第十章 第2讲 排列与组合-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

国高考一轮总复习·数学，RJA 第2讲 排列与组合 课标要求！ 1.理解排列、组合的概念。 2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式。 3.能利用排列组合解决简单的实际问题。 必备知识 夯实四基。 对应高案P以57酒 知识梳理 心常用结论 1.排列与组合的概念 解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排. 名称 定义 (2)合理分类与准确分步： 从n个不同元素中 按照口 (3)排列、组合混合问题要先选后排。 排列 取出m(m≤n)个 排成一列 (4)相邻问题搁绑处理. (5)不相邻问题插空处理： 组合 元素 作为一组 (6)定序问题倍编法处理. 2.排列数与组合数 (7)分排问题直排处理. (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个 (8)“小集团”排列问题先整体后局部. 元素的所有☑ 的个数，用符号 (9)构造模型. 表示。 (10)正难则反，等价转化. (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个 诊断自测 元素的所有国 的个数，用符号固 思考辨析 表示。 1.判断（在括号内打“√”或“×”） 3.排列数、组合数的公式及性质 (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列. () (1)A=固 (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后 (n-mn,m∈N,且m≤. 顺序 () ec-是 (3)若组合式C=C,则x=m成立. ( 公式 (4)排列定义规定给出的个元素各不相同，并 n(n-1)(n-2)…(n-m十1) 且只研究被取出的元素也各不相同的情况.也就 ! 是说，若某个元素已被取出，则这个元素就不再 m!(m-m1n,m∈N,且n≤. m! 取了， () 特别地C=1 教材衍化 2.(人A选择体必修第三册P27习题6.2T14改 (1)0!=回：A-☒ 性质 编)一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目， (2)C=C":C”1=回 要求必须有人去，但去几个人自行决定.其中甲 204 第十章计数原理，景率.随机变量及其分布回 和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍 易错自纠 同学的去法共有 ( ) 4.(急视组合数的生质致错)若C'=C”,则正 A.15种B.28种C.31种D.63种 整数x的值是 3.(人A选择性必修第三开P28习题6.2T19改 5,(息视平均分组致铅)随着马拉松运动的普及，我 编)有5名同学进行投篮比赛，决出第1名至第5 国已成功举办多次全民马拉松赛事.现某城市举 名，教练在公布成绩前透露，五名同学中的甲、乙 办全民马拉松比赛，第一处供给点需要三组工作 名次相邻，丙不是第一名，丁不是最后一名，根据 人员，其中有3名医生和6名社会志愿者组成， 教练的说法，这5名同学的名次排列最多有 每组人员由1名医生和2名志愿者组成.根据需 种不同的情况. 要，志愿者甲与乙要分配在同一组，则这9名工 A.28 B.32 C.54 D.64 作人员分组方法种数为 [对应答案P457 提升能力 考点剖析 考点小 排列问题（师生共研） [例1](1)(2023·全四甲卷理科)有五名志愿者 件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多 参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每 的问题可以采用间接法】 天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参 令变式训练》 加两天服务的选择种数为 A.120 1.(2023·安微黄山·就考三模)为纪念我闲伟大数学 B.60 C.40 D.30 家祖冲之在圆周率上的贡献，国际上把3.1415926 (2)(2023·西北工业大学附属中学·模拟)将 8张连号的门票分给5个家庭，甲家庭需要3张 称为“祖案”.某教师为了增加学生对“祖率”的印 连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余 象，以“祖率”为背景设计如下练习：让同学们把 的3张门票随机分给其余的3个家庭，并且甲、 小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机 乙两个家庭不能连排在一起（甲、乙两个家庭内 排列，整数部分不变，那么可以得到小于3.14的 部成员的顺序不予考虑)，则这8张门票不同的 不同数有 ()》 分配方法有 种 A.480个B.120个C.240个D.720个 感悟方法 2.(2023·全国之卷理科)甲，乙两位同学从6种课 对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位 外读物中各白选读2种，则这两人选读的课外读 置分析法和元素分析法，在实际进行排列时一 物中恰有1种相同的选法共有 () 般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条 A.30种 B.60种 C.120种D.240种 考点2 组合问题（师生共研） 例2](1)(2023·新高考金国I卷)某学校开设 (2)某班准备从甲、乙等5人中选派3人发言， 了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学 要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发 生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每 言顺序有 () 类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共 A.18种 B.36种 有 种（用数字作答）. C.54种 D.60种 205⑧ 国高考一轮总复习·数学·RJA 感悟方法 冬变式训练多 1.(2023·吉林市教育学院模拟)为了保障疫情期 两类含有附加条件的组合问题的方法 间广大市民基本生活需求，市政府准备了茄子、 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若 辣椒，白菜、角瓜、菜花、萝卜、黄瓜、土豆八种蔬 “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补 菜，并从中任选五种，以“蔬菜包”的形式发给市 足：若“不含”，则先将这些元素别除，再从剩下 民.若一个“蔬菜包”中不同时含有土豆和萝卜， 的元素中选取. 且角瓜、黄瓜、辣椒最多只含有两种，则可以组成 (2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型： 种不同的“蔬菜包” 解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两 2.(2024·上海市七宝中学模拟)从3位男同学，5 个关键词的含义，谨防重复与溺解.用直接法或 位女同学这8位同学中选出3人参加学校一项 间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，可用 活动，求至少有2位女同学的选法种数为 间接法求解 考点3 排列组合的综合问题（多维探究） 角度1相邻相间问题 感悟方法☑ [例3](1)(2023·贵州遵义·高三开学考试)现 定序问题的处理策略 有甲、乙、丙，丁四位同学要与两位老师站成一 对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行 排合影留念，则甲同学不站两端且两位老师必 排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素为 须相邻的站法有 ( A.72种B.144种C.288种D.576种 m个，则排列数为m十n)出 n！ (2)随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火 角度3分组分配问题 遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、 [例5]“碳中和”是指企业、团体或个人等测算在 乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成 一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总 一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩嫩”相邻 量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自 的排队方法数为 ( 身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排 A.240 B.480 C.1440 D.2880 放”.某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别 感悟方法 到A,B,C三地指导“碳中和”工作，每位专家只 去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派 常用的两种求解排列组合问题的两种方法 方法的种数为 ( (1)相邻问题采用“捆绑法”： A.90 B.150 C.180 D.300 (2)不相邻问题采用“插空法” 角度2定序问题 感悟方法多 [例4]某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中 解决分组分配问题的策略 共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地 (1)对于整体均分，分组后一定要除以A“(n为 邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三 均分的组数)，避免重复计数 个不同的节目添人节目单，而不改变原来的节 (2)对于部分均分，若有m组元素个数相等，则 目顺序，则不同的安排方式有 种 分组时应除以A!. 206 第十章计数原理，景率.随机变量及其分布回 乡变式训练多 A.12种 B.18种C.24种 D.30种 1.(2024·1月九省适应性测战)甲、乙、丙等5人 3.某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中 站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人， 甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到 则不同的排法共有 会，会上任选3人发言，则发言的3人来自3家 A.20种B.16种C.12种D.8种 不同企业的可能情况的种数为 () 2.(2025·赤峰模拟)书写汉字时，笔顺对书写的速 A.15 B.30 C.35 D.42 度和字形的美观有非常关键的影响，为了满足课 4.(2024·新高考上海卷)设集合A中的元素皆为 堂教学的需要，我们制定了一套现代汉语通用字 无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之 的笔顺规范，但在进行书法创作时，笔顺则更加 积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 灵活多变，比如“必”字有五笔：左点、上点，右点、 撇、卧钩，若要求第一笔不写卧钩，且最后一笔写 请完成《课时检测训练61》 右点，则“必”字不同的笔顺有 第3讲二项式定理 课标多求 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单 问题 必备知识 [对应答案P458] 夯实四基可 知识梳理 C取得最大值：当”是奇数时，中间的两项C园 1.二项式定理 与C宁相等，且同时取得最大值， 二项式 (a+b)”=Ca”+Ca16+…十 (3)各二项式系数的和：(a十b)"的展开式的各二 定理 Ca"tb+…+C(n∈N) 项式系数的和等于图 二项展开 T,1=Cab,它表示展开式的第回 常用结论 式的通项 项 1.两个常用公式 (1)C%+C,+C2+…+C=2. 二项式系数 C(k=0,1,…,n)》 (2)C8+C+C+…=C十C+C+…=2"-1 2.二项式系数的性质 2.二项展开式的三个重要特征 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式 (1)字母a的指数按降幂排列由n到0. 系数☑ (2)字母b的指数按升暴排列由0到n. (2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项 (3)每一项字母口的指数与字母b的指数的和等 于. 2073.B 解析 长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为 6×6=36,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线 面组”的个数为6×2=12,故符合条件的“平行线面组”的个 数是36+12=48. 第2讲 排列与组合 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 ①一定的顺序 2不同排列 3A"④不同组合 5C 6n(n-1)(n-2)⋯(n-m+1)71 8n! 9C"+C- 1.(1)×(2)×(3)×(4)√ 2.C 解析 若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2,3, 4,5,6,则满足条件的去法有C+C4+C2+C3+C=16 4,则满足条件的去法有C+C2+C3+C=15(种).故该宿 3.A 解析 根据题意，用间接法分析：五名同学中的甲、乙名 其中甲、乙名次相邻且丙是第一名排法有AA3=12(种), 乙名次相邻且丙是第一名，同时丁是最后一名的排法有 则所求最多有48-12-12+4=28(种). 4.5或7 解析 因为C2-1=C6,所以2x-1=x+6或2x— 1+x+6=20,解得x=7或x=5. 5.18 解析 志愿者分组情况有=3(种),搭配3名医生有 [提升能力 考点剖析] 诊断自测 (种);若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1,2,3, 舍同学的去法共有16+15=31(种). 次相邻，有A2A?=48种情况， 甲、乙名次相邻且丁是最后一名排法有A?A3=12(种),甲、 A2A2=4(种). 3A3=18(种). 考点1 [例1](1)B 解析 不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e,假设a连 续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加 星期六与星期天的社区服务，共有A2=12种方法； 同理，b,c,d,e连续参加了两天社区服务，也各有12种 方法， 所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5× 12=60(种). (2)72 解析 设8张门票的编号为1,2,3,4,5,6,7,8, 若甲选123,则乙可以是56,67,78共3种，此时共有3A3= 18(种); 若甲选234,则乙可以是67,78共 2种，此时共有2A3= 12(种); 若甲选345,则乙可以是78共1种，此时共有A3=6(种); 若甲选456,则乙可以是12共1种，此时共有A3=6(种); 若甲 选567,则乙可以 是12,23 共 2 种，此 时 共有2A3=12(种); 若甲选678,则乙可以是12,23,34共3种，此时共有3A3= 18(种), 综上所述，不同的分配方法有18+12+6+6+12+18= 72(种). [变式训练] 1.C 解析 由题意先排十分位必为1,一种方法，再排百分位 可以为1或2,两种方法，最后排其余后面的数位，余下的五 个数字全排列即可，即不同种数有1×2×A?=240(个). 2.C 解析 首先确定相同的读物，共有C种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里， 选出两种进行排列，共有A?种， 根据分步乘法公式则共有C·A?=120(种).故选C. 考点2 [例2](1)64 解析 ①当从8门课中选修2门，则不同的选课 方案共有CC4=16(种); ②当从8门课中选修3门， a.若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C4C2= 24(种); b.若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有CC= 24(种); 综上所述，不同的选课方案共有16+24+24=64(种). (2)C 解析 若只有甲乙其中一人参加，有C?CA3=36种情况； 若甲乙两人都参加，有CC3A3=18种情况， 则不同的发言顺序种数36+18=54(种),故选C. [变式训练] 1.27 解析 当土豆和萝卜都不含有时，蔬菜包的种数为 CC3=3; 当土豆和萝卜中只含有一种时，蔬菜包的种数为C(C?C3+ C?C)=2×(3×3+3×1)=24, 所以可以组成不同“蔬菜包”种数为3+24=27. 2.40 解析 方法一：(分类讨论)选出的3人中至少有2名女 同学，则为2女1男有C3×C3种不同选法，3位都为女同学 有C种不同选法.所以有C2×C+C3=40种不同的选法. 方法二：(间接法)8位同学中选出3人不满足条件和选法为 3男与2男1女.所有选法为C3,则满足题意的选法为C3- C3-C3×C?=40(种). 考点3 [例3](1)B 解析 若甲同学在第二位，两位老师可以在第三、 第四位，或者两位老师在第四、第五位，或者两位老师在第 五、第六位，其他同学没有限制要求，有3AA3=36(种); 若甲同学在第三位，或者两位老师可以在第一、第二位，或 者两位老师可以在第四、第五位，或者两位老师在第五、第 六位，其他同学没有限制要求，有3A2A3=36(种); 若甲同学在第四位，两位老师可以在第一、第二位，或者两 位老师在第二、第三位，或者两位老师在第五、第六位，其他 同学没有限制要求，有3A2A3=36(种); 若甲同学在第五位，两位老师可以在第一、第二位，或者两 位老师在第二、第三位，或者两位老师在第三、第四位，其他 同学没有限制要求，有3AA3=36(种), 所以共有36×4=144(种). (2)B 解析 因为3个“冰墩墩”完全相同，将其中2个“冰墩 墩”捆绑，记为元素a,另外1个“冰墩墩”记为元素b. 先将甲、乙、丙、丁4位运动员全排，然后将a,b元素插入这 4位运动员所形成的空中，且a,b元素不相邻，则不同的排 法种数为AA3=480. [例4]720 解析 方法一：添入三个节目后共十个节目，故该 题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定.这七个 节目的不同安排方法共有A?种，添加三个节目后，节目单 中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列 方法有A1°种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排 -720(种)。方式共有 方法二：将十个节目看作10个元素排列位置.在10个位置 中选7个按一定顺序排列，有C??种排法，其余3个位置进 行全排列，有A3种排法，所以共有C。A3=720(种). [例5]B 解析 根据题意有两种方式： 第一种方式，有一个地方去3名专家，剩下的2名专家各去 一个地方， cC.A:=5×4X1×3×2×1=60种方法。共有 · 457· 高考一轮总复习·数学·RJA 第二种方式，有一个地方去1名专家，另两个地方各去2名 专家， 的项为第5项，C错误； s..-×3×2X1-90共有- 所以分派方法的种数为60+90=150,故选B. 令k-8=-3,则k=5,所以T?=C(-1)?x=-56x?1,故 x?1项的系数为-56,D正确. 3.AD 解析 1+C+C+C=1+6+2×6+3×2×6=84 [变式训练] c:=3×2×7=84,A正确； 1.B 解析(方法一)因为甲不在两端，甲必在乙和丙之间，从 除了甲、乙、丙外的其他两人中任选1人，有A2种选法，选好 后这4个人有A2×A2种排法，再把剩下的一个人排在左端 或者右端，有2种排法，故共有A×A2×A2×2=16种不同 的排法. (方法二)因为乙和丙之间恰有2人，所以乙、丙及中间2人 占据首四位或尾四位， ”去1个由图可知，第n行有n+1个数字，若n是奇数，则第 ”去1+1和第? 个数字最大，且这两个数字一样大；若 n是偶 2+1数，则第- 个数字最大，故第2 024行的第1013个数字 最大，B错误； ①当乙、丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在 第6行、第7行、第8行的第7个数字分别为1,7,28,其和为 乙、丙中间， 36,第9行第7个数字是84,C错误； 排乙、丙有A2种方法，排甲有A2种方法，剩余两个位置两人 全排列有A2种排法， 依题意，第34行第14个数字是C3,第34行第15个数字 是C?, 所以有A2×A×A2=8种不同的排法； ②当乙、丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在 一3=2:3,D正确。所以 乙、丙中间， 4.A 解析 第4项的二项式系数为c=3×2×4=20. 排乙、丙有A2种方法，排甲有A2种方法，剩余两个位置两人 全排列有A2种排法， 5.C 解析 (1-)(x+2)°的展开式中x3的系数为C3· 所以有A2×A×A2=8种不同的排法. 23-C·2=160-12=148. 由分类加法计数原理可知，一共有8+8=16种不同的排法. [提升能力 考点剖析] 2.B 解析 完成这件事情需要三步： 考点1 第1步，先在第二、三、四笔选一笔写卧钩，有A3种写法； 第2步，然后在前四笔剩下的三笔中写左点、上点、撇，有A3 种写法； 第3步，最后一笔写右点只有1种写法. [例1](1)B 解析(x-√x)?的二项展开式为T+1= Cx?-(-√x)*=C(-1)*x?+(k=0,1,2,3,4), 4-2=3,令 ,解得k=2, 根据分步乘法计数原理可知，共有A×A3×1=3×3×2×1 =18(种)不同的笔顺. 故所求即为C(-1)2=6 3.B 解析 甲企业有2人，其余5家企业各有1人，共有7 人，所以从7人中任选3人共有C3种情况，发言的3人来自 2家企业的情况有C2C种，所以发言的3人来自3家不同企 业的可能情况共有C3-C2C?=30(种). (2)10 解析 令x=1,∴(1+1)"=32,即2"=32,解得n=5, 所以(x+1)?的展开式通项公式为T+1=CS·x?-,令5- k=2,则k=3, ∴T?=Cξx2=10x2. [例2](1)25 解析 由题意可知(2+1)×2"=96,得n=5,则 4.329 解析 由题意知集合中至多有一个奇数，其余均是 偶数. (2x+1)(x+1)°=(2x+1)(x+1), 首先讨论三位数中的偶数， ①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两 个进行排列，则这样的偶数有A3=72(个); (x+1) Csx?-()=Cx?-2,展开式的通项公式为! ②当个位不为0时，则个位有C4个数字可选，百位有C个 数字可选，十位有C个数字可选， (2x+1)(x+1)展开式中x2的系数为2C2+C所以( =25. 根据分步乘法这样的偶数共有CC'C=256, 最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为 72+256+1=329(个). 第3讲 二项式定理 [必备知识 夯实四基] (1-*)(x+y)?=(x+y)?-*(x+y?,(2)-28 解析 因为( 所以(1-x)(x+y)的展开式中含x2y?的项为Cgx2y?- cx2y3=-28x2y°, 知识梳理 1k+1 2相等 32" 所以(1-)(x+y)?的展开式中x2y的系数为-28. 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)√(4)√ (x+A-2)[例3](1)B 解析 由( 的展开式可知，常数项 2.D 解析 依题意得C!=C”,由组合数的性质得n=8.令x =1,得展开式中各项系数之和为(1-1)?=0,A错误； 为C·(-2)·c·()·√x+C·(-2)2=-20. (左-1)° 的展开式的通项为T+1=C(x+)8-因为二项式( (2)A 解析(x2+x-2y)?=[(x2+x)-2y]?的通项公式为 T,+=C?(x2+x)?(-2y), ·(-1)"=C(-1)"x?,k=0,1,⋯,8,令k-8=0,则k=8, 所以T,=C(-1)?x2=1,B错误； 令r=2,得T?=4C(x2+x)3y2,(x2+x)3的通项公式为 T+1=C?x23-A)x?=Cgx?-, (法-1)°又n=8,所以二项式 的展开式中二项式系数最大 高考一轮总复习·数学·RJA · 458· 令6-k=5,得k=1,T?=3x?,所以x?y2的系数为3×4C3 =120.