第十章 第6讲 离散型随机变量及其分布列-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

第十章计数原理，概率，随机变量及其分布回 乡变式训练多 2.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成， 1.某产品需要通过两类质量检验才能出货.已知该 元件1和元件2同时正常工作，或元件3正常工 产品第一类检验单独通过率为子，第二类检验单 作，则部件正常工作，设三个电子元件正常工作 独通过率为p(0<p<1),规定：第一类检验不通 的概率均为？，且各个元件能否正常工作相互独 过则不能进入第二类检验，每类检验未通过可修 立，那么该部件正常工作的概率为 () 复后再检验一次，修复后无须从头检验，通过率 T元件钉-元件3 不变且每类检验最多两次，且各类检验间相互独 匹13☐ 立.若该产品能出货的概率为号，则P=( A.64 c器 A号 B司 c号 5 D.6 请完成《课时检测训练64 第6讲 离散型随机变量及其分布列 课标来求！ 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念 2.理解离散型随机变量的性质 对应客案P461 必备知识 夯实四基。 知识梳理 X 0 1-p 1.离散型随机变量的分布列 其中0<p<1,我们称X服从圆 分布或 (1)一般地，对于随机试验样本空间2中的每个 回 分布 样本点ω，都有回 与之对应， 3.超几何分布 我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次 以☑ 的随机变量，我们称为离散型随 品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X 机变量 表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布 (2)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 列为P(X=)=回 ,k=m,m十1， x1x…,x,我们称X取每一个值x,的概率图 m十2，，r 其中，n,N,M∈N°，M≤N,n≤N,m=max{0, ,i=1,2,…,,为X的概率分 n-V+M),r=min{n,M}.如果随机变量X的 布列，简称分布列. 分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服 (3)离散型随机变量的分布列的性质 从超几何分布. ①p,≥0(i=1,2,…,n): 心常用结论 ②p,+p:十…+p.=国 随机变量的线性关系 2.两点分布 若X是随机变量，Y=aX十b,a,b是常数，则Y也 如果随机变量X的分布列为 是随机变量」 217® 国高考一轮总复习·数学，RJA 诊断自测 示一次试验的成功次数，则P(=0)=() 思考辨析 A.0 B号 1.判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打 “X” c n号 (1)在离散型随机变量的概率分布列中，各个概 易错自纠 率之和可以小于1. () 4.(超几何分布模型易错)下列随机事件中的随机 (2)若X是随机变量，则Y=aX十b(a,b为常数) 变量X服从超几何分布的是 () 也是随机变量 ( ) A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X (3)如果随机变量X的分布列由下表给出， B.从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不 放回地任取3件，取得的次品数为X 5 0.3 0.7 C.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次， 记命中目标的次数为X 则它服从两点分布， D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1 教材衍化 球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 2.(人A选择性必修第三册P60T2改编)甲、乙两 5.(忽视分布列的性质政错)若随机变量X的分布 人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0 列为 分，共下三局.用表示甲的得分，则{-3}表示 -1 0 A.甲赢三局 0.1 0.2 0.2 0.3 0.10.1 B.甲赢一局输两局 则当P(X<a)=0,8时，实数a的取值范围是 C.甲、乙平局二次 ( D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 A.(-∞，2] B.[1,2] 3.(人A选择住必修第三册P59例1改编)设某项 C.1,2] D.(1,2) 试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量：表 提升能力 考点剖析⊙ 对应倍案P461 考点 离散型随机变量的概念与性质（师生共研） [例1](1)（多选）已知随机变量X的分布列如表 (2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X (其中a为常数)： =)= (m十)m=1,2,34),其中a是常数， 0 1 4 0.10.20.40.24 则P(2<X<)等于 侧下列计算结果正确的是 B子 c n A.a=0.1 B.P(X2)=0.7 C.P(X≥3)=0.4 D.P(X1)=0.3 ®218 第十章计数原理，景率.随机变量及其分布回 感悟方法 的试验结果是 离散型随机变量分布列的性质的应用 A.第5次击中目标 B.第5次未击中目标 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参效的 C.前4次均未击中目标D.第4次击中目标 值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非 2.已知随机变量X的分布列如表：（其中a为 负值 常数) (2)若X为随机变量，则2X十1仍然为随机变 量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的 值，再根据对应的概率写出分布列。 0.2 0.3 0.2 0.1 冬变式训练 则P(3≤X≤5)等于 1某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹 A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7 打完就停止射击，记射击次数为，则“=5”表示 考点2 求离散型随机变量的分布列（师生共研） 例2](2023·河南·联考)某水果店的草莓每盒 感悟方法 进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若 离散型随机变量分布列的求解步骤 两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理 明联值 明确随机变童的可能取值有娜些，且命 一个风值所表示的意义 完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店 过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得 求率 要弄清笼随杭度堂的视率类型，利用相 关公式求出变登所对应的概率 如下数据： 画表格按规苑要求形式写出概率分布 日销售量十盒 7 8 9 10 做栓险利用概孕分布的性质检验城率分布是否正网 天数 8 12 16 ◆变式训练》 假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布 一不透明箱内装有2个红球，1个白球，1个黑 规律保持不变，将频率视为概率。 球，这4个球的大小、形状均相同，甲现从中不放 记每两天中销售草莓的总盒数为X(单位：十 回地随机抽取小球，每次取1个，直至取到黑球 盒)，求X的分布列. 为止 (1)求此过程中恰好把2个红球全部取出的 概率： (2)记取到一个红球得2分，取到一个白球得1 分，取到黑球得0分，设甲取到黑球时的得分数 为随机变量，求专的分布列及E(). 219® 国高考一轮总复习·数学，RJA 考点3 超几何分布（师生共研） 例3】北京时间2022年7月25日3时13分，问 感悟方法 天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口， 超几何分布的判定、求解策略 2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机 员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进人问 变量为抽到的某类个体的个数 天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱 (2)超几何分布的特征：①考察对象分两类； 段一梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计 ②已知各类对象的个数：③从中抽取若干个个 划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成 体，考查某类个体个数X的概率分布】 在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太 (3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别 空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间 的小球等概率模型，其实质是古典概型，计算分 科学实验，为普及空间站相关知识，某部门组织 布列和期望时直接套用公式即可， 了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、 多变式训练◆ 自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个 网民对一电商平台的某种特色农产品销售服务 相互独立的程序题目组成.规则：编写程序能够 质量进行评价，每位参加购物的网民在“好评” 正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不 “中评”“差评”中选择一个进行评价，在参与评价 同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束 的网民中抽取2万人，对年龄分为“50岁以下” 后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确 和“50岁以上（含50岁）”两类人群进行了统计， 即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正 得到给予“好评”“中评”“差评”评价的人数如下 确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率 表所示。 为0.6，每位选手每次编程都互不能响。 网民年龄 好评人数 中评人数 差评人数 (1)求乙闯关成功的概率： 50岁以下 9000 3000 2000 (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列，并 判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大 50岁以上 1000 2000 3000 (含50岁) (1)根据这2万人的样本估计总体，从参与评价 的网民中每次随机抽取1人，如果抽取到“好 评”，则终止抽取，否则继续抽取，直到抽取到“好 评”，但抽取次数最多不超过5次，求抽取了5次 的概率： (2)从给予“中评”评价的网民中，用分层随机抽 样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3 人，抽取的3人中年龄在50岁以下的人数为X, 求X的分布列， 请完成《课时检测训练65》 ③220乙选A 活动有6 种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD, 个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1-β)(1-α) ACE,ADE, (1-β)=(1-a)(1-β)2,A正确； 其中再选则B有3种可能性：ABC,ABD,ABE, 6=故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为 解法二： 对于B,三次传输，发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收 到1,0,1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接 收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1- β)·β·(1-β)=βC1-β)2,B正确； 设甲、乙选到A为事件M,乙选到B为事件N, 对于C,三次传输，发送1,则译码为1的事件是依次收到1, P(M=G-3,则甲选到A的概率为 1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件和， 乙选了A活动，他再选择 B活动的概率为P(N|M)= 它们互斥，由选项B知，所求的概率为Cβ(1-β)2+(1-β)3 =(1-β)2(1+2β),C错误； 对于D,由选项C知，三次传输，发送0,则译码为0的概率 P=(1-α)2(1+2α),单次传输发送0,则译码为0的概率 P'=1-a,而0<a<0.5,因此P-P'=(1-α)2(1+2a)— (1-α)=α(1-α)(1-2α)>0,即P>P',D正确. 2.B 解析 由题意知，事件AB=“三个点数都不同且至少出 现一个6点”, [变式训练] 1.C 解析 设A,表示第i次通过第一类检验，B,表示第i次 因为P(A)=-28=5,P(B)=65=296,P(AB)= 通过第二类检验(i=1,2), CA-216-=58 Pau--PABS-%所以 由题意得P(A?B?+A?A?B?+A?B?B?+A?A?B?B?)=6, 4p+4×2p+2×1-p)p+4×3×1-p)p=即- 6 p=3或p=3(舍).,解得 2.D 解析 讨论元件3正常与不正常， 考点2 第一类，元件3正常，上部分正常或不正常都不影响该部件 4×1=4正常工作，则正常工作的概率为 [例2](1)0.85 解析 由题意知，A,B,C题库的比例为：5: 第二类，元件3不正常，上部分必须正常，则正常工作的概率 5,4,3,4:3,各占比分别为 为4×(4×3)=64,,故概率为4+64-64 p=5×0.92+4×0.86则根据全概率公式知所求正确率 第6讲 离散型随机变量及其分布列 [必备知识 夯实四基] +3×0.72=0.85. (2)C 解析 设事件A?=“冬季去吉林旅游”,事件A?=“夏 季去吉林旅游”,事件B=“去了一眼望三国”,则P(A?)= 3,PA?)=3,在冬季去了一眼望三国的概率P(B|A?) -G-号,在夏季去了一眼望三国的概率P(B|A?)= C-3, 所以去了一眼望三国的概率P(B)=P(A?)P(B|A?)+ P(A?)P(B|A?)=3×3+3×3=45 [变式训练] 1.A 解析 设A?="第一天去A餐厅用餐”,B?=“第一天去 B餐厅用餐”, A?=“第二天去A餐厅用餐”,则Ω=A?UB?,且A?与B?互斥， 根据题意得P(A?)=P(B?)=0.5,P(A?|A?)=0.7,P(A?I 知识梳理 口唯一的实数X(w)2一一列举 3P(X=x?)=p;41 诊断自测 1.(1)×(2)√(3)× 2.D 解析 因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分， 3.B 解析 设P(E=1)=p,则P(E=0)=1-p.依题意知， p=号，故P(=0)=1-p=3 4.B 解析 由超几何分布的定义可知B正确. 5.C 解析 由随机变量X的分布列知P(X<-1)=0.1, P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,则当P(X <a)=0.8时，实数a的取值范围是(1,2). 提升能力 考点剖析] 5两点 60-1 7 输了得0分，故{E=3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或 p=2(1-p),解得 甲、乙平局三次. 考点1 B?)=0.8, [例1](1)ABD 解析 因为0.1+0.2+0.4+0.2+a=1,解 则P(A?)=P(A?)P(A?|A?)+P(B?)P(A?|B?)=0.5×0.7 得a=0.1,故A正确； +0.5×0.8=0.75.故选A. 由分布列知P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) 2.0.915 解析 设事件A,B,C为小明和第一代、第二代、第 三代传播者接触，事件D为小明被感染，则由已知得P(A) =0.1+0.2+0.4=0.7,故B正确； P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=0.2+0.1=0.3,故C =0.5,P(B)=0.3,P(C)=0.2,P(D|A)=0.95,P(D|B)= 错误； 0.90,P(D|C)=0.85,从而，小明被感染的概率由概率公式， 可得P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C) P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=0.1+0.2=0.3,故D 正确。 =0.95×0.5+0.90×0.3+0.85×0.2=0.915. 考点3 (2)D 解析 因为P(X=n)=n(n+1n=1,2,3,4), [例3]ABD 解析 对于A,依次发送1,0,1,则依次收到1,0, 1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3 +6++20=1,即a=4,所以- · 461· 高考一轮总复习·数学·RJA P(2<x<5)=P(X=1)+P(X=2)所以1 =5×2+5×1=6. [变式训练] 1.C 解析 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数ξ= 5,说明前4次均未击中目标. 2.C 解析 依题意0.1+0.2+0.3+a+0.2+0.1=1,解得 a=0.1, 所以P(3≤X≤5)=0.3+0.1+0.2=0.6. 考点2 亏，[例2]解 日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次为 130,3,10, 根据题意可得X的所有可能取值为14,15,16,17,18, 19,20, 则P(X=14)=亏×亏-25 P(X=15)=号×3×2=2, P(X=16)=号×3×2+3×3=4, P(X=17)=3×3×2+亏×1×2=25, P(X=18)=30×1×2+3×3=50, P(X=19)=号×1×2=2, P(X=20)=10×10=100, 所以X的分布列为 X 14 15 16 17 18 19 20 [变式训练] P 15 32、 解(1)记事件M=“取到黑球停止时恰好把2个红球全部取 出”,A=“第3次取到黑球，即前2次取出的全是红球”,B= “第4次取到黑球，前3次取出的球中含2个红球和1个白 球”,则P(M)=P(AUB)=A+A-3 (2)由题意知，随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5, P(=0)=4,P(=1)=六=,P(G=2)==6,P(E=3) -CAA-言，P(G=4)=A-,P(=5)-A-4 所以随机变量∈的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P 1a 6 1正 4 所以E(E)=o×4+1×1+2×#+3×1+4×1+5×4 =5 考点3 [例3]解(1)乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功， 记乙闯关成功为事件A,则P(A)=c(号)2×号+(号) -25 (2)由题意知随机变量X所有可能取值为0,1,2,3, 高考一轮总复习·数学·RJA P(X=o)=C=3,P(X=1)=c=3,P(X=2)=则 C1,P(X=3)=C-, 故X的分布列为 是<3,所以贵+1=3 .因为：所以甲闯关成功的概率为 甲比乙闯关成功的可能性大. [变式训练] 解(1)从参与评价的网民中随机抽取1人，抽取到“好评”的 92000=2.概率为 (2)^×2+(2)×(1-2)=16·则抽取了5次的概率为 (2)在给予“中评”评价的网民中，50岁以下与50岁以上(含50 岁)的人数之比为3:2, 因此在抽取的10人中，50岁以下与50岁以上(含50岁)的人 数分别为6和4. 依题意知X服从参数N=10,n=3,M=6的超几何分布， P(X=k)=C,k=0,1,2,3.所以 于是X的分布列为 第7讲 离散型随机变量的数字特征 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1x:p,2E(X)+b 3aE(X)4aE(X)+b 5(x?-E(X))2p:6保持不变 7D(X) 8a2 9a2D(X)0a2D(X)1偏离程度 2离散程度 3集中 4分散 诊断自测 1.(1)×(2)√(3)√(4)× 2.D 解析 依题意，X的分布列为 因此E(X)=0.8,E(X2)=0.8,所以D(X)=E(X2)— [E(X)]2=0.8-0.82=0.16. 3.3 E(X)=-2+1=-3,解析 则EY)=E(2X+3)=2E(X)+3=-3+3=3 4.B 解析 由题意，知 X 0 1 2 3 P 13 319 12 6 X 0 1 2 3 P 13 3石 12 6 X 0 1 P 0.2 0.8 X~B(5,m+3),所以 E(X)=5× m+3=3,解得m=2, 所以X~B(5,3),所以D(X)=5×3×(1-3)=5· 5.A 解析 由题意，X的所有取值为1,2,3. P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2, E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p2>3, p<3或p>3(舍),即p2-3p+9>0,解得 (0,3).所以p的取值范围是 ·462·