第二章 第4讲 幂函数与二次函数-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习（人教A版2019）

第二章函数的概念与基本初等函数可 数.由此结论可求f(x)=工 x千十士2十… 感悟方法 8的对称中心为 函数的奇偶性是特殊的对称性，利用f(x十a) ( 是奇函数或偶函数可以得到函数f(x)图象的 A.(1011,1011) B.(-1011,2021) 对称性，进而可以结合图象求解问题. c(10n2o2 1 D.（-20221011） 第4讲 幂函数与二次函数 课标多求！ 1了解幂函数的概念，结合函数y=xy=小y=y=xy=的图象，了解它们的变化情况。 2,理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程，不等式之间的关系解决简单问题. 必备知识 夯实四基⑦ [对应答案P365 知识梳理 顶点式：f(x)=a(x一m)十n(a≠0)，顶点坐标 为图 L.幂函数 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1x (1)幂函数的定义 为f(x)的零点. 一般地，函数回 叫做幂函数，其中x是自 (2)二次函数的图象和性质 变量，a是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 y=ar +bz+e y=ar+br+c 函数 (a>0) (a<0) 图象 (抛物 线) 定义域 值域 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，+∞)上都有定义： 对称轴 x=回 ②当a>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0， 顶点 固 坐标 0),且在(0，十∞)上单调递增： 奇偶性 当6=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 ③当a<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在 在（-，- (0,十∞)上单调递减， 会]上在(-，-会]上 2.二次函数 是团函数： 是回函数： 单调性 (1)二次函数解析式的三种形式 [云+)上在[云+ 一般式：f(x)=回 是图函数 是回函数 31 国高考一轮总复习·数学·RJA 常用结论 3.(人A必修第一册P58T6改编)若函数f(x)= 1.二次西数的单调性、最值与抛物线的开口方向和 x2一a.x十1有负值，则实数a的取值范围是 对称轴及给定区间的范围有关 a>0, A.(-0,-2] 2.若f(x)=ax+b.x十c(a≠0)，则当 时，恒 △<0 B.(-∞，-2]U[2,+o∞) a<0, 有f(.x)>0:当 时，恒有f(x)<0. C.(-6∞.-2)U(2,+∞) 4<0 D.(2,+c) 3.(1)暴函数y=x中，a的取值影响暴函效的定义 域、图象及性质： 易错自纠 (2)暴西数的图象一定会出现在第一象限内，一 4.(二次函数性质不明致错)已知函数∫(x)=a.x 定不会出现在第四象限。 x十1在区间(1，十o)上单调递增，则实数a 诊断自测 的取值范围为 思考辨析 A.(o. B(,-》】 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或 “X”) c(3+)】 n[2+) （1)函数y=是幂函数。 ( 5.(二次函数图聚竹证不明政错)已知函数y=d.x2 (2)若二次函数y=ax十b.r十c的图象恒在x轴 +bx+c,如果a>b>c且a十b+c=0,则它的图 下方，则a<0且△<0. () 象可能是 () (3)二次函数y=a(x-1)+2的单调递增区间 是[1，十∞). (4)若幂函数y=x”是偶函数，则a为偶数. ( 教材衍化 2.(人A必修第一册P91练习T1改编)已知幂函 数f(x)=kx 的图象过点（号9），则k+a的值 为 ( A.2 B.1 C.-1 D.0 提升能力 考点剖析⊙ 「对应咨案P366 考点个 幂函数的图象与性质（题组通关） 1.（多选)幂函数f(x)=(m2一5m十7)x”-在 C.函数f(x)是偶函数 (0,十∞)上是增函数，则以下说法正确的是( D.函数f(x)的图象关于原点对称 A.m=3 2.已知幂函数y=x(p∈Z)的图象关于y轴对 B.函数f(x)在（一∞，0）上单调递增 称，如图所示，则 () 32 第二章函数的概念与基本初等函数可 感悟方法 (1)幂函数的形式是y=(a∈R),其中只有一 个参数a,因此只需一个条件即可确定其解 析式 (2)在区间(0,1)上，幂西数中指数越大，画数图 A.p为奇数，且p>0B.p为奇数，且<0 象越靠近x轴（简记为“指大图低”），在区间(1， C.p为偶数，且p>0D.p为偶数，且p<0 十∞)上，暴函数中指数越大，函数图象越远离 3.已知a=2,b=4,c=25,则 ( x轴. A.b<a<e B.a<h<c (3)在比较暴值的大小时，必须结合幂值的特点， C.b<c<a D.c<a<b 选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确 4.已知函数f(x)=x.则f(3x-1)<f(1+x2)的 掌握各个暴函数的图象和性质是解题的关键. 解集是 考点2 二次函数的解析式（师生共研） [例1]已知二次函数f(x)满足f(2)=一1，f(一1)=一1，且f(x)的最大值是8，则f(x)= 感悟方法 求二次函数解析式的方法 点坐标 逃用般式 顶点坐标 已知 对称轴 选HT点式】 最人小伯 与x轴两交点坐标 用李式 变式训练” 已知二次函数f(x)=ax+h.x十c的对称轴是直线x=1,且不等式f(x)≤2x的解集为[1,3]，则f(x)的 解析式是f(x)= 考点3 二次函数的图象与性质（多维探究） 角度1二次函数的图象 C.a-b+c=0 D.5a<b 例2]（多选)如图，这是二次函数y=ax2十b.x十 感悟方法沙 c(a≠0)图象的一部分，则下面四个结论正确的 有 识别二次函数图象应学会“三看” ( 一行 着次项系数的符号它确证了二次 符号 明数图象的下口方问 一看 石对称轴啦值它确定了一次函数 对称 图象的具休位誉 /3-10 0 看函数图象上的-些特殊点如函数 特殊点 图象与轴的交点、与x轴的交点、 函数图象的最高点或喷低点架 A.b>Aac B.2a-b=1 33 国高考一轮总复习·数学·RJA 角度2二次函数的单调性与最值 (2)二次西数的单调性问题主要依据二次函数 [例3】已知函数f(.x)=kx2+(3十k)x十3，其中k 图象的对称轴进行分类讨论求解 为常数. 冬变式训练 (1)若f(2)=3,求函数f(x)的表达式： L.(多选)函数f(x)=ax+2x十1与g(x)=x°在 (2)在(1)的条件下，设函数g(x)=f(.x)一.x, 同一坐标系中的图象可能为 若g(x)在区间[一2,2]上是单调函数，求实数 m的取值范围： (3)是否存在k使得函数f(x)在[一1,4]上的 最大值是4？若存在，求出k的值：若不存在，请 说明理由. 2.(1)已知函数f(x)=-x+2ax+1一a在x∈ 感悟方法 [0,1门上的最大值为2，则a的值为 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类 (2)设二次函数f(x)=ax2-2a.x+e在[0,1]上 型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论 单调递诚，且f(m)≤f(0),则实数m的取值范 哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位 围是 置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的 位置关系进行分类讨论. 请完成《课时检测训练9》 第5讲 指数与指数函数 课标要求！ L,理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质， 2,通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象， 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用， 必备知识 夯实四基 [对应答案P367 知识梳理 固 a≥0 ⑤ar=al (n为大于1的 a<0 1.根式的概念及性质 偶数). (1)概念：式子a叫做可 ,这里n叫做根指 2.分数指数幂 数，a叫做被开方数. 规定：正数的正分数指数幂的意义是a (2)①☒ 没有偶次方根。 ☑ (a>0,n,n∈N°，且n>1):正数的负分 ②0的任何次方根都是0，记作6=图 数指数幂的意义是a于=圆 (a>0,m, ③(a)"=④(n∈N',且n>1). n∈N”,且n>1):0的正分数指数幂等于0：0的 ①a=a(n为大于1的奇数). 负分数指数幂回 ®34故函数y=(x+1)f(x+1)图象的对称中心为(-1,0); 对于C选项，函数y=xf(x)+1的图象由函数g(x)的图象 向上平移1个单位长度得到， [典例3](1)A 解析 因为函数y=f(x)的定义域为R,且 f(-x)=-f(x), 所以函数y=f(x)是定义在R上的奇函数， 故函数y=xf(x)+1图象的对称中心为(0,1); 所以f(0)=log?a=0,解得a=1, 即f(x)=log?(x+1),f(1)=log22=1.对于D选项，函数y=xf(x)-1的图象由函数g(x)的图象 向下平移1个单位长度得到， 故函数y=xf(x)-1图象的对称中心为(0,-1). 自主培优3 因为y=f(x+1)为偶函数，所以f(x+1)=f(-x+1), 即y=f(x)的图象关于直线x=1对称. 又y=f(x)满足f(-x)=-f(x), 所以f(x+1)=-f(x-1),则f(x+2)=-f(x),f(x+ ∵f(x)=-2x+1+sinx=[典例1](1)D 解析 1+=2a+in, u(x)==2x+s1n函数 为奇函数， 由于奇函数的图象关于原点对称， ∴u(x)max+u(x)mi=0, 4)=-f(x+2)=f(x), 即函数y=f(x)是周期函数，周期为4,则f(2022)十 f(2023)=f(2)+f(3)=-f(O)-f(1)=-1. (2)B 解析 由题知，设f(x)的对称中心为(a,b),则y=f(x +a)-b为奇函数. 即[f(-x+a)-b]+[f(x+a)-b]=0,即f(x+a)+ f(-x+a)-2b=0. 从而f(x)mx+f(x)mm=a+b=[u(x)mx+1]+ [u(x)m+1]=2,故选D. 又f(x)=+1++2+⋯++2021=2021 -(+1+⋯++2021), (2)C 解析 令函数g(t)=t+÷+tan t,则g(-t)=-t- 1+tan(-t)=-(t+-+tant)=-g(t), 所以函数g(t)为奇函数，其图象关于原点对称， 可得f(x)=x-1+-+tan(x-1)+2的图象关于点 (1,2)中心对称， 所以f(x+a)=2021-(+a+1+⋯+z+a+2021), f(-x+a)=2021-(=x+a+1+⋯+=x+a+2021)= 2 021-(=x+a+2021+⋯+x+a+1), 则f(x+a)+f(-x+a)-2b 即当x?+x?=2时，可得f(x?)+f(x?)=4. 设M=f(2022)+f(2022)+f(2022)+⋯+ =4042-[z+a+2±222+2021]+⋯+ (x+a+)z+a+2021)]-2b=0恒成立， f(2022), 则a=-1011,b=2021. 第4讲 幂函数与二次函数 M=r(2022)+f(2022)+f(2029)+⋯+f(2022), 2M=[f(2022)+f(402)]+[f(2822)+所以2 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 f(202)]+⋯+[f(2022)+f(2022)] f(2022)+f(2022)+=2 022×4=8 088,所以 5-2a1y=x" 2ax2+bx+c(a≠0) 3(m,n)4R[ ⑥(一，4aC) 7减 8增 9增 0减 诊断自测 1.(1)×(2)√(3)×(4)× f(2022)+⋯+f(2022)=4044. 2.C 解析 由f(x)=kx°为幂函数，知k=1.又函数图象过 [典例2](1)(-1,1)解析 显然f(-x)=21-1+(-x)2= 2+x2=f(x),f(x)是偶函数， 当x≥0时，f(x)=22+x2是增函数， 点(3,9),则9=(3)>a=-2,故k+a=-1. 3.C 解析 f(z)=2-ax+1=(x-2)2+1-4,要使函 所以不等式 f(2x-1)<f(x-2)?f(|2x-1|)<f(|x- f(x)=1-4<0,数有负值，则其最小值 ,解得a<-2或 21),即|2x-1|<|x-2|, (2x-1)2<(x-2)2,3x2-3<0,解得-1<x<1. a>2. (2)(-,-2)u(-2,+○)解析 由题意可知，f(x) 4.D 解析 当a=0时，函数f(x)=-x+1是实数集上的减 函数，不符合题意； 为偶函数，且在(-0,0)上单调递增， 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.又因为f(3-la+1)> f(-3)=r(3), =1,当a≠0时，二次函数f(x)=ax2-x+1的对称轴为直线： 解得a≥2由题意有 所以O<3-+1<,化简整理，得3-1a+1I<3-, 5.A 解析 由题意，函数y=ax2+bx+c, 因为a+b+c=0,令x=1,可得y=a+b+c=0,即函数图象 a<-是或a>-2,所以-la+11<-2,解得4 过点(1,0). (-~,-2)u(-2,+○).故a的取值范围为( 又由a>b>c,可得a>0,c<0,所以抛物线的开口向上，可排 除D项， 令x=0,可得y=c<0,可排除B、C项.故选A. · 365· 高考一轮总复习·数学·RJA [提升能力 考点剖析] 考点1 解集为[1,3],则 1.ABD 解析 因为幂函数f(x)=(m2-5m+7)x"2??在 (0,+∞)上是增函数， m26>07=所以 解得m=3,所以f(x)=x3, 所以f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),故f(x)=x3为 奇函数，函数图象关于原点对称， 2a=1,又函数f(x)的对称轴是直线x=1,则 两者结合解得a=1,b=-2,c=3,所以f(x)=x2-2x+3. 考点3 [例2]AD 解析 因为图象与x轴交于两点，所以b2-4ac> 所以f(x)在(-,0)上单调递增.故选ABD. 0,即b2>4ac,故A正确； 2.D 解析 因为函数y=x的图象关于y轴对称，所以函数 y=x3为偶函数，即p为偶数. 2a=-1,则2a-b=0,故B对称轴为直线x=-1,即 错误； 又函数y=x3的定义域为(-,0)U(0,+∞),且在(0, +∞)上单调递减， 结合图象，当x=-1时，y>0,即a-b+c>0,故C错误； 根据抛物线开口向下，知a<0,所以5a<2a,即5a<b,故D 正确. 3<0,所以p<0.则有 [例3]解(1)∵f(2)=4k+2(3+k)+3=3,解得k=-1, ∴f(x)=-x2+2x+3. 3.A 解析 a=2+=16*,b=4+=16+,c=25*,幂函数y= x*在R上单调递增，a<c, 指数函数y=16°在R上单调递增，b<a,∴b<a<c. (2)由(1)可得g(x)=-x2+2x+3-mx=-x2+(2-m)x+3, x。=22m,其对称轴方程为 4.(3,1)u(2,+)解析 由于函数f(x)=x?是定义域 若g(x)在[-2,2]上为增函数，则x?≥2,解得m≤-2; {32-1<1+x所以x>2或在[0,+∞]上的增函数，所以 若g(x)在[-2,2]上为减函数，则x?≤-2,解得m≥6. 综上可知，m的取值范围为{m|m≤-2或m≥6}. (3)当k=0时，函数f(x)=3x+3在[-1,4]上的最大值是 3≤x<1. 15,不满足条件；当k≠0时，假设存在满足条件的k,则f(x)的最大值只可 考点2 能在-1,4,x。处取得， [例1]-4x2+4x+7 解析 法一(利用“一般式”)设f(x) =ax2+bx+c(a≠0), 其中对称轴：xo=-3tk, 解得由题意得 ①若f(x)m=f(-1)=4,则有k-3-k+3=4,k的值不存在； ②若f(x)mx=f(4)=4,则16k+12+4k+3=4,解得k= -20,,此时， ∴所求二次函数的解析式为f(x)=-4.x2+4x+7. 法二(利用“顶点式”)设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0), x=2∈[-1,4],对称轴： ,则最大值应在x。处取得，与条件 矛盾，舍去； ∵f(2)=f(-1),∴抛物线的对称轴为 x=2+(2-2=2, 4×3k-(3+k)2=4,③若f(x)m=f(xo)=4,则k<0,且 ∴m=2 又根据题意，函数有最大值8,所以n=8, 化简得k2+10k+9=0,解得k=-1或k=-9,满足k<0 且x。=-32k∈[-1,4], ∴y=f(x)=a(x-2)'+8. 综上可知，当k=-1或k=-9时，函数f(x)在[-1,4]上 的最大值是4. ∵f(2)=-1,∴a(2-2)2+8=-1,解得a=-4, [变式训练] ∴f(x)=-4(x-2)2+8=-4x2+4x+7. 1.ACD 解析 当a=-(2n+1)(n∈N)时，g(x)=x"为奇函 数，定义域为{x|x≠0},且在(0,+∞)上单调递减，而f(x) 法三(利用“零点式”)由已知f(x)+1=0的两根为x?= 2,x?=-1, x=-1,=ax2+2x+1的图象开口向下，且对称轴为直线 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2- ax-2a-1. I>0,f(0)=1,故A符合题意；当a=2n(n∈N*)时， g(x)=x"为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，f(x)=ax2 4a(-2a-1)-(-a)2=8,解得a=又函数有最大值8,即 -4或a=0(舍). x=-1,+2x+1的图象开口向上，且对称轴为直线： 故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. [变式训练] <0,△=4-4a<0,其图象和x轴没有交点，故D符合题意； a=2n(n∈N")时，函数g(x)=x°的定义域为[0,+∞],当a x2-2x+3 解析 由f(x)≤2x,得ax2+(b-2)x+c≤0,其 且g(x)在[0,+∞]上单调递增，f(x)=ax2+2x+1的图象 高考一轮总复习·数学·RJA ·366· 开口向上，对称轴为直线x=-1,1<0,△=4-4a>0, 图象和x轴有两个交点，故C符合题意.B显然不符合题意. 2.(1)-1或2 解析 函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x -a)2+a2-a+1,对称轴方程为x=a. 当a<0时，f(x)mx=f(0)=1-a=2,所以a=-1. 当O≤a≤1时，f(x)m=a2-a+1=2,所以a2-a-1=0, a=1±2⑤(舍去).所以， 当a>1时，f(x)mx=f(1)=a=2,所以a=2. 综上可知，a=-1或a=2. (2)[0,2] 解析 依题意得a≠0,二次函数f(x)=ax2- 2ax+c图象的对称轴是直线x=1,因为函数f(x)在区间 [0,1]上单调递减，所以a>0,即函数图象开口向上，所以 f(0)=f(2),则当f(m)≤f(O)时，有0≤m≤2. 第5讲 指数与指数函数 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 图 5y>1 60<y<1 17y>1 80<y<1 9增函数 诊断自测 1.(1)×(2)×(3)√(4)× 2.C 解析 由题意得，a+1=3,∴a=2,∴f(x)=2?1+1,代 3.C 解析 y=0.6°是减函数，所以1>0.6°?>0.61-?,1.5> 1,0.6>0,1.5°-?>1,所以b<a<c. 4.c>d>1>a>b 解析 作直线x=1,由图可得c1>d1>1> (1)(2) ty (3)(4) c \d 1X a b ol x=1 5.(-1,+∞)解析 因为y=22,x∈R的值域为(0,+∞), 口根式 2负数 30 4a 5a 20减函数 入各选项中点的坐标，易知C正确。 a1>b1,即c>d>1>a>b. 所以函数f(x)=2-1的值域为(-1,+0). ⑥-a7Va"[ [提升能力 考点剖析] 9没有意义 10a'+' Wa"12a'b' 3(0,+一)4(0,1) 考点1 1.D 解析 根据题意，得(10)2=103m-20=103m×10-a= (10")3×(10°)?2=22×3?2=8, 因为10>0,所以10=√9=232 4a=a·e52.C 解析 由题意知a>0,当t=50时，有 即告=(e)”,得e=√告 7a=V=27a时,有.所以当 a·e?“. 申品=(c)'=(告)”,得(3)'=(号).所以t=75. 3.10 解析 原式=(3)+2+×2++2°×3°-(3)2=2 +108=110. 4.一2 解析 x*+x*=√5,两边同时平方，得x+x?1+2 =5,所以x+x?1=3, 对x+x?1=3两边同时平方，得x2+x2+2=9,x2+x?2 =7, 2+a5=35=-2则 考点2 f(z)=简={e,x<0,[例1](1)B 解析 依题意可得) 又e>1,则根据指数函数图象即可判断只有选项B符合. (2)D 解析 作出函数f(x)的图象，如图， 当 x<0时，f(x)= |2°-1|=1-2°∈(0,1), 由图可知，f(a)=f(b)= 3 f(c)∈(0,1), 2ao C4b 即4-c∈(0,1), 得3<c<4,则8<2<16. 由f(a)=f(b),即|2"-1|=|2?-1|,得1-2°=2?-1, 求得2°+2=2, ∴2"++2+c=2(2“+2)=2×2∈(16,32),故选D. [变式训练] 1.ABC 解析 由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函 数y=3和y=6°的图象，如图所示， 由图象知，当a=b=0时，3“=6 yy=6 =1,故选项A正确； 5 作出直线y=k,当k>1时，若3“ 4 y=3 =6°=k,则0<b<a,故选项B 正确； 3 y=k 2 作出直线y=m,当0<m<1时， 若3“=6°=m,则a<b<0,故选 项C正确； y=m -2-1 |01234x 当0<a<b时，易得2?>1,则3"<3°<2·3?=6°,故选项D 错误. 2.(0,2) 解析 在同一平面直角坐标系中画出y=|22-2|与 y=b的图象，如图所示. y y=I2*-21 2 y=b 1 X -2 ∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)= |2-2|-b有两个零点. ∴实数b的取值范围是(0,2). 考点3 [例2](1)D 解析 由y=1.012在R上递增，则a=1.01°.?< b=1.01·6,由y=x°5在[0,+∞]上递增，则a=1.01°?>c =0.6°.?,所以b>a>c. (2)D 解析 ∵e°+π3≥e?+π“,∴e"-π“≥e?-π,① 令f(x)=e2-π,则f(x)是R上的增函数， ①式即为f(a)≥f(-b),∴a≥-b,即a+b≥0. [例3](-3,2)解 函数y=2在R上单调递增，则2-2a-3 <(2)"?-22-2?3<2--De2-2x-3<-3(x- 1),即x2+x-6<0,解得-3<x<2,所以原不等式的解集 为(-3,2). ·367 · 高考一轮总复习·数学·RJA