第六章 第3讲 等比数列-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

即a,-6a,S?-S?成等差数列，∴S?-S?=-13a, 即S,=-18a,sS=-18. 2.C 解析 由=-2得a?≠0,2a?+a=a,+a?+a=3a =0, 所以ag=0,a?+a,=2ag=0.因为a?≠0,a?=0,所以a?≠0, =-1. 3.C 解析 因为对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+ f(n)-35, 所以f(n+1)=f(n)+f(1)-35=f(n)-4,所以f(n+1) -f(n)=-4, 故{f(n)}是以31为首项，以-4为公差的等差数列， 所以f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(n)=31n+"n-1× (-4)=-2n2+33n, n=33对称轴为 .因为n∈N", 所以n=8时，f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(n)取得最大值 为136. 第3讲 等比数列 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 国同一个 2g 图ab Aa?g?1四a-gGam·a Zq"图q" 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.C 解析 因为数列{a,}是公比为q(q≠1)的等比数列， ①2=2°-不是等比数列； ②“a=q2,{a2}是公比为q2的等比数列； ③} 19的等比数列；是公比为 ④{2a}是公比为q的等比数列. 3.AD 解析 因为{a}是等比数列， 设a=a?q"1(a?≠0,q≠0), i=q则 ,故A正确； .+2-82,不是常数，故B错误； a2-a?a?=a2q°(1-q2),不恒为0,故C错误； a2-a?ag=a2q1?-a2q1?=0,故D正确. 4.C 解析 当q=1时，a?=7,S?=21,符合题意；当q≠1时， -2.综上，q的值是1或 5.B 解析 依题意，不妨设a?=1,q=2,数列是递增的等比 a?=-1,g=2,数列，由此判断 C,D选项错误.设， ,数列是递 增的等比数列，由此判断A选项不正确.故正确的选项为B. 所以本题选B. [提升能力 考点剖析] 考点1 1.C 解析 由题知1+q+q2+q3+q?=5(1+q+q2)-4, 即q?+q?=4q+4q2,即q3+q2-4q-4=0,即(q-2)(q+1) (q+2)=0. 由题知q>0,所以q=2.所以S?=1+2+4+8=15.故选C. 2.C 解析 由题意可得当n=1时，az=2a?+2,即a?q=2a? +2,① 当n=2时，a?=2(a?+a?)+2,即a?q2=2(a?+a?q)+2,② 联立①②可得a?=2,q=3,则a?=a1q3=54. 3.-2 解析 若q=1,则由8S?=7S?,得8·6a?=7·3a?, 则a?=0,不合题意.所以q≠1. 当q≠1时，因为8S?=7S?, 所以8.a-°=7.a(-, 即8·(1-q?)=7·(1-q3),即8·(1+q3)(1-q3)=7·(1 q=-2.-q3),即8·(1+q3)=7,解得( 4.解(1)因为2S,=3a+1-3,故2S,-1=3a,-3, 所以2a=3a+1-3a,(n≥2)即5a=3an+1,故等比数列的公 q=5,比为， 故2a?=3a?-3=3a?×?-3=5a?-3,故a?=1,故a =(3) (2)由等比数列求和公式得-()-× (3)°-2. 考点2 [例1]解(1)证明：由aa+2+a+1-6a=0, 可得a+2+3a+1=2(a+1+3a), 即2+3at=2cnEN), ∴{a+1+3a}是以a2+3a?=5为首项，2为公比的等比 数列. (2)由(1)可知a+1+3a,=5·2"?1(n∈N*), ∴a+1-2"=-3(a-2"?1), :22=-3, ∴{a-2"?1}是以a?-2°=1为首项，-3为公比的等比 数列， ∴a-2"1=1×(-3)"1,∴a=2“?1+(-3)”1, s,=1-2+1-(-3"=2"-3-(-32. [变式训练] 解(1)证明：=2-302--2-3a-3×2 -322=3. 又b?=a?-21=1,故数列{b}是首项为1,公比为3的等比 数列. 高考一轮总复习·数学·RJA ·410· (2)由(1)有b?=b?×3"1=1×3"?1=3"1,可得a=2"+3"1, s=2×(-2+1×(33=2°+1+32-2.所以有 2.B 解析 A选项中，由S?(S,-S?)=(S?-Sg)2,即 4(S,-12)=(12-4)2,解得S,=28; 考点3 [例2](1)C 解析 在等比数列{a}中，因为a?,ag为方程 x2-4x+π=0的两根， 二B选项中， C选项中，由a?ag=a?a,得a?a=-8,a?+a,=2, 所以a?ag=π=a2,所以a?=±√π,所以a?a?a?=a3= ±π√π. (2)2 022 解析 因为{a}是等比数列，所以a100·a1013+ a101·a1012=2a0·a1012=2e2, 解得a?=4,a?=-2或a?=-2,a?=4, =—号时，a,+tan=+aa=+4×()=当 -7; 即aou·a1012=e2,所以 In a?+In a2+⋯+In a2022= In a?a?⋯a2022=In(a1011a1012)11=In e202=2022. [例3](1)C 解析 设这个等比数列{a}共有2k(k∈N°)项， 公比为q, ,a?+a=+aq=二2+(-2)×(-2)2=当q3=-2时， -7; D选项中，∵a?=4a3,∴q?=4q2,∴q=0(舍去)或q=-2或 则奇数项之和为S=a?+a?+⋯+azk-1=85, q=2, 偶数项之和为S=a2+a?+⋯+azm=q(a?+a3+⋯十 故a=(-2)"1或a=2"?. a2-1)=qS=170, 自主培优10 ∴-s=7°=2, [典例1](1)3"-2 解析 ∵a=3a-1+4(n≥2),∴a,+2= Su=a1-2“)=2”-1=等比数列{a}的所有项之和为S 170+85=255,则22*=256, 3(a+2),∴+2=3. ∵a?=1,则a?+2=3,∴数列{a+2}是以3为首项，3为 公比的等比数列. 解得k=4,因此，这个等比数列的项数为8. ∴a,+2=3·3"?1=3”,所以a=3"-2. (2)C 解析 方法一：设等比数列{a}的公比为q,因为S= -5,Sg=21S?,所以q≠-1,否则S?=0, 从而，S?,S?-S?,S?-S?,Sg-S?成等比数列， 所以有(-5-S?)2=S?(21S?+5), (2)1-(3)" 解析 当n=1时，a,+2a?=1,a,=3; 当n≥2时，S,+2a,=n,S-1+2a-1=n-1, 两式相减得3a,-2a=1,a=3a+3,a-1= s?=5,解得S?=-1或： 3(a-;-1), 当S?=-1时，S?,S?-S?,Sg-S,S?-S,即为-1,-4, -16,Sg+21, 易知Sg+21=-64,即Sg=-85; s?=4时，SA=a?+a?+as+a=(a?+a?)(1+q2)=(1当 23a?-1=-3,公比为-所以数列{a-1}是首项为 的等比 数列， a-1=-(3)”,所以a=1-(3)".则 +q2)S?>0, 与S?=-5矛盾，舍去.故选C. =2-1,所[典例2]2?1解析 因为a+=2-a,所以a 方法二：设等比数列{a}的公比为q,首项为a?, 若q=1,则S?=6a?=3×2a?=3S?,与题意不符，所以q ≠1. a-g=-5,a(-g=21由S?=-5,Sg=21S?可得 ×?a-o, 以-1=2-2=2(1-1), -1=1,且b.=a-1,∴而- .数列{b,}是首项为1,公比为 2的等比数列， ∴b=1×2"1=2"?1. 由①可得1+q2+q?=21,解得q2=4, s.=a(-=a(-×(1+q)=-5×(1+16)所以S [典例3]n·3?1解析 ∵a+1=3a,+3”,∴3-3=3, 3.又=3,∴数列 是等差数列，公差为 =-85.故选C. [变式训练] ∴=3+(n-1)×3=3,∴a,=n·3- 第4讲 数列求和 1.-2 解析 设{a}的公比为q(q≠0),则a?a?a?=a?ag=a?q [必备知识 夯实四基] ·asq,显然a≠0, 知识梳理 则a=q2,即a?q3=q2,则a?q=1. 因为aga?=-8,则a?q?·a?q?=-8, 四“n-1a 四-g,q≠1 则q?=(q?)?=-8=(-2)3,则q?=-2,则a,=a?q·q?=q?诊断自测 =-2. 1.(1)√ (2)√(3)×(4)√ ·411· 高考一轮总复习·数学·RJA 第六章数列回 2.已知等差数列{a.满足丝=一，则下列结论 f(2)+f(3)+…+f(n)(n∈N)的最大值等于 () 定成立的是 4.133 B.135 A.a=-1 B.84=-1 a a C.136 D.138 C.4=-1 D.w=-1 a 3.已知函数f(.x),对任意实数m,n都有f(m十n) 请完成《课时检测训练35 =f(m)+f(n)-35,已知f(1)=31,则f1)+ 第3讲 等比数列 课标要求！ 1.理解等比数列的概念。 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系。 必备知识 夯实四基⊙ [对应答案P410 知识梳理 3.等比数列的性质 已知{a。)是等比数列，S。是数列{a.}的前n 1,等比数列的概念 和. (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它 (1)若k十l=m十n(k,l,m,n∈N”),则有a。·a 的前一项的比都等于国 常数，那么这个 -回 数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公 (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列， 比，公比通常用字母g表示（显然q≠0）， 即a,a4+m·a+2m,…仍是等比数列，公比为 7 数学语言表达式。”=国—（m≥2.9为非罗 (3)当9≠-1或q=一1且n为奇数时，S。,S. 常数) S。,S一S.…仍成等比数列，其公比为图· (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G, 《常用结论 使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比 L.若数列{a.,{b,}(项数相同)是等比数列，则数 中项.此时，G=圆 列ca,c≠0.la..a…侵 ,{a.·b.. 2.等比数列的通项公式及前”项和公式 (1)若等比数列{a.}的首项为a1,公比是q,则其 也是等比数列. b 通项公式为4，=回 2.由a.+1一g4.g≠0，并不能立即断言{a}为等比 通项公式的推广：a.=ag"”. 敛列，还要验证a1≠0. (2)等比数列的前n项和公式：当q=1时，S。 3.三个数成等比数列，通常设为三，x,xq:四个符号 a1:当g≠1时，S。=固 aa.q 1一4 相同的数成等比数列，通常设为二，二 q'gxqx. 117® 国高考一轮总复习·数学，RJA 诊断自测 3.(多选)（人A选择性必修第二册P41T7改编）对 思考辨析 任意等比数列{a,},下列说法一定正确的是 1.判斯下列结论是否正确.（对的打“√”，错的打 “X”) A.{a}成等比数列 (1)等比数列的公比g是一个常数，它可以是任 B.{a.+2}成等比数列 意实数. () C.a,a:,a成等比数列 (2)数列{a,)的通项公式是a.=a”,则其前n项 D.4a6,a,成等比数列 和S.=a1-a) 1-a 易错自纠 (3)数列{a.}为等比数列，则S,S。一S,S:一S8 4.(意略q=1致误)已知在等比数列{a.}中，a= 成等比数列. ( ) 7,前三项之和S,=21,则公比q的值是() (4)若数列{a,},{b.}都是等比数列，则数列{a.十 b},{ab.}一定都是等比数列. ( A.1 R-号 教材衍化 2.(人A选择性必修第二册P31练习T5政编)已 C1或-号 D.-1或号 知数列{a.}是公比为g(q≠1)的等比数列，则以 5.(忽视首项的奇号致错)若数列{a。}是公比为g 1 下数列：①{21：②{a):③ :④{2a.J中等 的递增等比数列，则 () A.a1>0,q>1 B.a(q-1)>0 比数列的个数是 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C.(a1-1)q>0 D.(a-1)q<0 提升能力 考点剖析⊙ 对应客案P0 考点1 等比数列基本量的运算（题组通关） 1.(2023·全国甲卷理科)已知正项等比数列{a.} (2)求数列{S,}的通项公式. 中，a1=1,S。为{a.)前n项和，S=5S,一4，则S ( A.7 B.9 C.15 D.30 感悟方法2 2.(2023·天津卷)已知{a.}为等比数列，S。为数列 1,等比数列基本量的运算是等比数列中的一类 {a.的前n项和，aw1=2S,十2，则a,的值为 基本问题，等比数列中有五个量41，n,qa: ( S。·一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便 A.3 B.18 C.54 D.152 可迎刃而解。 3.(2023·全国甲卷文科)记S,为等比数列{a.}的 2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分 前n项和.若8S=7S,则(a.)的公比为 类讨论，当g=1时，{a.}的前n项和S。= 4.(2024·全回甲卷)已知等比数列(a.}的前n项 na1:当q≠1时，{an}的前n项和S。= 和为S.,且2S.=3a+1一3. a11-g)_a-a9 1-91-9 (1)求{a.}的通项公式： ®118 第六章数列回 考点2等比数列的判定与证明（师生共研） [例1门记S,为数列{a.}的前n项和，已知a1=2, 令变式训练令 a2=-1,且am+2十a+1-6a.=0(n∈N). 已知数列{a,}满足a1=3,a。-1=3a.一2”. (1)证明：{a+1十3a.}为等比数列： (1)令b=an一2"，证明：数列{b,}为等比数列： (2)求数列{a.}的通项公式a.及前n项和S.: (2)求数列{a.}的前n项和S.: 感悟方法 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等 比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的 判定：若证明某数列不是等比数列，则只要证明 存在连续三项不成等比数列即可， (2)在利用递推关系判定等比数列时，要注意对 n=1的情形进行验证 考点3 等比数列的性质（多雏探究） 角度1等比数列项的性质 角度2等比数列和的性质 [例2](1)在等比数列{an)中，a:,ag为方程x2- [例3】(1)已知一个等比数列首项为1，项数是偶 4x十π=0的两根，则aa6d,的值为 () 数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则 A.π元B.-π√元 C.士π√元 D. 这个数列的项数为 () (2)(2023·四川南充·二模)若等比数列{a.}的 各项均为正数，且41m·a:a十a1o11·a1o12= A.2 B.4 2e,则lna1十lna2+…+lna2ee= C.8 D.16 119② 国高考一轮总复习·数学·RJA (2)(2023·新高考全回Ⅱ卷)记S。为等比数列 冬变式训练多 {a.}的前n项和，若S,=-5,S=21S,则S 1.(2023·全国乙卷理科)已知{a.}为等比数列， a:a:a:=a3a6ado=一8，则a1= A.120 B.85 2.已知等比数列{a。}的前n项和为S,公比为g, C.-85 D.-120 则下列选项正确的是 感悟方法 A.若S=4,S=12,则S,=29 等比数列性质应用问题的解题突破口 3 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式 B,若a,=1,g=4,则S.=4-3a, 的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公 C.若a1十a,=2,asa6=-8,则a1十an=-6 式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体 D.若a,=1,a=4aa,则an=2- 的变化特征，即可找出解决问题的突破口， 提醒在应用相应性质解题时，要注意性质成 请完成《课时检测训练36 立的前提条件，有时需要对性质进行适当变形。 此外，解题时注意“设而不求”的运用。 自主倍优10 构造新数列 对应答案P11口 求数列通项公式，除了我们已经学习的公式 类型二 形如a+1=0生。r,p,g为常数 pa.+q 法、累加法、累乘法等，根据所给递推公式的特 >0,p,g,a.≠0)型 点，还有以下几种构造方式 [典例2] 已知数列a,}满足a,=2,a+ 类型一形如an+,=ca.十d(c≠0，其中a, “,若6，-上-1，则数列(6，)的通项公式为 2-a, a a)型 b.= 典例1门(1)设数列{a.)满足a,=1,且a.=3a。-1 愿悟方法 十4(n≥2)，则数列{a.}的通项公式为a。= ra （r,p,q为常数，r>0,p,g,a≠0) pa.+q 的求解方法是等式两边同时取倒效变形构造出 (2)已知数列{a.)的前n项和为S.,且S。十2a. 线性递推式b.=Ab.-1十B(n≥2，A,B是常 =n,则aw一 数)，进而求解 感悟方法☑ 类型三形如a+1=pa,十q·p+1(p≠0,1，g ≠0)型 设an+1十入=c(an十入)，得a.+1=ca.十(c-1)入， [典例3】已知数列{an}中，a1=1a+1=3a.十3”， 与题设a,4=ca,十d比较系数得入=，(c≠ 则an= 感悟方法 1.所以a+号=a+)m≥2 a+1=pan十g·p+(p≠0，l,q≠0)的求解方 即a,十}构成以（口，+）为首项c为 法是等式两边同时除以p+,即得贵-： 公比的等比数列， q,则数列 为等差数列 ®120