-1),故选D. 同理可以说明不存在实数t,使得AC=tCD,即AC与CD不 4.B 解析 因为向量AB=(2,3),BC=(5,6),所以AC= 共线，故A,C,D三点不共线，即B错误； (2,3)+(5,6)=(7,9),故选B. 对于C,因为BC=-2a+8b,CD=3(a-b), 所以BD=BC+CD=-2a+8b+3(a-b)=a+5b. 又AB=a+5b=BD,所以AB//BD,故A,B,D三点共线， 即C正确； 5.2(a+b)解析 因为C是AB中点，所以OC=OA+AC= oA+县AB. 对于D,BC=-2a+8b,CD=3(a-b), 又因为AB=OB-O,所以o=OA+—(OB-OA)= 同理可以说明不存在实数t,使得BC=tCD,即BC与CD不 共线，故B,C,D三点不共线，即D错误.故选C. 2oA+2OB,即OC=2(a+b). [例4](1)-9 解析 因为a//b,所以3a∈R,使得b=λa成 提升能力 考点剖析] 立，即ke?+6e?=3λe?-2λe?. 考点1 =3,6=-2a解得因为e?,e?不共线，所以 [例1](1)D 解析 由题意，AD=aAB+(1-a)AC,且0<a <1, 而AD=3AP=3(AB+BP),所以3AB+3 BP=λAB+(1 (2)4 解析 由题意AP=AB+BP=AB+λBE=AB+ a(AE-AB)=(1-a)AB+λAE=(1-λ)·2AF+λ· 3AC=(2-2x)AF+3aAC, -a)AC,即BP=^33AB+13^AC. 由题知 则m+n=-3,选项D正确. 因为F,P,C三点共线，所以2-2x+3x=1,解得a=4. [变式训练] (2)C 解析 设AE=aAB,则CE=AE-AC=a-b.又Co= 1.C 解析 由已知得，AD=AB+BC+CD=a+2b-4a-b -5a-3b=-8a-2b=2 BC, 2cA+2CD=-2AC+4(AB-AC)=4AB-4AC 故AD//BC,由|AD|≠|BC|,所以四边形ABCD是梯形. =4a-4b, 2.70 AP=(m+)AB+—BC=(m+1)AB+解析 设CE=μCo,则λa-b=μ(4a-4b), (AC-AB)=mAB+—AC. 故 故CE=4=3a-b. 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以AP= o+m=1,mmAB+3A.又 B,P,N三点共线，所以 =10 [变式训练] 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示 [必备知识 夯实四基] 1.C 解析 平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， ),即2e,+e?和e?+2e?为C选项中，,2e?+e?=2(e?+2e2) 共线向量，所以它们不能作为基底.其他选项中的两个向量 都没有倍数关系，所以可以作为基底. 知识梳理 2.C 解析 设AB=a,AD=b, 1不共线向量 2a=λ?e?+λ?e?3(x?+x?,y?+y?) 4(x?-x?,y?-y?)5(Ax?,λy?)6 √x2+yí 7(x?-x?,y?-y?)8√(x?-x?)2+(y?-y?)2 9x?y?-x?y?=0 诊断自测 因为AE=÷AD,所以CE=CD+DE=-a-3b, 因为CF=3CD,所以AF=AD+DP=3a+b, 设BA=mAF+nCE, 则-a=m(3a+b)+n(-a-3b), · 402· 1.(1)×(2)√(3)√(4)× 高考一轮总复习·数学·RJA 考点3 解得m=6,”=号， 即BA=号AF+号CE. [例3](1)D 解析 因为a-b=(2,2-t),2a+b=(1,4+t), (a-b)//(2a+b),则有2-t=2(4+t),所以t=-2. (2)A 解析 因为AB=(4,-4),BC=(-3,m),所以AC= AB+BC=(1,m-4). 考点2 因为A,C,D三点共线，所以AC=aAD>{m=4=1m [例2](1(售，号) 解析 设G的坐标为(x,y),且A(-1, 4),B(2,6),C(3,0), (=2,故选A. 因为GA+GB+GC=0,可得(-1-x,4-y)+[例4](1)A 解析 AB=(3,-4),设与AB同方向的单位向量 为(x,y),(2-x,6-y)+(3-x,-y)=(0,0), x==132+3=3,y=4+6+°=3可得： ,所以G的坐标 3(=412=0,则 解得< 为(4,3). (2)3 解析 在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB, AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图， 当 时，所求向量为 (3,一号),向量AB=(3, D下 C -4)=5(3,-号),符合题意； M A B 当 时，所求向量为 (-3,4),向量AB=(3, 令|AB|=2,则 B(2,0),C(2,2),D(0,2),M(2,1),AC= (2,2),AM=(2,1),BD=(-2,2), -4)=-5(-3,4),不符合题意，舍去。 aAM+μBD=(2a-2μ,λ+2μ).因AC=λAM+μBD, -(A+-2=2,解得 ,所以a+μ于是得 3的值为 (2)(3,3) 解析 法一：由O,P,B三点共线，可设OP=aOB =(4λ,4λ),则AP=OP-OA=(4λ-4,4x).又AC=OC- OA=(-2,6), 由AP与AC共线，得(4λ-4)×6-4x×(-2)=0,解得λ= 4,所以OP=3OB=(3,3), [变式训练] 所以点P的坐标为(3,3). 1.(2,4)解析 设点P的坐标为(x,y),因为M(-2,7), N(6,1),所以PN=(6-x,1-y),PM=(-2-x,7-y).又 P=-PM,所以6-x=2+x,1-y=y-7, 法二：设点P(x,y),则OP=(x,y).因为OB=(4,4),且OP 4=4,即x=y.又AP=(x-4,y),AC=与OB共线，所以 故x=2,y=4,即点P的坐标为(2,4). (-2,6),且AP与AC共线， 2.号 解析 如下图，将a,b,c平移至相同起点0,且a=OA, b=OB,c=OC,并构建直角坐标系xOy, 所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的 坐标为(3,3). [变式训练] C y A 1.C 解析 由a=(1,2),b=(-3,2),得ka+b=(k-3,2k+ k-3=2),a-3b=(10,-4),由(ka+b)//(a-3b),得 k=-32k42,整理可得-4k+12=20k+20,解得 O 2.D 解析 由题意可知AB=(m-6,-2),AC=(2,m-2),因 x B 为A,B,C三点共线，所以AB与AC共线，所以(m-6)(m-2) 若每个单元格长为1,则a=(1,2),b=(2,-1),c=(3,4). 又c=λa+μb, =-4,即(m-4)2=0,解得m=4,所以AB=(-2,-2). 第3讲 平面向量的数量积 所以(3,4)=(a,2λ)+(2μ,μ)=(a+2μ,2λ-μ),即 -=可得 所以λ-K=号. [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1|a||b|cosθ 2|a||b|cosθ 3OM? 诊断自测 1.(1)×(2)√(3)×(4)× · 403· 高考一轮总复习·数学·RJA 第五章平面向量复数回 多变式训练多 1.在四边形ABCD中，A言=a+2b,BC=-4a-b, CD=-5a-3b,若a,b不共线，则四边形ABCD 为 ( A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 2.如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的 请完成《课时检测训练30》 三等分点，若A市=(m+)A馆十BC,则 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示 课标安求！ 1,理解平面向量基本定理及其意义， 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 必备知识 夯实四基可 对亚格案P402 知识梳理 3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1y),b=(x2y2),a∥b台回 1.平面向量基本定理 条件e,e是同一平面内的两个☐ 心常用结论 1,设a=(x1y),b=(x2,2),当且仅当xey2≠0 对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 结论 时，a∥b与=4等价.即两个不平行于坐标轴抽 A2,使回 的共线向量的对应坐标成比例 若ee不共线，把{e,c:}叫做表示这一平面内所 2.已知△ABC的顶点A(1y),B(2y),C(x1, 基底 有向量的一个基底 为)，则△ABC的重心G的坐标 为（凸十十西，丛十y十丛】 2.平面向量的坐标运算 3 3 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 诊断自测 设a=(1y),b=(xy2),则 思考辨析 a+b=☒ ,a-b=④ 1.判断下列结论是否正确。（对的打“/”，错的打 “X”) ,a=同 ,a=6 (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组 基底. (2)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就 (2)向量坐标的求法 是向量终点的坐标， ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向 (3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐 量的坐标： 标不变 ②设A(x为)B(x2y),则AB=回 (4)若a=(x1y),b=(x1,y2),则a∥b的充要 ,AB=图 条件可表示成=-当 () T:y: 101® 同高考一轮总复习·数学·RJA 教材衍化 A.(3,1) B.(1,-1) 2.(多选)（人A必修第二册P31倒6改编）已知向 C.(3,-1)或(-1,1) D.(3,1)或(1，-1) 量a=(2,1),b=(-3,4),则 易错自纠 A.al=b 4,(向量坐标不清致误)若向量AB=(2,3),BC (5,6),则AC= () B.4a-3b=(17,8) A.(-7,-9) B.(7,9) C.a,b可以作为平面向量的一组基底 C.(-3,-3) D.(3,3) D.(a-b)∥b 5.(平面向量暴本定理应用不清 3.(人A必修第二屏P30倒5改编)设点A(2,0), 改误)如图所示，在△OAB B(4,2),若点P在直线AB上，且AB= 中，C是AB中点，设OA=a, 2AP|,则点P的坐标为 ( Oi=b,则OC= (请用a,b表示OC 提升能力 考点剖析⊙ 对应答案P402 考点1 平面向量基本定理的应用（师生共研） 例1](1)在△ABC中，点D是线段BC上任意 (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路 一点，点P满足AD=3A户，若存在实数m和 是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结 n,使得B驴=mA言+nAC,则m十n=( 论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解 A号 c-片n-号 决，注意同一个向量在不同基底下的分解是不 同的，但在每个基底下的分解都是唯一的， (2)(2023·广东佛山·模拟)如图，在△ABC 冬变式训练 中，点D为BC边的中点，点O为线段AD的中 L.设{e,e}为平面内的一个基底，则下面四组向量 点，连接CO并延长交AB于点E,设AB=a, 中不能作为基底的是 () AC=b,则CE= A.e+e和e,-e B.4e+2ez和2e-4e C2a+e和6，+e D.e1-2e和4e+2e A. B. Ta-b 2.如图，在平行四边形ABCD中，A它=A方.C C.ga-b D.ja-ib 1 =号Ci,则Bi等于 () 感悟方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是 利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的 AgA-号ci B号A-多成 加，减或数乘运算一般将向量“放入”相关的三 角形中，利用三角形法则列出向量间的关系。 C+号C D.号A+3CE ⑧102 第五章平面向量复数回 考点2 平面向量的坐标运算（师生共研） 例2](1)已知点A(-1,4),B(2,6),C(3,0),则 令变式训练令 满足GA+GB+GC=0的G的坐标为 1.已知M(-2,7),N(6,I),点P是线段MN上的 点，且PN=一PM,则点P的坐标为 (2)在正方形ABCD中，M是BC的中点.若AC 2.(2024·北京·北大附中高三开学考试)向量a, =AAM+:BD,则A+:的值为 b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c=a 感悟方法 十b(A,∈R),则入一 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减，数 乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段 两端，点的坐标，则应先求向量的坐标 (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这 一原则，通过列方程（组）来进行求解！ 考点3 平面向量共线的坐标表示（多维探究） 角度1利用向量共线求参数 感悟方法 例3](1)(2023·内荣古赤峰·一模)已知向量 1,两平面向量共线的充要条件有两种形式： a=(1,2),b=(-1,t)且(a-b)∥(2a+b),则t (1)若a=(x1y),b=(x2),则a∥b的充 的值为 ( 要条件是x12一xy=0: A-号 c-￥ D.-2 (2)若a∥b(b≠0)，则a=b. 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平 (2)(2023·陕西西安·三模)已知向量AB 行，也可以由平行求参数，当两向量的坐标 (4,-4),BC=(-3,m),AD=(-1,m),若A, 均非零时，也可以利用坐标对应成比例来 C,D三点共线，则m= 求解， A.2 8 冬变式训练 1.已知a=(1,2),b=(-3,2),若(ka+b)∥(a C.-2-v6 D.-2+6 3b)则k的值是 () 角度2利用向量共线求向量或点的坐标 [例4](1)已知点A(1,3),B(4,一1)，则与AB同 A.1 c-3 D.-1 方向的单位向量为 ( 2.已知点A(1,3),B(m一5,1)，C(3,m十1)，若A, A(停-) B,C三点共线，则AB的坐标为 () B.(3,-4) A.(-2,2) B.(2,-2) c(-是) D.(一3,4) C.(2.2) D.(-2,-2) (2)已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O为坐标原 请完成《课时检测训练31 点，则AC与OB的交点P的坐标为 103®