第六章 第1讲 数列的概念及简单表示法-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

第六章数列回 第六章 数列 第1讲 数列的概念及简单表示法 课标多求！ 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）. 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 必备知识 夯实四基⑦ 对应客案P40?酒 知识梳理 5.数列的前n项和公式 如果数列(a.}的前n项和S。与它的回 1.数列的有关概念 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这 (1)数列的定义 个式子叫做这个数列的前n项和公式. 一般地，我们把按照回 排列的一列 常用结论 数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列 1.若数列{a。}的前n项和为S。,道项公式为a。,则 的项. S,n=1, a.= (2)数列与函数 S.-S。-1,n≥2，n∈N'. 数列{a,}是从正整数集N(或它的有限子集{1， 2在教列a.)中，若a最大，则≥0”m≥2m∈ 2,…,n)到实数集R的函数，其自变量是四 an≥an+1 ,对应的函数值是图 ,记 N),若a最小，则 a,≤a-1'(m≥2，neN a≤a.tt 为a.=f(n). 诊断自测 2.数列的表示法 思考辨析 解析式法、表格法、国 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或 3.数列的单调性 “X”) 从第2项起，每一项都固 它的前一项的数 (1)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列. 列叫做递增数列：从第2项起，每一项都⑥ 它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，☑ (2)数列1,0,1,0,1,0，…的通项公式只能是an 的数列叫做常数列. =1+(-1)+H 2 () 4.数列的通项公式和递推公式 (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列 (1)如果数列{a.)的圆 与它的回 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这 (4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤 个式子叫做这个数列的通项公式， 立的点。 教材衍化 (2)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系 2,(人A选择性必秘第二册P6例5改编)已知数列 可以回 来表示，那么这个式子叫做 {a}满足a,=(-1)·3”,则2a+a=() 这个数列的递推公式。 A.18 B.-18 C.45 D.-9 111⑧ 国高考一轮总复习·数学·RJA 3.(选择性必修第二#P9T5改编)如图，古希腊人 易错自纠 常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.如 4.(忽视验证n=1致错)已知数列{a,}的前n项和 图中的数1.5,12,22，…称为五边形数，则第8个 S.=-2n十2，n∈N°，则a.= 五边形数是 5.(意视n∈N”效错)已知数列{a,}的通项公式为 4.=一2n+21,则该数列中的数值最大的项是 第 项， 22 提升能力 考点剖析⊙ 对应答案P407 考点小 由an与Sn的关系求通项（师生共研） [例1](1)已知数列{a.}的前n项和S.=3n2-2n (2)S,与a。关系问题的求解思路 +1,则数列{a.的通项公式为 方向1：利用am=S。一S。-(n≥2)转化为只含 (2)(2023·四川凉山·三模)数列{a,}的前n S.,S。-的关系式，再求解. 方向2：利用S,一S.-1=a,(n≥2)转化为只含 项和为S。,若a=1,a.+1=S。十1，则a.= a。4。-1的关系式，再求解 变式训练 感悟方法 1.已知数列{a}的前n项和S.满足log2(S.十1)= n,则a.= () (1)已知S求a。的常用方法是利用a。= 1,n=1. A. B.2n S,n=1, 2",n≥2 转化为关于a.的关系式，再求 C.2"- D.2-1-1 S。-S.-1n≥2 2.已知数列{a.}满足a1十2a2十3a+…十a.=2°， 通项公式 则an= 考点2 由数列的递推关系式求通项公式（师生共研） [例2](1)已知a1=0,a+1=a.+2-1(u∈N), 则通项公式4，= a出=f(加)的形式，可用累乘法，也可用4，= (2)数列(a.}中，a=1,当n≥2时，an=2"a.-1 则数列{a.}的通项公式为 “三.…，4·a,代入求出通项。 d。-t 感悟方法 多变式训练 (I)形如a。+:=an十f(n)的递推关系式利用累 1.已知数列{an)满足a,=1,对任意n≥2，n∈N”, 加法求和，特别注意能消去多少项，保留多 上-1=2，则数列{a,)的通项公式为a,一 a。a.-1 少项 (2)形如a。+1=a。·f(n)的递推关系式可化为 2.已知数列{a.}中，a1=1,2n·a+1=(n十1)·a., 则数列{a.的通项公式为a.= ®112 第六章数列回 考点3 数列的性质（多维探究） 角度1周期性 2,求效列最大项与最小项的常用方法 例3】(2023·湖南长沙·三模)若数列(a}中， (1)函数法：利用相关的函数求最值，若借助 43 1 4= ,且a.ata=a+i(n∈N°)，i记数 通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 列{a.)的前n项积为n,则L心的值为 (小)项，否则，利用作差法。 G12 a.≥d,-1' (2)利用 (n≥2)确定最大项，利用 角度2 数列的单调性 a.≥aw+1 a.≤a。-1 (3-a)n+2m>8, (n≥2)确定最小项， [例4] 已知数列{a.}满足a an≤a。+l a-,8 ◆变式训练 (nEN”),若对于任意n∈N"都有a,>a+1,则实数 :的取值范围是 1.在前n项和为S。的数列{an)中，a1=1,a2=2,对 角度3数列的最值 所有正整数n均有a+十a+1十a。=0,则S: [例5](2023·江西萍乡·一模)已知数列a。=(n 十a1ag= +10(一)，下列说法正确的是 2.(多选)(2024·辽宁锦州期中)下列各选项中，能 使数列{a.}为递增数列的是 () A.{a.}有最大项，但没有最小项 B.{a.)没有最大项，但有最小项 Aa,n C.{a.}既有最大项，又有最小项 D.{a}既设有最大项，也没有最小项 B.a,=- () 感悟方法 C.41=1,d.+a+1=3 1,解决数列周期性问题，根据给出的关系式求 D.a1=1,a+1=a6-an+2 出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周 请完成《课时检测训练34》 期，进而求出有关项的值或前n项和 第2讲 等差数列 课标多求！ 1,理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题. 3.了解等差数列与一次函数的关系 113盈x1=|-+=√()+(粤)=1,B错误， z?+z?=-1,C错误； -(-+慢)(-—一受)-(一去)2-()-1,D 正确. (2)BCD 解析 由(z2-4)(z2-4z+5)=0,得2-4=0或z2- 4z+5=0,即z2=4或(z-2)2=-1, 解得z=±2或z=2±i,显然A错误，C正确； 各根之和为-2+2+(2+i)+(2-i)=4,B正确； 各根之积为-2×2×(2+i)(2-i)=-20,D正确，故选BCD. [变式训练] 1.B 解析 ∵复数之满足22-2z+2=0,∴=222=1±i, ∴|z|=√I2+(±1)2=√2. 2.-4 解析 因为2+i是关于x的方程x2+ax+5=0的根，其 中a∈R, 所以2-i也是关于x的方程x2+ax+5=0的根，所以2+i+2 -i=-a,a=-4. 第六章 数 列 第1讲 数列的概念及简单表示法 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1确定的顺序 2序号n 3数列的第n项a。④图象法 5大于 6小于 7各项都相等 8第n项a。9序号n 0用一个式子 1序号n 诊断自测 1.(1)√(2)×(3)×(4)√ 2.D 解析 依题意，a=(-1)“3”,所以a?=32=9,a?=-33= -27,2a?+a?=18-27=-9. 3.92 解析 ∵5-1=4,12-5=7,22-12=10, ∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3, ∴第5个五边形数是22+13=35,第6个五边形数是35+16= 51,第7个五边形数是51+19=70,第8个五边形数是70+22 =92. 4.{21-31>2 解析 当n=1时，S?=12-2×1+2=1, 当n≥2时，S1=(n-1)2-2(n-1)+2=n2-4n+5, a=S,-S-1=n2-2n+2-(n2-4n+5)=2n-3, a-{20-31m2综上所述( a=-2(n-24)2+4,5.5 解析 因为a=-2n2+2In,所以， 由于n∈N°,所以当n=5时，a最大，此时a?=55. 求根公式得二1±√3--1±3,不妨设zx=-2+, [例1(1)a,=(6n-51≥2=-2一 [提升能力 考点剖析] 考点1 解析 因为S=3n2-2n+1, z-z?|=|√3i|=√3,A错误； 当n=1时，a?=S,=3-2+1=2; 当n≥2时，a=S,-S。-=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1) +1]=6n-5, a.={2n-5,≥2所以， (2)2"1解析 由已知，a?=1,a+1=S,+1①, 当n=1时，a?=S?+1=a?+1=2; 当n≥2时，a=S-1+1②, ①-②得a+1-a=a,整理得a+1=2a, 即=2(m≥2). a=2又 符合上式，所以数列{a,}是以1为首项，公比为2的等 比数列，所以a=a?·2"1=2"-1. [变式训练] 1.C 解析 由log?(S,+1)=n得S,+1=2",即S=2"-1,所以 a=S,-S,=(2"-1)-(2"1-1)=2"?1(n≥2),又a?=S?=2 -1=1,满足上式，所以a=2"?1. 解析 由已知，可得当n=1时，a?=21=2, ∵a?+2a?+3a?+⋯+na=2”,① 故a?+2a?+3a?+⋯+(n-1)a,1=2"?1(n≥2),② 由①-②,得na=2"-2”?1=2"?1, ∴a=2(n≥2),当n=1时，不满足上式， 考点2 [例2](1)(n-1)2解析 ∵a+1=a+2n-1,即a+1-a=2n -1, ∴a?-a?=1,a?-a?=3,a-a3=5,⋯,a-a-1=2n- 3(n≥2), 以上各式相加得a-a?=1+3+5+7+⋯+(2n-3)= (1+2n3)(n-1=(n-1)2(n≥2). 又a?=0,所以a=(n-1)2(n≥2),而a?=0也适合上式， ∴a=(n-1)2. (2)a=2解析 因为a=2"a,n≥2, 所以=2,G=21,=22,⋯a=2, 累乘得⋯=2·2?1·22⋯2,n ≥2,n∈N°, 所以=2=2n≥2,neN. a?=2,n≥2,n∈N".由于a?=1,所以 ·407· 高考一轮总复习·数学·RJA 显然当n=1时，a?=1满足a=2, 所以a=22,mEN. [变式训练] 1.1 解析 由题意有an+2=-a-a+1,可求得a?=-a?-a? [变式训练] 1 =()+()+⋯+解析 由题， (1-a)+a=1+2+22+⋯+21=2°-1,所以a。 =2-1 =-3,a?=-a?-a?=1,a?=-a?-a=2,可得数列{a}是 一个周期为3的数列，且S?=0,所以S2022+a4042=0+ a4041+1=a?=1. 2.ABD 解析 对于A,a+-a=n+2-n+1=(n+2)(n+1 >0,所以{a}是递增数列，故A正确；对于B,aa+1-a= ∵="t1,∴当n≥2时，2m"-1D)·2.2”解析 -(2)+(会)"=(2)>0,所以(a,}是递增数列，故 B正确；对于C,a?=1,a+a+1=3,则a?=2,a?=1,所以 a-⋯·a?=2cm"1×2"n2)×⋯× 2(3-1×2(2-1×1=”, 经检验，当n=1时也符合，∴a=2· {a,}不是递增数列，故C错误；对于D,a+1-a,=a,-2a+2 =(a-1)2+1>0,所以{a}是递增数列，故D正确. 第2讲 等差数列 [必备知识 夯实四基] 考点3 [例3]1 解析 因为a?=3,a?=4,且a,an+2=am+1,所以 a+-,则a=i,a=5,a=4,a。=号，a,-号，a= 4,发现数列{a}是以6为周期的数列，且前6项积为1,则 -I?a=a1=3,a22=a?=3,所以 [例4](_,1) 解析 ∵对任意的n∈N°,都有a。>aa+1, ∴数列{a}单调递减，可知0<a<1. 1时，若n>8,a=(3-a)n+2单调递减，当3<a< (3-a)×9+2<而n≤8时，a=a"?单调递减，∴只需 a??,解得a>2∴2<a<1; 当O<a<3时，若n>8,a=(3-a)n+2单调递增，应 舍去. (县，1).综上所述，实数a的取值范围是 知识梳理 1同一个常数 2A 3a+b 4a+(n-1)d 回”a,2a 诊断自测 1.(1)√(2)√(3)×(4)√ 2.C 解析 由a?=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的 3.C 解析 设公差为d,则a?+a?=2a?+6d=-4+6d=2, 解得d=1, 所以a=n-3,所以s,=9ca+a=9×(-2+6)=18. S.=n2-15n=(n-25)2-225 15×7=-56,故选C. 5.[-5,3] 解析 由题意知a?=30,ag<0,a?≥0. 30+6≥0,解得-5<<- _提升能力 考点剖析] 5na?+"n-1)d 通项公式为a=-5-4(n-1)=-4n-1,所以a10=-4× 4.C 解析： 即 7(n-m)d 100-1=-401. ,因为n∈N+,二 8a?+a,=am+a。9md 次项系数为正数，所以n=7或n=8时，S,取最小值为72- 考点1 [例5]C 解析 当n=2k,k∈N"时， a=(2k+1()“,au+p=(2k+3)(1)“, az+D-a==42k+179.()", 当k≤4时，a?(+D-a>0,a2?递增；当k≥5时，a2(a+1)-azk <0,az递减，故a10最大. 1.D 解析 方法一：设等差数列{a}的公差为d,由S?=9a? +9×8d=9(a,+4d)=1,得a?+4d=9,则a?+a?=a?+ 2d+a?+6d=2a?+8d=2(a?+4d)=9,故选D. s,=9ata)=9a?=方法二：因为{a}为等差数列，所以， 当n=2k-1,k∈N*时， au-1=-2k·(1)“,azu+D-1=-(2k+2)(贵)”, aa+1-a-1=42k-200.()", a=9,则a?+a,=2a?=?1,得， ,故选D. 2.C 解析 设等差数列{a}的公差为d, 当k≤4时，a2+1-az-1<0,a?L-1递减；当k≥5时，az+1- 若d=1,则这10层的塔数之和为10×1+10×?=55 则最多有55+10+10=75座塔，不符合题意； az-1>0,az-1递增，故ag最小. 综上，{a,}既有最大项，又有最小项. 若d≥3,则这10层的塔数之和不少于10×1+10×9×3> · 408·高考一轮总复习·数学·RJA