第十章 高考重点实破四 概率统计-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

同高考一轮总复习·数学·RJA [典例2]一机床生产了100个汽车零件，其中有 40个一等品、50个合格品、10个次品，从中随 机地抽出4个零件作为样本.用X表示样本中 一等品的个数 (1)若有放回地抽取，求X的分布列： (2)若不放回地抽取，用样本中一等品的比例去 估计总体中一等品的比例。 ①求误差不超过0.2的X的值： ②求误差不超过0.2的概率（结果不用计算，用 式子表示即可). 感悟方法 超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不 独立，二项分布的抽取是有放回抽取，各次抽取 相互独立，当超几何分布所对应的总体数量很 大时可以近似地看作二项分布， 高考重点突破四 概率统计 一对应答案P46? 考点 统计图表与分布列的综合问题（多维探究） 例1门为了让学生了解毒品的危害，加强禁毒教 趣，对参赛学生制定如下奖励方案：得分低于 育，某校组织了全体学生参加禁毒知识竞赛，现 57分的不予奖励，得分超过57（含）分但不超过 随机抽取50名学生的成绩（满分100分）进行 81分的可获得学校食堂消费券5元，得分超过 分析，把他们的成绩分成以下6组：[40,50)， 81分但不超过93分的可获得学校食堂消费券 50,60),60,70),70,80),L80,90),90, 10元，超过93分的可获得学校食堂消费券15 100],整理得到如图所示的频率分布直方图. 元.试估计全校1000名学生参加知识竞赛共 +顿率 可获得食堂消费券多少元，（结果四舍五人保留 组距 0.040- 整数) 附：P(-≤X≤十a)≈0.6827，P(4-2a≤X 0.026- ≤u十2a)≈0.9545，P(μ-3a≤X≤μ十3a)≈ 0.9973. 0012 0.006 0 405060708090100成绩/分 (1)求图中α的值并估计全校学生的平均成绩 “:(同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表) (2)在(1)的条件下，若此次知识竟赛得分X一 N(,12),为了激发学生学习禁毒知识的兴 ®230 第十章计数原理概率，随机变量及其分布回 愿感悟方法 (i)若当月的PMI值大于上一个月的PM1值， 高考常将统计图表与分布列等交汇在一起进行 则称该月的经济向好.设X表示抽取的观测组 考查，因此在解答此类题时，准确地把题中所涉 中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份 及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件 的PMI值低于去年12月份的PMI值)，求X的 类型是关键 分布列与数学期望： 必变式训练》 (2)用b,(j=1,2,…,12)表示第j月非制造业所 PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一， 对应的PMI值，b表示非制造业12个月PMI值 能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发 的平均数，请直接写出|b,一取得最大值所对 布的某年12个月的制造业和非制造业PM1值 应的月份 趋势图.将每连续3个月的PM1值作为一个观 测组，对国家经济活动进行监测和预测， 58 % 56.3 56 549-552 52 5053 50. 52.7 492 50.6 5043 46 47.5 44 1月2月3月4月5月6月7月8月9月0月1月2月 ·一制造业P川-%-非制造业PM相 (1)现从制造业的10个观测组中任取一组， (1)求组内三个PMI值至少有一个低于50.0 的概率： 考点2 回归模型与分布列的综合问题 例2](2023·山西朔州·三模)数据显示，中国 参考数据：y=5.16,0=1.68,之y,=45.10,其 在线直播用户规模及在线直播购物规模近儿年 都保持高速增长态势，下表为2017一2021年中 中四=√/. 国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017 参考公式：对于一组数据(y),(功)， 年一2021年对应的代码依次为1一5. (v。,y),其回归直线方程y=十a的斜率和 截距的最小二乘估计公式分别为方= 年份代码x 2 3 4 5 3.984.56 色一 市场规模y 5.04 5.86 6.36 a=y-b. 1)由上表数据可知，可用函数模型y=方、红+ a拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归 方程(a,b的值精确到0.01)： (2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌宫 方直播间购物的概率为p,现从中国在线直播 购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在 品牌官方直播间购物的人数为X,若P(X=3) =P(X=4),求X的分布列与期望. 231® 同高考一轮总复习·数学，RJA 感悟方法 附：若随机变量X服从正态分布N(,a),则 高考常将回归模型与分布列等交汇在一起进行 P(4-≤X≤r十a)≈0.6827，P(u-2a≤X≤r十 考查，求解时注意概率模型的应用，明确所求问 2a)≈0.9545，P(u-3a≤X≤4+3a)≈0.9973. 题所属的事件类型是关键. 变式训练” 为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用 假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学 习.第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责 人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的 学习时间（满时长为15小时），将其分成[3,5)， [5,7).[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六组，并 绘制成如图所示的频率分布直方图.（同一组中 的数据用该组区间的中点值为代表) 频率 组距 0.18 0.10 0.05 0.03 0.02 3579111315时间/时 (1)求a的值： (2)用样本估计总体，该地区教职工学习时间： 近似服从正态分布N(,),其中：近似为样本 的平均数，经计算知g≈2.39.若该地区有5000 名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在 [7.45,14.62]内的人数： (3)现采用分层随机抽样的方法从样本中学习时 间在[7,9)，[9,11)内的数职工中抽取5人，并从 中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中 学习时间在[7,9)内的教职工平均人数.（四舍五 入取整数) 考点3 独立性检验与分布列的综合问题 [例3]为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极 (1)根据小概率值a=0.005的独立性检验，分 性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育 析性别因素与学生体育锻炼的经常性有无 锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生 关联： 各100名，得到如下数据： (2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学 锻炼 生经常参加体育锻炼，求他是男生的概案； 性别 (3)为了提高学生体育锻炼的积极性，学校设置 不经常 经常 了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动， 女生 40 60 在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相 男生 20 80 互做传球训练.已知甲控制球时，传给乙的概率 ®232 第十章计数原理景率.随机变量及其分布回 为号，传给丙的概率为号：乙控制球时，传给甲 冬变式训练 新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有 和丙的概率均为。：丙控制球时，传给甲的概率 其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能 源短缺的压力，在当今提倡全球环保的前提下， 为子，传给乙的概率为子若先由甲控制球，经 新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽 过3次传球后，乙队员控制球的次数为X,求X 车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与 的分布列与期望E(X). 目标.某车企随机调查了今年3月份购买本车企 n(ad-be) 生产的汽车的100位车主，经统计其购车种类与 附：X=(a+b)(c+d)(a+c)h+西 性别情况如下表： 单位：人 0.010 0.005 0.001 购置新能源汽车 购置传统燃油汽车总计 6.635 7.879 10.828 男性 50 10 60 女性 25 15 40 总计 75 25 100 (1)根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5% 的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关： (2)用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的 频率代替售出汽车的概率，从该车企今年3月份 售出的汽车中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3 辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X,求X 的分布列及数学期望. 附：x= n(ad-be)? (a+b)(e+d)(a+e)(b+dn=a+b+ c+d, 0.15 0.100.050.0250.0100.0050.001 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 感悟方法 高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进 行考查，由2X2列联表解决相关问题，解题的 关键是正确理解2×2列联表，能利用2×2列 联表正确计算出各组数据. 233® 回高考一轮总复习·数学·RJA 考点4 概率统计与函数、不等式或数列的综合问题 [例4](2023·新高考全国I卷)甲、乙两人投篮， 径的样本数据的频率分布直方图如图. 每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人 顿率 继续投篮，若未命中则换为对方投篮，无论之前 组距 投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6， 0.8 乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1 0.65 次投篮的人选，第1次投篮的人是甲，乙的概率 各为0.5. 036.136336536.736937.137337537.737.9 (1)求第2次投篮的人是乙的概率： 钢管内径mm (2)求第i次投篮的人是甲的概率； (1)通过检测得样本数据的标准差=0.3，用样 (3)已知，若随机变量X,服从两点分布，且 本平均数x作为：的近似值，用样本标准差：作 P(X,=1)=1-P(X,=0)=qi=1,2,…,n,则 为。的估计值，根据所给数据求该企业生产的产 E(之X,)=之.记前n次（即从第1次到第n 品为正品的概率P,:(同一组中的数据用该组区 间的中点值代表) 次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y). (2)假如企业包装时要求把2个一等品和n(≥ 2,n∈N)个二等品装在同一个箱子中，质检员从 某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两 件产品等级相同，则该箱产品记为A,否则该箱 产品记为B. ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为 B的概率p: ②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为 f(p),求当n为何值时，f(p)取得最大值，并求 出最大值 参考数据：36.2×0.2+36.4×0.25+36.6×0.7 +36.8×0.8+37×1.1+37.2×0.8+37.4× 0.65+37.6×0.4+37.8×0.1≈185. 感悟方法 与函数、方程，不等式有关的综合问题的解法 (1)与函数有关的问题，结合概率、方差、均值的 公式列出函数表达式，再利用函数的性质（单调 性、最值等)求解」 (2)与方程、不等式有关的问题，结合均值、方差 公式列出方程或不等式，解方程或不等式即可 令变式训练冬 (2025·沈阳模拟)根据以往大量的测量知某加 工厂生产的钢管内径尺寸X(单位：mm)服从正 态分布N(以，a),并把钢管内径在[一，十a] 内的产品称为一等品，钢管内径在[十o,H十2c] 内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正 品，其余范围内的产品作为废品回收，现从该企 请完成《课时检测训练68 业生产的产品中随机抽取1000件，测得钢管内 ⑧234②P(|-0.4|≤0.2)=P(X=1)+P(X=2) -CLC+cC 高考重点突破四 考点1 [例1]解(1)由题意可知，(0.006×2+a+0.012+0.026+ 0.040)×10=1, 解得a=0.010. μ=(45+95)×0.06+55×0.12+65×0.40+75×0.26+ 85×0.10=69. (2)随机抽取一名学生，设获得的学校食堂消费券为Y元， PY=0)=P(X<57)≈0.5-0.6827=0.158 65, P(Y=5)=P(57≤X≤81)≈0.6827, P(Y=10)=P(81<X≤93)≈0.9545-0.6827= 0.1359, P(Y=15)=P(X>93)≈1-0.9545=0.02275, 所以Y的分布列为 Y 0 5 10 15 P 0.158 65 0.6827 0.1359 0.022 75 即一名学生获得的学校食堂消费券的期望为E(Y)=0× 0.15865+5×0.682 7+10×0.1359+15×0.022 75= 5.113 75, 所以全校学生可获得食堂消费券为1 000×5.113 75= 5113.75≈5 114(元). 故估计全校1000名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费 券5114元. [变式训练] 解(1)(i)从制造业的10个观测组中任取一组的基本事件 有(51.3,50.6,51.9),(50.6,51.9,51.1),(51.9,51.1,51), (51.1,51,50.9),(51,50.9,50.4),(50.9,50.4,50.1),(50.4, 50.1,49.6),(50.1,49.6,49.2),(49.6,49.2,50.1),(49.2, 50.1,50.3),共有10个， 设“组内三个PMI值至少有一个低于50.0”为事件A,则事件 A包含的结果有(50.4,50.1,49.6),(50.1,49.6,49.2), (49.6,49.2,50.1),(49.2,50.1,50.3)共4个， 由古典概型的计算公式，得P(A)=40=亏. (ii)X的可能取值为0,1,2, P(X=0)=10=3,P(X=1)=3,P(X=2)=10 X的分布列为 X 0 1 2 P 35 310 10 E(X)=0×3+1×3+2×1所以随机变量X的数学期望1 =2 (2)8月份，理由如下： 由某年12个月的非制造业PMI值趋势图中的数据，得 b=1×(52.4+51.4+56.3+54.9+55.2+53.5+53.3+ 47.5+53.2+52.4+52.3+52.7)=52.925.根据某年12个月 的非制造业 PMI值趋势图，可知 ·467· 当j=8时，|b,-b|取得最大值为|b?-b|=|47.5-52.925| =5.425. 考点2 [例2]解(1)设v=√x,则y=bv+a. v2=x=15,因为y=5.16,w=1.68, -858-118所以 把(1.68,5.16)代入y=bv+a,得a=5.16-1.98×1.68≈ 1.83. 即y关于x的回归方程为y=1.98√x+1.83. (2)由题意知X~B(4,p), P(X=3)=Cp3(1-p)=4p3(1-p), P(X=4)=Cp?=p?, p=4,由4p3(1-p)=p?,得 所以X的所有可能取值为0,1,2,3,4, P(X=0)=C°×(1-4)=625 P(X=1)=C×4×(1-号)=625, P(X=2)=c×(号)2×(1-号)=625, P(X=3)=C×(号)×(1-号)=625, P(X=4)=c×(4)'=26 所以X的分布列为 E(X)=4×4=6. [变式训练] 解(1)由题意得2×(0.02+0.03+a+0.18+0.10+0.05)= 1,解得a=0.12. (2)由题意知样本的平均数为4×0.02×2+6×0.03×2+8× 0.12×2+10×0.18×2+12×0.10×2+14×0.05×2=9.84, 所以μ≈9.84. 又σ≈2.39,所以P(7.45≤;≤14.62)=P(μ-o≤E≤μ+2σ)= P(μ-o≤i≤μ+o)+2·P(μ-2o≤s≤u+20)≈× (0.6827+0.9545)=0.818 6. 又5000×0.8186=4093, 所以估计该地区教职工中学习时间在[7.45,14.62]内的人数 约为4 093. (3)因为[7,9],(9,11)对应的频率比为0.24:0.36=2:3, 所以抽取的5人中学习时间在(7,9),(9,11)内的人数分别为 2,3. 设从这5人中抽取的3人学习时间在(7,9)内的人数为X, 则X的所有可能取值为0,1,2, P(X=0)=S=0,P(X=1)=CC=3,P(X=2)=CSC =8, 所以E(X)=0×1+1×3+2×3=5≈1. 故这3人中学习时间在(7,9)内的教职工平均人数约为1. X 0 1 2 3 4 P 625 625 625 26 626 高考一轮总复习·数学·RJA 考点3 [例3]解(1)零假设为H。:性别因素与学生体育锻炼的经常 性无关联， 根据列联表中的数据，经计算得到 x=200×44××02××0602≈9.524>7.879=xam 根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断 H。不成 立，即认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关联，此推 断犯错误的概率不大于0.005. (2)用A表示事件“选到经常参加体育锻炼的学生”,B表示 事件“选到男生”,则 P(B|A)="(AB)=1840=4 (3)由题知X的所有可能取值为0,1,2, P(X=0=3×3×3=1,P(X=1)=3×2×3+ 3×_×3+3×3×3+3×4=18 P(X=2)=3×2×3+3×2×4=36, 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 11 18 13 E(X)=o×1+1×18+2×36=9. [变式训练] 解(1)设零假设为H?:购车种类与性别无关， x2=0015×5×605×10°=59>5.024,根据数表可得x 所以零假设H。不成立，即在犯错误的概率不超过2.5??前 提下，可以认为购车种类与性别有关. 200-4(2)随机抽取1辆汽车属于传统燃油汽车的概率为 被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X,X的可能 取值为0,1,2,3, 依题意，x~B(3,4), P(X=0)=C×(4)×(4)°=64, P(X=1)=c×(4)×(4)'=24, P(X=2)=C×(4)×(4)=64, P(X=3)=C×(4)×(4)°=64, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 26 26 66 16 E(X)=3×4=4.X的数学期望 考点4 [例4]解(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件 A, “第i次投篮的人是乙”为事件B, 所以P(B?)=P(A?B?)+P(B?B?)=P(A?)P(B?|A?)+ P(B?)P(B?|B?) =0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6. (2)设P(A,)=p,依题可知P(B)=1-p,则 P(A+1)=P(AA+)+P(BA+)=P(A)P(A+|A)+ P(B)P(A+1|B), 即Pi+1=0.6p:+(1-0.8)×(1-p)=0.4p:+0.2. 构造等比数列{p;+a}, 设pHi+x=号(p+a),解得A=-3, 则p+-3=号(p.-3) 又p?=2,b,-3=言，所以{p-3} 116是首项为- ,公比 为号的等比数列， 即p,-3-6×(号),p=#×(号)+3 p=6×(号)+3,i=1,2,⋯,n,(3)因为1 所以当n∈N时，E(Y)=p?+p?+⋯+p=6× (+-L-(3)门+ 故E(Y)=58[1-(号)"]+3 [变式训练] 解(1)由题意，估计从该企业生产的产品中随机抽取1000 件钢管内径的平均数为≈185×0.2=37, 所以μ=37,σ=s=0.3, 则μ-σ=37-0.3=36.7,μ+a=37+0.3=37.3,μ+2c=37+ 0.6=37.6, 则一等品内径在[μ-o,μ+o]内，即在[36.7,37.3]内， 二等品内径在[μ+o,μ+2c]内，即在[37.3,37.6]内， 所以该企业生产的产品为正品的概率为 P?=P(36.7≤X≤37.6)=(0.8+1.1+0.8+0.65)×0.2+ 0.4×0.1=0.71. (2)①从n+2件正品中任选2个，有C2+2种选法，其中等级相 同的有(C2+C2)种选法， 所以某箱产品抽检被记为B的概率为 p=1-±C=1-+3+2-n+3n+2 ②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p, 则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为 f(p)=Cp3(1-p)2=10p3(1-2p+p2)=10(p3-2p?+p), f'(p)=10(3p2-8p3+5p?)=10p2(3-8p+5p2)=10p2(p- 1)(5p-3), p∈(0,5))时，f(p)>0,函数f(p)单调递增，所以当 p∈(3,1)当 )时，f'(p)<0,函数f(p)单调递减， f(号)=c×(号)×p=3所以当1 -时，f(p)取得最大值为 (1-3)2=26, 此时，p=n2+3n+2=3, n=3(舍去),解得n=3或； 26所以当n=3时，f(p)取得最大值 高考一轮总复习·数学·RJA · 468·