第二章 第5讲 指数与指数函数-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

回高考一轮总复习·数学·RUA 角度2二次函数的单调性与最值 (2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数 [例3]已知函数f(x)=kx2+(3+k)x十3，其中k 图象的对称轴进行分类讨论求解。 为常数。 ◆变式训练 (1)若f(2)=3,求函数f(x)的表达式； 1.(多选)函数f(x)=ax2十2x十1与g(x)=x在 (2)在(1)的条件下，设函数g(x)=f(x)一mx, 同一坐标系中的图象可能为 若g(x)在区间[一2,2]上是单调函数，求实数 m的取值范围； (3)是否存在k使得函数f(x)在[-1,4]上的 最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请 说明理由， 2.(1)已知函数f(x)=-x2+2a.x十1-a在x∈ 感悟方法 [0,1]上的最大值为2，则a的值为 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类 (2)设二次函数f(x)=a.x2-2ax十c在[0,1]上 型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论 单调递诚，且f(m)≤f(0),则实数m的取值范 哪种类型，解题的关健都是对称轴与区间的位 围是 置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的 位置关系进行分类讨论 请完成《课时检测训练9》 第5讲 指数与指数函数 课标要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象， 3,理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 必备知识 夯实四基。 [对应客案P367] 知识梳理 固 ,a≥0， ⑤a"-la- n为大于1的 1.根式的概念及性质 ,a<0 偶数). (1)概念：式子a叫做回 ,这里n叫做根指 2.分数指数幂 数，a叫做被开方数. 规定：正数的正分数指数幂的意义是a= (2)①☑ 没有偶次方根。 ☑(a>0,m,n∈N°，且n>1):正数的负分 ②0的任何次方根都是0，记作6=圆 数指数幂的意义是a吾=图 (a>0,m, ③(a)"=④(n∈N”,且n>1). n∈N”,且n>1):0的正分数指数幂等于0：0的 ④Va=a(n为大于1的奇数). 负分数指数幂回 ®34 第二章函数的概念与基本初等函数 回 3.指数幂的运算性质 诊断自测 实数指数幂的运算性质：a'a'=回 ;(a) 思考辨析 =回；(ab)'=國 ,其中a>0,b>0, 1.判断下列结论是否正确.（对的打“/”，错的打 r,s∈R. 4.指数函数及其性质 “X”) (1)概念：函数y=a(a>0,且a≠1)叫做指数函 (1)a与(a)(n∈N)都等于a. () 数，其中指数x是自变量，定义域是R (2)2·2=2 () (2)指数函数的图象与性质 (3)函数y=3·2与y=2+都不是指数函数. 项目 a>1 0<a<1 () 1y/= ty (4)分数指数幂a可以理解为”个a相乘. 图象 01) = 0》y=1 0 01 教材衍化 定义域 2.(人A必修第一册P114到1改编)已知函数 值城 國 f(x)=a-+1(a>0,a≠1)的图象经过点 过定点四 ,即x=0时，y=1 (2,3),那么这个函数也必定经过点 () 当x>0时，因 当x<0时，团 A（-2,) B(1,) 当x<0时，国 当x>0时，圆 性质 C.(1,2) D(3,g)】 在(-∞，十∞)上是 在（一o,十∞）上是 @ 3.(人A必修第一册P119习题4.2T6改编)设a= y=a与y-() 的图象关于y轴对称 0.63,b=0.65,c=1.5.,则下列a,b,c的大小 关系正确的是 () 心常用结论 A.a<b<c B.a<c<b 1,画指数函数y=a(a>0,且a≠1)的图象，应抓 C.b<a<c D.b<c<a 住三个关键点：1，a),(0,1),(-1,）月 易错自纠 2.指数函数y=a(a>0,且a≠1)的图象和性质跟 4.(不明指数函数的因象：质改误)如图是指数函 a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1 数(1)y=a':(2)y=b;(3)y=c:(4)y=d的图 来研究 象，则a,b,c,d与1的大小关系是 3.在第一象限内，指数函数y=a(a>0,且a≠1) (1)2) +y(34) 的图象越高，底数越大 -2-1012 5.(忽略指数函数的值域政误)函数f(x)=2一1 的值域为 35® 回高考一轮总复习·数学·RUA 提升能力 考点剖析⊙ [对应答案P367] 考点 指数的运算（题组通关） 1.已知10=2,10°=3，则10学 31.5×(-名)°+8"×拒+（迈×3） A号 B.o c号 吗 4.已知x+x+=5,则十x2-6 x+x-5 2.毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小， 感悟方法 刚放进的新丸体积为a,经过t天后体积V与天 (1)指数暴的运算首先将根式、分数指数暴统一 数t的关系式为V=a·e“.若新丸经过50天 为分数指数暴，以便利用法则计算，还应注意： 后，体积变为音，则一个新丸体积变为》4需经 8 ①必须同底数幂相乘，指数才能相加 ②运算的先后顺序. 过的时间为 (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化 为正数 A.125天 B.100天 (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也 C.75天 D.50天 不能既有分母又含有负指数， 考点2 指数函数的图象及应用（师生共研） [例1](1)(2023·陕成阳·二模)函数f(x)= A.(4,8) B.(4,16) 晋的大致图象为 C.(8,32) D.(16,32) 感悟方法2 1,对于有关指数型函数的图象问题，一般是从 最基本的指数函数的图象入手，通过平移、仲 缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的 大小关系不确定时应注意分类讨论， 2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用 相应的指数型函数图象，数形结合求解. ◆变式训练。 1.(多选)已知实数a,b满足等式3=6，则下列可 能成立的关系式为 () A.a=b B.0<b<a |2-1|,x≤2， (2)已知函数∫(x)= 若实数 -x十4，x>2, C.a<b<0 D.0<a<b a,b,c满足a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c),则 2.若函数f(x)=|2一2|一b有两个零点，则实数b 2+十2+的取值范围为 的取值范围是 ®36 第二章函数的概念与基本初等函数何 考点3 指数函数的性质及应用（多维探究） 角度1比较指数式的大小 2 [例2](1)(2023·天潭卷)若a=1.01.5, (2)已知函数f(x)-1+。·2:的图象关于点 b=1.01,c=0.65,则a,b,c的大小关系为 (0,2)对称，则a ,f(x)的值域为 ( A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 感悟方法2 (2)若e十π≥e◆十π“，则下列结论一定成立 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底 的是 ( 数的先化成同底数暴，再利用单调性比较大 A.a十b0 B.a-b≥0 小，(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1” C.a-b≤0 D.a+b20 等中间量比较大小， 角度2解简单的指数方程或不等式 2,指数方程（不等式）的求解主要利用指数函数 [例3] (2023·上海青浦·跳考一模)不等式 的单调性进行转化。 2-3< 2 的解集为 3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数 角度3与指数函数有关的复合函数的单调性 函数相关性质，其次要明确复合函数的构成， 十+2 [例4】 (1)函数y=（2 的单调递增区间 涉及值城、单调区间、最值等问题时，都要借 是 助“同增异减”这一性质分析判断。 A（-1,2】 B(-o,》 提醒在研究指数型函数的单调性时，当底数 a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论， c.(侵+∞) D.(合2) 令变式训练 ②)（多选）已知函数)=等，则下列结轮 1.若a=0.31,b=0.743,c=1.243,则a,b,c的大 小关系是 () 正确的有 A.f(x)的图象关于坐标原点对称 A.a>b>c B.c>b>a B.f(x)的图象关于y轴对称 C.bc>a D.a>c>b C.f(x)的最大值为1 2.(2024·山国模拟)若不等式4-2+1十a>0对 D.f(x)在定义域上单测递减 任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是 角度4指数函数的最值（值域）问题 [例5] D函数fx)=(合】 的值域为 3.若函数f(x) 的值域是(0，]，则 f(x)的单调递增区间是 A(e,】 B(o,】 c.[2+∞) D.[2,+∞) 请完成《课时检测训练10》 37®开口向上，对称轴为直线x=-1,1<0,△=4-4a>0, 图象和x轴有两个交点，故C符合题意.B显然不符合题意. 2.(1)-1或2 解析 函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x -a)2+a2-a+1,对称轴方程为x=a. 当a<0时，f(x)mx=f(0)=1-a=2,所以a=-1. 当O≤a≤1时，f(x)m=a2-a+1=2,所以a2-a-1=0, a=1±2⑤(舍去).所以， 当a>1时，f(x)mx=f(1)=a=2,所以a=2. 综上可知，a=-1或a=2. (2)[0,2] 解析 依题意得a≠0,二次函数f(x)=ax2- 2ax+c图象的对称轴是直线x=1,因为函数f(x)在区间 [0,1]上单调递减，所以a>0,即函数图象开口向上，所以 f(0)=f(2),则当f(m)≤f(O)时，有0≤m≤2. 第5讲 指数与指数函数 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 图 5y>1 60<y<1 17y>1 80<y<1 9增函数 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)√(4)× 2.C 解析 由题意得，a+1=3,∴a=2,∴f(x)=2?1+1,代 3.C 解析 y=0.6°是减函数，所以1>0.6°?>0.61-?,1.5> 1,0.6>0,1.5°-?>1,所以b<a<c. 4.c>d>1>a>b 解析 作直线x=1,由图可得c1>d1>1> (1)(2) ty (3)(4) c \d 1X a b ol x=1 5.(-1,+∞)解析 因为y=22,x∈R的值域为(0,+∞), 口根式 2负数 30 4a 5a 20减函数 入各选项中点的坐标，易知C正确。 a1>b1,即c>d>1>a>b. 所以函数f(x)=2-1的值域为(-1,+0). ⑥-a7Va"[ [提升能力 考点剖析] 9没有意义 10a'+' Wa"12a'b' 3(0,+一)4(0,1) 考点1 1.D 解析 根据题意，得(10)2=103m-20=103m×10-a= (10")3×(10°)?2=22×3?2=8, 因为10>0,所以10=√9=232 4a=a·e52.C 解析 由题意知a>0,当t=50时，有 即告=(e)”,得e=√告 7a=V=27a时,有.所以当 a·e?“. 申品=(c)'=(告)”,得(3)'=(号).所以t=75. 3.10 解析 原式=(3)+2+×2++2°×3°-(3)2=2 +108=110. 4.一2 解析 x*+x*=√5,两边同时平方，得x+x?1+2 =5,所以x+x?1=3, 对x+x?1=3两边同时平方，得x2+x2+2=9,x2+x?2 =7, 2+a5=35=-2则 考点2 f(z)=简={e,x<0,[例1](1)B 解析 依题意可得) 又e>1,则根据指数函数图象即可判断只有选项B符合. (2)D 解析 作出函数f(x)的图象，如图， 当 x<0时，f(x)= |2°-1|=1-2°∈(0,1), 由图可知，f(a)=f(b)= 3 f(c)∈(0,1), 2ao C4b 即4-c∈(0,1), 得3<c<4,则8<2<16. 由f(a)=f(b),即|2"-1|=|2?-1|,得1-2°=2?-1, 求得2°+2=2, ∴2"++2+c=2(2“+2)=2×2∈(16,32),故选D. [变式训练] 1.ABC 解析 由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函 数y=3和y=6°的图象，如图所示， 由图象知，当a=b=0时，3“=6 yy=6 =1,故选项A正确； 5 作出直线y=k,当k>1时，若3“ 4 y=3 =6°=k,则0<b<a,故选项B 正确； 3 y=k 2 作出直线y=m,当0<m<1时， 若3“=6°=m,则a<b<0,故选 项C正确； y=m -2-1 |01234x 当0<a<b时，易得2?>1,则3"<3°<2·3?=6°,故选项D 错误. 2.(0,2) 解析 在同一平面直角坐标系中画出y=|22-2|与 y=b的图象，如图所示. y y=I2*-21 2 y=b 1 X -2 ∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)= |2-2|-b有两个零点. ∴实数b的取值范围是(0,2). 考点3 [例2](1)D 解析 由y=1.012在R上递增，则a=1.01°.?< b=1.01·6,由y=x°5在[0,+∞]上递增，则a=1.01°?>c =0.6°.?,所以b>a>c. (2)D 解析 ∵e°+π3≥e?+π“,∴e"-π“≥e?-π,① 令f(x)=e2-π,则f(x)是R上的增函数， ①式即为f(a)≥f(-b),∴a≥-b,即a+b≥0. [例3](-3,2)解 函数y=2在R上单调递增，则2-2a-3 <(2)"?-22-2?3<2--De2-2x-3<-3(x- 1),即x2+x-6<0,解得-3<x<2,所以原不等式的解集 为(-3,2). ·367 · 高考一轮总复习·数学·RJA y=(2)[例4](1)C 解析 函数 是实数集上的减函数，因 x=2,为二次函数y=-x2+x+2的开口向下，对称轴为 (-,2)所以二次函数y=-x2+x+2在 上单调递增， 在(2,+)上单调递减，由复合函数的单调性，可得函数 -(t) (县，+○).故选C.的单调递增区间是( f(-a)=1-3?-3°+1=-f(x),所以(2)AD 解析 因为； f(x)为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确； ro-量---D-二o*因为 f(-1),所以f(x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故B 不正确； f(x)=-33++-2=-1+32+1因为。 ,又3*>0,所以3+ 1>1,所以0<32+1<2, 所以f(x)∈(-1,1),故C不正确； f(x)=-33+1-2=-1+3+1,且y=3为增函数，因为 所以f(x)在定义域(-∞,+∞)上单调递减，故D正确. [例5](1)C 解析 令t=-x2+2x,则t=-(x-1)2+1≤1, y=(1)因为： 在R上单调递减， f(x)=(去)“所以y≥2,,故函数 的值域为 [贵，+],故选C. 1+a·2(2)1(0,1)解析 依题设f(x)+f(-x)=1,则： +1+a-2-=1, 整理得(a-1)[42+(a-1)·22+1]=0.所以a-1=0,则a =1. 由于1+2'>1,∴o<1+2因此f(x)=1+2=1-1+2 <1,∴0<f(x)<1. 故f(x)的值域为(0,1). [变式训练] 1.B 解析 ∵函数y=0.3°在R上是减函数，∴0.3°.7 <0.3°3. 又∵幂函数y=x??在(0,+○)上单调递增，0.3<0.7 <1.2, ∴0.3°3<0.7.3<1.2°.3,∴c>b>a. 2.(1,+∞)解析 原不等式可化为a>-4*+2*+1对x∈R 恒成立，令t=2°,则t>0,∴y=-42+2*+1=-t2+2t=-(t -1)2+1, 当t=1时，ymax=1,∴a>1. y=(3).3.(-∞,-1) 解析 令t=ax2+2x+3,则： [0,!],因为y=(3)在R上单调递减，且f(x)的值域是 12a-?=2,解所以t=ax2+2x+3的最小值为2,则a>0且 得a=1,因此t=x2+2x+3的单调递减区间是(-○,-1), 故函数f(x)的单调递增区间是(-,-1). 第6讲 对数与对数函数 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 1以a为底N的对数 2x=log.N 3对数的底数 4真数 8logx(a>0,且a≠1) 9x 10(0,+○)1(0,+∞) 2(1,0)31 40 5减函数 6增函数 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)√ 2.A 解析 因为0<a=log,2<1<b=log23.4<c=log,8.5,所 以a<b≤c. 3.④ 解析 由图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a< 1.又当x=0时，y>0,即 log.c>0,所以0<c<1. 4.A 解 析 函数f(x)= log?(x|-1)的定义 域为 (-0,-1)U(1,+∞),可以排除选项B、C; 选项D. {4>0, 解得0<x<2.因此，原不等式的解集为(0,2). 提升能力 考点剖析] 5logM+log.N 6logM-log.N 7nlogM 由f(-x)=log?(|-x|-1)=log?(|x|-1)=f(x), 5.(0,2)解析 因为log+x>log+(4-x),则 可知函数f(x)为偶函数，其图象应关于y轴对称，可以排除 考点1 2°=5,b=log3=3log?3,即2=3,1.C 解析 因为： 所以4=4=(2)==25 2.1解折大-1-22s+dm23+tbC0× =1-2los.3+dlo8,4+1-dlog3 -22l0g.23)=o?.68-128.3_1082-1 3.1 1 解析 由5"=2°=10,得a=log;10,b=log?10, 1=lg5,方=1g2,所以+=1g5+1g2=1,所以- +a+方=(lg5)2+1g5·1g2+1g2 =lg 5(lg 5+1g 2)+lg2=lg 5+lg2=1. 4.0 解析 原式=log。3°-2· log2·log?3-3+1g√10=4 -2-3+2=0. 考点2 [例1](1)A 解析 由题可得a>1,所以0<a1<1.又当x= 0 时，y= log.b,结合图 象可得 -1<log.b<0,即 -1=log.1<logb<log,1=0,所以0<a?1<b<1. (2)C 解析 由f(a)=f(b)得|In a|=|Inb|.根据函数y= |In x|的图象及0<a<b,得-Ina=Inb,0<a<1<b,所以 1=b. y oa1 b x 高考一轮总复习·数学·RJA ·368·