第九章 第1讲 随机抽样、统计图表-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

第九章 统计与统计案例 第1讲 随机抽样、统计图表 (2)A 解析 由折线图可知，月跑步里程不是逐月增加的，故 A不正确； [必备知识 夯实四基] 月跑步里程最大值出现在10月，故B正确； 知识梳理 1抽签法 2随机数法 3分层随机抽样 4层 5极差 诊断自测 1.(1)×(2)√(3)×(4)√ 2.B 解析 由题意，田径队男、女运动员人数的比例为24: 18=4:3,用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个 +3x=14,解得x=2,即男运动员8名，女运动员6名，故估 180.1×8+168.2×6= 3.D 解析 由题图可知，纤维长度在[250,300]内的频数为 0.003×50×60=9,A正确；纤维长度在(0,200)内的频率为 (0.0013+0.0027+0.0017+0.0010)×50=0.335,B正 0.005 3+0.0033)×50=0.58,C正确；这批棉花纤维长度 4.58 解析 由题意，从随机数表第1行的第9列数字0开 18(舍去),38,58,故选出来的第4个个体编号为58. 5.9 解析 由题可知，喜欢徒步的男生有500×0.6= 6组距 7组数 8数据 容量为14的样本，设男运动员4x名，女运动员3x名，故4x 计该田径队运动员的平均身高为 确；棉花纤维长度能达到250 mm以上的频率为(0.0030+ 的中位数的估计值为250+0.15×50≈276.7,D不正确。 始，从左到右依次选取两个数字的结果为00,18,00(舍去), 300(人),喜欢徒步的女生有450×0.4=180(人),则女生应 175(cm). 抽取人数为180×300+180=9(人). [提升能力 考点剖析] 月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1 月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，故5月份对应的里程 数为中位数，故C正确； 1月到5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小， 变化比较平稳，故D正确. [变式训练] 1.B 解析 由扇形统计图结合分层随机抽样知识易知样本量 为48?00, 则样本中高中生的人数为200×25?0,易知高中生总体 50=5000,的容量为 结合近视率条形图得该地区 高中生近视人数为 5 000×50?500. 2.B 解析 44～56周岁人群理财人数所占比例是37是最 多的，A正确； 设总人数为a,则18～30周岁人群理财总费用约为0.28a× 3500=980a, 31～43周岁人群理财总费用约为0.3a×4500=1350a, 44～56周岁人群理财总费用约为0.37a×5500=2035a, 57周岁及以上人群理财总费用约为0.05a×6200=310a, 所以57周岁及以上人群理财总费用最少，B错误； 由条形图可知，B理财产品更受理财人青睐，C正确； 由折线图可知，年龄越大的年龄段的人均理财费用越高，D 正确. 考点3 [例2]解(1)由频率分布直方图可知5×(0.07+x+0.04+ 考点1 0.02+0.01)=1,解得x=0.06, 1.A 解析 因为学院共有本科生1200人、硕士生400人、博 士生200人， 身高在170 cm及以上的学生人数为100×5×(0.06+0.04 +0.02)=60. 所以应抽取博士生的人数为1200+400+200×180=20. 2.C 解析 ①的总体中的个体数较少，宜采用简单随机抽 样，②中600户家庭中收入存在较大差异，层次比较明显，宜 采用分层随机抽样. (2)A组人数为100×5×0.06=30, B组人数为100×5×0.04=20, C组人数为100×5×0.02=10, 3.04 解析 从第1行的第7列和第8列数字开始由左到右 依次选取两个数字满足要求的编号有08,02,01,28,04,23, ⋯所以第5个个体的编号为04. 考点2 30×30+20+10=3,由题意可知A组抽取人数为 B组抽取人数为20×30+20+10=2, C组抽取人数为10×30+20+10=1. [例1](1)ABC 解析 对于A,由1000×(1-18?820,知 30岁以上人群拥有汽车的人数为820,故A错误； [变式训练] 1.BCD 解析 设骑车时间的中位数为a?, 对于B,图表当中并没有40～45岁的人口基数，所以由图得 不出40～45岁之间的人群拥有汽车的人数最多，故B错误； 则有0.1×2+0.2×(a?-20)=0.5,解得a?=21.5,故选项 A不正确； 对于C,55岁以上人群每年购买车险的总费用约为1000× 17?3100=527000(元), 骑车时间的众数的估计值为21分钟，故选项B正确； 设坐公交车时间的中位数为a2, 18～30岁之间的人群每年购买车险的总费用约为1000× 18?2800=504 000(元),故C错误； 因为(0.025+0.05+0.075+0.1)×2=0.5,所以a?=20,故 选项C正确； 对于D,40～55岁之间的人群每年购买车险的总费用约为 1000×40?3900=1560 000(元),1560 000>527 000 设骑车时间的平均数为b?, 则b?=(19×0.1+21×0.2+23×0.15+25×0.05)×2 +504 000,故D正确. =21.6, · 452·高考一轮总复习·数学·RJA 设坐公交车时间的平均数为b?, 则b?=(13×0.025+15×0.05+17×0.075+19×0.1+21 ×0.1+23×0.075+25×0.05+27×0.025)×2=20, 因为21.6>20,所以b?>b?,故选项D正确。 2.0.050 解析 由(0.020+0.025+0.030+0.035+0.040+ a)×5=1,解得a=0.050. 第2讲 用样本估计总体 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1中间 2平均数 3最多 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)√(4)√ 2.C 解析 24×25?,因为第6个和第7个数据分别为 5.5和6.7, 所以这24 户居民的月均用水量的第 25百分位数为 5.5+6.7=6.1. =9.3,y=9.2+9.5=9.35,z=9.5,则x<y<z. 4.C 解析 因为红队每场比赛平均失球数是1.6,蓝队每场 比赛平均失球数是2.2,所以平均说来红队比蓝队防守技术 差为1.1,蓝队全年比赛失球个数的标准差为0.4,所以蓝队 5.C 解析 由题意知，区间(15,20)的人数有30-10-12-5 30). 好，故A错误；因为蓝队每场比赛平均失球数是2.2,全年比 比红队技术水平更稳定，故D错误. =3(人),又3+10<15,3+10+12>16,故中位数位于(25, [提升能力 考点剖析] 赛失球个数的标准差为0.4,所以蓝队经常失球，故B错误； 因为红队全年比赛失球个数的标准差为1.1,蓝队全年比赛 失球个数的标准差为0.4,所以红队有时表现很差，有时表 现又非常好，故C正确；因为红队全年比赛失球个数的标准 2=—(x,-x)2=n(x2-nx2)=nx2方差也可以用3.A 解析 将评分按从小到大排序为8.8,8.9,9.2,9.5, x=9.2+9.5+8.869.9+8.9+9.5-x2进行求解，9.5,9.9,由题意可得， 即2=10x2-x2=102x2-82=1.6, 吃=102x2-2=102x2-82=0.4, 所以22-2×8°=2,即云2}-8=1,故D正确。 极差为100?0?0讲座前问卷答题的正确率的 极差为95?0?5?0所以D错. [变式训练] ACD 解析 甲的10次成绩中，最大值为10,最小值为6,极 差等于4,故A正确； 因为10×75?.5,所以将甲的10次成绩从小到大排列后， 第8个数为75?位数，即75?位数等于9,故B不正确； 经计算，甲的10次成绩的平均数等于8,又已知乙的10次成绩 的平均数等于8,则甲和乙的20次成绩的平均数为8,故C 正确； =[(6-8)2+3×(7-8)2+(9-832+2×10-8)2]= 1.6, =10×(1.6+10+10×0.4+0=0×10×1.6+10×0.4)= 1,故D正确。 考点1 [例1](1)AC 解析 由折线图知，小组A打分的9个分值排 序为42,45,46,47,47,47,50,50,55,小组B打分的9个分 值排序为36,55,58,62,66,68,68,70,75; 对于A:小组A打分的分值的众数为47,故选项A正确；对 于B:小组B打分的分值第80百分位数为9×80?.2, 所以应排序第8,所以小组B打分的分值第80百分位数为 70,故选项B不正确；对于C:小组A打分的分值比较均匀， 即对同一个选手水平的评估相对波动较小，故小组A更像 是由专业人士组成，故选项C正确；对于D:小组A打分的 分值的均值约47.7,小组B打分的分值均值为62,根据数 据的离散程度可知小组B波动较大，方差较大，选项D不 正确，故选AC. (2)D 解析 题干中共10个数，因为10×0.3=3,所以所 2±3=2.5.求的30?位数为 70?5?0所以A(3)B 解析 讲座前中位数为 错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80?个85%, 剩下全部大于等于90所以讲座后问卷答题的正确率的 平均数大于85所以B对；讲座前问卷答题的正确率更 加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座 后正确率的标准差，所以C错；讲座后问卷答题的正确率的 考点2 [例2]解(1)由频率分布直方图的性质，可得(a+0.004+ 0.013+0.014+0.016)×20=1, 解得a=0.003. 所以及格率为(0.016+0.014+0.003)×20=0.66=66%. (2)得分在110以下的学生所占比例为(0.004+0.013+ 0.016)×20=0.66, 得分在130以下的学生所占比例为0.66+0.014×20 =0.94, 所以第80百分位数位于[110,130]内， 由110+20×0.94-0.66=120,估计第 80百分位数 为120. (3)由图可得，众数的估计值为100. 平均数的估计值为0.08×60+0.26×80+0.32×100+ 0.28×120+0.06×140=99.6. [变式训练] AC 解析 根据频率分布直方图得25a=1-25×(0.004+ 0.006×2+0.012+0.002)=0.25,解得a=0.01. A.周六使用手机的时间在[75,100]内的频率为25a=0.25,故 有25名同学，正确；B.周六使用手机的平均时间约为25× (0.004×25+0.006×5+0.012×125+0.01×125+0.006 ×225+0.002×225)=71.25,故错误；C.周六使用手机时间 在(0,75)内的频率为25×(0.004+0.006+0.012)=0.55,所 75+0.6.2555×25=80,,故正确；D.周六以第60百分位数为 使用手机时间在(100,125)内的频率为0.15,使用手机时间在 [125,150]内的频率为0.05,所以周六使用手机时间超过2 h 5×0.006×25+0.05=0.08,故错误。故选AC.的学生频率为： · 453· 高考一轮总复习·数学·RJA 第九章统计与统计案例 回 第九章 统计与统计案例 第1讲 随机抽样、统计图表 课标多求 1.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样 2.理解统计图表的含义。 必备知识 夯实四基可 [对应答案P452] 知识梳理 个个体被抽取的机会相等，分层随机抽样中各层 抽样时采用简单随机抽样. 1.简单随机抽样 2.利用分层随机抽样要注意按比例抽取，若各层应 回 和☑ 是比较常用的两种 轴取的个体数不都是整数，可以进行一定的技术 方法. 处理，比如将结果取成整数等。 2.分层随机抽样 3.在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个 层和第2层包含的个体数分别为M和N,抽取 子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在 的样本量分别为m和n,第1层和第2层的样本 每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所 平均数分别为工，，样本平均数为西，则而= 有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这 样的抽样方法称为☒ ,每一个子 MN+MY=m件+m十 4.频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率 总体称为四· 除以组距，不要和条形图混淆 3.统计图表 诊断自测】 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、 频率分布直方图等。 思考辨析 (2)作频率分布直方图的步骤 1.判断（在括号内打“√”或“×”） ①求固 (1)简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会，与 ②决定固 与回 先后有关 () ③将图 分组： (2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样. ④列频率分布表： (3)分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性 ⑤画频率分布直方图。 与层数及分层有关。 () 常用结论 (4)频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表 1.简单随机抽样和分层随机抽样在抽样过程中每 示样本数据落在该区间的频率越大. () 187® 同高考一轮总复习·数学·RUA 教材衍化 A.纤维长度在[250,300)的棉花的样本数量为9 2.(人A必修第二册P189习9.1T5改编)一支 B.从这60根棉花中随机选取1根，其纤维长度 田径队有男运动员24人，女运动员18人，按性 在[0,200)的概率为0.335 别用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出 C.有超过一半的棉花纤维长度能达到250mm 一个容量为14的样本，抽出的男运动员的平均 以上 身高为180.1cm,抽出的女运动员的平均身高 D.这批棉花的纤维长度的中位数的估计值 为168.2cm,则估计该田径队运动员的平均身 为258.5 高为 ( ) 易错自纠 A.174 cm B.175 cm 4,总体由编号为00,01，…，59的60个个体组成， C.177 cm D.176 cm 利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是 3.(人A必修第二册P216习题9.2T1改编)棉花 从下列随机数表第1行的第9列开始由左向右 的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花 依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编 中随机抽测了60根棉花的纤维长度（单位： 号为 95339522001874720018387958 mm),将样本数据制作成如下的频率分布直 69328176802692828084253990 方图： 84607980243659873882075389 频率 组距 3596352379180598900735 0.053 5.已知某学校高二年级有男 1.0 0.8 0.03 生500人、女生450人，调 0.6 查该年级全部男、女学生 0.4 OC .0 是否喜欢徒步运动的等高 0.2 堆积条形图如下，现从所 0.0 女生 50100150200250300350400长度/mm 男生 有喜欢徒步的学生中按分 ■喜欢徒步口不喜欢徒步 下列关于这批棉花质量状况的分析不正确的是 层随机抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人 数为 [对应答案P452] 提升能力 考点剖析。 考点 抽样方法（题组通关） 1.某大学工程学院共有本科生1200人、硕士生 字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的 400人、博士生200人，要用分层随机抽样的方 第5个个体的编号为 法从中抽取一个容量为180的样本，则应抽取博 第1行：781662320802624201 士生的人数为 ( 525369972801 98 A.20 B.25 C.40 D.50 第2行：32049234493582 0036 2.现有以下两项调查：①从10台冰箱中抽取3台 23486969387481 进行质量检查；②某社区有600户家庭，其中高 感悟方法必 收入家庭180户，中等收入家庭360户，低收入 (1)简单随机抽样霄满足：①被抽取的样本总体 家庭60户，为了调查家庭购买力的某项指标，拟 的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取. 抽取一个容量为30的样本.则完成这两项调查 最适宜采用的抽样方法分别是 ( (②)在分层随机抽样中，抽样比=样本容量 总体容量 A.①②都采用简单随机抽样 各层样本容量 B.①②都采用分层随机抽样 各层个体总量 C.①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 (3)在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为 D.①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 m,平均值为元；第二层的样本量为，平均值为 3.总体由编号01,02，·，29,30的30个个体组成 ,则样本的平均值为mx十n 利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是 m十n 从如下随机数表的第1行的第7列和第8列数 ®188 第九章统计与统计案例 回 考点2 统计图表（师生共研） [例1们(1)（多选）(2023·湖肃·联考)某统计机 感悟方法 构对1000名拥有汽车的人进行了调查，对得到 统计图表的主要应用 的数据进行整理并制作了如图所示的统计图 扇形图：直观描述各类数据占总数的比例： 表，下列关于样本的说法错误的是 折线图：描述数据随时间的变化趋势： 拥有汽车的人群的年静比例 每年购买车险的人均费用 条形图和直方图：直观描迷不同类别或分组数 费用/元 3900 55岁以日18-30岁 3500-- 据的频数和频率， 、17% 18% 冬变式训练。 31-39岁 40-55岁 5% 40% 1,某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图 甲和图乙所示， 18-30岁31-39岁40-55岁55岁以上年龄 +近视串 A.30岁以上人群拥有汽车的人数为720 50% B.40~45岁之间的人群拥有汽车的人数最多 高中生 小学生 C.55岁以上人群每年购买车险的总费用最少 25% 4% 3% 初中生 D.40~55岁之间的人群每年购买车险的总费 15 35% 用，比18~30岁和55岁以上人群购买车险 小学初中高中年段 的总费用之和还要多 单 (2)(2023·陕西宝鸡·绕考二模)Keep是一款 为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分 具有社交属性的健身APP,致力于提供健身教 层随机抽样的方法随机抽取1%的学生进行调 学、跑步、骑行，交友及健身饮食指导、装备购买 查，其中被抽取的小学生有80人，则样本量和该 等一站式运动解决方案，Keep可以让你随时随 地区的高中生近视人数分别为 地进行锻炼，记录你每天的训练进程，不仅如 A.200和25 B.200和2500 此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健 C.8000和25 D.8000和2500 身计划.小张根据Keep记录的2022年1月至 2.(2025·锦州模拟)某银行为客户定制了A,B, 2022年11月期间每月跑步的里程（单位：十公 C,D,E共5个理财产品，并对5个理财产品的 里)数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折 持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图： 线图，下列说法错误的是 18-30周岁 +月跑步里程什公里 28% 30----------------------- 44-56 函≥57周岁 25 周岁 37% 30% 20 3-3周岁 15 10 理财人数比例 1234567891011月份 费用/元 7000 6(00 620 A.月跑步里程逐月增加 55 500 45 B.月跑步里程最大值出现在10月 400D 35 3(0M0 C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数 200 100 D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11 年龄段 18-031-4344-5657周岁及以上 月波动性更小 不同年龄段人均理财费用 189® 回高考一轮总复习·数学·RUA 比例 用该样本估计总体，以下四个说法错误的是 0.35 () 030 025 0.20 A.44~56周岁人群理财人数最多 0.15 B.18一30周岁人群理财总费用最少 0.10 0.05 C.B理财产品更受理财人青睐 04 A B C DE理财产品 D,年龄越大的年龄段的人均理财费用越高 选择各理财产品的人数比例 考点3 频率分布直方图（师生共研） [例2] 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单 感悟方法 位：cm),按照区间[160,165)，[165,170)， 频率分布直方图的相关结论 [170,175),[175,180),[180,185]分组，得到样 (1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和 本身高的频率分布直方图如图所示 为1. :颜率 组距 (②)频率分布直方图中纵轴表示频建 组距，故每组样 0.07 本的频率为组距X 组距，即矩形的面积。 频 0.04 (3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率 0.02 ×总数. 0.01 0 令变式训练冬 160165170175180185身高/cm (1)求频率分布直方图中x的值及身高在170cm 1.(多选)小李上班可以选择公交车、自行车两种交 通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所 及以上的学生人数； (2)将身高在[170,175)，[175,180)，[180,185] 用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直 方图： 区间内的学生依次记为A,B,C三个组，用分层 顿率 随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这 组距 三个组分别抽取的学生人数. 0.100 0.075 0.050 0.025 121416182022242628时间/分钟 坐公交车 ,频率 组距 .20 015 0.10 0.05 1820222426时向/分钟 骑车 ®190 第九章统计与统计案例回 基于以上统计信息，则 试，将成绩分成6组：[70,75)，[75,80)，[80， A.骑车时间的中位数的估计值是22 85),[85,90),[90,95),[95,100],得到如图所示 B.骑车时间的众数的估计值是21 的频率分布直方图，则a= C.坐公交车时间的中位数的估计值是20 ↑频率 组距 D.坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时 间的平均数的估计值 0.040 0.035 0.030 2.在党史学习教育动员大会上，习近平总书记强调 0.025 0.020 全党同志要做到学史明理、学史增信、学史崇德、 学史力行.某单位对200名党员进行党史知识测 0707580859095100分数 请完成《课时检测训练57》 第2讲 用样本估计总体 课标要求 1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数. 2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度， 必备知识 夯实四基⑦ [对应答案P453] 知识梳理 3.方差和标准差 1.百分位数 1)方差：g=12(x,-x)或}2x-x n-1 n 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个 值，它使得这组数据中至少有%的数据小于或 2标准差=√红一 等于这个值，且至少有(100一)%的数据大于或 4.总体（样本）方差和总体（样本）标准差 等于这个值， 2.平均数、中位数和众数 (1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别 )平均数：x=红十名十…十z 为Y1,Y,…,YN,总体平均数为了，则总体方差 (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小 s=2Y,-m. 的顺序排列，处在最回 的一个数据（当数 (2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的 据个数是奇数时)或最中间两个数据的☑ 值共有k(k≤N)个，不妨记为Y,Y,…,Y.,其 (当数据个数是偶数时). (3)众数：一组数据中出现次数☒ 的数据 中Y,出现的频数为f,(=1,2,…,k),则总体方 (即频数最大值所对应的样本数据). 差为s=2f.Y-n. 191®