第九章 第3讲 成对数据的统计分析-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

第九章统计与统计案例回 ◆变式训练 2.(2024·安做省舒城中学模拟)在发生某公共卫 1.(多选)(2023·新高考全国Iw)有一组样本数 生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间 据x1,x2,…,,其中x1是最小值，x是最大 没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每 值，则 () 天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天 A.x2,无，x4,x的平均数等于x1,x,…,x6的 甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合 () 平均数 该标志的是 A.甲地：总体均值为3，中位数为4 B.工2，x,工，x5的中位数等于x1x,…,x6的中 B.乙地：总体均值为1，总体方差大于0 位数 C.丙地：中位数为2，众数为3 C.工2，x3x43的标准差不小于x1,x…,x6的 D.丁地：总体均值为2，总体方差为3 标准差 D.2,x3,x,无5的极差不大于x,x2…,x的 请完成《课时检测训练58》 极差 第3讲 成对数据的统计分析 课标要求 1.了解样本相关系数的统计含义， 2.理解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题. 3.会利用统计软件进行数据分析， 必备知识 夯实四基可 [对应容案P454] 知识梳理 (3)|r≤1，当r越接近1时，成对样本数据的 L.变量的相关关系 线性相关程度越⑦；当|r越接近0时，成对 (1)相关关系：两个变量四 ,但又没有确 样本数据的线性相关程度越图 切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程 3.一元线性回归模型 度，这种关系称为相关关系。 (1)我们将y=x十a称为Y关于x的经验回归 (2)相关关系的分类： 和3] 方程， (3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现 2(x,-x)(y-) = 正相关或负相关，而且散点落在④ 附 其中 立(x-) 近，我们称这两个变量线性相关. a=y-bx. 2.样本相关系数 (2)残差：观测值减去回 所得的差，称为 2(x,-x)(y,一) (1)r= 残差. 4.列联表与独立性检验 (2)当r>0时，称成对样本数据固 ;当r (1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列 <0时，称成对样本数据回 联表： 195® 同高考一轮总复习·数学·RJA Y A.y与x具有正的线性相关关系 X 合计 Y=0 Y=1 B.若父亲的身高每增加1cm,则其女儿的身高 平均增加0.8cm X=0 b a十b C.若女儿的身高为166cm,则其父亲的身高可 X=1 d c+d 能为175cm D.若父亲的身高为170cm,则其女儿的身高必 合计 a-c b+d n=a十b十c+d 为162cm (2)计算随机变量 3.(人A选择：必修第三册P134T4政编)为了判 n(ad-bc)? 断高三年级学生是否选修文科与性别的关系，现 X=a+bC+十a)ac(6叶，利用X的取 随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表： 值推断分类变量X和Y画 的方法称 理科 文科 为2独立性检验。 男 13 10 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 女 20 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 0.05 0.025 心第里结论 x 3.841 5.024 1.经验回归直线过点（无，y). 2.求b时，常用公式= 立x以：一可 50×(13×20-10×7)2 根据表中数据，得到X 23×27×20×30 -nd 4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可 -1 3.回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测 能性不大于 数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯 易错自纠 错误. 4,(到联表意义不明致错)下面是2×2列联表： 诊断自测】 合计 思考辨析 1.判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打 21 73 “X” 22 25 47 (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的 关系 () 合计 b 46 120 (2)“名师出高徒”可以解释为数师的教学水平与 学生水平成正相关关系。 () 则表中a,b的值分别为 (3)若事件X,Y关系越密切，则由统计数据计算 A.94,72 B.52,50 得到的X的值越大. () C.52,74 D.74,52 (4)由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过 5,(决定系数的意义及应用不请政误)x和y的散 0.01的情况下，我们认为物理成绩优秀与数学 点图如图所示，在相关关系中，若用y=ceS拟 成绩优秀有关，若某人数学成绩优秀，则他物理 合时的决定系数为R,用y=bx+a拟合时的决 成绩优秀的概率为99%. 定系数为R:,则R,R中较大的是 教材衍化 3000 2.(人A选择性必修第三册P113练习T2改编)若 2000 1500 女儿的身高y(单位：cm)关于父亲的身高x(单 1000 500 位：cm)的经验回归方程为y=0.8x十26，则下列 0612345678910 结论不正确的是 () ⑧196 第九章统计与统计案例回 提升能力 [对应答案P454] 考点剖析。 考点小 成对数据的相关性（师生共研） [例1](1)(2023·天津)调查某种群花萼长度和 数据计算得到经验回归直线2的方程为y= 花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r b2x十a2,样本相关系数为2，决定系数为R.则 =0.8245,下列说法正确的是 以下结论中正确的有 () 花瓣长度 A.a>ar B.B>B C.n<r D.R>R 感悟方法 判定两个变量相关性的方法 (1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两 花萼长度 个变量正相关：点的分布从左上角到右下角，两 A.花瓣长度和花萼长度没有相关性 个变量负相关， B.花瓣长度和花萼长度呈负相关 (2)样本相关系数：当r>0时，正相关；当r<0 C.花瓣长度和花萼长度呈正相关 时，负相关；r越接近于1，相关性越强， D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系 (3)经验回归方程：当b>0时，正相关，当b<0 数一定是0.8245 时，负相关 (2)(多选)(2023·港江模拟)某服装生产商为 了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男 多变式训练 生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如表 1.已知变量x和y满足关系y=-0.1x十1，变量y () 所示： 与x正相关.下列结论中正确的是 A.x与y正相关，x与之负相关 编号 1 2 3 4 5 6 7 89 10 B.x与y正相关，x与x正相关 身高/cm165168170172173174175177179182 C,x与y负相关，x与x负相关 体重/kg558961 65677075757880 D.x与y负相关，x与x正相关 由表中数据制作成如图所示的散点图， 2.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图， 关于其样本相关系数的比较，正确的是 ( 体重kg 100 55 80 70 60 5101520253035 05101520253035 51 样本相关系数为 样本相关系数为 40 (2 20 10 164166163170172174176178180182184身高km 5101520253035 由最小二乘法计算得到经验回归直线1的方 05101520253033 样本相关系数为 样本相关系数为 程为y=x十a:,样本相关系数为r1,决定系数 3 (4④ 为R:经过残差分析确定(168,89)为离群点 A.T2<r,<0<r<r B.r,<r2<0<r1<r3 (对应残差过大)，把它去掉后，再用剩下的9对 C.r<r2<0<r3< D.r:<r<0<r<n 考点2 回归模型（多雏探究） 角度1一元回归模型 第年 8 9 10 [例2](2023·河北唐山·峡考三模)据统计，某 居民年收人x32.231,132.935.737.138.039.043.044.646.0 城市居民年收人（所有居民在一年内收入的总 商品销售额y25.030.034.037.039.041.042044.048.051.0 和，单位：亿元)与某类商品销售额（单位：亿元） 依据表格数据，得到下面一些统计量的值 的10年数据如下表所示： 197® 回高考一轮总复习·数学·RJA 含红- 2(x,-x)(y-》 用Logistic曲线拟合模型y= 1 一或 379.6391 247.624 568.9 +ab (1)根据表中数据，得到样本相关系数r≈0.95. 4 Log1sic非线性回归模型y一1十。进行统计 以此推断，y与x的线性相关程度是否很强？ 分析，其中a,b,4为参数.基于这两个模型，绘 (2)根据统计量的值与样本相关系数r≈0.95， 制得到如下的散点图和残差图： 建立y关于x的经验回归方程（系数精确到 12. 0.50 0.01): 0.25 (3)根据(2)的经验回归方程，计算第1个样本 0.00 点(32.2,25.0)对应的残差（精确到0.01）：并判 -0.25 。 新若剔除这个样本点再进行回归分析，的值 -0.50 10 将变大还是变小？（不必说明理由，直接判断 -曲线拟合一非线性国白。现测值 白合年我密一 即可) (1)你认为哪个模型的拟合效果更好？分别结 附：样本(xy)(i=1,2,…,n)的相关系数 合散点图和残差图进行说明： -00- (2)假定u=12.5,且黄河鲤仔鱼的体长y与天 数t具有很强的相关关系.现对数据进行初步 处理，得到如下统计量的值：i=之4=10.5， 20台 √2.297≈1.516，b= 之(x,-x)(y,一） 2(-) =动2=-383，西=02叫=-1.608 a=y-bz. 含4，-0=65,2(x-04-0=-109,06, 含（画-西）(4-)=-13832，其中 n(侵)，出=ln(货-小，根据1)的判断结 果及给定数据，求y关于1的经验回归方程，并 预测第22天时仔鱼的体长（结果精确到小数点 后2位). 附：对于一组数据(x1,1),(x2,y2),…,(xn, y.)其回归直线y=a十bx的斜率和截距的最小 估计分别为6一宫红一0一D ,a=y- 2(x一x) 角度2非线性回归模型 ix;参考数据：e≈0.0183. [例3](2023·山东德州·焚考一模)黄河鲤是我 国华北地区的主要淡水养殖品种之一，其鳞片 金黄、体形梭长，尤以色泽鲜丽、肉质细嫩、气味 清香而著称.为研究黄河鲤早期生长发育的规 律，丰富黄河鲤早期养殖经验，某院校研究小组 以当地某水产养殖基地的黄河鲤仔鱼为研究对 象，从出卵开始持续观察20天，试验期间，每天 固定时段从试验水体中随机取出同批次9尾黄 河鲤仔鱼测量体长，取其均值作为第天的观 测值y:(单位：mm),其中4：=i,i=1,2,3,…, 20.根据以往的统计资料，该组数据(t,y,)可以 ⑧198 第九章统计与统计案例回 感悟方法 似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的 总材积量的估计值. 求经验回归方程的步骤 (x,-)(y-》 步骤一 计算出高或c-0列 附：相关系数r= 1 0 三红可的值 步景已利用公式计算系数a。 √1.896≈1.377. 步骤国写出经验回归方程。 ◆变式训练令 (2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已 将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树 木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量 每棵树的根部横截面积（单位：m)和材积量（单 位：m),得到如下数据： 鲜本号1 3 4 67 8910总和 根部做裁 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.8 面积 材积 0.2s0.400,220.540.510.340.360,460.420.403,9 量 并计算得=0.038，y=1.6158, 盏=0.2474 (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面 积与平均一棵的材积量： (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量 的样本相关系数（精确到0.01）； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面 积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 186m.已知树木的材积量与其根部横截面积近 考点3 列联表与独立性检验（师生共研） [例4]第五代移动通信技术（简称5G)是最新一 满意 年龄 代蜂窝移动通信技术，是实现人机物互联的网 合计 情况 50岁以下 50岁或50岁以上 络基础设施.某市工信部门为了解本市5G手 满意 95 机用户对5G网络的满意情况，随机抽取了本 不满意 25 市200名5G手机用户进行了调查，所得情况统 合计 120 200 计如下： 199® 回高考一轮总复习·数学，RJA (1)完成上述列联表，并估计本市5G手机用户 ◆变式训练。 对5G网络满意的概率； (2024·新高考上海卷)为了解某地初中学生体 (2)依据小概率值&=0.05的独立性检验，分析 育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000 本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50 名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与 岁以下是否有关. 学业成绩的数据如下表所示： 附： 时间 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 范国 [0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5) 学业 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 成绩 n(ad-bc)2 X=a+b(c+十(a十6+D其中n=a+b 优秀 5 44 42 3 1 +c+d. 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少 于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长 (精确到0.1)： (3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日 均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时 有关？ n(ad-bc)2 附：x=(a+b(2+)a0h叶D,其中n=a +b+c+d,P(x2≥3.841)≈0.05. 感悟方法 独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表】 n(ad-bc)? (2)根据公式X=(a+b)(a十c)(b+d)(c+d西 计算 (3)比较X与临界值的大小关系，作统计推断， 请完成《课时检测训练59》 ®200考点3 [例3]解(1)由题意得z,=x;-y的值分别为9,6,8,-8,15, 11,19,18,20,12, 则z=×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12) =11, 2=10×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+ (15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12 -11)2]=61. ,z=11,2√io=2√6.I=√24.4<√121(2)由(1)知， =11, z≥2√,故有 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理 后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. [变式训练] 1.BD 解析 对于选项A,设x?,x?,x4,xs的平均数为m,x?, x?,⋯,x。的平均数为n, 则n-m=3+z?+z6z+x+ze+z.+x+ =2(z,+z)-(z2+?+z,+z). 因为没有确定2(x?+x?),x?+x?+x?+x?的大小关系，所 以无法判断m,n的大小， 例如：1,2,3,4,5,6,可得m=n=3.5; 例如：1,1,1,1,1,7,可得m=1,n=2; m=2,n=6例如：1,2,2,2,2,2,可得： ,故A错误； 对于选项B,不妨设x?≤x?≤x?≤x?≤x?≤x?, 可知x?,xs,xa,xs的中位数等于x?,x?,⋯,x?的中位数，均 2为 ,故B正确； 对于选项C,因为x?是最小值，xs是最大值， 12)=7, 则x?,xg,xa,xs的波动性不大于x?,x?,⋯,x?的波动性，即 T?,x3,xA,xs的标准差不大于x?,x2,⋯,x?的标准差. n=6(2+4+6+8+10+例如：2,4,6,8,10,12,则平均数 =√÷1Q-P2+-7+6-72+8-72+0-72+402-7标准差 =35, m=4(4+6+8+10)=7,4,6,8,10,则平均数 s=√4[4-72+(6-72+(8-7)2+(10-72]标准差s 35>5,即s?>S?,故C错误；=√5,显然 对于选项D,不妨设x?≤x?≤x?≤x?≤x?≤x?, 则x?-x?≥x?-x2,当且仅当x?=x2,x?=x?时，等号成立， 故D正确。故选BD. 2.D 解析 因为平均数和中位数不能限制某一天的病例超 过7人，故A不正确；乙地：总体均值为1,说明乙地过去10 天新增疑似病例10人，总体方差大于0,有可能存在一天新 增疑似病例超过7人，故B不正确；中位数和众数也不能限 制某一天的病例超过7人，故C不正确；当总体均值是2,若 有一个数据超过7,则方差就超过3,故D正确，故选D. 第3讲 成对数据的统计分析 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1有关系 2正相关 3负相关 ④一条直线 5正相关 诊断自测 1.(1)×(2)√(3)√(4)× 2.D 解析 由b=0.8>0知y与x具有正的线性相关关系， A正确； 由b=0.8知父亲的身高每增加1 cm,其女儿的身高平均增 加0.8 cm,B正确； 若女儿的身高为166 cm,则其父亲的身高可能为(166-26) ÷0.8=175(cm),C正确； 若父亲的身高为170 cm,则其女儿的身高可能为0.8×170 3.0.05 解析 x2≈4.844>3.841=xo.05,这表明小概率事件 0.05. 4.C 解析 因为a+21=73,所以a=52.又a+22=b,所以b =74. 5.R2解析 由题图知，用y=c?e拟合的效果比y=bx+a 拟合的效果要好，所以R3>R2,故较大者为R2. [提升能力 考点剖析] 6负相关 7强 8弱 9预测值 0是否独立 +26=162(cm),而不是一定，D错误. 发生.根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与 性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性不大于 考点1 [例1](1)C 解析 根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花 萼长度有相关性，故A错误； 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈 正相关，故B错误，C正确； 由于r=0.8245是全部数据的样本相关系数，取出来一部 分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的样本 相关系数不一定是0.8245,故D错误. (2)AC 解析 身高的平均数为 165+168+170+172+173+174+175+177+179+182 =173.5, 因为离群点(168,89)的横坐标168小于平均值173.5,纵坐 标89相对过大， 所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大， 所以a?>az,b?<b?,所以A正确，B错误； 去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效 果会更好， 所以r?<r2,R3<R2,所以C正确，D错误。 [变式训练] 1.C 解析 因为y=-0.1x+1的斜率小于0,故x与y负相 关.因为y与≈正相关，可设z=by+a,b>0,则z=by+a= -0.1bx+b+a,故x与z负相关. 2.A 解析 由散点图知图(1)与图(3)是正相关，故r?>0,r? >0,图(2)与图(4)是负相关，故r?<0,r?<0,且图(1)与图 (2)的样本点集中在一条直线附近，因此r?<r?<0<r?<r?. 考点2 [例2]解(1)根据样本相关系数r≈0.95,可以推断线性相关 程度很强. ~05页(2)由， ” 高考一轮总复习·数学·RJA · 454· 可得 考点3 [例4]解(1)2×2列联表如下： 2 所以b=r√2.297≈0.95×1.516≈1.440. 又因为x=37.96,y=39.1, 所以a=y-bx≈-15.56, 所以y与x的线性回归方程为y=1.44x-15.56. 250-4所以本市5G手机用户对5G网络满意的概率约为 (3)第一个样本点(32.2,25.0)的残差为25.0-(1.44× (2)零假设为H?:本市5G手机用户对5G网络满意与年龄 在50岁以下无关. 32.2-15.56)=-5.808≈-5.81, 由于该点在回归直线的右下方，故将其剔除后，b的值将 变大. 根 据 列 联 表 中的数据，计 算可得 x2= 200×09×825152×55)2-2~2.778<3.841. -1+拟合效果更好[例3]解(1)Logistic非线性回归模型3 从散点图看，散点更均匀地分布在该模型拟合曲线附近； 从残差图看，该模型下的残差更均匀地集中在以残差为0 的直线为对称轴的水平带状区域内. 根据小概率值a=0.05的x2独立性检验原则，没有充分证 据推断H。不成立，因此可以认为H。成立，即认为本市5G 手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关. [变式训练] (2)将y=1+“-转化为e(“-1)=a-bu, --0208 解(1)由表可知锻炼时长不少于1小时的人数占比为 17958+28-38 则估计该地区29 000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的 人数为29000×38=12500. (2)估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为 所以b=0.208, 所以a=w—(-b)·E=-1.608+0.208×10.5=0.576, =1+e5,所以y关于t的经验回归方程为 -1+5~当t=22 时，体长 12.28(mm). 58[°5×139+0.5+1×191+1+1.5×179+1.5+2×43+ 2+2.5×28]≈0.9. 则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时. (3)由题列联表如下： [变式训练] 解(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x= 16=0.06, y=39=0.39,样本中10棵这种树木的材积量的平均值5 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2, 平均一棵的材积量为0.39 m3. 提出零假设H。:该地区学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于 1小时且小于2小时无关. 0 其中α=0.05. x=58095×5483×22×3802≈3.976>3.841. 则零假设不成立， 即有95??把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1 小时且小于2小时有关. 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 -0.038-10×0.-60×0.6158-30×0.395 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 _必备知识 夯实四基] 知识梳理 =0.003896~0.0134~0.97, 1m+n 2m×n诊断自测 则r≈0.97. 1.(1)×(2)√(3)×(4)√ (3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 2.B 解析 当a=0时，关于x的方程为2x+b=0,此时有序 数对(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2)均满足要求；当a≠0时，△ 0.39=86,解得Y=1209.可得 则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3. =4-4ab≥0,ab≤1,此时满足要求的有序数对为(-1, -1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1), (2,-1),(2,0).综上，满足要求的有序数对共有13个. · 455· 满意 情况 年龄 合计 50岁以下 50岁或50岁以上 满意 95 55 150 不满意 25 25 50 合计 120 80 200 [1,2] 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 高考一轮总复习·数学·RJA