第九章 第2讲 用样本估计总体-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

第九章统计与统计案例回 基于以上统计信息，则 试，将成绩分成6组：[70,75)，[75,80)，[80， A.骑车时间的中位数的估计值是22 85),[85,90).[90,95),[95,100],得到如图所示 B.骑车时间的众数的估计值是21 的频率分布直方图，则a= C.坐公交车时间的中位数的估计值是20 频 组型 D.坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时 间的平均数的估计值 0.040 0035 0.030 2.在党史学习教育动员大会上，习近平总书记强调 0.025 0.020 全党同志要做到学史明理，学史增信，学史崇德、 学史力行.某单位对200名党员进行党史知识测 0707580859095100分数 请完成《课时检测训练57) 第2讲 用样本估计总体 课标安求 1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数. 2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度， 必备知识 夯实四基可 [对应答率P453] 知识梳理 3.方差和标准差 1.百分位数 1)方差：=上2(x-x)或上2x- 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个 值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或 2(x,-x) (2)标准差：=入元马 等于这个值，且至少有(100一p)%的数据大于或 4.总体（样本）方差和总体（样本）标准差 等于这个值， 2.平均数、中位数和众数 (1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别 平均数：=+十+x》 为YY。,…,Yv总体平均数为Y,则总体方差 (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小 s=2Y- 的顺序排列，处在最回 的一个数据（当数 (2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的 据个数是奇数时)或最中间两个数据的☑ 值共有(k≤V)个，不妨记为Y,,Y2,…,Y,其 (当数据个数是偶数时). (3)众数：一组数据中出现次数图 的数据 中Y,出现的频数为f,(i=1,2,…,k),则总体方 (即频数最大值所对应的样本数据)， 差为s=2f,x-. 191 国高考一轮总复习·数学·RJA 常用结论 3.(人A必修第二册P209练习T3改编)某校举行 巧用三个有关的结论 演讲比赛，6位评委对某选手的评分分别为9.2， (1)若xx,,x。的平均数为1，则mx1十a,m 9.5,8.8,9.9,8.9,9.5,设该选手得分的平均数 十a,…,m.x。十a的平均数为m十a: 为x,中位数为y,众数为，则 () (2)数据无1，x,与数据x1'=x1十a,x2'=x2 A.I<y< B.r<y= 十a,…,x'=x。十a的方差相等，即数据经过平移 C.y<I< D.x<<y 后方差不变： 易错自纠 (3)若x,,…,x。的方差为s,则ax1十b,ax2十 4.(不理解数字特征的意义致错)在某次足球联赛 b,…,axn十b的方差为a2s, 上，红队每场比赛平均失球个数是1.6，全年比 诊断自测 赛失球个数的标准差是1,1：蓝队每场比赛平均 思考辨析 失球个数是2.2，全年比赛失球个数的标准差是 1.判断（在括号内打“√”或“×”） 0.4,则下列说法正确的是 (） (1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常 A.平均来说，蓝队比红队防守技术好 接近。 () B.蓝队很少失球 (2)方差与标准差具有相同的单位。 ( C,红队有时表现很差，有时表现又非常好 (3)若一组数中每个数减去同一个非零常数，则 D.蓝队比红队技术水平更不稳定 这组数的平均数改变，方差不变. ( ) 5.(不理解由图计算中位数的方法致错)某校为了 (4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边 了解高二年级200名女学生的体能情况，随机抽 中点的横坐标是众数， ( 查了其中的30名女生，测试了1分钟仰卧起坐 教材衍化 的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图， 2.(人A必修第二册P204例3改编)通过抽样调 请根据图示估计该校高二年级女生仰卧起坐次 查得到某栋居民楼24户居民的月均用水量（单 数的中位数位于 () 位：t)数据，将其按从小到大排序如下： 人效 2.13.23.24.34.35.56.78.9 3 9.49.59.59.910.110.511.1 11.212.514.815.215.318.419.0 20.822.4 01520253035数 则这24户居民的月均用水量的第25百分位数 A.(15,20) B.(20,25) 多 C.(25,30) D.(30,35) A.4.3 B.5.5 C.6.1 D.6.7 提升能力 考点剖析⊙ 对应答案H53] 考点 样本的数字特征和百分位数的估计（师生共研） [例1门(1)（多选）某校举行“永远跟党走、唱响青 选手打分.根据两个评委小组（记为小组A,小 春梦”歌唱比赛，在歌唱比赛中，由9名专业人 组B)对同一名选手打分的分值绘制成折线图， 士和9名观众代表各组成一个评委小组给参赛 如图所示，则 () ®192 第九章统计与统计案例回 分值分 则下列说法正确的是 ( 80 75 A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小 70 于70% 605 47 B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大 042456 507 ■小组A 4小组B 于85% 3 36 C,讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲 0 123456789评委序号 座后正确率的标准差 A.小组A打分的分值的众数为47 D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座 B.小组B打分的分值第80百分位数为69 前正确率的极差 C,小组A是由专业人士组成的可能性较大 感悟方法乙 D.小组B打分的分值的方差小于小组A打分 (1)计算一组数据第p百分位数的步骤 的分值的方差 第一步> 按从小到大排列原始数站 (2)下列一组数据1,2,2,3,4,4,5,6,6,7的 30%分位数为 第二 计算产n×p% A.2 B.3 C.4 D.2.5 若不是整数，而大于的最小整数 为，则%分住数为第，个数据 (3)(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以 普及社区居民的垃圾分类知识，为了解讲座效 若是整数，则以分位数为第个与 第+1个数站的平均数 果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前 (2)应用统计图表或样本数据提取关键信息，对 和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10 总体取值规律作出估计， 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确 多变式训练多 率如下图： 止确将 (多选)甲、乙两人进行飞镖游戏，甲的10次成绩 1000% 95 分别为8,6,7,7,8,10,10,9,7,8，乙的10次成绩 的平均数为8，方差为0.4，则下列说法正确的是 % () 70%…“………。米-=…-“ 65 A.甲的10次成绩的极差为4 123+5678910 B.甲的10次成绩的75%分位数为8 屏民编号 C.甲和乙的20次成绩的平均数为8 *计座前 ·计座品 D.甲和乙的20次成绩的方差为1 考点2 总体集中趋势的估计（师生共研） 例2]2024年，安徽、甘肃、广西、贵州、黑龙江、 吉林、江西七省区作为第四批实施改革的省份 组 0.016 进入新高考.2023年10月，进人新高考的七个 0.014 D.3 省份相继公布了高考选考科目的试卷结构.某 考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结 束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情 0.004 a- 况，作出升学规划，决定是否参加强基计划.在 本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的 0570011013015成绩/分 联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学 (1)求出图中a的值并估计本次考试的及格率 成绩作为样本，并按照分数段[50,70)，[70， (“及格率”指得分为90分及以上的学生所占 90),[90,110),[110,130),[130,150]分组，绘 比例)： 制了如图所示的频率分布直方图. (2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分 位数： 193 国高考一轮总复习·数学，RJA (3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平 冬变式训练多 均数. (多选)某学校开展了针对学生使用手机同题的 专项治理，效果显著，现随机抽取该校100名学 生，调查他们周六使用手机的时间（单位：mn), 数据按照[0,25)，[25,50).…，[125,150]分组， 感悟方法 得到如图的颏率分布直方图，则 () 估计总体集中趋势的几个数字特征 ·烦苹 组羽 (1)中位数、众数分别反映了一组数据的“中等 0.012- 水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水 0.(006 平，我们需要根据实际需要选择使用。 0.004 0.002- (2)频率分布直方图的数字特征 0255075100125150I间min ①众数：众数一般用频率分布表中频率最高的 A.这100名学生中，有25名学生周六使用手机 一组的中间值来表示，即在样本数据的频率分 的时间在[75,100)内 布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标： B.估计这100名学生中，周六使用手机的平均时 ②中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和 间约为50min 右边的直方图的面积和应该相等： C.估计这100名学生中，周六使用手机时间的第 ③平均数：平均数在频率分布表中等于各组中 60百分位数约为80 间值与对应频率之积的和，即在频率分布直方 D.估计该校周六使用手机时间超过2h的学生 图中，每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点 比例为10% 的横坐标之和。 考点3 总体离散程度的估计（师生共研） 例3](2023·金国乙卷)某厂为比较甲、乙两种 橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品 工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次 的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高). 配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个 橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另 一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的 伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸 缩率分别记为x,y(i=1,2,…,10).试验结果 如下： 试验序号1 3 45 6 789 10 伸第*x,545533551522575544541568596348 伸缩率M536527543530560533522550576536 记=t,一y,(i=1,2,…,10),·…,w的 样本平均数为，样本方差为. 感悟方法 (1)求，8： 总体离散程度的估计 (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较 标准差（方差）反映了数据的离散与集中、波动 乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著 与稳定的程度，标准差（方差）越大，数据的离散 程度越大：标准差（方差）越小，数据的离散程度 s 提高（如果≥2 0，则认为甲工艺处理后的 越小 ®194 第九章统计与统计案例回 乡变式训练冬 2.(2024·安撒省舒城中学模拟)在发生某公共卫 1.(多选)(2023·新高考全田I卷)有一组样本数 生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间 据，x,…,x,其中x1是最小值，x是最大 没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每 值，则 ( 天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天 A.x2,3·xx的平均数等于x1,2,…x6的 甲，乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合 该标志的是 () 平均数 A.甲地：总体均值为3，中位数为4 B.x,x,x,x的中位数等于xx,…,x6的中 B.乙地：总体均值为1，总体方差大于0 位数 C.丙地：中位数为2，众数为3 C.无xx无的标准差不小于无xg…,的 D.丁地：总体均值为2，总体方差为3 标准差 D.x2,x,x的极差不大于无1，x…,x的 请完成《课时检测训练58 极差 第3讲 成对数据的统计分析 课标要求！ 1.了解样本相关系数的统计含义. 2.理解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题 3.会利用统计软件进行数据分析. 必备知识 夯实四基⑦ 对应答案P454 知识梳理 (3)r≤1：当r越接近1时，成对样本数据的 线性相关程度越回：当越接近0时，成对 1.变量的相关关系 (1)相关关系：两个变量回 ,但又没有确 样本数据的线性相关程度越☒· 切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程 3.一元线性回归模型 度，这种关系称为相关关系. (I)我们将y=x十a称为Y关于x的经验回归 (2)相关关系的分类：☑ 和☒ 方程， (3)线性相关：一股地，如果两个变量的取值呈现 6- 2(x,-x)(y,一) 正相关或负相关，而且散点落在四 附 其中 2(x-x) 近，我们称这两个变量线性相关 a=y-bi. 2.样本相关系数 (2)残差：观测值减去回 所得的差，称为 立(x,-x)(y一) (1)r= 残差。 V②x-,0y- 4.列联表与独立性检验 (2)当>0时，称成对样本数据固 ；当r (1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列 <0时，称成对样本数据回 联表： 195®设坐公交车时间的平均数为b?, 则b?=(13×0.025+15×0.05+17×0.075+19×0.1+21 ×0.1+23×0.075+25×0.05+27×0.025)×2=20, 因为21.6>20,所以b?>b?,故选项D正确。 2.0.050 解析 由(0.020+0.025+0.030+0.035+0.040+ a)×5=1,解得a=0.050. 第2讲 用样本估计总体 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1中间 2平均数 3最多 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)√(4)√ 2.C 解析 24×25?,因为第6个和第7个数据分别为 5.5和6.7, 所以这24 户居民的月均用水量的第 25百分位数为 5.5+6.7=6.1. =9.3,y=9.2+9.5=9.35,z=9.5,则x<y<z. 4.C 解析 因为红队每场比赛平均失球数是1.6,蓝队每场 比赛平均失球数是2.2,所以平均说来红队比蓝队防守技术 差为1.1,蓝队全年比赛失球个数的标准差为0.4,所以蓝队 5.C 解析 由题意知，区间(15,20)的人数有30-10-12-5 30). 好，故A错误；因为蓝队每场比赛平均失球数是2.2,全年比 比红队技术水平更稳定，故D错误. =3(人),又3+10<15,3+10+12>16,故中位数位于(25, [提升能力 考点剖析] 赛失球个数的标准差为0.4,所以蓝队经常失球，故B错误； 因为红队全年比赛失球个数的标准差为1.1,蓝队全年比赛 失球个数的标准差为0.4,所以红队有时表现很差，有时表 现又非常好，故C正确；因为红队全年比赛失球个数的标准 2=—(x,-x)2=n(x2-nx2)=nx2方差也可以用3.A 解析 将评分按从小到大排序为8.8,8.9,9.2,9.5, x=9.2+9.5+8.869.9+8.9+9.5-x2进行求解，9.5,9.9,由题意可得， 即2=10x2-x2=102x2-82=1.6, 吃=102x2-2=102x2-82=0.4, 所以22-2×8°=2,即云2}-8=1,故D正确。 极差为100?0?0讲座前问卷答题的正确率的 极差为95?0?5?0所以D错. [变式训练] ACD 解析 甲的10次成绩中，最大值为10,最小值为6,极 差等于4,故A正确； 因为10×75?.5,所以将甲的10次成绩从小到大排列后， 第8个数为75?位数，即75?位数等于9,故B不正确； 经计算，甲的10次成绩的平均数等于8,又已知乙的10次成绩 的平均数等于8,则甲和乙的20次成绩的平均数为8,故C 正确； =[(6-8)2+3×(7-8)2+(9-832+2×10-8)2]= 1.6, =10×(1.6+10+10×0.4+0=0×10×1.6+10×0.4)= 1,故D正确。 考点1 [例1](1)AC 解析 由折线图知，小组A打分的9个分值排 序为42,45,46,47,47,47,50,50,55,小组B打分的9个分 值排序为36,55,58,62,66,68,68,70,75; 对于A:小组A打分的分值的众数为47,故选项A正确；对 于B:小组B打分的分值第80百分位数为9×80?.2, 所以应排序第8,所以小组B打分的分值第80百分位数为 70,故选项B不正确；对于C:小组A打分的分值比较均匀， 即对同一个选手水平的评估相对波动较小，故小组A更像 是由专业人士组成，故选项C正确；对于D:小组A打分的 分值的均值约47.7,小组B打分的分值均值为62,根据数 据的离散程度可知小组B波动较大，方差较大，选项D不 正确，故选AC. (2)D 解析 题干中共10个数，因为10×0.3=3,所以所 2±3=2.5.求的30?位数为 70?5?0所以A(3)B 解析 讲座前中位数为 错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80?个85%, 剩下全部大于等于90所以讲座后问卷答题的正确率的 平均数大于85所以B对；讲座前问卷答题的正确率更 加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座 后正确率的标准差，所以C错；讲座后问卷答题的正确率的 考点2 [例2]解(1)由频率分布直方图的性质，可得(a+0.004+ 0.013+0.014+0.016)×20=1, 解得a=0.003. 所以及格率为(0.016+0.014+0.003)×20=0.66=66%. (2)得分在110以下的学生所占比例为(0.004+0.013+ 0.016)×20=0.66, 得分在130以下的学生所占比例为0.66+0.014×20 =0.94, 所以第80百分位数位于[110,130]内， 由110+20×0.94-0.66=120,估计第 80百分位数 为120. (3)由图可得，众数的估计值为100. 平均数的估计值为0.08×60+0.26×80+0.32×100+ 0.28×120+0.06×140=99.6. [变式训练] AC 解析 根据频率分布直方图得25a=1-25×(0.004+ 0.006×2+0.012+0.002)=0.25,解得a=0.01. A.周六使用手机的时间在[75,100]内的频率为25a=0.25,故 有25名同学，正确；B.周六使用手机的平均时间约为25× (0.004×25+0.006×5+0.012×125+0.01×125+0.006 ×225+0.002×225)=71.25,故错误；C.周六使用手机时间 在(0,75)内的频率为25×(0.004+0.006+0.012)=0.55,所 75+0.6.2555×25=80,,故正确；D.周六以第60百分位数为 使用手机时间在(100,125)内的频率为0.15,使用手机时间在 [125,150]内的频率为0.05,所以周六使用手机时间超过2 h 5×0.006×25+0.05=0.08,故错误。故选AC.的学生频率为： · 453· 高考一轮总复习·数学·RJA 考点3 [例3]解(1)由题意得z,=x;-y的值分别为9,6,8,-8,15, 11,19,18,20,12, 则z=×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12) =11, 2=10×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+ (15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12 -11)2]=61. ,z=11,2√io=2√6.I=√24.4<√121(2)由(1)知， =11, z≥2√,故有 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理 后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. [变式训练] 1.BD 解析 对于选项A,设x?,x?,x4,xs的平均数为m,x?, x?,⋯,x。的平均数为n, 则n-m=3+z?+z6z+x+ze+z.+x+ =2(z,+z)-(z2+?+z,+z). 因为没有确定2(x?+x?),x?+x?+x?+x?的大小关系，所 以无法判断m,n的大小， 例如：1,2,3,4,5,6,可得m=n=3.5; 例如：1,1,1,1,1,7,可得m=1,n=2; m=2,n=6例如：1,2,2,2,2,2,可得： ,故A错误； 对于选项B,不妨设x?≤x?≤x?≤x?≤x?≤x?, 可知x?,xs,xa,xs的中位数等于x?,x?,⋯,x?的中位数，均 2为 ,故B正确； 对于选项C,因为x?是最小值，xs是最大值， 12)=7, 则x?,xg,xa,xs的波动性不大于x?,x?,⋯,x?的波动性，即 T?,x3,xA,xs的标准差不大于x?,x2,⋯,x?的标准差. n=6(2+4+6+8+10+例如：2,4,6,8,10,12,则平均数 =√÷1Q-P2+-7+6-72+8-72+0-72+402-7标准差 =35, m=4(4+6+8+10)=7,4,6,8,10,则平均数 s=√4[4-72+(6-72+(8-7)2+(10-72]标准差s 35>5,即s?>S?,故C错误；=√5,显然 对于选项D,不妨设x?≤x?≤x?≤x?≤x?≤x?, 则x?-x?≥x?-x2,当且仅当x?=x2,x?=x?时，等号成立， 故D正确。故选BD. 2.D 解析 因为平均数和中位数不能限制某一天的病例超 过7人，故A不正确；乙地：总体均值为1,说明乙地过去10 天新增疑似病例10人，总体方差大于0,有可能存在一天新 增疑似病例超过7人，故B不正确；中位数和众数也不能限 制某一天的病例超过7人，故C不正确；当总体均值是2,若 有一个数据超过7,则方差就超过3,故D正确，故选D. 第3讲 成对数据的统计分析 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1有关系 2正相关 3负相关 ④一条直线 5正相关 诊断自测 1.(1)×(2)√(3)√(4)× 2.D 解析 由b=0.8>0知y与x具有正的线性相关关系， A正确； 由b=0.8知父亲的身高每增加1 cm,其女儿的身高平均增 加0.8 cm,B正确； 若女儿的身高为166 cm,则其父亲的身高可能为(166-26) ÷0.8=175(cm),C正确； 若父亲的身高为170 cm,则其女儿的身高可能为0.8×170 3.0.05 解析 x2≈4.844>3.841=xo.05,这表明小概率事件 0.05. 4.C 解析 因为a+21=73,所以a=52.又a+22=b,所以b =74. 5.R2解析 由题图知，用y=c?e拟合的效果比y=bx+a 拟合的效果要好，所以R3>R2,故较大者为R2. [提升能力 考点剖析] 6负相关 7强 8弱 9预测值 0是否独立 +26=162(cm),而不是一定，D错误. 发生.根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与 性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性不大于 考点1 [例1](1)C 解析 根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花 萼长度有相关性，故A错误； 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈 正相关，故B错误，C正确； 由于r=0.8245是全部数据的样本相关系数，取出来一部 分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的样本 相关系数不一定是0.8245,故D错误. (2)AC 解析 身高的平均数为 165+168+170+172+173+174+175+177+179+182 =173.5, 因为离群点(168,89)的横坐标168小于平均值173.5,纵坐 标89相对过大， 所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大， 所以a?>az,b?<b?,所以A正确，B错误； 去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效 果会更好， 所以r?<r2,R3<R2,所以C正确，D错误。 [变式训练] 1.C 解析 因为y=-0.1x+1的斜率小于0,故x与y负相 关.因为y与≈正相关，可设z=by+a,b>0,则z=by+a= -0.1bx+b+a,故x与z负相关. 2.A 解析 由散点图知图(1)与图(3)是正相关，故r?>0,r? >0,图(2)与图(4)是负相关，故r?<0,r?<0,且图(1)与图 (2)的样本点集中在一条直线附近，因此r?<r?<0<r?<r?. 考点2 [例2]解(1)根据样本相关系数r≈0.95,可以推断线性相关 程度很强. ~05页(2)由， ” 高考一轮总复习·数学·RJA · 454·