第十章 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

第十章计数原理，景率.随机变量及其分布回 第干章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课标多求1 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理。 2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题 必备知识 夯实四基⑦ [对应音案P455 知识梳理 诊断自清 1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方 思考辨析 案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2 L.判断（在括号内打“√”或“×”） 类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共 (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的 有N-回 种不同的方法。 方法可以相同， () 2.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤， (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法 做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不 都能直接完成这件事. () 同的方法，那么完成这件事共有N=☑种 (3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的， 不同的方法. 其中任何一个单独的步骤都能完成这件事。 常用结论 () (4)从甲地经丙地到乙地是分步问题.() 两个计数原理的区别与联系 教材衍化 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 2.(人A选择性必修第三册P11习题6.1T6改编) 满足a,b∈{一1,0,1,2)，且关于x的方程a.x2+ 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 2.x十b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为 分类、相加 分步、相来 () A.14 B.13 每步依次完成才算完成 不同点 每类方案中的每 C.12 D.10 这件事情（每步中的每 一种方法都能独 3.(人A选择佳必修第三册P12习题6.1T12改 一种方法不能独立完成 立完成这件事 编)整数3528有 个不同的正因数 这件事) ( A.10 B.12 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可 C.36 D.40 201盈 国高考一轮总复习·数学，RJA 易错自纠 4.(分类讨论失误政错)如图所示，在A,B间有四 个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则 5.(寇视0的特球性政错)由0,1,2,3,4,5这6个 电路不通.则因为焊接点脱落而导致电路不通的 数字可以组成 个没有重复数字的三位 情况有 种. 偶数. 提升能力 考点剖析⊙ [对应答案P456] 考点 分类加法计数原理（题组通关） 1.根据马伯庸的小说《长安十二时辰》同名改编 2.甲、乙、丙三人踢键子，互相传递，每人每次只能 的电视剧中，靖安司通过长安城内的望楼传 踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，键子又被 递信息，望楼传递信息的方式如下：如图所 踢回给甲，则不同的传递方式共有 种， 示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫 3.如果一个三位正整数如“a,aa,”满足a,<a2且 色（此处以阴影代表紫色）之间变换·从而一 a>a1,那么称这样的三位数为凸数（如：120， 共可以有512种不同的颜色组合，即代表 343,275等)，则所有凸数的个数为 512种不同的信息.现要求最多出现2个紫 感悟方法 色格子，那么一共可以传递的不同的信息有 分类标准的选择 (1)应抓住题目中的关键词、关健元素、关键位 置.根据题目特点恰当选择一个分类标准。 (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法 必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种 A.36种 B.45种 方法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏 C.46种 D.84种 考点2 分步乘法计数原理（师生共研） 例1](1)在一次运动会上有四项比赛的冠军在 感悟方法 甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共 利用分步乘法计数原理解题的策略 有 () (1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完 A.A种B.4种C.3种D.4×3种 成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的. (2)(2024·山东济南·模拟)“回文联”是对联 (2)将这件事划分成几个步豫来完成，各步骤之 中的一种，既可顺读，也可倒读.比如，一副描绘 间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了， 厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天 整个事件才算完成. 连水尾水连天，由此定义“回文数”，n为自然 冬变式训练 数，且n的各位数字反向排列所得自然数n'与n 1.(2025·延边模拟)为提高学生的身体素质，某校 相等，这样的n称为“回文数”，如：1221， 开设了游泳和篮球课程，甲、乙、丙3位同学每人 2413142.则所有5位数中是“回文数”且各位数 从中任选1门课程参加，则不同的选法共有 字不全相同的共有 () A.5种 B.6种 C.8种D.9种 A.648个B.720个C.810个D.891个 ③202 第十章计数原理，概率，随机变量及其分布回 2.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到 6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情 右第二个号码只能从字母B,C,D中选择，其他 况有 () 四个号码可以从0一9这十个数字中选择（数字 A.180种 B.360种 可以重复).某车主第一个号码（从左到右）只想 C.720种 D.960种 在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3， 考点3 两个原理的综合应用（多雏探究） 角度1数值问题 (2)①分类要做到“不重不福”： [例2]用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成 ②分步要做到“步骤完整”： 个无重复数字的四位偶数.（用数字 ③混合问题一般是先分类再分步， 作答) (3)解题时可以画出示意图或树状图，使问题的 角度2涂色问题 分析更直观，清楚，便于探索规律， [例3](2023·四川资阳·模拟)某社区计划在该 冬变式训练 小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相 1.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位 邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布 数，其中比40000大的偶数共有 () 置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则 A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 不同的布置方案有 ) 2.(2025·长春模拟)中国是世界上最早发明雨伞 的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造，如 图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每 个区域分别印有数字1,2,3，…，8，现准备给该 A.360种 B.420种 伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜 C.480种 D.540种 色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两 角度3几何图形问题 个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有 [例4]一直线和圆相离，这条直线上有6个点，圆 ?种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方 周上有4个点，通过任意两点作直线，最少可作 案有 直线的条数是 A.37 B.19 C.13 D.7 感悟方法 两个计数原理应用要点 A.1050种 B.1260种 (1)应用两个计数原理的难，点在于明确分美还 C.1302种 D.1512种 是分步 3.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与 在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分 平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中， 类”与“分步”的具体标准是什么，选择合理的标 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面 准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏， 构成的“平行线面组”的个数是 A.60 B.48 C.36 D.24 请完成《课时检测训练60 203可得 考点3 [例4]解(1)2×2列联表如下： 2 所以b=r√2.297≈0.95×1.516≈1.440. 又因为x=37.96,y=39.1, 所以a=y-bx≈-15.56, 所以y与x的线性回归方程为y=1.44x-15.56. 250-4所以本市5G手机用户对5G网络满意的概率约为 (3)第一个样本点(32.2,25.0)的残差为25.0-(1.44× (2)零假设为H?:本市5G手机用户对5G网络满意与年龄 在50岁以下无关. 32.2-15.56)=-5.808≈-5.81, 由于该点在回归直线的右下方，故将其剔除后，b的值将 变大. 根 据 列 联 表 中的数据，计 算可得 x2= 200×09×825152×55)2-2~2.778<3.841. -1+拟合效果更好[例3]解(1)Logistic非线性回归模型3 从散点图看，散点更均匀地分布在该模型拟合曲线附近； 从残差图看，该模型下的残差更均匀地集中在以残差为0 的直线为对称轴的水平带状区域内. 根据小概率值a=0.05的x2独立性检验原则，没有充分证 据推断H。不成立，因此可以认为H。成立，即认为本市5G 手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关. [变式训练] (2)将y=1+“-转化为e(“-1)=a-bu, --0208 解(1)由表可知锻炼时长不少于1小时的人数占比为 17958+28-38 则估计该地区29 000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的 人数为29000×38=12500. (2)估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为 所以b=0.208, 所以a=w—(-b)·E=-1.608+0.208×10.5=0.576, =1+e5,所以y关于t的经验回归方程为 -1+5~当t=22 时，体长 12.28(mm). 58[°5×139+0.5+1×191+1+1.5×179+1.5+2×43+ 2+2.5×28]≈0.9. 则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时. (3)由题列联表如下： [变式训练] 解(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x= 16=0.06, y=39=0.39,样本中10棵这种树木的材积量的平均值5 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2, 平均一棵的材积量为0.39 m3. 提出零假设H。:该地区学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于 1小时且小于2小时无关. 0 其中α=0.05. x=58095×5483×22×3802≈3.976>3.841. 则零假设不成立， 即有95??把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1 小时且小于2小时有关. 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 -0.038-10×0.-60×0.6158-30×0.395 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 _必备知识 夯实四基] 知识梳理 =0.003896~0.0134~0.97, 1m+n 2m×n诊断自测 则r≈0.97. 1.(1)×(2)√(3)×(4)√ (3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 2.B 解析 当a=0时，关于x的方程为2x+b=0,此时有序 数对(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2)均满足要求；当a≠0时，△ 0.39=86,解得Y=1209.可得 则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3. =4-4ab≥0,ab≤1,此时满足要求的有序数对为(-1, -1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1), (2,-1),(2,0).综上，满足要求的有序数对共有13个. · 455· 满意 情况 年龄 合计 50岁以下 50岁或50岁以上 满意 95 55 150 不满意 25 25 50 合计 120 80 200 [1,2] 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 高考一轮总复习·数学·RJA 3.C 解析 3528=2?×32×72,3528的正因数必为2"×3°× 7°的形式，a∈{0,1,2,3},b∈{0,1,2},c∈{0,1,2},所以 3528共有4×3×3=36个不同的正因数. 4.13 解析 若脱落1个，则有(1),(4)两种情况； 若脱落2个，则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) 共6种情况； 若脱落3个，则有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4)共4 种情况； 若脱落4个，则有(1,2,3,4)共1种情况，综上共有2+6+4 +1=13种情况. 故答案为13. 5.52 解析 根据题意，对该没有重复数字的三位偶数进行分 类讨论. 第一类：0在个位数时，先填百位，有5种方法，再填十位，有 4种方法，故能组成5×4=20个没有重复数字的三位偶数； 第二类：0不在个位数时，先填个位，只有2,4两种方法，再 填百位，0不能在此位，故有4种方法，最后填十位，有4种方 法，故能组成2×4×4=32个没有重复数字的三位偶数. 综上，一共可以组成32+20=52个没有重复数字的三位 偶数. [提升能力 考点剖析] 考点1 1.C 解析 若一个紫色格子也没出现，可以传递1种信息；若 出现1个紫色格子，可以传递9种不同信息；若出现2个紫 色格子，可以传递C2=36种不同信息.所以若最多出现2个 紫色格子，可以传递1+9+36=46种不同信息. 2.6 解析 分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传 递方式(如图), 同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式. 由分类加法计数原理可知，共有3+3=6种传递方式. 3.240 解析 若a?=2,则百位数字只能选1,个位数字可选1 或0,“凸数”为120与121,共2个， 若a?=3,则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则 “凸数”有2×3=6(个), 若a?=4,满足条件的“凸数”有3×4=12(个), ⋯ 若a?=9,满足条件的“凸数”有8×9=72(个). 所以所有凸数有2+6+12+20+30+42+56+72 =240(个). 考点2 [例1](1)C 解析 由题意四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三 人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有 3×3×3×3=3'(种).故A,B,D错误.故选C. (2)D 解析 根据“回文数”的特点，只需确定前3位即可，最 高位即万位有9种排法，千位和百位各有10种排法，根据 分步乘法计数原理，共有9×10×10=900种排法，其中各 位数字相同的共有9种，则所有5位数中是“回文数”且各 位数字不全相同的共有900-9=891(种). [变式训练] 1.C 解析 甲、乙、丙3位同学每人都有2种不同的选法，根 据分步乘法计数原理可知，不同的选法共有2×2×2= 8(种). 2.D 解析 根据题意，车主第一个号码在数字3,5,6,8,9中 选择，共有5种选法， 第二个号码只能从字母B,C,D中选择，共有3种选法，剩下 的3个号码在1,3,6,9中选择，每个号码有4种选法，共有4 ×4×4=64种选法，则共有5×3×64=960种选法. 考点3 [例2]420 解析 要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四 位偶数”,所以千位数字不能为0,个位数字必须是偶数，且 组成的四位数中四个数字不重复，因此应先分类，再分步. ①第1类，当千位数字为奇数，即取1,3,5中的任意一个 时，个位数字可取0,2,4,6中的任意一个，百位数字不能取 与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字 重复的数字.根据分步乘法计数原理，有3×4×5×4=240 种取法。 ②第2类，当千位数字为偶数，即取2,4,6中的任意一个 时，个位数字可以取除首位数字外的任意一个偶数数字，百 位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取 与这三个数字重复的数字.根据分步乘法计数原理，有3× 3×5×4=180种取法. 所以根据分类加法计数原理，共可以组成240+180=420 个无重复数字的四位偶数. [例3]D 解析 如图，先在区域A布置花 卉，有5种不同的布置方案，再在区域E 布置花卉，有4种不同的布置方案，再在 区域D布置花卉，有3种不同的布置 方案. 若区域B与区域E布置同一种花卉，则区域C有3种不同 的布置方案； 若区域B与区域E布置不同的花卉，则区域B有2种不同 的布置方案，区域C有3种不同的布置方案. 故不同的布置方案有5×4×3×(3+2×3)=540(种). [例4]B 解析 为了使直线最少，应出现三点共线或更多的点 共线， 因为直线与圆相离，所以圆上的4个点与直线的6个点最 多有6个三点共线. 此时由圆上的四点共确定C2=6条直线. 圆上的1个点与直线上的6个点共确定6条直线，但是其 中有3条与圆上两点连线重合，所以有4×6-4×3=12. 另外直线上六点共1条直线。 所以共有6+12+1=19(条). [变式训练] 1.B 解析 ①当万位数字为5,个位数字为0时，有4×3×2 =24(个);②当万位数字为5,个位数字为2时，有4×3×2 =24(个);③当万位数字为5,个位数字为4时，有4×3×2 =24(个);④当万位数字为4,个位数字为0时，有4×3×2 =24(个);⑤当万位数字为4,个位数字为2时，有4×3×2 =24(个).由分类加法计数原理，得共有24+24+24+24+ 24=120(个). 2.C 解析 由题意可得，只需确定区域1,2,3,4的颜色，即可 确定整个伞面的涂色. 先涂区域1,有7种选择；再涂区域2,有6种选择. 当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩 下的区域4有5种选择. 当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种 选择. 故不同的涂色方案有7×6×(5×5+6)=1302(种). B C D A E 高考一轮总复习·数学·RJA ·456· 3.B 解析 长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为 6×6=36,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线 面组”的个数为6×2=12,故符合条件的“平行线面组”的个 数是36+12=48. 第2讲 排列与组合 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 ①一定的顺序 2不同排列 3A"④不同组合 5C 6n(n-1)(n-2)⋯(n-m+1)71 8n! 9C"+C- 1.(1)×(2)×(3)×(4)√ 2.C 解析 若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2,3, 4,5,6,则满足条件的去法有C+C4+C2+C3+C=16 4,则满足条件的去法有C+C2+C3+C=15(种).故该宿 3.A 解析 根据题意，用间接法分析：五名同学中的甲、乙名 其中甲、乙名次相邻且丙是第一名排法有AA3=12(种), 乙名次相邻且丙是第一名，同时丁是最后一名的排法有 则所求最多有48-12-12+4=28(种). 4.5或7 解析 因为C2-1=C6,所以2x-1=x+6或2x— 1+x+6=20,解得x=7或x=5. 5.18 解析 志愿者分组情况有=3(种),搭配3名医生有 [提升能力 考点剖析] 诊断自测 (种);若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1,2,3, 舍同学的去法共有16+15=31(种). 次相邻，有A2A?=48种情况， 甲、乙名次相邻且丁是最后一名排法有A?A3=12(种),甲、 A2A2=4(种). 3A3=18(种). 考点1 [例1](1)B 解析 不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e,假设a连 续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加 星期六与星期天的社区服务，共有A2=12种方法； 同理，b,c,d,e连续参加了两天社区服务，也各有12种 方法， 所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5× 12=60(种). (2)72 解析 设8张门票的编号为1,2,3,4,5,6,7,8, 若甲选123,则乙可以是56,67,78共3种，此时共有3A3= 18(种); 若甲选234,则乙可以是67,78共 2种，此时共有2A3= 12(种); 若甲选345,则乙可以是78共1种，此时共有A3=6(种); 若甲选456,则乙可以是12共1种，此时共有A3=6(种); 若甲 选567,则乙可以 是12,23 共 2 种，此 时 共有2A3=12(种); 若甲选678,则乙可以是12,23,34共3种，此时共有3A3= 18(种), 综上所述，不同的分配方法有18+12+6+6+12+18= 72(种). [变式训练] 1.C 解析 由题意先排十分位必为1,一种方法，再排百分位 可以为1或2,两种方法，最后排其余后面的数位，余下的五 个数字全排列即可，即不同种数有1×2×A?=240(个). 2.C 解析 首先确定相同的读物，共有C种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里， 选出两种进行排列，共有A?种， 根据分步乘法公式则共有C·A?=120(种).故选C. 考点2 [例2](1)64 解析 ①当从8门课中选修2门，则不同的选课 方案共有CC4=16(种); ②当从8门课中选修3门， a.若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C4C2= 24(种); b.若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有CC= 24(种); 综上所述，不同的选课方案共有16+24+24=64(种). (2)C 解析 若只有甲乙其中一人参加，有C?CA3=36种情况； 若甲乙两人都参加，有CC3A3=18种情况， 则不同的发言顺序种数36+18=54(种),故选C. [变式训练] 1.27 解析 当土豆和萝卜都不含有时，蔬菜包的种数为 CC3=3; 当土豆和萝卜中只含有一种时，蔬菜包的种数为C(C?C3+ C?C)=2×(3×3+3×1)=24, 所以可以组成不同“蔬菜包”种数为3+24=27. 2.40 解析 方法一：(分类讨论)选出的3人中至少有2名女 同学，则为2女1男有C3×C3种不同选法，3位都为女同学 有C种不同选法.所以有C2×C+C3=40种不同的选法. 方法二：(间接法)8位同学中选出3人不满足条件和选法为 3男与2男1女.所有选法为C3,则满足题意的选法为C3- C3-C3×C?=40(种). 考点3 [例3](1)B 解析 若甲同学在第二位，两位老师可以在第三、 第四位，或者两位老师在第四、第五位，或者两位老师在第 五、第六位，其他同学没有限制要求，有3AA3=36(种); 若甲同学在第三位，或者两位老师可以在第一、第二位，或 者两位老师可以在第四、第五位，或者两位老师在第五、第 六位，其他同学没有限制要求，有3A2A3=36(种); 若甲同学在第四位，两位老师可以在第一、第二位，或者两 位老师在第二、第三位，或者两位老师在第五、第六位，其他 同学没有限制要求，有3A2A3=36(种); 若甲同学在第五位，两位老师可以在第一、第二位，或者两 位老师在第二、第三位，或者两位老师在第三、第四位，其他 同学没有限制要求，有3AA3=36(种), 所以共有36×4=144(种). (2)B 解析 因为3个“冰墩墩”完全相同，将其中2个“冰墩 墩”捆绑，记为元素a,另外1个“冰墩墩”记为元素b. 先将甲、乙、丙、丁4位运动员全排，然后将a,b元素插入这 4位运动员所形成的空中，且a,b元素不相邻，则不同的排 法种数为AA3=480. [例4]720 解析 方法一：添入三个节目后共十个节目，故该 题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定.这七个 节目的不同安排方法共有A?种，添加三个节目后，节目单 中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列 方法有A1°种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排 -720(种)。方式共有 方法二：将十个节目看作10个元素排列位置.在10个位置 中选7个按一定顺序排列，有C??种排法，其余3个位置进 行全排列，有A3种排法，所以共有C。A3=720(种). [例5]B 解析 根据题意有两种方式： 第一种方式，有一个地方去3名专家，剩下的2名专家各去 一个地方， cC.A:=5×4X1×3×2×1=60种方法。共有 · 457· 高考一轮总复习·数学·RJA