第二章 第9讲 函数模型及其应用-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

国高考一轮总复习·数学，RJA 第9讲 函数模型及其应用 课标要求！ L.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术 语的含义 2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规 律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用。 必备知识 夯实四基。 对应倍案P373图 知识梳理 常用结论 1.六种常见的函数模型 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指 函数模型 函数解析式 数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指 一次雨 数爆炸”来形容：“对数增长”先快后慢，其增长量 f(x)=a.r+b(a,b为常数，a≠0) 数模型 越来越小 二次函 2.“对为”函数f(x)=x十口(a>0)在(0，十0)上 fx)=a.2+br十c(a,b,c为常数，a≠0) 数模型 的性质：在(0，√a]上单调递减，在[a,十co)上 指数函 f(x)=bg+c(a,b,e为常数， 数模型 a>0且a≠1，≠0) 单调递增，当x=√a时，f(.x)取最小值2√a. 对数函 f(r)=blog r+c 诊断自测 数模型 (a,b,c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 思考辨析 幂函数 f（x》=a.r+(a,b.n为常数，a≠0，程≠0) 1.判断下列结论是否正确.（对的打“√”，错的打 模型 “X”) “对勾”函 y=r+4(a为常数，a>0) (1)函数y=2的函数值比y=x的函数值大. 数模型 () 2.三种函数模型性质比较 (2)不存在x,使a<x<1ogxm. () y=a'(a>10 y=log r(a>1) y=(n>0) (3)在(0，十o∞)上，随着x的增大，y=a(a>1) 在(0.+09) 的增长速度会超过并远远大于y=x“(:>I)的 包 回 上的单调性 增长速度. () 增长速度 回 相对平稳 (4)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b十c(a≠ 随x值增大，图 随x值增大，图 随：值变化而 0,b>0,且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻. 图象的变化象与团 象与四 不同 接近平行 接近平行 教材衍化 3,用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程 2.(人A必傍第一册P149倒4改编)碳14是碳元 化归 实际问题 →函数模型 素的一种同位素，具有放射性.活体生物体内的 碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的 运算推理 碳14开始衰变并逐渐消失.已知碳14的半衰期 实际问题的解，解释说明 函数模型的解 为5730年，即生物死亡1年后，碳14的残余量 ®48 第二章函数的概念与基本初等函数何 C)=C(侵)）厂，其中C,为活体组织中碳14的 性声强的 ( A.10倍 B.100倍 初始量.科学家一般利用碳14这一特性测定生 C.1000倍 D.10000倍 物死亡年代，2023年科学家发现某生物遗体中 易错自纠 碳14的残余量约为初始量的80%，依据计算结 4.(指数画数、对数画数性质不明政娱)某种病毒的 果并结合下图中我国历史朝代的时间轴可推断 繁殖速度快，存活时间长.已知4个这种病毒在1 该生物死亡的朝代为（参考数据：lg2≈0.3010） 天后将达到ae个，且经过4天后病毒的数量会 ( 达到原来的2倍.若再过1天后病毒的数量达到 西汉 东汉三国普勒 原来的8倍，则= () 公元前202年公元25年公元220年公元2年公元120年 A.4 B.8 A.西汉B.东汉C.三国 D.晋朝 C.12 D.16 3.(人A必修第一屏P155习题4.5T9改编)声强 5.(平均增长率概念不清致误)某市生产总值连续 级L(单位：dB)与声强I的函数关系式为L= 两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的 10lg(10小若女高音的声强级是75B,普通 增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增 女性的声强级为45dB,则女高音声强是普通女 长率为 提升能力 考点剖析⊙ 对应客案P73 考点1 用函数的图象刻画变换过程（师生共研） 例1](1)如图所示，△OAB是边长为2的等边 (2)某食品的保鲜时间1（单位：小时）与储藏温度 三角形，直线x=1截这个三角形位于此直线左 64,x0 x(单位：℃)满足函数关系1 方的图形面积为y(见图中阴影部分)，则函数 2+.r>0. 且该 y=f(t)的大致图象为 ( 食品在4℃的保鲜时间是16小时.已知甲在某 y 日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室 外，且此日的室外温度随时间变化如图所示.给 出以下三个结论，其中，所有正确结论的个数是 () 12 10 B 8911123145时间川小时 3 ①该食品在6℃的保鲜时间是8小时： 2 ②当x∈[0,6]时，该食品的保鲜时间t随着x 增大而减少： 49 国高考一轮总复习·数学·RJA ③到了此日15时，甲所购买的食品还在保鲜时 量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速 间内. 度保持不变，则该厂这种产品的年产量y与时间 A.2 B.3 C.0 D.1 !的函数图象可能是 感悟方法 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的 18 方法： B (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模 2.已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点B 型时，先建立函数模型，再结合模型选图象 开始沿折线BC一CD一DA向点A运动.设点P (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢 运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S 等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合， =f(x)的图象是 从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际 情况的答案. ◆变式训练 1.(2025·呼和浩特模拟)某工厂从2016年开始， B D 近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产 考点2 已知函数的模型解决实际问题（师生共研） [例2](1)(2023·甘肃武威·姚考三模)2022年 为不同声源的声压级： 8月，中科院院士陈发虎带领他的团队开始了 声源 与声源的距离'm 声压级/dB 第二次青藏高原综合科学考察.在科考期间，陈 燃油汽车 10 60-90 院士为同行的科研人员讲解专业知识，在空气 混合动力汽军 10 50-60 稀薄的高原上开设了“院士课堂”，已知某地大 电动汽车 a 40 气压强与海平面大气压强之比为b,b与该地海 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 拔高度h(单位：米)满足关系：b=e“(k为常 10m处测得实际声压分别为p·p:,pa,则 数，e为自然对数的底).若科考队算得A地b= 2,海拔870米的B地6=号，则A,B两地的 A.p1≥p2 B.p:>10p 高度差的绝对值约为(ln3≈1,1，ln2≈0.7) C.p=100p D.p,≤100p 感悟方法 A.3164米 B.4350米 已知或选择函数模型解决实际问题的注意点 C.5536米 D.6722米 (1)已知模型的实际问题，根据待定系数法确定 (2)(多选)(2023·新高考全国I卷)噪声污染 模型，再利用模型求解实际问题， 问题越来越受到重视，用声压级米度量声音的 (2)选择模型的问题可结合函数图象，函数值的 强弱，定义声压级L,=20×g,其中常数p。 p。 增长特点（增减、增长快慢）等选用合适的函数 (P>O)是听觉下限阈值，p是实际声压，下表 模型。 岛50 第二章函数的概念与基本初等函数回 乡变式训练冬 范围，已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛 1.(2025·赤峰摸拟)目前人类还无法准确预报地 浓度为6.05mgm,使用了甲醛喷剂并处于良 震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量 好通风环境下时，室内甲醛浓度(t)(单位：mg/m) E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为 与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N)(单位： 1gE=4.8+1.5M.则里氏8.0级地震所释放出 天)近似满足函数关系式：(t)=Ae十0.05 来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量 (入∈R),则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要 的 达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（参 A.6倍 B.10倍 考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)() C.102倍 D.10°倍 A.32天 B.33天 2.根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文 C.34天 D.35天 化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg:m为安全 考点3 构建函数模型解决实际问题（多维探究） 角度1构建二次函数、分段函数模型 (2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最 [例3]第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022 大？最大利润是多少？ 年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥 林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20 日闭幕，本届奥运会共设7个大项，15个分项， 109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和 自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车、雪橇及 高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车，雪橇、 高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上 项目，冬奥会的举办带动了我国3亿人次的冰 雪产业，这为冰雪设各生产企业带来了新的发 展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产 品的年固定成本为2000万元，每生产x千件， 需另投人成本C(x)(万元)，经计算若年产量x 千件低于100千件，则这x千件产品成本C(x) =+10x+110:若年产量x千件不低于 100千件时，则这x千件产品成本C(x)=120x +4500 x-90 -5400.每千件产品售价为100万元， 为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全 部售完 (1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的 函数解析式： 51® 国高考一轮总复习·数学·RJA 角度2构建指数、对数函数模型 2.某工厂生产某种零件的固定成本为20000元， [例4】(2023·陕西谓南·二模)近些年，我国在 每生产一个零件要增加投人100元，已知总收入 治理生态环境方面推出了很多政策，习总书记 Q(单位：元)与产量x(单位：个)满足函数Q(x) 明确提出大力推进生态文明建设，努力建设美 400x-2x,0≤x≤400， 丽中国！某重型工业企业的生产废水中某重金 80000,x>400. 属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收 (口)将利润P(单位：元)表示为产量x的函数（总 废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次 收人=总成本十利润)： 该装置，可回收20%的该重金属.若当废水中 (2)当产量为何值时，零件的单位利润最大？最 该重金属含量低于最原始的5%时，至少需要 大单位利润是多少元（单位利润=利润÷产量）？ 经过该装置的次数为（参考数据：lg2≈0.301） A.11 B.12 C.13 D.14 感悟方法 (1)在应用函数解决实际问题时霄注意以下四 个步骤： ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量 关系，初步选择函数模型 ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语 言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的 函数模型. ③解模：求解函数模型，得出数学结论 ④还原：将数学结论还原为实际意义的问题， (2)通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言 表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解 决问题，提升数学建模核心素养。 ◆变式训练 1.某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污 水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过 程中污水中的剩余污染物数量V(单位：mg/L) 与时间1（单位：h)的关系为N=N。e",其中N 为初始污染物的数量，k为常数.若在某次过滤 过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则 可计算前6小时共能过滤掉污染物的() A.49%B.51% C.65.7%D.72.9% 请完成《课时检测训练14 52c+令f'(x)<0,解得x<-2,所以f(x)在 (-∞,-2)上单调递减，令f'(x)>0,解得-2<x<0或 x>0,所以f(x)在(-2,0)和(0,+∞)上单调递增，函数 图象如图所示： 4 3 2 1 -5 -3-2-i0|-4 1234x -2 -3 当x≤0时，令f(x)=0,得x=0或x=-4.又x→0+时， f(x)→-0;x→+∞时，f(x)→+∞,f(1)=e-1>0, 所以3x?∈(0,1)使得f(xo)=0. 要使g(x)=f(f(x)-5)=0,即f(x)-5=0或f(x)-5 =-4或f(x)-5=x?, 即f(x)=5或f(x)=1或f(x)=x。+5. 由函数图象易知y=5,y=1,y=x?+5与y=f(x)都有两 个交点， 故f(x)=5或f(x)=1或f(x)=x。+5各有两个零点， 故函数g(x)=f(f(x)-5)有6个零点. [典例2](1)D 解析 f(x)的图象如图所示： 2 y=1 o 12 x 因为F(x)=f(x)-2af(x)+3有4个不同的零点，令 f(x)=t,故t-2at+4=0有解， 设此关于t的方程的解为t?,t?,其中t?,t2均不为零且t?t? =3 由题设可得关于x的方程f(x)=t?和f(x)=t2共有4 个不同的解， 故< a>所以 解得 (2)[0,1] 解析 由题意，f(x)的图象如图所示， y 2 1 -10 1 x 因为[f(x)]2-(2m+1)f(x)+m2+m=0有7个实数解， 设f(x)=t,则方程t2-(2m+1)t+m2+m=0有2个不相 等的实根t?=m,t?=m+1,且0<t?<1≤t?<2或1≤t?< 2,t?=2. 当1≤t?<2,t?=2时，m=1,满足题意；当0<t?<1≤t?<2 时，0<m<1≤m+1<2,解得m∈(0,1). 综上，m∈[0,1]. 第9讲 函数模型及其应用 [必备知识 夯实四基] [例1](1)D 解析 根据题意，△OAB是边长为2的等边三角 形，则A点的坐标为(1,√3),B点的坐标为(2,0),所以直线 OA的方程为y=√3x,直线AB的方程为y=-√3(x-2), 知识梳理 1增函数 2增函数 3增函数 ④越来越快 5越来越慢 1.(1)×(2)×(3)√(4)× c.(2)=0.8C。,所以5730182= 1810, t=5730×1-3182,所以≈5730×10.3903≈1847. 2 023-1847=176,故对应死亡的朝代为东汉. 3.C 解析 设女高音声强为I?,普通女性声强为I?,则 10lg()=75,所以o=1020,10lg()=45,所 ae"=2a,∴a=42,即f(t)=ae. ae=8a, 解得t=12. 所以再过12-4=8(天),病毒的数量达到原来的8倍. 5.√(1+p)(1+q)-1 解析 设年平均增长率为x,则(1+ 6y轴 7x轴 2.B 解析 由题意知 所以： 以=10?②,则①÷②,得 4.B 解析 由题意得 设经过t天后，病毒的数量达到原来的8倍，则有 x)2=(1+p)(1+q),所以x=√(1+p)(1+q)-1. 诊断自测 =1000, _提升能力 考点剖析] ,故女高音声强是 考点1 普通女性声强的1000倍. 所以当O≤≤1时，y=f()=2×t×√3t=3; ,y=f(t)=2×2×√3-2(2-t)×√3(2-当1<t≤2时， t)=3-(2-t)2; 当t>2时，y=f(t)=2×2×√3=√3,它的图象如D选项 所示，故选D. (2)A 解析 由题意可得，当x=4℃时，保鲜时间是16小 时，即2?+?=16,解得k=-0.5, ①当x=6℃时，t=26×(-0.5)+?=8,故保鲜时间是8小时，故 ①正确； ②当x∈[0,6]时，t=2-.5x+6为减函数，则该食品的保鲜时 间t随着x增大而减少，故②正确； ③在某日上午10时，温度为8度，此时保鲜时间为 2-0.5×8+?=4小时，到了此日15时，已经过了保鲜时间，所 ·373· 高考一轮总复习·数学·RJA 以甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③不正确. [变式训练] -专≤1n2,即专≥ln 120=3ln 2+1n 3+1n 5≈3×0.7即 1.B 解析 由题意可得图象的几何特征为从左向右看每个 点的切线斜率应逐渐减小，然后斜率变为一个固定的值，符 合此特征的只有选项B中的图象. +1.1+1.6=4.8,所以t≥33.6, 又t∈N,所以tmm=34, 故至少需要放置的时间为34天. 2.D 解析 依题意，知当0≤x≤4时，f(x)=2x;当4<x≤8 时，f(x)=8;当8<x≤12时，f(x)=24-2x.观察四个选项 知D项符合要求. 考点3 考点2 [例3]解(1)当0<x<100时，L=100x-2x2-10x-1100 -2000=-22+90x-3100; [例2](1)A 解析 设A地海拔高度为h?,由已知可得e= ,e-=3, 则kh?=In 2,8 700k=In 3,所以1h=2=In2×873 当x≥100时，L=100a-(120z+4590-5400)-2000 =-20x-4590+3400. =6090, 所以h?-h?I=8700-6090?≈3164(米). 所以1 (2)ACD 解析 由题意可知，Lp∈[60,90],Lp∈[50,60], (2)当0<x<100时，L=-22+90x-3 100=-2(x- LD=40, 90)2+950. 对于选项A,可得L-L?=20×18B-20×18B2=20× IB.因为L,≥L,则LR-L=20×1gB≥0,即 当x=90时，L取得最大值，且最大值为950; 当x≥100时，L=-20x-4-90+3400 I8B≥0, 方≥1且p?,p?>0,可得p?≥p?,故A正确；,所以 对于选项B,可得L。-L。=20×18-20×18P=20× IB.因为Lp,-Lp,=Lp,-40≥10,则20×1gP2≥10,即 18B≥2 ≥e且p?,p?>0,可得p?≥leps,当且仅,所以 =-20(x-90+2250)+1600≤-20(2√225)+1600 =1000,当且仅当x=105时，等号成立. 因为1000>950,所以当该企业年产量为105千件时，所获 得利润最大，最大利润是1000万元. 当Lp=50时，等号成立，故B错误； [例4]D 解析 设废水中最原始的该重金属含量为a,则经过 x次该装置过滤后，该重金属含量为a·(1-20?=a· (告).根据题意知a·(号)'<0.05a,即(号)'<0.05,两 边取常用对数，得 x>21g25-g?=13g2≈LR=20×1gB=40,即18B=2,对于选项C,因为 P=100可得 ,即p?=100po,故C正确； 1-3×0.301=197≈13. .4.所以x取最小整数为14 [变式训练] 对于选项D,由选项A可知L—L—20×1g且L 1.C 解析 依题意，得(1-30?N?=N?e-2,解得e-2= PpB)≤2,-L,≤90-50=40,则20×1gP3≤40,即lg 可得 0.7.因此前6小时过滤后剩余污染物数量为N=N?e-= N?(e-24)3=N?×0.73=0.343N?,所以前6小时共能过滤掉 ≤100,且 p?,p?>0,所以 p?≤100p?,故D正确。故 选ACD. [变式训练] N-0.343Ne=65.7%.污染物的比例为 1.C 解析 设里氏8.0级地震所释放出来的能量为E?, 里氏6.0级地震所释放出来的能量为E?, 2.解(1)当0≤x≤400时，P(x)=400x-2x2-20000- 100x=-2a2+300x-20000; 则lg E?=4.8+1.5×8=16.8,E?=101.8; lg E?=4.8+1.5×6=13.8,E?=10138, =0=10°. 当x>400 时，P(x)=80 000-100x-20 000=60 000 -100x. 2.C 解析 依题意可知当t=0时，μ(t)=6.05, -e故F 即6.05=λe?+0.05,解得λ=6, 所以μ(t)=6e-++0.05, 由μ(t)=6e-++0.05≤0.1, (2)设零件的单位利润为g(x),由(1)可得g(x) 得e+≤2, ·374·高考一轮总复习·数学·RJA 当O≤x≤400时，g(x)=300-(2x+2)≤300- 2√号.200=100, 2=2000,即x=200时，等号成立；当且仅当 当x>400时，g(x)=600-100<50. 故当产量为200个时，零件的单位利润最大，最大单位利润 是100元. 第三章 一元函数的导数及其应用 第1讲 导数的概念及运算 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 x① 2 3导数 4瞬时变化率 5f'(x?) 四im会8imfza+A)-cz6y'la-[ 9斜率 0y-f(x。)=f(x?)(x-xo)W0 12ax°?13cos x 国-sinx 国a'ln a Ge 四na图 9f'(x)±g'(x)2f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 四f)gz)g(z)2cf'(x)四f(g(x)) 24y.'·u' 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× fa+A)-f1)=2.C 解析 根据导数定义，得 f'(1),又f'(x)=1+In x,所以f'(1)=1. 3.B 解析 y=e'sin x+e'cos x,k=y'l-=1. 4.D 解析 因为y=xln(2x+5),所以y'=[xln(2x+5)了 =x'ln(2z+5)+a[ln(2x+5)]'=ln(2x+5)+x·+5· (2x+5)'=In(2x+5)+22+5 5.27x-4y-23=0或y=1 解析 因为y=x3+1,所以y'= 3x2,设过点M(1,1)的切线与曲线y=x3+1相切于点 P(x?,x3+1), 根据导数的几何意义，曲线在点P处的切线的斜率为k =3x2, 2+1过点M(1,1)的切线的斜率为 所以3=I xo=2,,解得x?=0或 ,所以k=0或k =27, y-1=2(因此曲线y=x3+1过点M(1,1)的切线方程为 -1)或y=1,即27x-4y-23=0或y=1. [提升能力 考点剖析] 考点1 1.A 解析 因为imf。-2z)-f(zo= -2 limf(cz?-22)f)=-2f(xo)=2, 所以f(x?)=-1,故选A. 2.B 解析 f'(x)=x2-2f'(2)x+1,令x=2,得f(2)=4- 4f'(2)+1,解得f'(2)=1. 3.AC 解析 对于A,因为(3x2+xcos x)'=(3x2)'+ (xcos x)'=6x+cos x-xsin x,故A正确； 对于B,因为(sin√注)'=cosVE·(a)′=2os<x,故B 错误； 对于C,因为 正确； ()'=(e)c-e·()=(a-1)e,故C (Inx-)'=(lnx)'-()'=1+2,故D对于D,因为 错误. 4.解(1)y=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x. (2)y'=(In x+I)'=(In x)'+(1)'=1 (3)y=(2)'=csz)ee-szc(e)=-sin atcosx (4)∵y=xsin(2x+2)cos(2x+2) =2xsin(4x+π)=-2xsin 4x, ∴y=-2sin 4x-2x·4cos 4x=-2sin 4x-2acos 4x. 考点2 y=+在点(1,)[例1](1)C 解析 设曲线： 处的切线方 程为y-2=k(x-1), y=x+1 y=e(cz+12e=(x+1,所以k=因为： ,所以 y'l-=4, y-z+1在点(1,元)处所以y-2=4(x-1),所以曲线： v=4x+4·的切线方程为 (2)A 解析 由函数y=e??2+1,可得y'=e°2, 设切点坐标为(t,e'?2+1),可得切线方程为y-(e'?2+1)= e?2(x-t), 把原点(0,0)代入方程，可得0-(e?2+1)= e?2(0-t),即(t-1)e'?2=1, 解得t=2,所以切线方程为y-(e?+1)=e°(x-2),即y =x. [例2]-1+√3或-1-√3 解析 由y=(x+2)e2可得y'= (x+3)e,设切点坐标为(xo,yo),所以切线斜率k=(x?+ 3)e"°.又因为y=(x?+2)e,则切线方程为y-(x?+2)e =(x?+3)e°(x-x。),把(0,0)代入并整理可得x2+2x?- 2=0,解得x?=-1+√3或x?=-1-√3. [例3](-0,-4)U(0,+0)解析∵y=(x+a)e, ∴y'=(x+1+a)e°. 设切点为(x?,yo),则yo=(x。+a)e3,切线斜率 k= (x?+1+a)e", ·375· 高考一轮总复习·数学·RJA