第二章 第6讲 对数与对数函数-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

回高考一轮总复习·数学·RUA 第6讲 对数与对数函数 课标要求 1,理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数 的单调性与特殊点。 3.了解指数函数y=a与对数函数y=log,x(a>0,且a≠1)互为反函数. 必备知识 夯实四基可 [对应答案P368] 知识梳理 续表 1.对数的概念 定义域 (1)定义：一般地，如果a=N(a>0,且a≠1)， 值域 个 那么数x叫做回 ,记作☑ 过定点园 ,其中a叫做囹 ,N叫做④ ,即x=国时，y= 性质 定点 ⊙ (2)常用对数与自然对数 在(0，+∞)上是国 在(0，+∞)上是 单调性 常用对数 lgN 以10为底 常见的 对数 白然对数 In N 以为底 常用结论 2.对数的运算性质 1.换底公式的三个重要结论 如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么： (1)1ogb= log()log(og 1 (1)log.(MN)=固 loge·logd=logd. ②lg为-国 2.对数函数的图象与底数大小的关系 (3)log.M"=☑ (n∈R). log x 3.换底公式 logx oh-8 -(a>0,且a≠1；c>0,且c≠1：b>0). Hlogr 4.对数函数的概念 如图，作直线y=1,则该直线与四个函数图象交 一般地，函数y=圆 叫做对数 点的横坐标为相应的底数.故0<c<d<1<a <b. 函数，其中回 是自变量，函数的定义域是 由此我们可得到此规律：在第一象限内与y=1 回 相交的对数函数从左到右底数逐渐增大， 5.对数函数的图象及性质 诊断自测 项目 0<a<1 a>1 思考辨析 yt x=l x=1 1.判断下列结论是否正确.（对的打“√”，错的打 y=log “X”) 图象 1.0 (1)函数y=10g(x+1)是对数函数.() /(1.0 (2)若MN>0,则log.(MN)=logM+log.N. y=log x () ®38 第二章函数的概念与基本初等函数回 (3)对数函数y=logx(a>0,且a≠1)在(0， ①a>1,c>1:②a>1,0c<1:③0<a<1,c> 十∞)上是增函数， ( 1;④0<a<1,0<c<1. (0函数y=lh甚与y=lh1+)-ln1- 易错自纠 的定义域相同。 ( 4.函数f(x)=1og2(x|一1)的图象为 教材衍化 2.(人A必修第一册P133倒3改编)已知实数 a=log;2,6=log:3.4,c=log:8.5, () A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 3.(人A必修第一册P139练习T4 改编)已知函数y=log.(x十c) 2-10172 (a,c为常数，其中a>0,且a≠ 1)的部分图象如图所示，则下列 结论成立的是 (填序号) 5.不等式logx>log+(4-x)的解集为 提升能力 考点剖析口 [对应答案P368] 考点 对数式的化简与求值（题组通关） 1.已知2=5，log43=b,则46= 感悟方法 A.25 B.5 c. 5 D. 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则：对数式的化简求值一般是正用或 2.计算，1-1og,3)2+1og21og,18 逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简， log:4 取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化 3.设5==10，则日+6 1 1 1 2十 简的原则进行. a ab (2)两种常用的方法 号的值为 ①“收”：将同底的两对数的和（差）收成积（商） 4.1og81-log8·1og23-2g3+lg√2+lg√5= 的对数； ②“拆”：将积（商）的对数拆成同底的两对数的 和（差） 考点2 对数函数的图象及应用（师生共研） [例1](1)已知函数f(x)=log。(3+b-1)(a> (2)(2024·黑龙江哈尔滨·模拟)已知函数 0,a≠1)的图象如图所示，则a,b满足的关系是 f(x)=|lnx|.若0<a<b,且f(a)=f(b),则 a十4b的取值范围是 () A.0<a-1<b<1 A.(4,+o∞) B.0<b<a1<1 B.[4,十∞) C.0<b1<a<1 C.(5,+∞) D.0<a1<b1<1 D.[5,十∞) 39® 同高考一轮总复习·数学·RJA 感悟方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的 性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、 最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应 的函数图象问题，利用数形结合法求解， ◆变式训练多 1.(2024·浙江宁波联考)若a2>a(a>0,且a≠ llgx,0<x≤10， 1),则函数f(x)=log.(x一1)的图象大致是 2.已知函数f(x)= x+6,x>10, 1 若a,b,c互 不相等，且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范 围是 () A.[10,12] B.(10,12] C.(10,12) D.[10,12) 考点3 对数函数的性质及应用（多雏探究） 角度1比较大小 感悟方法 [例2](2021·天津卷)设a=log0.3,b=log0.4, 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函 数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三 c=0.43,则a,b,c的大小关系为 r 方面的问题：一是定义城，所有问题都必须在定 A.a<b<c B.c<a<b 义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复 C.b<c<a D.a<c<b 合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复 合而成的，另外，解题时要注意数形结合、分类 角度2解对数不等式 讨论、转化与化归思想的应用 [例3]已知实数a>0,且满足5a2>5+1,则不 ◆变式训练 等式1og.(3x十2)<1og(8-5x)的解集为 1.设a=log654·log25,b=cos 9,c=x1,则a,b, 2 c的大小关系为 () 角度3对数函数性质的综合应用 A.cKa<b B.b<a<c [例4幻已知函数f(x)=1og 1一a的图象关于原 C.a<c<b D.c<b<a x一1 2.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0 点对称，其中a为常数. 时，f(x)单调递减，则不等式f(1og+(2x-5)> f(1og,8)的解集为 (1)求a的值： (2)当x∈[2,4]时，f(x)<log(x+b)恒成立， 3(多选)已知函数)=h},下列说法正确 () 求实数k的取值范围 的是 A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.x)在（分，十）上单调递减 D.f(x)的值域为（一o∞，0）U(0,+∞) 请完成《课时检测训练11》 ®40y=(2)[例4](1)C 解析 函数 是实数集上的减函数，因 x=2,为二次函数y=-x2+x+2的开口向下，对称轴为 (-,2)所以二次函数y=-x2+x+2在 上单调递增， 在(2,+)上单调递减，由复合函数的单调性，可得函数 -(t) (县，+○).故选C.的单调递增区间是( f(-a)=1-3?-3°+1=-f(x),所以(2)AD 解析 因为； f(x)为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确； ro-量---D-二o*因为 f(-1),所以f(x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故B 不正确； f(x)=-33++-2=-1+32+1因为。 ,又3*>0,所以3+ 1>1,所以0<32+1<2, 所以f(x)∈(-1,1),故C不正确； f(x)=-33+1-2=-1+3+1,且y=3为增函数，因为 所以f(x)在定义域(-∞,+∞)上单调递减，故D正确. [例5](1)C 解析 令t=-x2+2x,则t=-(x-1)2+1≤1, y=(1)因为： 在R上单调递减， f(x)=(去)“所以y≥2,,故函数 的值域为 [贵，+],故选C. 1+a·2(2)1(0,1)解析 依题设f(x)+f(-x)=1,则： +1+a-2-=1, 整理得(a-1)[42+(a-1)·22+1]=0.所以a-1=0,则a =1. 由于1+2'>1,∴o<1+2因此f(x)=1+2=1-1+2 <1,∴0<f(x)<1. 故f(x)的值域为(0,1). [变式训练] 1.B 解析 ∵函数y=0.3°在R上是减函数，∴0.3°.7 <0.3°3. 又∵幂函数y=x??在(0,+○)上单调递增，0.3<0.7 <1.2, ∴0.3°3<0.7.3<1.2°.3,∴c>b>a. 2.(1,+∞)解析 原不等式可化为a>-4*+2*+1对x∈R 恒成立，令t=2°,则t>0,∴y=-42+2*+1=-t2+2t=-(t -1)2+1, 当t=1时，ymax=1,∴a>1. y=(3).3.(-∞,-1) 解析 令t=ax2+2x+3,则： [0,!],因为y=(3)在R上单调递减，且f(x)的值域是 12a-?=2,解所以t=ax2+2x+3的最小值为2,则a>0且 得a=1,因此t=x2+2x+3的单调递减区间是(-○,-1), 故函数f(x)的单调递增区间是(-,-1). 第6讲 对数与对数函数 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1以a为底N的对数 2x=log.N 3对数的底数 4真数 8logx(a>0,且a≠1) 9x 10(0,+○)1(0,+∞) 2(1,0)31 40 5减函数 6增函数 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)√ 2.A 解析 因为0<a=log,2<1<b=log23.4<c=log,8.5,所 以a<b≤c. 3.④ 解析 由图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a< 1.又当x=0时，y>0,即 log.c>0,所以0<c<1. 4.A 解 析 函数f(x)= log?(x|-1)的定义 域为 (-0,-1)U(1,+∞),可以排除选项B、C; 选项D. {4>0, 解得0<x<2.因此，原不等式的解集为(0,2). 提升能力 考点剖析] 5logM+log.N 6logM-log.N 7nlogM 由f(-x)=log?(|-x|-1)=log?(|x|-1)=f(x), 5.(0,2)解析 因为log+x>log+(4-x),则 可知函数f(x)为偶函数，其图象应关于y轴对称，可以排除 考点1 2°=5,b=log3=3log?3,即2=3,1.C 解析 因为： 所以4=4=(2)==25 2.1解折大-1-22s+dm23+tbC0× =1-2los.3+dlo8,4+1-dlog3 -22l0g.23)=o?.68-128.3_1082-1 3.1 1 解析 由5"=2°=10,得a=log;10,b=log?10, 1=lg5,方=1g2,所以+=1g5+1g2=1,所以- +a+方=(lg5)2+1g5·1g2+1g2 =lg 5(lg 5+1g 2)+lg2=lg 5+lg2=1. 4.0 解析 原式=log。3°-2· log2·log?3-3+1g√10=4 -2-3+2=0. 考点2 [例1](1)A 解析 由题可得a>1,所以0<a1<1.又当x= 0 时，y= log.b,结合图 象可得 -1<log.b<0,即 -1=log.1<logb<log,1=0,所以0<a?1<b<1. (2)C 解析 由f(a)=f(b)得|In a|=|Inb|.根据函数y= |In x|的图象及0<a<b,得-Ina=Inb,0<a<1<b,所以 1=b. y oa1 b x 高考一轮总复习·数学·RJA ·368· 令g(b)=a+4b=4b+方,根据对勾函数的图象与性质易 得g(b)在(1,+∞)上单调递增， 所以g(b)>g(1)=5,故a+4b>5.故选C. [变式训练] 1.C 解析 ∵a?2>a2(a>0,且a≠1),∴0<a<1,∴对数函 数y=logx在(0,+∞)上为减函数.将函数y=log.x的图 象向右平移1个单位长度得到函数f(x)=log.(x-1)的图 象，因此，C选项中的图象为函数f(x)=log(x-1)的图象. 2.C 解析 不妨设a<b<c,作出函数f(x)的图象，如图 所示， 由图象可知0<a<1<b<10< y c<12, 由f(a)=f(b), 得|lg a|=|lgb, 即-lg a=lgb, 1 oa b 12 10C ∴lg ab=0,则ab=1, ∴abc=c,又10<c<12, ∴abc的取值范围是(10,12). 考点3 [例2]D 解析 ∵log?0.3<log?1=0,∴a<0. ∵log?0.4=-log?0.4=log?z>log?2=1,∴b>1. ∵0<0.4.<0.4°=1,∴0<c<1,∴a<c<b. [例3](3,号) 解析 由实数a>0,且满足53a+2>5a+1, 根据指数函数的单调性，可得3a+2>4a+1,解得0<a<1, 所以函数y=logx为单调递减函数， 则不等式 log。(3x+2)<log。(8-5x), 4<x<号，可得 解得- (4,号)即不等式的解集为( f(x)=log,-a1的图象关于原点对称，则[例4]解(1)函数 函数f(x)=log?-1为奇函数，有f(-x)=-f(x), 即Iog,±aY=-los-a,解得a=±1,当a=1时，不 满足题意，所以a=-1. (2)由f(x)<log?(z+k),得log-x<log?(x+k),即k> - 令g(x)=1-x=1+21-x,易知g(z)在x∈[2,4] 上单调递减， 则g(x)的最大值为g(2)=1.又当x∈[2,4]时，f(x)< log?(x+k)恒成立， 即k>1-x在x∈[2,4]恒成立，所以k>1. [变式训练] 1.A 解析 由已知得a=l084· Iog.5=485·g2-2 csg<cos27<cs否，所以—<cos9<,因为 又c=π?1∈(0,2),所以c<a<b. 2.(5,)u(,+○) 解析 因为函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，所以f(x)在[0, +∞)上单调递增， 所以可将f(log+(2x-5))>f(log?8)化为|log+(2x-5)|> |log,8|, 即log,(2x-5)>log.8或log(2x-5)<-log,8=log.8, >或2<x<460<2x-5<8即2x-5>8或 ,解得 f(x)=1n,令1>0,解得z>贵或3.ACD 解析 <- (-～,-2)u(2,+c),又f(-x)∴f(x)的定义域为( =In=22+1=In22+1=In(2=1)=-In=1= -f(x),∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误； f(x)=In2+1=In(1+222-1),令t=1+22-1,t>0且t ≠1,y=In t, ∵t=1+2-1 (2,+)上单调递减，且y=Int为增在( 函数， (2,+○)∴f(x)在( 上单调递减，故C正确； ∴y=Int的值域是(-∞,0)U(0,+∞),故D正确. 第7讲 函数的图象 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1-f(x) 2f(-x)3-f(-x) 4logx 5|f(x)| 6f(|x1) 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× f(x)=1-(x≠0)的图象向左平移1 3.C 解析 因为题图2中的图象是在题图1的基础上，去掉 4.C 解析 ∵f(-x)=|x|·22-I=I=f(x),∴f(x)是偶 =f(2),∴f(x)在[0,2]上不单调，排除D选项. 5.In(-2x)解析 根据左加右减原理，把f(x)的图象向左 _提升能力 考点剖析] 2.(-1,2)解析 将 函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图 函数，函数图象关于y轴对称，排除A,B选项；∵f(1)=2 平移2个单位长度可得In[2-(x+2)]=In(-x), y=1-+1(x≠-1)的图象，再将所得图象 象翻折到y轴右侧得来的，所以题图2中的图象对应的函数 再把图象上每一点的横坐标缩短一半(纵坐标不变),则 个单位长度得 可能是y=f(-|x|).故选C. g(x)=In(-2x). y=2-x+1(x≠-1)的图象，向上平移1个单位长度得到 即得到函数图象的对称中心为(-1,2). 考点1 [例1]解(1)先作出y=(2) 的图象，保留y=(2)图象 y=(2)中x≥0的部分，再作出： 的图象中x>0部分关 · 369· 高考一轮总复习·数学·RJA