第五章 第1讲 平面向量的概念及线性运算-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

同高考一轮总复习·数学·RUA 第五章 平面向量、复数 第1讲 平面向量的概念及线性运算 课标多求 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义， 3.理解向量的几何表示. 4,掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义， 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义， [对应等案P401] 必备知识 夯实四基。 知识梳理 续表 1.向量的有关概念 向量 定义 法则（或几何意义） 运算律 运算 (1)向量：既有回 又有网 的量叫做 向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就 求两个向量 ba-b a-b=a十 是向量的方向.向量AB的大小就是向量AB的 法 差的运算 (-b) 三角形法则 ☒ (或称模)，记作④ (2)零向量：固 的向量，记作0. 规定实数A与 (1)a=国 A(a)=@ (3)单位向量：长度等于回 长度的向量. 向量a的积是 2)当a>0时，a的方向 一个向量，这种 与a的方向回，当(a十)a-回 (4)平行向量（共线向量）：方向回 或 数乘 运算叫做向最a<0时，a的方向与a ☒ 的非零向量.向量a,b平行，记作a∥ 的数乘， 记的方向圆：当A一(a十b)一网 b.规定：0与任意向量回 作a 0时，加=圆 (5)相等向量：长度回 且方向团 的向量。 3.共线向量定理 (6)相反向量：长度回 且方向☒ 的向量. 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一 2.向量的线性运算 一个实数入，使圆 向量 定义 法则（威几何意义） 运算 运算律 心常用结论 1.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则 a+b八b (1)交换绯： 0°=20i+0i. A2aB a十b=☒ 求两个向量 2.若G为△ABC的重心，则有 加法 三角形法则 和的运算 B (2)结合律： 1)Gi+G+G元=0：(2)AG=号(Ai+AO. (a+b)+c= 3.OA=AO+uOC(a,4为实数)，若点A,B,C共 平行四边形法则 线，则1十4=1. ®98 第五章平面肉量，复数回 诊断自测 3.(人A必修第二#P15例7改编)已知两个非零 向量a,b不共线，若OA-2a+b,OB-a十b,OC 思考辨析 =-a十3b,且A,B,C三点共线，则t= 1.判断下列结论是否正确.（对的打“/”，错的打 “X”) 易错自纠 (1)单位向量的方向无法确定. 4.(向量概食理解不准确政误)下面命题中，正确的 (2)零向量的模等于0，没有方向. ( 是 () (3)若两个向量相等，则它们的起点相同，终点 A.若|a|=|b,则a=bB.若a>|b,则a>b 相同 C.若a=-b,则a∥bD.若|a=0,则a=0 (4)若|a=1b,则a=b. ( ) 5.(不理解共线向量的概念致错)已知a,b是平面 教材衍化 内两个不共线向量，AB=ma十2b,BC=3a-b, 2.（人A必修第二册P14倒6改骗)化简：AM十 A,B,C三点共线，则m= () MB-AC= ( ) A.- 2 3 C.-6 D.6 A.CB B.BC C.CM D.MC 提升能力 考点剖析 [对应答案P401 考点 平面向量的概念（题组通关） 1.下列说法不正确的是 ( ) A.AD=BC B.AC-BD A.两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也 C.PE=PF D.EP=PF 相同 感悟方法 B.零向量的方向是任意的 平行向量有关概念的四个关注，点 C.若AB=|DC1,则四边形ABCD不一定是 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具 平行四边形 有传递性。 D.若a∥b,b∥c,则a∥c (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点 2.(多选)下列说法正确的是 无关 A.若e1,e2为单位向量，则e=e2 (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相 B.若a与b共线，则a=b或a=-b 等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移 C.若|a=0,则a=0 混淆。 D.日是与非零向量a共线的单位向量 ()非率向量a与日的美系：日是与a同方向 3.如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD 的单位向量。 交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上，EF过 点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是() 99® 回高考一轮总复习·数学·RUA 考点2 平面向量的线性运算（多维探究）》 角度1平面向量的线性运算 (2)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是 [例1门(2023·过宁锦州·绕考二模)在△ABC 构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行 加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求 中，点D在边AB上且CD平分∠ACB.若CB 得相关参数的值. =a,CA=b,|a=3,|b1=4,则CD=() ◆变式训练多 A.gat B.3 1.如图，在梯形ABCD中，BC=2AD,DE=EC,设 C.号a+b n号a+b BA=a,BC=b,则BE () D 角度2利用平面向量的线性运算求参数 E [例2] (2023·山东聊城·姚考一模)M是 △ABC内的-点，若BM=3BA+ABC,AM A.ati 2+uAC,则入+r C.a 2 D.za+ib A. 6 B.1 D. 6 3 2.(2025·大连模拟)在△ABC中，AD=2DB,AE 感悟方法☑ =2EC,P为线段DE上的动点，若AP=AAB十 (1)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或 三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及 aAC,A,∈R,则A十u等于 () 三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例 等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知 A.1 R号 c D.2 向量线性表示 考点3 共线向量定理的应用（多维探究） 角度1判定向量共线、点共线 (2)(2023·广西软州·统考模拟)在△ABC [例3](2023·山西临汾·统考一模)已知a,b为 中，点F为AB的中点，AE=2EC,BE与CF 交于点P,且满足BP=ABE,则A的值为 不共线的向量，AB=a十5b,BC=-2a十8b,CD =3(a-b),则 () 感悟方法 A.A,B,C三点共线 B.A,C,D三点共线 证明向量共线：对于向量a,b,若存在实数A 使a入bb≠0).期ab共线 C.A,B,D三点共线 D.B,C,D三点共线 证明三点共线：若存在实数A,他及AAC.则 角度2利用向量共线求参数 4,B.C三点共线 44444444444444444444444444444444 求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的 [例4】(1)(2023·河南·考二模)已知e1,e2不 用条件列方程组冰参数的值 共线，向量a=3e1-2e2,b=ke1十6e2,且a∥b, 提醒 证明三点共线时，需说明共线的两个向 量有公共，点。 则k= ®100 第五章平面肉量，复数回 华变式训练号 m三 1.在四边形ABCD中，Ai=a十2b,BC--4a-b, CD=-5a-3b,若a,b不共线，则四边形ABCD 为 A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 2.如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的 请完成《课时检测训练30》 三等分点，若A市=(m+品)店+0BC,则 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示 课标要求 1.理解平面向量基本定理及其意义， 2,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示， 3.会用坐标表示平面向量的加法，减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 必备知识 夯实四基。 [对应答案P402 知识梳理 3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x,y2),a∥b曰回 1.平面向量基本定理 条件乌是同一平面内的两个回 常用结论 1.设a=(x1,为1)，b=（x2,y2),当且仅当x2y2≠0 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数 结论 时，a∥b与-兰等价.即两个不平行于坐标轴 ,使☑ xx y2 的共线向量的对应坐标成比例： 若e,2不共线，把(e1,e)叫做表示这一平面内所 2.已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2y),C(x3, 基底 有向量的一个恭底 ),则△ABC的重心G的坐标 为（凸+西十西，4十%+当 2.平面向量的坐标运算 3 3 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 诊断自测 设a=(x1,y1),b=(x2y2),则 思考辨析 a+b=☒ ,a-b=④ 1.判断下列结论是否正确.（对的打“√”，错的打 “X”) ,a=固 ,la|=⑥ (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组 基底. () (2)向量坐标的求法 (2)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就 是向量终点的坐标. ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向 (3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐 量的坐标： 标不变 ②设A(y),B(x为)，则AB=回 (4)若a=(x1,y),b=(xgy2),则a∥b的充要 ,AB1=图 条件可表示成=当 () 101®第五章 平面向量、复数 第1讲 平面向量的概念及线性运算 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 ①大小 2方向 3长度 ④|AB| ⑤长度为0 诊断自测 1.(1)√(2)×(3)×(4)× 2.A 解析 AM+MB-AC=AB-AC=AB+CA=CB. 3.3解析 由已知得AB=OB-OA=a+tb-(2a+b)=-a +(t-1)b,AC=OC-OA=-a+3b-(2a+b)=-3a+2b, 因为A,B,C三点共线，所以存在实数λ,使AB=λAC,则-a +(t-1)b=λ(-3a+2b),即-3λ=-1且2λ=t-1,解得t 4.C 解析 对于A,若|a|=|b|,但两向量方向不确定，则 对于B,向量无法比较大小，故选项B错误； 对于C,若a=-b,则两向量反向，因此a//b,故选项C 正确； 对于D,若|a|=0,则a=0,故选项D错误. 5.C 解析 因为A,B,C三点共线， 所以AB,BC共线.又a,b是平面内两个不共线向量， -6,故选C. [提升能力 考点剖析] 61个单位 7相同 8相反 9平行 0相等 四相同 =3 a=b不一定成立，故选项A错误； 所以可设AB=λBC.因为AB=ma+2b,BC=3a-b, 2相等 3相反 4b+a 15a+(b+c)6|λ||a| 17相同 所以ma+2b=λ(3a-b),所以m=3a,λ=-2,所以m= 图相反 190 20λpa 2Aa+a 22λa+Ab 图b=λa 考点1 1.D 解析 对于A,两个相等向量，若它们的起点相同，则终 点也相同，故A正确；对于B,零向量的方向是任意的，故B 正确；对于C,若|AB|=|DC|,则AB,DC不一定平行，所以 四边形ABCD不一定是平行四边形，故C正确；对于D,若a //b,b//c,当b=0时，a//c不一定成立，故D不正确. 2.CD 解析 对于A,向量e?,e2的方向不一定相同，故A错 误；对于B,向量a与b的长度不一定相等，故B错误；对于 C,由|a|=0,根据零向量的定义，可得a=0,故C正确；对于 al=aa=a·a,可得D,由 与向量a同向，又因为 a是与非零向量a共线的单位向量，故D正确。1,所以- 3.D 解析 方法一：(排除法) AD,BC不共线，AC,BD不共线，故A,B错误；PE,PF方向 相反，C错误；故选D. 方法二：在等腰梯形ABCD中，AD,BC不平行，AC,BD不平 行，故A,B错误； ∵AB//CD,∴P=D-P, ∴器-C则PBDPD=PAtP, 器-,即器-RC,即 ∵EF//AB,∴-o=AC=, ∴PE=PF,即P为EF的中点， ∴EP=PF,故C错误，D正确。 考点2 D-AC[例1]C 解析 因为CD平分∠ACB,所以 又CB=a,CA=b,|a|=3,|b|=4, D-季，即AD=4AB,所以AD=4AB,所以 所以CD=CA+AD=CA+4AB=CA+4(CB-CA)= ,CA+4CB=3b+4a. [例2]D 解析 由AM-BM=AB,则AB=—AB+μAC- 专B-aBC, 所以共AB=μAC-aBC,即AB =6(μ AC- aBC)= 6(μAC+aCB).又AB= AC A M +CB, B- C 故μ=a=1,故a+v=3 [变式训练] 1.D 解析 方法一：如图所示，取 BC的中点F,连接AF. D因为BC=2AD,所以AD=CF.又AD A //CF,所以四边形ADCF为平行四边 E 形，则AF//CD,所以CD=FA.因为 B? CDE=EC,所以CE=2D=2F,所 F 以BE=BC+CE=BC+—FA=BC+—(BA-B)=BC+ 去(BA-县BC)=去BA+4BC=2a+4b. 方法二：如图，连接 BD. D因为DE=EC,所以BE=_(BD+ A E BC)=(BA+AD+BC)= B C(BA+县BC+BC)=BA+ 4BC=2a+3b. 2.B 解析 如图所示. AE=3AC,AD=3AB.由题意知， 设DP=xDE, 所以AP=AD+DP=AD+xDE =AD+x(AE-AD) =xAE+(1-x)AD =3xAC+3a-x)AB, =3x,a=3(1-x),所以， A+=3(1-a)+3x=3所以 D A P E B C · 401· 高考一轮总复习·数学·RJA 考点3 2.AC 解析 由题意得|a|=√5,|b|=5,A正确；4a-3b= [例3]C 解析 因为a,b为不共线的向量，所以a,b可以作为 一组基底。 (8,4)-(-9,12)=(17,-8),B错误；因为2×4-1×(-3) 对于A,AB=a+5b,BC=-2a+8b,若存在实数t使得AB =tBC, ≠0,所以a,b不共线，即a,b可以作为平面向量的一组基 底，C正确；a-b=(5,-3),由5×4-(-3)×(-3)≠0,得 a-b与b不共线，D错误. s--5,则a+5b=t(-2a+8b),所以 方程组无解，所以 3.D 解析 ∵A(2,0),B(4,2),∴AB=(2,2). AB与BC不共线，故A,B,C三点不共线，即A错误； ∵点P在直线AB上，且|AB|=2|AP|∴AB=2AP或AB =-2AP, 对于B,因为AB=a+5b,BC=-2a+8b,所以AC=AB+ 故AP=(1,1)或AP=(-1,-1),故点P的坐标为(3,1)或 BC=a+5b+(-2a+8b)=-a+13b, (1,-1),故选D. 同理可以说明不存在实数t,使得AC=tCD,即AC与CD不 4.B 解析 因为向量AB=(2,3),BC=(5,6),所以AC= 共线，故A,C,D三点不共线，即B错误； (2,3)+(5,6)=(7,9),故选B. 对于C,因为BC=-2a+8b,CD=3(a-b), 所以BD=BC+CD=-2a+8b+3(a-b)=a+5b. 又AB=a+5b=BD,所以AB//BD,故A,B,D三点共线， 即C正确； 5.2(a+b)解析 因为C是AB中点，所以OC=OA+AC= oA+县AB. 对于D,BC=-2a+8b,CD=3(a-b), 又因为AB=OB-O,所以o=OA+—(OB-OA)= 同理可以说明不存在实数t,使得BC=tCD,即BC与CD不 共线，故B,C,D三点不共线，即D错误.故选C. 2oA+2OB,即OC=2(a+b). [例4](1)-9 解析 因为a//b,所以3a∈R,使得b=λa成 提升能力 考点剖析] 立，即ke?+6e?=3λe?-2λe?. 考点1 =3,6=-2a解得因为e?,e?不共线，所以 [例1](1)D 解析 由题意，AD=aAB+(1-a)AC,且0<a <1, 而AD=3AP=3(AB+BP),所以3AB+3 BP=λAB+(1 (2)4 解析 由题意AP=AB+BP=AB+λBE=AB+ a(AE-AB)=(1-a)AB+λAE=(1-λ)·2AF+λ· 3AC=(2-2x)AF+3aAC, -a)AC,即BP=^33AB+13^AC. 由题知 则m+n=-3,选项D正确. 因为F,P,C三点共线，所以2-2x+3x=1,解得a=4. [变式训练] (2)C 解析 设AE=aAB,则CE=AE-AC=a-b.又Co= 1.C 解析 由已知得，AD=AB+BC+CD=a+2b-4a-b -5a-3b=-8a-2b=2 BC, 2cA+2CD=-2AC+4(AB-AC)=4AB-4AC 故AD//BC,由|AD|≠|BC|,所以四边形ABCD是梯形. =4a-4b, 2.70 AP=(m+)AB+—BC=(m+1)AB+解析 设CE=μCo,则λa-b=μ(4a-4b), (AC-AB)=mAB+—AC. 故 故CE=4=3a-b. 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以AP= o+m=1,mmAB+3A.又 B,P,N三点共线，所以 =10 [变式训练] 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示 [必备知识 夯实四基] 1.C 解析 平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， ),即2e,+e?和e?+2e?为C选项中，,2e?+e?=2(e?+2e2) 共线向量，所以它们不能作为基底.其他选项中的两个向量 都没有倍数关系，所以可以作为基底. 知识梳理 2.C 解析 设AB=a,AD=b, 1不共线向量 2a=λ?e?+λ?e?3(x?+x?,y?+y?) 4(x?-x?,y?-y?)5(Ax?,λy?)6 √x2+yí 7(x?-x?,y?-y?)8√(x?-x?)2+(y?-y?)2 9x?y?-x?y?=0 诊断自测 因为AE=÷AD,所以CE=CD+DE=-a-3b, 因为CF=3CD,所以AF=AD+DP=3a+b, 设BA=mAF+nCE, 则-a=m(3a+b)+n(-a-3b), · 402· 1.(1)×(2)√(3)√(4)× 高考一轮总复习·数学·RJA