第六章 高考重点突破二 数列-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

所以a=a?9"?2=2"?1. 方法一：由b+1+b=2n可得b。+b-1=2(n-1)(n≥2), 两式相减得b+1-ba-1=2(n≥2), 所以数列{b?}的奇数项是以a?为首项，公差为2的等差 数列， 即n是奇数时，ba=b-1=b?+(k-1)·2=("21-1)·2 =n-1; n是偶数时，b?=2n-ba+1=n, b.={”,2是奇数，即 (也可以表示成b。=n-2+(-2) 方法二：由b+1+b,=2n可得b+1=-b,+2n, 则有ba+-(n+1)+2=-(b-n+2), {b.-n+2}是以b?为首项，-1为公比的等比所以数列 b-n+2=(-2)(-1)?1=2(-1)°,即b=n数列，则L -2+(-2 ⋯+(2k-2)·2k-2] (2方法一u---是的是每， 则T,=a?b?+a?b?+a?b?+a?b?+a?b?+⋯+a,b=0·2°+ 2·21+2·22+4·23+4·2?+⋯ 当n是奇数时，设n=2k-1,则 T.=a?b?+a?b?+⋯+ab=0·2°+2·21+2·22+4·23 +4·2?+⋯+(2k-2)·22-3+(2k-2)·22k-2=0·2°+ [2·21+4·23+⋯+(2k-2)·22-3]+[2·22+4·2?+ =3[2·21+4·23+⋯+(2k-2)·2-3]=3[1·22+2· 2?+3·2?+⋯+(k-1)·22-2]. 记 S=1·22+2·2?+3·2?+⋯+(k-1)·22k-2, 那么4S,=1·2?+2·2?+3·2?+⋯+(k-1)·22, 则-3S=22+2?+2?+2?+⋯+2-2-(k-1)·2= 44--1-(k-1)·4*=(4-k)·4°-4, T。=3S.=(k-4)·4+3=3+("去1-3)·4中= 4+(n-3)·2". 当n是偶数时，T。=T,+ab=3+[(n-1)-3]· 2°1+n·21=3+(2n-3)·2?1=+ (n-3)·2°, ()z即 方法二：由c,=a,b.=(n-_)·2?1+(-1)°·22 {(n-2)·2+}令数列 的前n项和为S,则 s,=2·2°+3·2'+⋯+2"23·2°?2+2"-1·2”?1, 2S.=2·2'+2·22+⋯+2"-3·2°?1+2n-1·2”, 所以-s=2·2°+2'+⋯+2?1-(n-2)·2"=2+ 2"-2-(n-2)·2"=-2+(3-n)·2”, 所以S。=(n-2)·2"+2,那么 T.=s,++(-2)2-(m)·2+2一c- (-2)°]=4+(n-2)·2"+(-62 eT*和) [典例4]证明(1)由azm-1+azm=4×301,① a2m+a2+1=4×32",② 将②-①得az+-az-1=3×9”, 故当n≥2时，as-a?=3×9,as-a3=3×92,a,-as=3 ×93,⋯,a2-1-az-=3×9°?1, 累加得az-1-a1=3(9+92+⋯+9”?)=3×9-9=3 ×9"-3,故a-=3×9"-1, 当n=1时，a,=3×9-1=2,故a-=×9°-1,即a- +1=3×9°,1=9, 因此{azm-1+1}为以3为首项，9为公比的等比数列.将 a2-1=3×9"-1代入①得a2n-1=9",故{azn-1}为以9 为首项，9为公比的等比数列. (2)由(1)知a2-1=31-1,az=3+1,故a=3"+(-1)", 当n为奇数时，a+1-a,=2×3"+2>2×3"-2; 当n为偶数时，a+1-a,=2×3"—2=2×3"-2, 因此对任意n∈N",均有a+1-a≥2×3"-2, 6.=282≤,则L .当n=1时，S?= a4=亏<8 当n≥2时，S.≤4+()+()+⋯+ ()=30<3 高考重点突破二 提升能力 考点剖析] [例1](1)4 039 解析 设每个30分钟进去的人数构成数 列{a}, 则a?=2=2-0,a?=4-1,a?=8-2,a=16-3,a?=32- 4,⋯,a=2"—(n-1). 设数列{a}的前n项和为S,,依题意，只需求 高考一轮总复习·数学·RJA · 414· S=(2-0)+(22-1)+(23-2)+⋯+(21-10) =(2+22+23+⋯+21)-(1+2+⋯+10) =2(1-2-11×1?=22-2-55=22-57=4 039. 所以数列{c}的前100项是由数列{a}的前107项去掉数 列{b,}的前7项后构成的， 所以Sm=P-Q=107×(2+214)-2-2=11 302. (2)32(1-2) 解析 设第n个正方形的边长为a,由题意 可得a-√告)+(号)-a,且a?=4, √2为公比的等比数列，故数列{a}是以4为首项，以 S--()2=,且S?=42=16,所以 12所以数列{S,}是以16为首项，以- 为公比的等比数列， [变式训练] 解(1)设等比数列{b,}的公比为q(q>0), 由b?=1,b?=b?-2,可得q2-q-2=0,∴q=2, ∴b=2"?1. ∴T=1-2=2°-1. 又设等差数列{a}的公差为d,由b?=a?+a?,可得a?+3d=4; 由b?=a?+2a,可得3a?+13d=16,∴a?=d=1,∴a=n. 一因此，前 n个正方形的面积之和为 (2)S。="(n+1,由S,+2T,=2a+4b。 有”(n+12+2(2°-1)=2n+2+1, ∴n2-3n-4=0,解得n=4或n=-1(舍),故n的值为4. 32(1-1). [例3]解(1)因为a+1=S,+n,所以a=S。1+n-1(n≥2), [变式训练] 所以a+1=2a+1(n≥2), 整理得a+1+1=2(a+1)(n≥2). 1.C 解析 由题意知若有1个圆盘，则需移动1次； 若有2个圆盘，则移动情况为：A→C,A→B,C→B,需移动 3次； 又因为a?=3,所以当n≥2时，a+1=(a?+1)×2”?2=2” (n≥2), 所以a=2"-1(n≥2),当n=1时，a?=2不满足. 若有3个圆盘，则移动情况如下： A→B,A→C,B→C,A→B,C→A,C→B,A→B,共7次，故 a.-{2-(m≥2),”en所以( H(3)=7,A错误； (2)①设数列{b}的公差为d(d>0). 由此可知若有n个圆盘，设至少移动a。次，则a=2a-1+1, 所以a+1=2(a-1+1),而a?+1=1+1=2≠0,故{a,+1} 为等比数列， 因为a?+b,a?+b?,as+2b成等比数列， 且a?=2,a2=3,a?=7, 故a=2"-1即H(n)=2"-1,该式不是n的一次函数， 则{H(n)}不为等差数列，B错误； 所以(a?+b?)2=(a+b.)(a?+b.), 即d2+12d-13=0.又H(n)=2°-1,则H(n)+1=2°,Hn+1+±1=2, 则{H(n)+1}为等比数列，C正确； 又因为d>0,所以d=1. 所以数列{b}的通项公式为b=n+1,n∈N'. H(7)=2?-1=127>100,D错误. 2.B 解析 感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约 需要n轮传染， ②T,<4.证明如下： 由①知b=n+1,n∈N", 则每轮新增感染人数为R",经过n轮传染，总共感染人数 为：1+R?+R+⋯+R:=1-R 易知(n+1)2>n(n+2), 所以T.=方++⋯+ ∵R。=3,∴当感染人数增加到1 000人时，1-33=1000, 化简得3"=667, 由3?=243,3?=729,故得n≈6.又∵平均感染周期为7天， 所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6 ×7=42天，故选B. =+3+⋯+(n+12<1文3+2×4+⋯+n(n+2) =4-2(n+1+n+2)<3, 故VneN°,T.<4 [例2]解(1)设等差数列{a}的公差为d,因为b?=4,所以a? =2log?b?=4, [例4]1022 解析 由f(x)=3x3-6x2+32x,得f(x)=x2 -12x+32, 所以d=a?-a?=2,所以a=2+(n-1)×2=2n. 又 a=2log?b,即2n=2log?b,所以n=log?b,所以b,=2”. (2)由(1)得b=2"=2·2"?1=az1-1,即b是数列{a}中的 f(x)=3x3-6x2+32x的两个极又因为a?,a?是函数 值点， 第2"-1项. 所以a?,a3是函数f'(x)=x2-12x+32的两个零点， 设数列{a}的前n项和为P,数列{b}的前n项和为Q, 因为b?=a??=a6,b?=a?2=a128, a:-a-32故 ·415· 高考一轮总复习·数学·RJA 因为q>1,所以a?=4,a?=8,故q=2,则前9项和S,= 22'=2°-2=1022. [变式训练] 解(1)由题得a?+2a?+3a?+⋯+na=2+(n-1)·2”+1①, 当n≥2时， a?+2a?+⋯+(n-1)a-1=2+(n-2)·2"②, ①-②,得na,=n·2",所以a=2"(*). 在①中，令n=1,得a?=2,也满足(*),所以a=2",n∈N". (2)由(1)知b=(2”-1)(2+-1)=2”-1-2-1, 故 T.=(-122-1)+(z-12*-1)+⋯+ (z-12-)=1-2- T.=1-2-1因为 随n的增大而增大， 又当n趋向于+∞时，T。趋向于1且T.<1恒成立， 所以m2-3≥1,解得m≤-2或m≥2, 所以实数m的取值范围是(-○,-2)U[2,+∞). 第七章 立体几何 第1讲 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 ①平行 2全等 3平行 ④相似 5平行且相等 6一点 7一点 8平行四边形 9三角形 0梯形 1垂直 12矩形 3等腰三角形 4等腰梯形 5圆 6矩形 17扇形 8扇环 19斜二测画法 2045°或135°2垂直 22分别平行于坐标轴 四不变 4一半 52πrl 26πrl ÷sh四4πR圆4πR27π(r?+r?)l 图- 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)√ 2.ACD 解析 如图，用一个平面去截正方体，截面可能出现 的形状是等边三角形、菱形、五边形等.故选ACD. 等边三角形 菱形 五边形 R2-R=(3)2,解得R=3.A 解析 设球O的半径为R,则1 v=3R3=3π.2,∴球O的体积 y4.B 解析 由斜二测画法规则知，正方形 C B A'B'C'O'的原实际图形是平行四边形 ABCO,如图， 其中OA=OA'=1,OB=2OB'=2√2,因此 有AB=√OA2+OB2=3, o Ax所以原图形的周长为2(OA+AB)=8(cm). 5.D 解析 将直三棱柱ABC-A?B?C?的侧面展开，如图 所示， A? B C A E D A B C A 高考一轮总复习·数学·RJA 当A,D,E,A?四点共线时，AD+DE+EA?取得最小值， 则最小值为√(AB+BC+AC)2+AA3=√62+32=3√5. 提升能力 考点剖析] 考点1 [例1](1)CD 解析 A中，当顶点在底面的投影是正多边形 的中心才是正棱锥，不正确；B中，当平面与圆柱的母线平 行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆 的一部分，B不正确；C正确；如图，正方体ABCD- A?B?C?D?中的三棱锥C?-ABC,四个面都是直角三角形，D 正确. D? C? A B D Jc A B (2)BCD 解析 A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转 得到的旋转体不是圆锥；B正确，以等腰三角形底边上的中 线所在直线为轴，将三角形旋转180°形成的曲面围成的几 何体是圆锥；C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过 圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；D正确，如图所 示，圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2 倍(即直径).故选BCD. h [例2](1)C 解析 因为OA'//B'C',0A'=B'C', 所以直观图还原得OA//BC,OA=BC=OA'=6, 四边形OABC为平行四边形，OD⊥BC, 则CD'=0C'=2,所以CD=2, OD'=√2O'C'=2√2,OD=2O'D'=4√2, OC=√CD2+OD2=√22+(4√2)2=6, C 2 BD |o A 所以OC=OA=6,故原图形为菱形. (2)2+√2 解析 ∵平面图形的直观图是一个底角为45°,腰 和上底长均为1的等腰梯形， ∴平面图形为直角梯形，且直角腰长为2,上底边长为1, ∴梯形的下底边长为1+√2,∴平面图形的面积S= 1+1+/2×2=2+√2 [例3]B 解析 已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形， 如图， S A' A< · 416· 第六章数列回 (2)设6.=2X3”-2,数列6.)的前n项和为 aa+l 感悟方法 .3 有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问 S.,求证：S<0 题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项 和偶数项的首项、项数、公差（比）等，并且注意 把数列转化为等差、等比数列求解， 高考重点突破二数 列 课标要求 1.了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题. 2.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题， 提升能力 考点剖析⊙ [对应答案P414] 考点一数学文化与数列的实际应用 感悟方法☑ [例1门(1)今年“五一”期间，北京十家重点公园举 数列应用问题常见模型 行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨 (1)等差模型：后一个量比前一个量增加（或诚 6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30 少)的是同一个固定值： 分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内 (2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一 有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16 个固定的非零常数 人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进 (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项 去4人出来，…按照这种规律进行下去，到上午 之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应 11时30分公园内的人数是 考虑a,与a。+:(或者相邻三项)之间的递推关 (2)在《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其 系，或者S。与S,+1(或者相邻三项)之间的递推 半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思 关系。 想，体现了古人的智慧.如图，正方形ABCD的 边长为4，取正方形ABCD各边的中点E,F, 冬变式训练。 G,H,作第二个正方形EFGH,然后再取正方 1.(2024·浙江绍兴二换)汉诺塔(Tower of 形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第三个正方 Hanoi),是一个源于印度古老传说的益智玩具. 形1JKL,依此方法一直继续下去，记第一个正 如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的 方形ABCD的面积为S,,第二个正方形EFGH 柱子，A柱子从下到上按金字塔状叠放着n个 的面积为S2,…,第n个正方形的面积为S,则 不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动 前n个正方形的面积之和为 到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都 不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需 要移动多少次？记至少移动次数为H(n),例 如：H(1)=1,H(2)=3,则下列说法正确的是 () 125® 同高考一轮总复习·数学·RUA 感悟方法 对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等 差、等比数列项之间的关系.数列的求和主要是 等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错 位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列 A.H(3)=5 的和，然后利用b1=1,d>0证明不等式成立. B.{H(n)}为等差数列 另外本题在探求{an}与{c.}的通项公式时，考 C.{H(n)+1}为等比数列 查累加、累乘两种基本方法 D.H(7)<100 2.在流行病学中，基本传染数R。是指在没有外力 冬变式训练冬 介人，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个 设{a.}是等差数列，前n项和为S.:{b.}是各项 感染者平均传染的人数.R。一般由疾病的感染 均为正的等比数列，其前n项和为T.,已知b= 周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过 1,b2=b3-2,b,=a3+as,b,=a,+2a6. 程中传染的概率决定.对于R,>1,而且死亡率 (1)求a.和T.: 较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染 (2)若Sn十2T.=2a,十4b.,求正整数n的值. 源，切断传播途径.假设某种传染病的基本传染 数R,一3，平均感染周期为7天（初始感染者传 染R。个人为第一轮传染，经过一个周期后这R 个人每人再传染R。个人为第二轮传染…)，那 么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大 约需要的天数为（参考数据：3°=729,45=1024） () A.35 B.42 C.49 D.56 考点二等差、等比数列的综合运算 [例2](2023·来州模拟)已知等差数列{a,}和等 比数列{b.}满足a1=2,b2=4,a。=2 log:b., n∈N'. (1)求数列{a.},(b,}的通项公式： (2)设数列{an}中不在数列{b.}中的项按从小 到大的顺序构成数列{c.},记数列(c.}的前n项 和为S.,求S1m· ®126 第六章数列回 考点三数列与其他知识的交汇 感悟方法 角度1数列与不等式的交汇 数列与函数、不等式的综合问题关健在于通过 [例3](2023·湖北武汉·跳考三摸)记S.为数 函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项 列{an}的前n项和，已知a1=2,a.+1=S.十n. 或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决 (1)求数列{a.}的通项公式； 最值，范围问题，通过放缩进行不等式的证明， (2)设单调递增等差数列{b.}满足b=3,且a 多变式训练多 十6a,十6十4成等比数列。 数列{a.}满足a1十2a2十3a3十…十na.=2十(n -1)·2+1,n∈N”. ①求数列{b}的通项公式： (1)求数列{a.的通项公式： 设工，一安十安+…十安试确定工与的 (2)设6=a,-a1-D,工.为数列6，)的 大小关系，并给出证明 前n项和，若T.<m一3恒成立，求实数m的取 值范围。 角度2数列与函数的交汇 [例4]已知在等比数列{a.}中，首项a1=2,公比g >1,a0,是函数x)=号-6x2+32x的两 请完成《课时检测训练38》 个极值点，则数列{a,}的前9项和是 127®