第十章 第3讲 二项式定理-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

第二种方式，有一个地方去1名专家，另两个地方各去2名 专家， 的项为第5项，C错误； s..-×3×2X1-90共有- 所以分派方法的种数为60+90=150,故选B. 令k-8=-3,则k=5,所以T?=C(-1)?x=-56x?1,故 x?1项的系数为-56,D正确. 3.AD 解析 1+C+C+C=1+6+2×6+3×2×6=84 [变式训练] c:=3×2×7=84,A正确； 1.B 解析(方法一)因为甲不在两端，甲必在乙和丙之间，从 除了甲、乙、丙外的其他两人中任选1人，有A2种选法，选好 后这4个人有A2×A2种排法，再把剩下的一个人排在左端 或者右端，有2种排法，故共有A×A2×A2×2=16种不同 的排法. (方法二)因为乙和丙之间恰有2人，所以乙、丙及中间2人 占据首四位或尾四位， ”去1个由图可知，第n行有n+1个数字，若n是奇数，则第 ”去1+1和第? 个数字最大，且这两个数字一样大；若 n是偶 2+1数，则第- 个数字最大，故第2 024行的第1013个数字 最大，B错误； ①当乙、丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在 第6行、第7行、第8行的第7个数字分别为1,7,28,其和为 乙、丙中间， 36,第9行第7个数字是84,C错误； 排乙、丙有A2种方法，排甲有A2种方法，剩余两个位置两人 全排列有A2种排法， 依题意，第34行第14个数字是C3,第34行第15个数字 是C?, 所以有A2×A×A2=8种不同的排法； ②当乙、丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在 一3=2:3,D正确。所以 乙、丙中间， 4.A 解析 第4项的二项式系数为c=3×2×4=20. 排乙、丙有A2种方法，排甲有A2种方法，剩余两个位置两人 全排列有A2种排法， 5.C 解析 (1-)(x+2)°的展开式中x3的系数为C3· 所以有A2×A×A2=8种不同的排法. 23-C·2=160-12=148. 由分类加法计数原理可知，一共有8+8=16种不同的排法. [提升能力 考点剖析] 2.B 解析 完成这件事情需要三步： 考点1 第1步，先在第二、三、四笔选一笔写卧钩，有A3种写法； 第2步，然后在前四笔剩下的三笔中写左点、上点、撇，有A3 种写法； 第3步，最后一笔写右点只有1种写法. [例1](1)B 解析(x-√x)?的二项展开式为T+1= Cx?-(-√x)*=C(-1)*x?+(k=0,1,2,3,4), 4-2=3,令 ,解得k=2, 根据分步乘法计数原理可知，共有A×A3×1=3×3×2×1 =18(种)不同的笔顺. 故所求即为C(-1)2=6 3.B 解析 甲企业有2人，其余5家企业各有1人，共有7 人，所以从7人中任选3人共有C3种情况，发言的3人来自 2家企业的情况有C2C种，所以发言的3人来自3家不同企 业的可能情况共有C3-C2C?=30(种). (2)10 解析 令x=1,∴(1+1)"=32,即2"=32,解得n=5, 所以(x+1)?的展开式通项公式为T+1=CS·x?-,令5- k=2,则k=3, ∴T?=Cξx2=10x2. [例2](1)25 解析 由题意可知(2+1)×2"=96,得n=5,则 4.329 解析 由题意知集合中至多有一个奇数，其余均是 偶数. (2x+1)(x+1)°=(2x+1)(x+1), 首先讨论三位数中的偶数， ①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两 个进行排列，则这样的偶数有A3=72(个); (x+1) Csx?-()=Cx?-2,展开式的通项公式为! ②当个位不为0时，则个位有C4个数字可选，百位有C个 数字可选，十位有C个数字可选， (2x+1)(x+1)展开式中x2的系数为2C2+C所以( =25. 根据分步乘法这样的偶数共有CC'C=256, 最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为 72+256+1=329(个). 第3讲 二项式定理 [必备知识 夯实四基] (1-*)(x+y)?=(x+y)?-*(x+y?,(2)-28 解析 因为( 所以(1-x)(x+y)的展开式中含x2y?的项为Cgx2y?- cx2y3=-28x2y°, 知识梳理 1k+1 2相等 32" 所以(1-)(x+y)?的展开式中x2y的系数为-28. 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)√(4)√ (x+A-2)[例3](1)B 解析 由( 的展开式可知，常数项 2.D 解析 依题意得C!=C”,由组合数的性质得n=8.令x =1,得展开式中各项系数之和为(1-1)?=0,A错误； 为C·(-2)·c·()·√x+C·(-2)2=-20. (左-1)° 的展开式的通项为T+1=C(x+)8-因为二项式( (2)A 解析(x2+x-2y)?=[(x2+x)-2y]?的通项公式为 T,+=C?(x2+x)?(-2y), ·(-1)"=C(-1)"x?,k=0,1,⋯,8,令k-8=0,则k=8, 所以T,=C(-1)?x2=1,B错误； 令r=2,得T?=4C(x2+x)3y2,(x2+x)3的通项公式为 T+1=C?x23-A)x?=Cgx?-, (法-1)°又n=8,所以二项式 的展开式中二项式系数最大 高考一轮总复习·数学·RJA · 458· 令6-k=5,得k=1,T?=3x?,所以x?y2的系数为3×4C3 =120. [变式训练] (2x-1)1.D 解析 的展开式的通项为 T+=C?(2x)-(-1)=(-1)-2?CGa, (2x-1)令5-2r=1得r=2,所以( 的展开式中x的系数 为(-1)22?=2C2=80. 2.B 解析(2x-3)2(1-1) =(4x2-12x+9)(1-1)°, (1-1)展开式的通项为Tm=c(-1) =(-1)"Cx",k=0,1,2,3,4,5,6, 令—k=-4,则k=4;令-k=-3,则k=3;令—k=-2,则k =2, 所以x2项的系数为4×(-1)?C+(-12)×(-1)3C8+9× (-1)2C2=435. 3.B 解析 将原式看成6个相同的因子相乘，按x的选取个 数分类，得展开式中常数项为C+C;C(-2)+CC?(-2)2 =-59. 考点2 [例4]ABD 解析 对于A,二项式系数和为C2021+C2021+⋯ +C202=2021,故A正确； 对于B,令x=-1,得32021=ao-a?+a2-a3+⋯-a2021,① 令x=1,得-1=a?+a?+a?+a?+⋯+a2021,② ①+②,可得32021-1=2(a?+a?+⋯+a2020), ∴ao+a?+⋯+a2=32-1,,故B正确； 对于C,①-②,得3221+1=-2(a?+a?+⋯+a2021), a,+a?+⋯+az=-32+1,故C错误； x=,得0=a+2+2+⋯对于D,令x=0,得a。=1,令 +2 ∴2+2+⋯+2=-1,故D正确。 [变式训练] 1.B 解析 令x=1,则a?+a?+a?+a?+a?=1, 令x=-1,则a?-a?+a?-a?+ao=(-3)?=81, 故a,+a?+a=1281=41,故选B. 2.8 -2 解析 含x2的项为x·C3·x·(-1)3+2·C2· x2·(-1)2=-4x2+12x2=8x2,故a?=8; 令x=0,即2=a?, 令x=1,即0=a?+a?+a?+a3+a+a?, ∴a?+a?+a?+a?+a?=-2. 考点3 (1)(江+2落)[例5]解( 的展开式的通项为T+1= CC)(2)'=c:(一)z 1 因为展开式中前三项的系数成等差数列，所以2C,= c·(2)°+c·4,即n=1+"n81),,整理得n2-9n+ 8=0,解得n=8或n=1.又因为n≥2,所以n=8,所以第5 项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为T?= c:(2)z=385 c:(2)',(2)由(1)得展开式中项的系数为 cG)令 得 {9k228-k,整理得 解得2≤k≤3.因为k∈N,所以当k =2或k=3时项的系数最大.因此，展开式中系数最大的 项为T,=c:(2)2z+=7z+和T=c:(2)z+=7z+. [变式训练] T+=C:(2)(-x)2=BC 解析 展开式的通项公式为 2?(-1)℃x2?6, 由2r-6=0,得r=3,所以常数项为23(-1)3C3=-160,A错 误；展开式共有7项，所以第4项二项式系数最大，B正确；由 通项公式可得r为偶数时，系数才有可能取到最大值，由T?= 64x??,T?=240x-2,T?=60x2,T,=x?,可知第3项的系数最 大，C正确；令x=1,得a?+a?+a?+⋯+a?=(2-1)?=1,所 有项的系数和为1,D错误.故选BC. 第4讲 随机事件的概率、古典概型 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1S 2A+B 3A∩B 4 5A∩B=6AUB=Ω 1.(1)√(2)√(3)×(4)× 2.D 解析 两次中“至少有一次中靶”即“一次中靶或两次中 3.C 解析 由题意知，此人第一、二、三次不能打开门，第四次 相当于将四把钥匙排成一列，将大门钥匙排在第四个位置的 因此他第四次才能打开门的概率P=会-4 4.0.96 解析 记A=“产品为一等品”,B=“产品为二等品”, 0.16,所以P(C)=0.8+0.16=0.96. 其中护士甲恰被选中共有C2·C=6种不同的取法，故护士 70≤P(A)≤1 8P(A)+P(B)91-P(B) 靶”,与该事件不能同时发生的是“两次都不中靶”. 打开门， 概率. C=“产品为优质品”,则C=AUB,P(A)=0.8,P(B)= 2 P=6=2 诊断自测 5. 甲恰被选中的概率1 解析 任选1名医生、2名护士共有C2·C2=12种不 提升能力 考点剖析] 同的取法， 考点1 1.AB 解析 对于A选项，事件AUB指至少有一件次品，即 事件C,故A正确；对于B选项，事件BUD指至少有两件次 品或至多有一件次品，次品件数包含0到5,即代表了所有情 况，故B正确；对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即 事件A∩B=,故C错误；对于D选项，事件A∩D指恰有 一件次品，即事件A,而事件A和C不同，故D错误.故 选AB. 2.A 解析 对于AB,事件B和C不可能同时发生，但一次射 击中有可能击中环数为1,所以B与C互斥，不对立，所以A 正确，B错误；对于CD,事件A与D有可能同时发生，所以 A与D既不互斥，也不对立，所以CD错误，故选A. ·459· 高考一轮总复习·数学·RJA 第十章计数原理，景率.随机变量及其分布回 乡变式训练多 A.12种 B.18种C.24种 D.30种 1.(2024·1月九省适应性测战)甲、乙、丙等5人 3.某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中 站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人， 甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到 则不同的排法共有 会，会上任选3人发言，则发言的3人来自3家 A.20种B.16种C.12种D.8种 不同企业的可能情况的种数为 () 2.(2025·赤峰模拟)书写汉字时，笔顺对书写的速 A.15 B.30 C.35 D.42 度和字形的美观有非常关键的影响，为了满足课 4.(2024·新高考上海卷)设集合A中的元素皆为 堂教学的需要，我们制定了一套现代汉语通用字 无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之 的笔顺规范，但在进行书法创作时，笔顺则更加 积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 灵活多变，比如“必”字有五笔：左点、上点，右点、 撇、卧钩，若要求第一笔不写卧钩，且最后一笔写 请完成《课时检测训练61》 右点，则“必”字不同的笔顺有 第3讲二项式定理 课标多求 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单 问题 必备知识 [对应答案P458] 夯实四基可 知识梳理 C取得最大值：当”是奇数时，中间的两项C园 1.二项式定理 与C宁相等，且同时取得最大值， 二项式 (a+b)”=Ca”+Ca16+…十 (3)各二项式系数的和：(a十b)"的展开式的各二 定理 Ca"tb+…+C(n∈N) 项式系数的和等于图 二项展开 T,1=Cab,它表示展开式的第回 常用结论 式的通项 项 1.两个常用公式 (1)C%+C,+C2+…+C=2. 二项式系数 C(k=0,1,…,n)》 (2)C8+C+C+…=C十C+C+…=2"-1 2.二项式系数的性质 2.二项展开式的三个重要特征 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式 (1)字母a的指数按降幂排列由n到0. 系数☑ (2)字母b的指数按升暴排列由0到n. (2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项 (3)每一项字母口的指数与字母b的指数的和等 于. 207 国高考一轮总复习·数学·RJA 诊断自测 杨辉角 行 思考辨析 第 11 121 1.判断（在括号内打“√”或“×”） 1331 第4行 1 46 41 (I)C*a"-b是二项展开式的第k项. 第5有 15101051 () 第行 1615201561 郊7行 172135352171 (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项 第行 182807056 第9行 193684126126813691 或中间两项， () 第10斤行1104512021025221012045101 (3)在(a十b)”的展开式中，每一项的二项式系数 第11行1115516533046246233016555111 与a,b无关. ( A.1+C6+C号+Cg=C (4)在(a十b)”展开式的通项T,+1=Ca"b中， B.第2024行的第1012个和第1013个数字 a和b不能互换. ( 最大 教材衍化 C.第6行、第7行、第8行的第7个数字之和等 2.(人A选择性必修第三册P35习题6.3T8改编) 于第9行的第7个数字 在二项式（后刂广的展式中，已知第2现与 D.第34行从左到右第14个数与第15个数之比 为2：3 第8项的二项式系数相等，则下列说法正确的是 易错自纠 A.各项系数之和为256 4(线清“系数”与三项选系数”致错)在(-)》 B.展开式的常数是0 的二项展开式中，第4项的二项式系数是 C.二项式系数最大的项是第4项 D.x1项的系数为-56 A.20 B.-20 C.15 D.-15 3.(多选)（人A选择性必修第三册P39救学探究 5.(不能转化二项式的积政错)1一是)x+2)的 改编)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解 九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱 展开式中x的系数为 好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正 A.160 B.-160 C.148 D.-148 确的是 提升能力 考点剖析⊙ [为应答案P458] 考点( 通项公式的应用（多维探究） 角度1 形如(a+b)"(n∈N)的展开式的特 为 定项 角度2形如(a+b)"(c+d)(m,n∈N”)的展 [例1门(1)(2024·新高考北章卷)(.x一√元)'的二 开式问题 项展开式中x的系数为 例2 )若(2x+)(x+) 展开式中各项的 A.15 B.6 C.-4 D.-13 系数之和为96，则展开式中x的系数为 (2)(2024·新高考上海卷)在(x十1)的二项 展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数 208 第十章计数原理，意率，随机变量及其分布回 (2)(2022·新高考1卷)1-￥)x+)的展 (2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问 题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合 开式中xy的系数为 ,(用数字作答) 思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免 角度3形如(a+b+c)*(n∈N°)的展开式 重复或遗福。 例3 + 的展开式中常数项为 (3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决. ◆变式训练 A.-6 B.-20 1.(2023+ 北京卷) (2x-） 的展开式中x的系 C.0 D.20 (2)(2023·四川德阳·三模)(x2十x-2y)°的 数为 () A.-80 B.-40 展开式中，xy的系数为 ( C.40 D.80 A.120 B.60 C.40 D.30 2.(2023·辽宁沈阳· 就考三模)(2x一3) 感悟方法 -》 的展开式中，含x项的系数为() 二项展开式通项的应用策略 A.430 B.435 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项 C.245 D.240 公式后，令字母的指数将合要求（求常数项时， 的展开式中常数项为 指数为零：求有理项时，指数为整数等)，解出项 A.-61 B.-59 数十1，代入通项公式即可. C.-57 D.-55 考点2 各二项式系数和与各项系数和（师生共研） [例4（多选）(2024·山东师范大学附中高三期 (2)若f(r)=an十ax+ax2十…十anx",则 中)已知(1-2x)2m1=a。十ax+a,x2+a2x十 (x)展开式中各项系数之和为(1)，偶次项系 …十a41x2,则下列说法正确的是( A.展开式中所有项的二项式系数和为2 数之和为a,十a,+a,+…=1D+-卫，奇 2 B.展开式中所有偶次项系数和为3,1 次项系数之和为a1十a十a6十… C.展开式中所有奇次项系数和为3一」 f(1)-f(-1) 令x=0,可得a=f0). 2 冬变式训练 1.(2022·北京卷)若(2x-1)'=a,x+a1x+a:x 感悟方法 十a1x十a,则a十a2十a,= () 赋值法求系数和的应用技巧 A.40 B.41 (1)对形如(ax十b)",(ax2+bx十c)"(a,b,c∈ C.-40 D.-41 R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋 2.(2022·浙江卷)已知多项式(x+2)(x-1)=a 值法，只需令x=1即可：对形如(a.x十by)"(4, b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 十ax+a2+ax+ax+ax,则a= x=y=1即可. a1十a十a3十a,十a= 209⑧ 国高考一轮总复习·数学，RJA 考点3 二项展开式中的最值问题（师生共研） 例5]已知(+ 的展开式中，前三项的 数分别为A1·A,…,A。1,且第k项系数最 大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中 系数成等差数列， 项的系数的最大值只需解不等式组 (1)求展开式中二项式系数最大的项： (2)求展开式中系数最大的项. A≥A-1'即得结果. A≥A+1· ◆变式训练 (多选)在（层- 的展开式中，下列说法正确的 感悟方法 是 () 求解二项展开式中系数的最值策略 A.常数项为160 B.第4项的二项式系数最大 (1)求二项式系数的最大值，则依据(a十b)"中 C.第3项的系数最大 n的奇偶及二项式系数的性质求解. D.所有项的系数和为64 (2)求展开式中项的系数的最大值，由于展开式 中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系 请完成《课时检测训练62》 第4讲 随机事件的概率、古典概型 课标多求 1,了解概率的意义以及频率与概率的区别，理解事件间的关系与运算 2.理解古典概型及其概率计算公式。 对应答案P5和 必备知识 夯实四基。 知识梳理 续表 1.随机事件 事件的关判 含义 符号表示 图形表示 系或运算 (1)事件的分类 必然中件在茶件了 一定发业 并事件 A与B至 AUB或 确定 件 不可能事件在条件$下龙不发年 和事件少一个发生 四 件 机在条件S下 半件 可能发生也可能不发生 交事件 A与B同 ☒ (2)两个事件的关系和运算 积事件 时发生 或AB 事件的关 含义 符号表示 图形表示 互斥（互A与B不能 系或运算 AnB=可 不相容) 同时发生 A发生导 A与B有 包含 A四B 固 致B发生 互为对 且仅有一 且团 个发生 210