第三章 第1讲 导数的概念及运算-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

第三章一元函数的导数及其应用回 第目章 一元函数的导数及其应用 第1讲导数的概念及运算 课标多求！ 1,通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景。 2,通过函数图象，理解导数的儿何意义， 3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数， 4,能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数， 5.能求简单的复合函数（形如f(ax十b)的导数. 必备知识 夯实四基Q [对应答案P375 知识梳理 续表 1.导数的概念 fr)=r(a∈R,a≠0) 了(x)=图 (1)如果当△x→0时，平均变化率回 无限 f(r)=sin r 了(x)=国 趋近于一个确定的值，即☒ 有极限，则称 f(r)=cosr /(x)=国 y=f(x)在x=x。处可导，并把这个确定的值叫 做y=f(x)在x=x。处的图 (也称团 fr)=a'(a>0,且a≠1) f(r)-国 ),记作回 或回 即f(x。) f(r)=e f(x)=图 =☑ =图 f(r)=logr(a>0,且u≠1) /(x)=画 (2)当x=x,时，f(x)是一个唯一确定的数，当 f(r)=Inr f(x)=國 x变化时，y=了(x)就是x的函数，我们称它为 y=f(x)的导函数（简称导数），记为广(x)(或 4.导数的运算法则 y'),即f(x)=y'=lim f(x+△x)-f(x) 若广(x),g(x)存在，则有： 3 △x [f(x)土g(x)]了'=国 2.导数的几何意义 [f(x)g(x)]'=园 函数y=f(x)在x=x,处的导数的几何意义就 是曲线y=f(x)在点P(x。,f(x。)处的切线的 [g-回 (g(x)≠0)： 回 ,相应的切线方程为回 [cf(.x)]'=@ 5.复合函数的定义及其导数 3.基本初等函数的导数公式 (1)一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x) 基本初等函数 导函数 如果通过中间变量“，y可以表示成x的函数，那 么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复 f（x)=(e为常数) f(x)=四 合函数，记作y=圆 53盈 国高考一轮总复习·数学，RJA (2)复合函数y=f(g(x)的导数和函数y= f(x)过某点的切线意义是相同的. f(),u=g(x)的导数间的关系为y,'=四 (3)(x)=[f(.x)]' () ,即y对x的导数等于y对W的导数与4对 (4)若f(.x)=sin(一x),则f(x)=cos(-x). x的导数的乘积. () 教材衍化 花常用结论 2.(人A选择性必修第二册P62练习T3改编)已 1.f(x)代表函数f(x)在x=x处的导数值： [f(x)]'是函数值f(x)的导数，则[f(x,)门 知函数fx)=xn,则1imf+△)-fD的 △.x =0. 值为 () 2[a-号o A.2e B.0 C.1 D.e 3.(人A选择性必修第二册P79倒6改编)曲线y 3.曲线的切线与曲线的公共，点的个数不一定只有 =e'sin x在x=0处的切线斜率为 () 一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点， A.0 B.1 C.2 D.-2 4.函数y=f(x)的导数(x)反映了函数f(x)的 易错自纠 瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其 4.(不理解复合函数的导数运算法则政铅)函数y= 大小|f(x)川反映了变化的快慢，|f(x)越大， xln(2.x十5)的导数为 () 曲线在这点处的切线越“陡” A.y'=2.xln(2x+5) 诊断自测 B.y- 2.x+5 思考辨析 C.y-In(+5+ 1.判断下列结论是否正确.（对的打“√”，错的打 2.x “X”) D.y=ln(2x+5)+2r+5 (1)f(x)是函数y=f(x)在x=x。附近的平均 5.(混淆“在点”和“过点”而漏解)过点M(1,1)且与 变化率. ( 曲线y=x+1相切的直线方程为 (2)曲线y=f(x)在某点处的切线与曲线y= 提升能力 考点剖析⊙ 对应答案375 考点 导数的运算（题组通关） 1.设函数f(.x)满足li fx。-2△)-fx2=2, 3.(多选)下列各式中正确的有 △r A.(3.r2+zcos r)'=6x+cos x-rsin r 则了(x)= A.-1 B.1 C.-2 D.2 B(sinG)/=cos匠 2.(2023·四川达州·绕考一模)已知函数f(x) 含-f2r+-3,则f(2②)= c()-pe A.-1 B.1 C.-5 D.5 n.(nx-)/=是-名 54 第三章一元函数的导数及其应用回 4.求下列函数的导数. 感悟方法 (1)y=r'sin r; 1,求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初 (2)y=lnx+1 等函数的和、差、积、商，再利用运算法则 (3y=c08: 求导 e 2.抽象西数求导，恰当赋值是关键，然后活用方 (4)y=xin(2xr+)cos(2r+5）月 程思想求解」 3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时 要进行换元 考点2 导数的几何意义（多维探究） 角度1求曲线的切线方程 a的切线，则a= [例1门(1)(2023·全国甲卷文料)曲线y一x十 感悟方法 1.处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、 在点(1，号)处的切线方程为 切线、切点的三个关系列出参数的方程（组） A.y- B.y-gt 并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜 率：(2)切点在切线上，故满足切线方程： C.y- Dy=x+ 4 (3)切点在曲线上，故满足曲线方程， (2)(2023·北章东城·块考一模)过坐标原点 2.求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线 作曲线y=e+1的切线，则切线方程为 与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清 蕲，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中 A.y=r B.y=2.r 一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直 C 线相切，直线与抛物线相切可用判别式法 D.y=er 变式训练。 角度2求切点的坐标 1.过点(0,3)且与曲线y=x-2.x+1相切的直线 [例2](2023·山东烟台·三模)过坐标原点作曲 方程为 () 线y=(x十2)e的切线，则切点的横坐标为 A.x-y-3=0 B.x-y+3=0 C.x+y+3=0 D.x+y-3=0 角度3求参数值（范围） 2.若曲线y=号-3x在x=,处的切线的斜窄 [例3](2022·新高考I卷T15)若曲线y=(x十 a)e有两条过坐标原点的切线，则a的取值范 为号则 围是 3.设曲线y=e“在点(0,1)处的切线与直线2.x一y 角度4公切线问题 +1=0垂直，则a的值为 例4】(2024·新课标全国I卷)若曲线y=e十 x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x十1)十 55® 国高考一轮总复习·数学，RJA 考点3 导数与函数图象问题（师生共研） 例5](1)函数f(x)的图象与其在点P处的切线 ◆变式训练 如图所示，则f(1)一(1) 1.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确 的是 A.f(1)>f(2)>f(3)>0 B.f(1)<(2)<f(3)<0 C.0<f(1)<f(2)<(3) A.-2 B.0 C.2 D.4 D.f(1)>f(2)>0>f(3) 0123 (2)已知函数y=f(x)的部 2.已知函数y=f(x)的图象是下 分图象如图所示，其中 列四个图象之一，且其导函数 A(x,f()),B (T:, y=广(x)的图象如图所示，则 -101天 f(x),C(x,f(x))为图 该函数的图象是 上三个不同的点，则下列结论正确的是( y A.f(x,)>f(x2)>f(x1) -/01e B.f(x)>f(x2)>f(x1) C.f(x)>f(x1)>f(x2) D.f(r)>f()>f() 101元 感悟方法 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导 数的大小问题可以用数形结合的思想来解决， 观察对应切线的斜率大小即可， 请完成《课时检测训练15 第2讲 导数与函数的单调性 课标要求」 1.结合实例，借助儿何直观了解函数的单调性与导数的关系。 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. 必备知识 夯实四基。 [对应答案P函76 知识梳理 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的团 1.函数的单调性与导数的关系 第2步，求出导函数了(x)的回 条件 恒有 结论 第3步，用了(.x)的零点将f(x)的定义域划分为 函数y=f(x) (x)>0 f(x)在(a,b)内① 若干个区间，列表给出子(x)在各区间上的正 在区间(a,b) f(x)<0 f(x)在(a.b)内四 负，由此得出函数y=∫(x)在定义域内的单 内可导 (x)=0 f(x)在(e,b)内是 调性. ®56当O≤x≤400时，g(x)=300-(2x+2)≤300- 2√号.200=100, 2=2000,即x=200时，等号成立；当且仅当 当x>400时，g(x)=600-100<50. 故当产量为200个时，零件的单位利润最大，最大单位利润 是100元. 第三章 一元函数的导数及其应用 第1讲 导数的概念及运算 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 x① 2 3导数 4瞬时变化率 5f'(x?) 四im会8imfza+A)-cz6y'la-[ 9斜率 0y-f(x。)=f(x?)(x-xo)W0 12ax°?13cos x 国-sinx 国a'ln a Ge 四na图 9f'(x)±g'(x)2f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 四f)gz)g(z)2cf'(x)四f(g(x)) 24y.'·u' 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× fa+A)-f1)=2.C 解析 根据导数定义，得 f'(1),又f'(x)=1+In x,所以f'(1)=1. 3.B 解析 y=e'sin x+e'cos x,k=y'l-=1. 4.D 解析 因为y=xln(2x+5),所以y'=[xln(2x+5)了 =x'ln(2z+5)+a[ln(2x+5)]'=ln(2x+5)+x·+5· (2x+5)'=In(2x+5)+22+5 5.27x-4y-23=0或y=1 解析 因为y=x3+1,所以y'= 3x2,设过点M(1,1)的切线与曲线y=x3+1相切于点 P(x?,x3+1), 根据导数的几何意义，曲线在点P处的切线的斜率为k =3x2, 2+1过点M(1,1)的切线的斜率为 所以3=I xo=2,,解得x?=0或 ,所以k=0或k =27, y-1=2(因此曲线y=x3+1过点M(1,1)的切线方程为 -1)或y=1,即27x-4y-23=0或y=1. [提升能力 考点剖析] 考点1 1.A 解析 因为imf。-2z)-f(zo= -2 limf(cz?-22)f)=-2f(xo)=2, 所以f(x?)=-1,故选A. 2.B 解析 f'(x)=x2-2f'(2)x+1,令x=2,得f(2)=4- 4f'(2)+1,解得f'(2)=1. 3.AC 解析 对于A,因为(3x2+xcos x)'=(3x2)'+ (xcos x)'=6x+cos x-xsin x,故A正确； 对于B,因为(sin√注)'=cosVE·(a)′=2os<x,故B 错误； 对于C,因为 正确； ()'=(e)c-e·()=(a-1)e,故C (Inx-)'=(lnx)'-()'=1+2,故D对于D,因为 错误. 4.解(1)y=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x. (2)y'=(In x+I)'=(In x)'+(1)'=1 (3)y=(2)'=csz)ee-szc(e)=-sin atcosx (4)∵y=xsin(2x+2)cos(2x+2) =2xsin(4x+π)=-2xsin 4x, ∴y=-2sin 4x-2x·4cos 4x=-2sin 4x-2acos 4x. 考点2 y=+在点(1,)[例1](1)C 解析 设曲线： 处的切线方 程为y-2=k(x-1), y=x+1 y=e(cz+12e=(x+1,所以k=因为： ,所以 y'l-=4, y-z+1在点(1,元)处所以y-2=4(x-1),所以曲线： v=4x+4·的切线方程为 (2)A 解析 由函数y=e??2+1,可得y'=e°2, 设切点坐标为(t,e'?2+1),可得切线方程为y-(e'?2+1)= e?2(x-t), 把原点(0,0)代入方程，可得0-(e?2+1)= e?2(0-t),即(t-1)e'?2=1, 解得t=2,所以切线方程为y-(e?+1)=e°(x-2),即y =x. [例2]-1+√3或-1-√3 解析 由y=(x+2)e2可得y'= (x+3)e,设切点坐标为(xo,yo),所以切线斜率k=(x?+ 3)e"°.又因为y=(x?+2)e,则切线方程为y-(x?+2)e =(x?+3)e°(x-x。),把(0,0)代入并整理可得x2+2x?- 2=0,解得x?=-1+√3或x?=-1-√3. [例3](-0,-4)U(0,+0)解析∵y=(x+a)e, ∴y'=(x+1+a)e°. 设切点为(x?,yo),则yo=(x。+a)e3,切线斜率 k= (x?+1+a)e", ·375· 高考一轮总复习·数学·RJA 切线方程为y-(x?+a)e=(x。+1+a)e3(x-x?). ∵切线过原点，∴-(x?+a)e=(x。+1+a)e°(-x), 2.B 解析 由y=f'(x)的图象是先上升后下降可知，函数y =f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B. 整理得x2+ax?-a=0 第2讲 导数与函数的单调性 ∵切线有两条，∴△=a2+4a>0,解得a<-4或a>0, [必备知识 夯实四基] ∴a的取值范围是(-∞,-4)U(0,+∞). [例4]ln 2 解析 由y=e°+x得y'=e°+1,y'l-=e°+1 =2, 故曲线y=e2+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+1; v'=+1,由y=ln(x+1)+a得： 设切线与曲线y=In(x+1)+a相切的切点为(x?,In(x。+ 1)+a), v=z?+1=2,解得z。=-由两曲线有公切线得： ,则切 (-2,a+1n2),点为( y=2(x+2)+a+n2=2x+1+a-In 2,切线方程为 根据两切线重合，所以a-In 2=0,解得a=In 2. [变式训练] 1.B 解析 由y=x3-2x+1,得y'=3x2-2.设切点坐标为 (x?,x3-2x?+1),则切线的斜率k=3x2-2,切线方程为y 一(x3-2x?+1)=(3x2-2)(x-xo).由切线过点(0,3),代 入切线方程解得x=-1,所以切线方程为y-2=x+1,即 x-y+3=0. 2。y=4-3ln x,得y′=2x-3(x>0),故2.3 解析 由： -3=2,解得x?=3或x=-2(舍去),故x?=3. 3.-4 解析 ∵y=e2e,∴y'=e2·(2ax)'=2a·e2, ∴在点(0,1)处的切线斜率k=y'lz=。=2ae=2a, 又∵切线与直线2x-y+1=0垂直， 知识梳理 1单调递增 2单调递减 3常数函数 4定义域 5零点 1.(1)×(2)√(3)×(4)√ 2.A 解析 由f(x)的图象可知，当x∈(-○,0)时，函数单 当x∈(0,+0)时，f(x)先递减、再递增最后递减，所以所 B.故选A. 3.B 解析 f(x)=1-2e°,由f(x)<0,得x>In 2,所以 f(x)的单调递减区间为(ln 2,+一). 4.(0,2),(2,+∞)解析 由题意得函数f(x)的定义域为 (0,+∞).因为f(x)=a+-2,所以f(2)=a+4-1 +2), 令f(x)>0,得0<x<2 (0,2),(2,+). 5.D 解析 由题意知，f'(x)=a+e2≤0在(-∞,1)上恒成 -e,所以a≤-e. 提升能力 考点剖析] 诊断自测 调递增，则f(x)≥0,故排除C、D; 对应的导数值应该先小于0,再大于0,最后小于0,故排除 a=告，所以f(z)=4+54-2-2(22-5x -或x>2,所以函数f(x)的单调递 增区间为 立，得a≤(-e?)min, =0,所以 又函数y=-e在[-∞,1]上单调递减，所以(-e)mm= 考点1 ∴2a×2=-1,∴a=-4. f(x)=x-11.CD 解析 对于A选项，函数5 的定义域 考点3 [例5](1)D 解析 由题意，切线经过点(2,0),(0,4),可得切 为{x|x≠0}, k=4-2=-2,即f(1)=-2.线的斜率为 f(x)=x-1 在定义域因为f(1)=f(-1)=0,所以函数 又由切线方程为y=-2x+4,令x=1,可得y=2,即f(1) 上不是增函数； =2,所以f(1)-f'(1)=2+2=4. 对于B选项，函数f(x)=xe2的定义域为R,且f'(x)= (2)B 解析 由图可知函数在A点的切线斜率小于0,即 (x+1)e°, f'(x?)<0,在B点的切线斜率等于0,即f'(x?)=0,在C 当x<-1时，f'(x)<0,即函数f(x)=xe2的单调递减区 点的切线斜率大于0,即f'(x?)>0, 所以f'(xs)>f'(x?)>f(x?). 间为(-∞,-1), 故函数f(x)=xe2在定义域上不是增函数； [变式训练] 对于C选项，函数f(x)=x+sin x的定义域为R,f'(x)= 1+cosx≥0且f(x)不恒为零，1.A 解析 由函数f(x)的图象可知， ∵当x≥0时，f(x)单调递增， ∴f'(1),f'(2),f'(3)>0. ∵随着x的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导 函数是单调递减的， 所以函数f(x)=x+sin x在R上为增函数； 对于D选项，函数f(x)=e-e2-2x的定义域为R, f'(x)=e2+e2-2≥2√e"·e2-2=0当且仅当x=0 时，等号成立且f(x)不恒为零， ∴f'(1)>f'(2)>f'(3)>0. 所以函数f(x)=e2-e2-2x在R上为增函数. ·376·高考一轮总复习·数学·RJA