第二章 第7讲 函数的图象-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

第二章函数的概念与基本初等函数 回 第7讲 函数的图象 课标要求 1,在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. 2.会画简单的函数图象。 3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题. [对应吝案P369] 必备知识 夯实四基。 知识梳理 (4)翻折变换 1.利用描点法作函数的图象 y一∫(x)的图象x轴下方部分潮折到上方 工轴及上方部分不变 *y=固 步骤：(1)确定函数的定义域：(2)化简函数解析 的图象； 式：(3)讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期 y轴右侧部分翻折到左侧 性、对称性等)：(4)列表（尤其注意特殊点、零点、 y=f(x)的图象 原y轴左侧部分去掉，右侧不变广y一 最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点， 固 的图象 连线。 心常用结论 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 1.记住几个重要结论 (1)函数y=f(x)与y=f(2a一x)的图象关于直 yfr)+k 线x=a对称. 话>0)个单位长度 移 (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关 左移 右移 ala>0m个 aa>0个-可 于点(a,b)中心对称. 单位长度 单位长度 移>0)个单位长瘦 (3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x满 y=/)-k 足：f(a十x)=f(a一x),则函数y=f(x)的图象 (2)对称变换 关于直线x=a对称. y=f(x)的图象 关于x轴对称 2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的 y=回 的 系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换。 图象； y=∫(x)的图象关于y轴对称 3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用 y=☒ 的 “上加下减”进行. 图象： 诊断自测 y一f(x)的图象关于原点对称 y=☒ 的 思考辨析 图象： 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或 y=a°(a>0,且a≠1)的图象 关于直线 y=x对称 y “X”) ④ (a>0,且a≠1)的图象 (1)函数y=|f(x)|为偶函数 () (3)伸缩变换 (2)函数y=f(1一x)的图象，可由y=f(一x)的 纵坐标不变 图象向左平移1个单位长度得到. () y=f(x) y= 各点横坐标变为原来的】(a>0)倍 (3)当x∈(0，十∞)时，函数y=|f(x)|与y= f(x|)的图象相同. () f(ax). 横坐标不变 (4)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y y=∫(x)各点纵坐标变为原来的AA>0)信y= =f(x)与y=f八一x)的图象关于y轴对称. Af(x). 41® 回高考一轮总复习·数学·RUA 教材衍化 易错自纠 2.(人A必传第一册P139T4改编)函数f(x) 4.(耕识函数图家易误)函数f(x)=|x·221 1一1(x≠0)的图象向左平移1个单位长度，再 在区间[一2,2]上的图象可能是 () 向上平移1个单位长度，得到函数图象的对称中 心为 -2-1 12元 2<112 3.(人A必修第一#P85练习T1改编)已知图1 L2 -2 中的图象是函数y一f(x)的图象，则图2中的图 A B 象对应的函数可能是 h,v -2-1012 -2-1012 图1 图2 A.y=f(x) B.y=|f(x)川 5,(函数图象平移法则理解不清改误)已知∫(x)= C.y=f(-|x|) D.y=-f(-lx) ln(2-x),把f(x)的图象向左平移2个单位长 度，再把图象上每一点的横坐标缩短一半（纵坐标 不变)得到函数g(x)的图象，则g(x)= 对应答案P369] 提升能力 考点剖析⊙ 考点个 作函数的图象（师生共研） [例1门作出下列函数的图象： 冬变式训练 a)y=(2);(2y=|logx+1)1:(3)y=2 作出下列各函数的图象： -2x|-1. 1)y=2红-1 x-li (2)y=|x2-4x-5|; 感悟方法 1.描点法作图：当函数解析式（或变形后的解析 式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数 的特征描出图象的关健点直接作出。 2,图象变换法：若函数图象可由某个基本函数 的图原经过平移、翻折、对称得到，可利用图 象变换作出，并应注意平移变换与仲缩变换 的顺序对变换单位及解析式的影响. ®42 第二章函数的概念与基本初等函数 回 考点2 函数图象的识别（师生共研） [例2](1)(2023·河北保定·幾考一模)函数 冬变式训练令 公)-包的大致图象为 1.(2024·临诉模拟)函数y=(2-2)sinx在区 间[一π，x]上的图象大致为 4 2.(2023·天津卷)函数「(x)的图象如下图所示， 则f(x)的解析式可能为 () D (2)(2024·全回甲卷)函数f(x)=一x2+(e -e)sinx在区间[-2.8,2.8]的大致图象为 A.f(x)=5(e"-e) x+2 B.f(x)=5sinz x2+1 C.f(z)=5(e'te-) x2+2 D.f()=5cosz x2+1 感悟方法 1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定 义城，判断图象的左右位置：从函数的值城， 判断图象的上下位置：(2)从函数的单调性， 判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图 象的循环往复：(4)从函数的奇偶性，判断图 象的对称性 2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点， 利用特征，点、特殊值的计算分析解决问题 43© 回高考一轮总复习·数学·RUA 考点3 函数图象的应用（多雏探究） 角度1研究函数的性质 感悟方法 [例3]（多选)关于函数f(x)=|ln2-xI,下列 1,利用函数的图象研究函数的性质 描述正确的有 () 对于已知或易画出其在给定区问上图象的函 A.函数f(x)在区间(1,2)上单调递增 数，其性质（单调性、奇偶性、周期性、最值（值 B.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称 城)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意 C.若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则x1十x2=2 性质与图象特征的对应关系。 D.函数f(x)有且仅有两个零点 2.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解 角度2解不等式 问题，如判断方程是否有解，有多少个解。数 [例4]已知定义在R上的奇函数∫(x)在 形结合是常用的思想方法，不等式的求解可 [0,十∞)上的图象如图所示，则不等式 转化为两函数的上下关系问题。 xf(x)>2f(x)的解集为 () ◆变式训练多 1.(2024·天津模拟)已知函数f(x)=xx一2x, 则下列结论正确的是 () A.f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，十∞) B.f(x)是偶函数，单调递减区间是(-∞，1) A.(-2,0)U(W2,2) C.f(x)是奇函数，单调递减区间是（一1,1） B.(-o∞，-2)U(2,十o∞) D.f(x)是奇函数，单调递增区间是（一∞，0） C.(-∞，-2)U(-√2,0)U(w2,2) 2.(2024·江圈南昌期中)已知函数f(x)=)十 2 D.(-2,-√2)U(0,2)U(2,+∞) +1,g(x)=f(x-2)+1,则不等式f(x)<g(x) 角度3求参数的取值范围 的解集为 () -x十2，x≤1， A.(-∞，1) B.(1,2) [例5]已知函数f(x)= x+-1>1, x∈ C.(1,+∞) D.(2,+∞) [a,b]时，1≤f(x)≤3，则b-a的最大值是 请完成《课时检测训练12) 第8讲 函数与方程 课标要求 1,理解函数的零点与方程的解的联系， 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解。 ⑧44令g(b)=a+4b=4b+方,根据对勾函数的图象与性质易 得g(b)在(1,+∞)上单调递增， 所以g(b)>g(1)=5,故a+4b>5.故选C. [变式训练] 1.C 解析 ∵a?2>a2(a>0,且a≠1),∴0<a<1,∴对数函 数y=logx在(0,+∞)上为减函数.将函数y=log.x的图 象向右平移1个单位长度得到函数f(x)=log.(x-1)的图 象，因此，C选项中的图象为函数f(x)=log(x-1)的图象. 2.C 解析 不妨设a<b<c,作出函数f(x)的图象，如图 所示， 由图象可知0<a<1<b<10< y c<12, 由f(a)=f(b), 得|lg a|=|lgb, 即-lg a=lgb, 1 oa b 12 10C ∴lg ab=0,则ab=1, ∴abc=c,又10<c<12, ∴abc的取值范围是(10,12). 考点3 [例2]D 解析 ∵log?0.3<log?1=0,∴a<0. ∵log?0.4=-log?0.4=log?z>log?2=1,∴b>1. ∵0<0.4.<0.4°=1,∴0<c<1,∴a<c<b. [例3](3,号) 解析 由实数a>0,且满足53a+2>5a+1, 根据指数函数的单调性，可得3a+2>4a+1,解得0<a<1, 所以函数y=logx为单调递减函数， 则不等式 log。(3x+2)<log。(8-5x), 4<x<号，可得 解得- (4,号)即不等式的解集为( f(x)=log,-a1的图象关于原点对称，则[例4]解(1)函数 函数f(x)=log?-1为奇函数，有f(-x)=-f(x), 即Iog,±aY=-los-a,解得a=±1,当a=1时，不 满足题意，所以a=-1. (2)由f(x)<log?(z+k),得log-x<log?(x+k),即k> - 令g(x)=1-x=1+21-x,易知g(z)在x∈[2,4] 上单调递减， 则g(x)的最大值为g(2)=1.又当x∈[2,4]时，f(x)< log?(x+k)恒成立， 即k>1-x在x∈[2,4]恒成立，所以k>1. [变式训练] 1.A 解析 由已知得a=l084· Iog.5=485·g2-2 csg<cos27<cs否，所以—<cos9<,因为 又c=π?1∈(0,2),所以c<a<b. 2.(5,)u(,+○) 解析 因为函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，所以f(x)在[0, +∞)上单调递增， 所以可将f(log+(2x-5))>f(log?8)化为|log+(2x-5)|> |log,8|, 即log,(2x-5)>log.8或log(2x-5)<-log,8=log.8, >或2<x<460<2x-5<8即2x-5>8或 ,解得 f(x)=1n,令1>0,解得z>贵或3.ACD 解析 <- (-～,-2)u(2,+c),又f(-x)∴f(x)的定义域为( =In=22+1=In22+1=In(2=1)=-In=1= -f(x),∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误； f(x)=In2+1=In(1+222-1),令t=1+22-1,t>0且t ≠1,y=In t, ∵t=1+2-1 (2,+)上单调递减，且y=Int为增在( 函数， (2,+○)∴f(x)在( 上单调递减，故C正确； ∴y=Int的值域是(-∞,0)U(0,+∞),故D正确. 第7讲 函数的图象 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1-f(x) 2f(-x)3-f(-x) 4logx 5|f(x)| 6f(|x1) 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× f(x)=1-(x≠0)的图象向左平移1 3.C 解析 因为题图2中的图象是在题图1的基础上，去掉 4.C 解析 ∵f(-x)=|x|·22-I=I=f(x),∴f(x)是偶 =f(2),∴f(x)在[0,2]上不单调，排除D选项. 5.In(-2x)解析 根据左加右减原理，把f(x)的图象向左 _提升能力 考点剖析] 2.(-1,2)解析 将 函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图 函数，函数图象关于y轴对称，排除A,B选项；∵f(1)=2 平移2个单位长度可得In[2-(x+2)]=In(-x), y=1-+1(x≠-1)的图象，再将所得图象 象翻折到y轴右侧得来的，所以题图2中的图象对应的函数 再把图象上每一点的横坐标缩短一半(纵坐标不变),则 个单位长度得 可能是y=f(-|x|).故选C. g(x)=In(-2x). y=2-x+1(x≠-1)的图象，向上平移1个单位长度得到 即得到函数图象的对称中心为(-1,2). 考点1 [例1]解(1)先作出y=(2) 的图象，保留y=(2)图象 y=(2)中x≥0的部分，再作出： 的图象中x>0部分关 · 369· 高考一轮总复习·数学·RJA y=(去)于y轴的对称部分，即得 的图象，如图1实线 部分. y t 1 所以函数g(z)=2lnla为偶函数，图象关于y轴对称，所 以f(x)的图象关于x=-1对称，故可排除A,D选项； 又当x<-2或x>0时，2ln|x+1|>0,(x+1)2>0, 11 1 -1-2o 1+/2 所以f(x)>0,故可排除C选项，故选B. -i0 1 X -Io-1 -2 (2)B 解析 f(-x)=-x2+(e?-e")sin(-x)=-x2+(e° -e?")sin x=f(x), 图1 图2 图3 又函数定义域为[-2.8,2.8],故该函数为偶函数，可排 (2)将函数y=log?x的图象向左平移1个单位长度，再将x 轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y=|log?(x 除AC. +1)|的图象，如图2. (3):y={z2+2x-1,<0,且函数为偶函数，先用描点法 又f(1)=-1+(e-e)sin 1>-1+(e-e)sin6=2 -1-2e>4-2e>0, 作出[0,+∞]上的图象，再根据对称性作出(-,0)上的 故可排除D 图象，得图象如图3. 变式训练] [变式训练] y=2+,解(1)原函数解析式可化为 ,故函数图象可由函 y=数 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位 长度得到，如图所示. 1.B 解析 因为f(x)=(2*-2?)sin x的定义域为R, f(一x)=(2?2-2")sin(-x)=(22-2?2)sin x=f(x), x=2时，y=2+-2??>0,故f(x)为偶函数，排除AC.当 排除D.故选B. 2.D 解析 由图知，函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 y f(-2)=f(2)<0, 32 I SH)+)--5s+1由 且定义域为R,即选项B中函数为奇 函数，排除； -10 123 5(c+2>0,5(c+2>0,即选项A、C中当x>0时， (2)y=|x2-4.x-5|的图象可由函数y=x2-4x-5的图象保 留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得 到，如图所示. (0,+∞)上函数值为正，排除.故选D. 考点3 y [例3]ABD 解析 由函数y=In x,x轴下方图象翻折到上方 可得函数y=|lnx|的图象， 9 将y轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数 y=|In|x||=|In|-x||的图象， 将函 数图 象 向右 平 移2 个 单 位，可得函 数 y=|In|-(x-2)|1=|In|2-x||的图象， 则函数f(x)=|ln|2-x||的图象如图所示. -1 2o 5 x 5 y=(2)(3)y=()1-1, 的其图象可看作由函数 图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， -()“-{()20 y=(2)而 其图象可由： 的图 象保留x≥0时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则y =(去)"?“-1的图象如图所示. 4 3 2 3-2-1 012345 7x6 由图可得函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，A正确； 函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，B正确； 若x?≠x?,但f(x?)=f(x?),若x?,x2关于直线 x=2对 y x=1 称，则x?+x=4,C错误； 函数f(x)有且仅有两个零点，D正确. [例4]C 解析 根据奇函数的图象特征，作出f(x)在 0 X (-∞,0)上的图象如图所示， y -1 √2 考点2 f(x)=2lal+1[例2](1)B 解析 因为 是由g(x)= 2inla向左平移一个单位得到的， 8(-x)=2-=g(x)(x≠0),又因为 -2 o 2 X /2 由 x2f(x)>2f(x),得(x2-2)f(x)>0,等价于 )>0°{()< 高考一轮总复习·数学·RJA ·370· 解得x<-2或√2<x<2,或-√2<x<0.故不等式解集为 (-○,-2)U(-√2,0)U(√2,2). [例5]3+√3 解析 令-x2+2=1(x≤1),解得x=±1; 令x+1-1=3(z>1),解得x=2+√3, ∴f(x)图象如下图所示， 4 fx) 3 1 Fi0 1 2+3 由图象可知，a∈[-1,1],b=2+√3,∴(b—a)max=2+√3- (-1)=3+√3. [变式训练] 1.C 解析 将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x) ={222-2,2,2<0, 画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图 象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(-1,1)上是 单调递减的. y O -1 江 x 2.A 解析 由题知f(x)=al+x+1={2+1≥0,s(x) =f(x-2)+1={2,z≥2,在同一平面直角坐标系下画出 f(x),g(x)的图象如图所示. y y=/x) 2 J=x(x) 1 o 1 2 x 由图可知 f(x)<g(x)的解集为(-∞,1). 第8讲 函数与方程 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1f(x)=0 2x轴 3f(x)=0 4f(a)f(b) 5f(c)=0 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)√(4)× 2.B 解析 由表可知，f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5) <0,所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点. 3.C 解析 由已知得f(x)=x+log?x为(0,+∞)上的递增 函数， f(3)=3+log?3=3-log?3<0, f(2)=2+log?2=-2<0, f(3)=3+log23=5-log,3=3(5-log27)>0, f(1)=1>0, (2,3)由零点存在定理可知，f(x)在区间 内存在零点，故 选C. 4.B 解析 在同一坐标系内，作出y=√x与y=log÷x的图 象，如图： y y=区 0 X y-log 由图象可知，方程只有一个解. 5.0或1 解析 当a=0时，y=-2x+1,有唯一零点； 当a≠0时，由题意可得△=4-4a=0,解得a=1. 综上，实数a的取值为a=0或a=1. [提升能力 考点剖析] 考点1 [例1]C 解析∵y=x+1在(0,+∞)上单调递增， y=-log-x在(0,+心)上单调递增， ∴函数f(x)=x-logx+1在(0,+∞)上单调递增. ∵f(4)=4-log+4+1=-3<0, f(3)=3-log+3+1=4-log3=log,16+-log?27+ <0, f(2)=2-log+2+1=2>0,∴函数f(x)=x- (3,一).log_x+1的零点所在的区间为 [例2](1)C 解析 令g(x)=0得f(x)=√x,在同一直角坐 标系中作出f(x),y=√x的大致图象如下： y 2 y=R 0 2 X y=f(x) 由图象可知，函数y=f(x)与y=√x的图象有3个交点， 即函数g(x)有3个零点.故选C. (2)D 解析 因为f(x)是定义在R上的偶函数，对任意 的x∈R,都有f(x-2)=f(x+2), 所以f(x-2)=f(x+2)=f(2-x),即f(x)=f(x+4), 所以函数f(x)的周期为4. 当x∈[0,2]时，则-x∈[-2,0],此时 1=f(x), f(-a)=(2)2- 即f(x)=2-1,x∈[0,2]. 由f(x)-log?(x+2)=0,x∈[-2,6],得f(x)=log?(x+ 2),分别作出函数y=f(x)和y=log?(x+2),x∈(-2,6) 的图象，如图所示， y 9 y=f(x) y=log?(x+2) 2 1 2A1 oi 23456x 则由图象可知两个函数的图象的交点个数为4个，即方程 f(x)-log?(x+2)=0的零点个数为4个. ·371· 高考一轮总复习·数学·RJA